商品期货价格无限维模型的表示

ThusRf（x）=Zx（w（z））-1/2Z∞b（z，y）pw（y）1C（y）f′（y）dydz=ZxZCq（z，y）f′（y）dydz=ZCZxq（z，y）dzf′（y）dy=ZC（q（x，y）- 商品市场中无限维远期价格模型的q（0，y））f′（y）dyREPRESENTATION，其中我们对第二个方程使用了Fubini定理。条件（1）意味着∞|q（0，y）f′（y）| dy<∞,因此我们有Rf（x）+tf（0）=tf（x），x∈ R+。向量空间v:={f∈ Hw:Wf∈ L（R+）∩ L∞（R+）}在hw中是稠密的，因为（16）表示（δ，W）是等距的，（δ，W）（V）=R×L（R+）∩ L∞（R+）和L（R+）∩ L∞（R+）在L（R+）中是稠密的。由于V包含在T的域中，我们发现T是密集定义的。现在让我们来看f∈ dom（T）与kfk≤ 1.然后是毕达哥拉斯定理、柯西-施瓦兹不等式和R implykT fk=k（x 7）的界→ tf（0））k+kRfk≤Z∞q（0，y）w（y）dy+AB.观察，q*也满足条件（1）、（2）和（3）。因此，积分算子R*与内核q*密度定义为（AB）1/2。此外，与上述方法的模拟计算表明：*fWg（x）=Z∞b（y，x）g（y）dy，对于有界紧支撑函数g和WR*fW是双ofeR。因此，R*是R的对偶算子。现在很容易推导出T的对偶算子。引理4.4指出，额外的假设意味着T是闭合的。然而，一个封闭的、有界的、密集定义的算子是处处定义的、连续的。备注4.7。在q（x，y）=q（0，y）的特殊情况下，我们看到T的对偶是一个算子，它取函数的初始值并与h（y）相乘：=Zyq（0，z）w（z）dz。因此，我们可以写T*= Mhδ，其中Mh通过函数h表示乘法运算符。我们将在第4.3小节中返回到对一般乘法运算符的更详细研究。一类重要的积分算子是卷积型算子，即。

f（x）=Z的算子∞k（x）- y） f′（y）dy，或者换句话说，一个核为q（x，y）的积分算子：=k（x）- y） 。下一个推论重申了定理4.6对于此类卷积型算子的条件。然而，为了简单起见，我们将只在空间hw中的权函数w是指数函数的情况下这样做。推论4.8。让k:R→ R+是可测函数，T是核q:R上的积分算子+→ R、 （x，y）7→ k（x）- y） 。假设商品市场中无限维远期价格模型的表示为35（1）w（x）=eαx，对于某些α>0和任何x∈ R+，（2）R∞|k（x）- y） |e-αydy<∞ 对于任何x∈ R+，（3）k有一个绝对连续的导数，（4）R∞-∞|k′（s）| eαs/2ds<∞.那么T是一个连续线性算子。证据定义（x，y）：=q（x，y）pw（x）/w（y），x，y∈ R+。那么b（x，y）=k′（x- y） e1/2α（x-y） 对于任何x，y∈ R+。让x∈ R+，然后是Z∞|b（x，y）| dy=Zx-∞|k′（s）|e1/2αsds和hencesupx∈R+Z∞|b（x，y）| dy=Z∞-∞|k′（s）| e1/2αsds。同样的道理，我们也会被打败∈R+Z∞|b（x，y）| dx=Z∞-∞|k′（s）| e1/2αsds。我们有∞q（x，y）/pw（y）dy=Z∞|k（x）- y） |e-任意x的αydy∈ R+。该主张源自定理4.6。让我们回到Thm中描述的现场动力学，结束关于积分算子的这一小节。3.8。回想一下，即期波动率由σ（t，s）=hψ（s）Qψ给出*（s） ht-s、 ht-硅。这里，Q是正向动力学f（t）驱动噪声的协方差算子，ψ是其动力学中的波动算子。如果我们现在假设ψ（s）=eσ（s）T，对于HwT上的积分算子g（x）=Z∞ψ（x，y）g′（y）dy。观察eσ是一个可预测的R值随机过程。我们还假设Q是Hw上的积分算子，cf。

定理4.11Qg（x）=Z∞q（x，y）g′（y）dy。在上述假设下，我们可以计算σ（t，s），并发现σ（t，s）=eσ（s）Z∞Z∞w（u）ψ（t）- s、 z）q（z，u）ψ（t）- s、 u）商品市场中无限维远期价格模型的表示，其中QI是q相对于其第一个参数的偏导数。因此，σ（t，s）的形式为σ（t，s）=eσ（s）γ（t- s） ，给出了LSS过程（见Barndorff Nielsen等人[5]）。我们看到确定性核函数γ（t-s） 将是波动率算子ψ和协方差算子Q的核的积分。一个简单的特殊情况是假设ψ（x，y）=ξ（x）θ（y），在这种情况下，我们发现σ（t，s）=eσ（s）cξ（t- s） 对于常数c，在这个简单的例子中，我们可以通过适当地选择ξ来恢复spotprice动力学中有趣的LSS过程。例如，我们可以通过让ξ（x）=b来恢复所谓的连续时间自回归移动平均（CARMA）过程*exp（Ax）ep。这里，epis是Rp，p中的第p个标准基向量∈ 请注意∈ rpa是向量b*= （b，b，…，bq=1，0，…，0）表示q<p，A是形式的p×p矩阵=0我-αp-αp-1··· - α,当αi>0时，i=1，我和p- 1×p- 1.身份矩阵。我们说，对于这个特殊的选择，我们有一个由偏好调制的CARMA（p，q）动力学。请注意，我们可以自由选择协方差核q和θ，这意味着我们可以有许多不同的正向曲线模型，从而得到相同的CARMA spot模型。CARMA过程已应用于温度模型（见Benth和Saltyt˙e Benth[10]和H"ardle和Lopez Cabrera[31]）、现货电价（见Garcia、Klüppelberg和Müller[29]）和石油价格（见Aschke和Prokopczuk[40]）。有关CARMA过程的详细分析，请参阅Brockwell[17]的读者。希尔伯特-施密特算子。

在本节中，我们将分析HW上的希尔伯特-施密特算子。Lar上的Hilbert-Schmidt算子正是积分算子，其中核是L函数，Hilbert-Schmidt范数是它们的L范数。利用这一点，可以用积分算子来识别HW上的Hilbert-Schmidt算子，因为HW几乎是等距的。引理4.9。设T是L（（R+，B，λ），R）上的Hilbert-Schmidt算子。然后是b∈L（（R+，B，λ），R）使得t f（x）=Z∞b（x，y）f（y）dy（19）对于任何f∈ L（（R+，B，λ），R），其中λ表示二维勒贝格测度。T的hilbert-Schmidt范数是b的L范数。此外，如果b是L（（R+，b，λ），R）的一个元素，那么T f（x）：=Z∞商品市场中无限维远期价格模型的b（x，y）f（y）动态表示定义了一个希尔伯特-施密特算子。证据这是直接从希尔伯特-施密特算子的同构到H:=L（（R+，B，λ），R） L（（R+，B，λ），R）和从H到L（（R+，B，λ），R）。下一个引理表明，余维为1的子空间上的Hilbert-Schmidt算子是积分算子：引理4.10。设C是Hw:={f上的闭线性算子∈ Hw:f（0）=0}。那么下面的语句是等价的。（1） C是希尔伯特-施密特算子。（2） C是积分算子，有b∈ L（R+）使得C的核由q（x，y）给出：=Zxpw（y）/w（z）b（z，y）dz，x，y∈ R+。（20） 如果第二种说法成立，那么希尔伯特-施密特范数与B的L（R+）-范数一致。证据假设C是Hilbert-Schmidt算子。那么T:=WCW-1是一个Hilbert-Schmidt算子，其中W是（15）中限制为Hw的同构，T和C具有相同的Hilbert-Schmidt范数。引理4.9给出了一个平方可积函数b，使得tf（x）=R∞b（x，y）f（y）dy和Hilbert-Schmidt范数与b.SinceW的L范数一致-1g（x）=Zxg（y）pw（y）dy，一个简短的计算得到C的表示。

的确，对于f∈ Hwwe haveCf（x）=W-1T Wf（x）=Zxpw（y）T Wf（y）dy=Zxpw（y）Z∞b（y，z）Wf（z）dzdy=Zxpw（y）z∞b（y，z）pw（z）f′（z）dzdy=z∞q（x，z）f′（z）dz，其中我们使用了富比尼定理，q由方程（20）定义。现在假设C是由条件（2）中的函数给出的积分算子。然后，由方程（19）定义的Tde是希尔伯特-施密特算子。与之前相同的方程式得出C=W-1T W。商品市场中无限维远期价格模型的表示下一个定理给出了Hw上Hilbert-Schmidt算子的完整特征。屋顶利用了上述引理。定理4.11。设C是Hw上的Hilbert-Schmidt算子。然后有一个平方可积函数b:R+→ R、 g，h∈ HwG（0）=0=h（0）和c∈ R使得cf（x）=cf（0）+hg，fi+f（0）h（x）+Z∞q（x，z）f′（z）dz，其中q（x，z）：=Rxpw（z）/w（y）b（y，z）dy。此外，给出了C的Hilbert-Schmidt范数nbykckhs=C+hg，gi+hh，hi+ZR+b（x，y）dxdy。C的对偶算子由C给出*f（x）=cf（0）+g（x）f（0）+hf，hi+Z∞Q*（x，z）f′（z）dzq其中*（x，y）=Rxpw（y）/w（z）b（y，z）dz。特别地，C是对称的当且仅当b是对称的且g=h。让Hcwbe表示Hw中的常数函数集。Hw是HcWandHw的正交和，其中Hw在引理4.10中定义。因此我们有 Hw=Hcw 六氯环己烷+六氯环己烷 Hw+Hw Hcw+Hw 右侧的空间相互正交。因此，第一个主张遵循引理4.10和毕达哥拉斯定理的范数值。C的结构*根据类似的论点。定理4.11可用于寻找正半限定迹类算子的表示。实际上，任何正半限定迹类算子都是对称HilbertSchmidt算子的平方。这两类算子在希尔伯特空间的随机积分理论中都起着关键作用。

Peszat和Zabczyk[41]。推论4.12。设Q是Hw上的正半限定迹类算子。然后就有了∈ R+和一个可测函数l : R+→ R如此l 是绝对连续的变量，（1）l(0, ·)/√W∈ L（R+）（2）（x，z）7→w（z）w（x）(l（x，z）是对称可积的，（3）Qf（x）=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dzc+Zxl（0，z）/w（z）dz+ f（0）Z∞l（x，z）l（0，z）/w（z）dz+z∞Z∞l（x，z）l（z，y）dzf′（y）对于任何f∈ Hw，x∈ R+。商品市场中无限维远期价格模型的表示39（4）hQf，fi=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dz+Z∞f（0）l（0，x）+Z∞w（x）l（x，z）f′（z）dyw（x）dxf∈ 嗯。（5） Tr（Q）=c+R∞（q（0，z））/w（z）dz+R∞hq（x，·），q（x，·）i/w（x）dx，如果c∈ R+和l : R+→ R是可测量的，在其第一个变量中是绝对连续的，l 满足（1）和（2），Q由（3）定义，那么Q是满足（4）和（5）的正迹类算子。证据设C是Q的对称根，则C是Hw上的对称Hilbert-Schmidt算子。设b，g，h，c，q如定理4.11所示。因为C是对称的，我们可以从定理4.11中看出G=h和b是对称的。定义l（x，z）：=h′（z）w（z）+q（x，z）。然后l（0，·）=wh′因此l满意度（1）。此外，w（x）w（z）(l（x，z））=b（x，z），x，z∈ R+因此l 满意度（2）。我们还有cf（x）=cf（0）+hh，fi+f（0）h（x）+Z∞q（x，z）f′（z）dz=f（0）（c+h（x））+z∞l（x，z）f′（z）dz和henceQf（x）=Cf（x）=Cf（0）（c+h（x））+z∞l（x，z）（Cf）′（z）dz=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dz（c+h（x））+Z∞l（x，z）f（0）h′（z）+z∞l（z，y）f′（y）dydz=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dzc+Zxl（0，z）/w（z）dz+ f（0）Z∞l（x，z）l（0，z）/w（z）dz+z∞Z∞l（x，z）l商品市场中无限维远期价格模型的（z，y）dzf′（y）DYF表示∈ Hw，x∈ R+，我们在最后一个方程中使用了富比尼定理。此外，hQf，fi=hCf，cfi=（Cf（0））+Z∞（（Cf）′（x））w（x）dx=f（0）c+Z∞l（0，z）f′（z）dz+Z∞f（0）l（0，x）+Z∞w（x）l（x，z）f′（z）dyw（x）dxf∈ Hw，x∈ R+。

如果Ti是一个具有核qi，i=1，2，3和TT=T的积分算子，那么在许多情况下，我们可以表示q，q的qin项。例如，如果我们让（5）中f的动力学中的ψ在积分算子集中有值，那么协方差f由hhf，fii（T）=ZtUt给出-sψ（s）Qψ（s）*U*T-sds。ψQψ*是一个正迹类算子，可以用（ψC）（ψC）表示*其中C是Q的非对称根，然后C和ψC是Hilbert-Schmidt算子，因此它们是“几乎”积分算子。如果选择ψ作为积分算子，则可以得到ψC核的公式。让我们陈述一下连接这些发电机的一般条件。定理4.13。设Tibe是一个具有核qi的积分算子，i=1、2、3和T 它被密集地定义。假设（1）QI相对于第一个变量是绝对连续的，（2）z 7→ 啜饮|q（y，z）|√w（z）：y∈ [y，y+1]∈ L（R+）表示任何y∈ R+，（3）z 7→ 啜饮|q（y，z）|√w（z）：y∈ [y，y+1]∈ L（R+）表示任何y∈ R+和（4）z 7→√w（z）R∞|q（x，y）q（y，z）|dy}∈ 任意x的L（R+）∈ R+。然后q（x，z）=z∞q（x，y）q（y，z）dy，x，y∈ R+。证据注意，条件（1）到（3）意味着z 7→ q（y，z）f′（z）和z7→ q（y，z）f′（z）对任何y都是可积的∈ R+因为| f′而|√对于任何f，w都是平方可积的∈ 嗯。此外，y中的一致条件允许交换z积分和关于toy henceZ的导数∞q（y，z）f′（z）dz=yZ∞q（y，z）f′（z）dz。商品市场中无限维远期价格模型的表示41类似地，条件（4）收益率（y，z）7→ q（x，y）q（y，z）f′（z）对任何f都是可积的∈ Hw，x∈ R+。这样我们就有了∞q（x，z）f′（z）dz=Tf（x）=T（Tf）（x）=z∞q（x，y）YZ∞q（y，z）f′（z）dzdy=Z∞q（x，y）Z∞q（y，z）f′（z）dzdy=z∞Z∞q（x，y）任意f的q（y，z）dyf′（z）dzf∈ dom（T），x∈ 我们在最后一步中使用了富比尼定理。

由于dom（T）被密集定义为单调类参数yieldsq（x，z）=z∞q（x，y）q（y，z）dy，定理如下。我们通过观察协方差算子Q来结束对Hilbert-Schmidt算子的分析，并研究在L为Hw值的情况下，Lévy场L（t，x）上隐含的驱动正向动力学噪声的相关性。假设Q是给定的积分算子qf（x）=Z∞q（x，y）f′（y）dy对于一些“好”的核函数q，即引理3.1中定义的函数在q的域中。回想一下E[L（t，x）L（s，y）]=E[δxL（t）δyL（s）]=t∧ shQhx，hyi。我们有h′x（v）=0，v>xw-1（v），v≤ 十、因此，Qhx（u）=Z∞q（u，v）1（v）≤ x） w-1（v）dv=Zxq（u，v）w-1（v）dv。此外，（Qhx）′（u）=uZxq（u，v）w-1（v）dv。商品市场中无限维远期价格模型的表示∈ R+，hQhx，hyi=Qhx（0）hy（0）+Z∞w（u）（Qhx）′（u）h′y（u）du=Zxq（0，v）w-1（v）dv+Z∞w（u）uZxq（u，v）w-1（v）dvw-1（u）1（u）≤ y） du=Zxq（0，v）w-1（v）dv+ZyuZxq（u，v）w-1（v）dvdu=Zxq（y，v）w-1（v）dv。显然，L（t，x）和L（s，y）之间的协方差将取决于q的选择以及空间Hw的权函数w。例如，选择q（y，v）=exp(-δ（| y）- v |）和w（v）=exp(-αv）对于α>δ>0，那么假设y≥ 我们发现，空间相关结构变为（L（1，x），L（1，y））=e-δ（y）-x） s1- E-(α-δ） x1- E-(α-δ） y.请注意，这在距离y中不是静止的- 从到期日到到期日之间。备注4.14。ψQψ*是一个正迹类算子，因此它有一个唯一的正根C，这是一个Hilbert-Schmidt算子。然后定理4.11给出了一个kernelk的存在性：R+×R+→ R和函数g:R+→ R使得cf（x）=g（x）f（0）+Z∞k（x，y）f′（y）dy，x∈ R+代表任何f∈ 嗯。通过与上述类似的讨论，我们可以找到f（t，x）场的协方差（或相关性）结构，即k。

但在Q和ψ是具有充分正则核的积分算子的情况下，我们可以借助定理4.13.4.3将k与这些核联系起来。乘法运算符。另一类有用的运算符是乘法运算符。例如，我们记得它们出现在第4.1小节中与积分算子有关的部分。定义4.15。让f:R+→ R是一个可测函数，df:={g∈ Hw:fg∈ Hw}。带核f的乘法运算符由mf:Df定义→ Hw，G7→ 前景。我们有以下内容：引理4.16。核函数为mff的乘法算子是闭合的。商品市场中无限维远期价格模型的表示。让（gn）n∈Nbe DF中的一个序列，它收敛到Hw中的某个g，从而使MFGN收敛到Hw中的某个b。让x∈ R+。那么我们有b（x）=δx（b）← δx（Mfgn）=f（x）δx（gn）→ f（x）g（x）。因此fg=b∈ Hwand g∈ DF和Mfg=b。事实证明，在关于权函数w的一些附加假设下，域DfofMfis为Hwif且仅当f∈ 嗯。在这种情况下，乘法运算符是连续的。这是下一个定理的内容：定理4.17。假设k:=R∞w（x）dx<∞ 让f:R+→ R是可测量的。那么下面的语句是等价的。（1） Mfis是Hw上的连续线性算子，（2）Mfis everwhere defined和（3）f∈ 嗯。如果mf是连续线性算子，则其算子范数最多为√5+4KKKWKwandm*fg（x）=hg，f hxi，其中hxi定义为引理3.1。证据含义（1）=>（2） 这是显而易见的。对于含义（2）=>（3） ，我们观察到f=Mf1∈ HWHERE 1∈ hw表示常数为1的函数。最后一个含义（3）=>（1） 需要更多的照顾：让g∈ Hwand回忆一下Lemma 3.2中的kgk∞≤ CKGKWWC：=√1+k。

我们有kfgkw=f（0）g（0）+Z∞w（x）（（fg）′（x））dx≤ KfKwKkw+Z∞w（x）（f（x）g′（x））+2f（x）g（x）f′（x）g′（x）+（f′（x）g（x））dx≤ KfKkw+kf k∞KKKW+kf KKKKKK∞+ 2kf k∞克格勃∞Z∞w（x）| f′（x）g′（x）|dx≤ （1+2c）KfKwKkw+2ckf KwKkw|≤ （1+2c）KfKwKwKwKwKwKwKwKwKwK+2CKfKwKwKwKwKwKwKwKwKfKwKwKwKwKwKwKwKfKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwKwK∈ 我们用柯西-施瓦辛格等式来表示最后一个不等式。因此，MFT是一个具有算子范数atmost的连续线性算子√1+4千千瓦。对于对偶运算符的表示，只需观察thatM即可*fg（x）=hM*fg，hxi=hg，Mfhxi=hg，fhxi。这就完成了证明。商品市场中无限维远期价格模型的表示作为一个例子，我们考虑一个特定的远期动态，使用乘法算子来定义扩散项。假设w（x）=eαx，x∈ R+对于某些α，对于空间hw大于0。在这种情况下，假设k=R∞W-1（y）dy=1/（2α）<∞ 在我们的例子中，我们假设驱动噪声是空间Hw上的布朗运动W，对于任何h，ψ（t）：=ψ（t，f（t）），ψ（t，h）：=Mhg（t）∈ Hw，t≥ 0其中g:R+→ 它是连续的。为简单起见，我们假设β=0，即正向动力学中没有漂移。定理4.17得出ψ满足命题3.7的要求。