商品期货价格无限维模型的表示

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英文标题：
《Representation of infinite dimensional forward price models in commodity
  markets》
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作者：
Fred Espen Benth and Paul Kr\\\"uhner
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We study the forward price dynamics in commodity markets realized as a process with values in a Hilbert space of absolutely continuous functions defined by Filipovi\\\'c. The forward dynamics are defined as the mild solution of a certain stochastic partial differential equation driven by an infinite dimensional L\\\'evy process. It is shown that the associated spot price dynamics can be expressed as a sum of Ornstein-Uhlenbeck processes, or more generally, as a sum of certain stationary processes. These results link the possibly infinite dimensional forward dynamics to classical commodity spot models. We continue with a detailed analysis of multiplication and integral operators on the Hilbert spaces and show that Hilbert-Schmidt operators are essentially integral operators. The covariance operator of the L\\\'evy process driving the forward dynamics and the diffusion term can both be specified in terms of such operators, and we analyse in several examples the consequences on model dynamics and their probabilistic properties. Also, we represent the forward price for contracts delivering over a period in terms of an integral operator, a case being relevant for power and gas markets. In several examples we reduce our general model to existing commodity spot and forward dynamics.
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中文摘要：
我们研究了商品市场中的远期价格动态，它是一个过程，在Filipovi定义的绝对连续函数的Hilbert空间中具有值。远期价格动态被定义为由无限维Léevy过程驱动的某个随机偏微分方程的温和解。研究表明，相关的现货价格动态可以表示为Ornstein-Uhlenbeck过程之和，或者更一般地表示为某些平稳过程之和。这些结果将可能无限维的正向动力学与经典的商品现货模型联系起来。我们继续详细分析希尔伯特空间上的乘法和积分算子，并证明希尔伯特-施密特算子本质上是积分算子。驱动正向动力学和扩散项的列维过程的协方差算符都可以用这种算符来表示，我们在几个例子中分析了对模型动力学及其概率性质的影响。此外，我们代表一段时间内交付的合同的远期价格，以一个整体运营商为单位，这种情况与电力和天然气市场有关。在几个例子中，我们将通用模型简化为现有的商品现货和远期动态。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Representation_of_infinite_dimensional_forward_price_models_in_commodity_markets.pdf (425.93 KB)

2022-5-6 00:24:51 上传

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关键词：商品期货 期货价格 期货价 Differential Consequences

无限维远期价格模型在商品市场中的表示由ESPEN BENTH和PAUL KR"UHNERABSTRACT提出。我们研究了商品市场中的远期价格动态，这是一个过程，其价值在菲利波维奇[26]定义的绝对连续函数的希尔伯特空间中实现。正向动力学定义为有限维Lévy过程驱动的某一随机偏微分方程的温和解。研究表明，相关的现货价格动态可以表示为Ornstein-Uhlenbeck过程之和，或者更一般地表示为某些平稳过程的asum。这些结果将可能的有限维正向动力学与经典的商品现货模型联系起来。我们继续详细分析希尔伯特空间上的乘法和积分算子，并证明希尔伯特-施密特算子本质上是积分算子。驱动正向动力学的Lévy过程的协方差算子和扩散项都可以用这种算子来描述，我们在几个例子中分析了对模型动力学的影响及其概率性质。此外，我们代表一段时间内交付的合同的远期价格，以一个整体运营商为单位，这种情况与电力和天然气市场有关。在几个例子中，我们将通用模型简化为现有的商品现货和远期动态。1.引言在本文中，我们在有限维随机演算的背景下分析了商品市场的远期价格动态。

我们研究的动机主要来自电力和天然气等能源市场，在这些市场中，人们发现了强烈的季节性模式、不同细分市场的高度异质性风险以及峰值等非高斯特征。在数学金融中，无套利远期价格可以从标的现货商品的买入持有策略中推导出来（见赫尔[33]）。远期价格动态是由现货商品的给定随机模型所隐含的。如果通过半鞅动力学确定现货商品的价格，则可以将远期价格表示为交货时现货的条件预期值，其中预期值是根据等效鞅测度Q计算的。然而，电力是不可存储的，因此在经典意义上是不可交易的。因此，买入并持有对冲策略失效，现货价格过程本身不需要是Q鞅。因此，在推导无套利价格时，任何等价度量Q都可以用作定价度量。这就提出了一个问题：确定一个财务有效的问责日期：2018年8月11日的版本。关键词和短语。远期价格、有限维随机过程、Lévy过程、商品市场、Heath Jarrow Morton方法。本论文是在“电力市场天气风险管理”项目（MAWREM）的资助下编写的，该项目由挪威研究委员会的RENERGI项目资助。商品市场中无限维远期价格模型的表示2由于现货和远期之间的基本关系在能源市场中非常微妙，因此它似乎是直接模拟远期价格动态的合理选择。

Heath、Jarrow和Morton[32]首次倡导利率市场直接建模衍生工具的替代方法，通常称为HJM方法，这种新方法的思想已经转移到其他市场，如Carmona和Nadtochiy[20]、Kallsen和Krühner[36]和Bühler[18]。由于其数学性质，将HJM方法直接转移到面向商品市场。这项研究首先由Clewlow和Strickland[21]完成，后来由Benth和Koekebakker[12]在《电力市场环境》中进行了分析。然而，这两项工作都使用了由有限维维纳噪声（实际上是一维噪声！）驱动的正向曲线模型。有充分的经验证据表明，尤其是电力市场存在高度的特殊风险。Andresen等人[1]研究了北欧电力市场NordPool，发现不同交付时间的合同之间存在明确的相关性结构。Koekebakker和Ollmar[37]利用主成分分析对同一市场的早期研究也指出了噪音的高维度。此外，对弗雷斯塔德、本思和科克巴克尔[28]的研究清楚地表明，边际价格行为是非高斯的。这些来自真实市场价格的见解推动了基于有限维非高斯噪声的HJM方法。Filipovi’c[26]引入的函数空间提供了一个自然的框架来模拟正向曲线演化。这些空间已应用于固定收入市场的远期汇率动态，参见[19]。

用F（t，t）表示时间t的远期价格≤ T对于在时间T交付现货商品的合同，HJM方法给出了F的动力学，作为随机微分方程df（T，T）=β（T，T）dt+ψ（T，T）dL（T）的解，对于一些有限维的Lévy过程L和适当定义的参数β和ψ。因为前向曲线F（t，t）t≥t随时间改变其域使用Musiela参数化F（t，x）：=F（t，t+x），x更方便≥ 我们解释x=T- t表示交货时间，而t表示交货时间。然后，通过启发式峰值，正向曲线遵循随机偏微分方程（SPDE）df（t，x）=（β（t，t+x）+xf（t，x））dt+ψ（t，t+x）dL（t）。（1） 然而，为了理解这个SPDE，在包含整个正向曲线（f（t，x））x的适当函数空间中工作是有用的≥任何时候都可以≥ 0.为此，我们将使用菲利波维奇[26]引入的空间。我们注意到，该商品的现货价格是通过达到x的极限来恢复的↓ 0英寸f（t，x）。此外，如果我们直接在定价测度Q下对远期曲线建模，这是HJM方法中的常见策略，则必须在动力学中施加鞅条件。需要注意的是，在大多数商品市场中，远期合约是流动交易的金融资产，因此，有时可以根据客观（市场）概率P对动态进行建模。商品市场中无限维远期价格模型的表示本文详细分析了远期曲线动力学。特别是，我们能够推导出给定合同单元的联合远期价格动态的各种表示，并将其与有限维模型联系起来。

更具体地说，我们从最初给定的正向曲线动力学的有限维噪声的协方差算子中恢复了方差结构。此外，我们还证明了特殊情况下的现货价格动态可以表示为Ornstein-Uhlenbeck过程之和。这种均值回复过程在商品市场中很流行，用于模拟价格的平稳演变，反映需求和供应的直接影响（见Benth、Saltyt˙e Benth和Koekebakker[9]的讨论和参考文献）。更一般地说，我们从所谓的德列维半平稳过程中获得了现货价格动态，这一过程最近在电力市场中受到了关注（参见Garcia、Klüppelberg和Müller[29]关于CARMA过程的特例，以及Barndorff Nielsen、Benth和Veraart[5]）。这些过程在模拟温度动态时也是自然的，因此与天气远期价格有关。我们还详细研究了Filipovi’c[26]引入的空间上的算子。我们特别关注乘法和积分算子，因为在（1）中指定ψ时，以及在有限维Lévy过程中定义与（平方可积）相关的协方差算子时，它们是自然对象。我们给出了这些算子的完整刻画，其中我们特别证明了所有Hilbert-Schmidt算子本质上都是积分算子。在示例中，我们将这些运营商与能源市场中的正向动力学相关的具体模型联系起来。在电力和天然气市场，以及天气衍生品市场，远期合约通常在一个交付期内结算，而不是在特定的交付时间。例如，在债券市场中，远期合约在一天到一年的不同交付期内以每小时现货价格进行财务结算。

作为我们对运营者研究的一个应用，Weidenify远期合同以运营者的身份在Filipovi’c[26]定义的映射到自身的空间中的元素上确定交付期。因此，固定交货期前向曲线的分析性质可以由一个算子转换为交货期前向曲线，实际上是恒等式算子和显式给定积分算子的总和。我们的结果如下所示：在下一节中，我们找到了线性映射到有限维空间的随机过程的各种表示。第三节主要讨论了商品市场的远期曲线模型，我们从中得出了现货价格过程、远期价格过程的相关性以及远期曲线本身的各种表示。在最后一节中，我们详细分析了菲利波维奇[26]定义的空间上的积分算子、希尔伯特-施密特算子和乘法算子。1.1. 符号R、 响应。C、 表示真实的，相应的。复数和R+：=[0，∞)（分别为-:= (-∞, 0]）非负（或非正）实数。(Ohm, （Ft）t∈R+，A，P）总是表示一个右连续的过滤概率空间。我们用Lp（∑，u）表示从测度空间（∑，C，u）到R的p-可积函数集，如果测度没有歧义，那么我们只写Lp（∑）。对于一个操作员来说∈ L（H，H），L（H，H）是两个希尔伯特空间H之间的线性算子空间，我们用T表示T的对偶算子*. Hilbert空间H上具有有限迹的正算子集由L+（H）表示。

对于可分Hilbert空间U，H和U值平方可积Lévyr，商品市场中无限维远期价格模型的表示4过程L与鞅协方差Q相对于某些过滤概率空间，我们用L，T（H）表示可预测的L（U，H）值过程集，例如ZTTR（ψ（s）Qψ（s）*)) ds<∞, T≥ 0和LL（H）：=T{LL，T（H）：T>0}，参见Peszat和Zabczyk[41，公式（8.6）]，其中tr表示运算符的轨迹。在Peszat和Zabczyk[41]中使用了更多未引入的符号。HILBERT空间中随机积分泛函的表示在本节中，我们得到了HILBERT空间中随机积分线性泛函表示的一些一般结果。这些结果将有助于我们在第3节中分析前向曲线动力学，但它们本身也很有趣。让我们考虑一个形式为Y（t）=Ztψ（s）dW（s）的随机积分Y，对于在可分Hilbert空间U中具有值的布朗运动W和一个可积随机过程ψ：R+×u7→ H、 H是一个可分离的希尔伯特空间（参见Peszat和Zabczyk[41]了解条件）。有时人们只对一维边值感兴趣，即对x（t）：=t（Y（t））感兴趣，其中t是Y的状态空间H上的连续线性泛函。当然，我们有x（t）=Zt（t）o ψ（s））dW（s）。如果U是有限维的，众所周知，存在一些标准（实值）布朗运动B和一些可积随机过程σ，例如x（t）=Ztσ（s）dB（s）。下一个定理表明，如果U是任何可分离的Hilbert空间，则类似的表示成立：定理2.1。让n∈ N和H，U是可分的Hilbert空间。设W为协方差为Q的平方可积均零U值Wiener过程∈ L+。假设dim跑了（Q）≥ nand Q为正定义。

让ψ∈ LW（H），T∈ L（H，Rn）和definex（t）：=tZtψ（s）dW（s）.然后有一个n维标准布朗运动B，x（t）=Ztσ（s）dB（s），表示商品市场中无限维远期价格模型，其中σ（s）：=（tψ（s）Qψ（s）*T*)1/2∈ 磅（Rn）。如果σ（s）在Rn×nNλ中是可逆的 P-almostany s∈ R、 然后σ-1.∈ LX（Rn）和b（t）=Zt（σ（s））-1dX（s）。证据Peszat和Zabczyk[41，定理8.7（v）]yieldX（t）=ZtΓ（s）dW（s），其中Γ（s）：=to ψ（s）。Peszat和Zabczyk[41，推论8.17]implyhhX，Xiit=ZtΓ（s）QΓ（s）*ds。推论A.5得出X有A.s.连续路径。这些假设确保在过滤概率空间上存在无因次标准布朗运动B(Ohm, （Ft）t∈R+，A，P）。因此，Jacod[34，Corollaire 14.47（b）]得出存在一个n维标准布朗运动b，使得x（t）=Ztσ（s）dB（s）。（2） 现在假设σ（s）是Rn×nNλ的可逆元素 几乎所有的s∈ R、 在矩阵的逆矩阵中，用∑表示。表达式（2）以及Peszat和Zabczyk[41，定义8.3，定理8.7（iv）]得出，X的鞅协方差QXof由qxt=1{Tr（σ（t）σ（t）给出*)6=0}σ（t）σ（t）*Tr（σ（t）σ（t）*), T≥ 0.然后我们有了ZTTrγ（s）QXsγ（s）*dhX，Xi（s）= nT<∞因此γ∈ LX（Rn）由定义，参见Peszat和Zabczyk[41，第113页]。HenceB（t）=Ztσ-1（s）σ（s）dB（s）=Ztσ-1（s）dX（s）。注意，如果n=1，则存在一个随机过程γ：=（Tψ）*1使得（Tψ）x=hγ，对于任何x，xi∈ U

如果集合{（ω，t）∈ Ohm 商品市场中无限维远期价格模型的x R+：Qγ（ω，t）=0}表示是Pλ-空集，则φ：=hγ，·ihQγ，γi1/2∈ LW（U）和上述定理中给出的标准布朗运动也由b（t）=Ztа（s）dW（s）给出。此外，我们还没有Ztψ（s）dW（s）=Zthγ（s），dW（s）i=ZthQγ（s），γ（s）i1/2dB（s）。我们将定理2.1中的结果推广到下一小节中定义为次级布朗运动的Lévy过程类。2.1. 从属布朗运动的情况。让我们回顾Benth和Krühner[13，定理4.7]对从属布朗运动的定义：定义2.2。在某个希尔伯特空间U中有值的从属布朗运动L是aLévy过程，因此存在一个U值布朗运动W和一个与W无关的从属子Θ，使得L（t）=W（Θ（t））。如果存在布朗运动WL，WN和从属运动ΘL，则从属布朗运动L，N是同一类型的，并且对于任何t，WN，ΘNare独立，WL，ΘLare独立，ΘL，ΘN具有相同的定律，且L（t）=WL WL（ΘL（t））N（t）=WN WN（ΘN（t））∈ R+。如果从属布朗运动具有有限的第一时刻，则从属布朗运动与布朗运动有一些相似之处。特别是，可以很容易地比较被积函数集。首先，我们回顾了时变过滤的概念：定义2.3。时间变化是一个右连续增长的族（θ（t））t∈关于某些右连续过滤（Ft）t的停止时间的R+∈R+。时变过滤是由Fθt:=Fθ（t）=\\s>tFθ（s）t给出的过滤∈ R+。设X为F适应随机过程，并假设时间变化为有限值。时间变化过程由Xθ（t）：=X（θ（t）），t给出∈ R+。关于从属布朗运动的随机积分，我们有以下结果。引理2.4。