商品期货价格无限维模型的表示

这里，N（t）=（B（Θ（t）），B（Θ（t）），t≥ 其中，B=（B，B）是R值标准布朗运动，∑（T，T，s）是非负的2×2矩阵值过程，元素为∑（T，T，s））i，j=hψ（s）Qψ*（s） hTi-s、 hTj-筛选任何s，t∈ R+，i，j=1，2。证据这与定理3.8的证明是一致的。我们注意到，∑（T，T，s）i，对于i=1，2，我将依赖于。F（t，t）和F（t，t）之间的依赖结构将由∑（t，t，s）1,2确定，我们可以将其解释为L=W和ψ确定性情况下的协方差。两个远期合约的这种显式表示可用于日历价差期权的分析，即收益取决于F（T，T）的期权- F（T，T）在某个运动时间T≤ T.例3.10。考虑一个正向动力学的简单例子：设ψ（s）=I，Hw上的identityoperator，假设W是一个Wiener过程，其值为U=Hw。此外，设β=0。因此，f（t）=Utf+ZtUt-sdW（s）。由于δyUs=δy+s，我们发现f（t，t）=δt-tf（t）=f（t）+Ztδt-sdW（s）。我们有BT（t）：=Rtδt-sdW（s），t∈ [0，T]和T>0是一个时间不均匀的布朗运动。其二次变异结构由E（BT（t））=Rt（QhT）给出-s） （T）- s） ds和（BT（t）BT（t））=Rt（QhT-s） （T）- s） ds。请注意，进程t7→ Bt（t）=Rtδt-sdW（s）成为高斯鞅，andS（t）=f（t）+Bt（t）是现货价格动态。鉴于定理3.9，我们想更详细地分析随机场的空间相关结构，这些随机场被定义为具有Hilbert空间Hw值的随机过程。为此，我们首先展示了一个技术引理，它揭示了对Hwatclose点的两个点评估几乎相同，因此根本不可能是正交的。

换句话说，空间HW的特殊几何结构意味着不同点评估之间有着紧密的联系。商品市场中无限维远期价格模型的表示引理3.11。调用函数hx:R+→ R、 z 7→ 1+Rx∧任何x的zw（s）ds∈ R+定义引理3.1。然后：R+→ Hw，x 7→ hxis 0.5-H"older连续，常数为1。此外，khy- hxkw≥雷- xw（y）表示任何0≤ 十、≤ y<∞.证据让0≤ 十、≤ y<∞. 森基- hxkw=Zyxw（s）ds(≤ Y- x和≥Y-xw（y）。因此，khy- hxkw≤√Y- x和KY- hxkw≥p（y）- x） /w（y）。请注意，对于0≤ 十、≤ y<∞ 我们有hhy，hxi=khxkw，因此它也认为hhy，hxikhkwkhxkw=khxkwkhkwkhxkw。现在考虑一个平方可积随机变量X，其值在hw中具有均值零和协方差算子Q。X（X）：=δX（X）和X（y）=δy（X）之间的相关性被给出为ρ：R+→ R、 （x，y）7→（E[δx（x）δy（x）]√如果分母不为零，则为1。（11） 下一个定理表明，基于上述引理，相关性在aratep | x收敛到1- y | as x→ y：定理3.12。设X是一个均值为零、平方可积且具有协方差算子Q的Hw值随机变量∈ R+存在>0，对于（11）中定义的ρ，它保持ρ（x，y）≥ 1.-2kQk1/2opp | x- y | kQ1/2hxkw+kQk1/2opp | x- y |代表任何| x- y|≤ .证据用C表示：=Q1/2 Q和let x的正半限定平方根∈ R+。如果kq1/2hxkw=0，那么所声称的不等式是微不足道的。因此，我们假设kQ1/2hxkw6=0。定义：=kChxkwkQkopand let y∈ R+这样| y- x |<。然后引理3.11 yieldskChykw≥ kChxkw- kCkopp | y- 商品市场18中无限维远期价格模型的表示，因此ρ（x，y）=E[δx（x）δy（x）]kChxkwkChykw。我们有（δx（x）δy（x））=hQhx，hyiby引理3.1。

此外，我们有δx（x）= hQhx，hxi=kChxkw和kchykw≤ kChxkw+kCkopkhy- hxkw≤ kChxkw+kCkopp | y- x |。因此我们得到了[δx（x）δy（x）]=hChx，Chyi≥ hChx，Chxi- |hChx，C（hy- hx）i|≥ kChxkw- kChxkwkCkopkhy- hxkw≥ kChxkwkChxkw- kCkopp | y- x|第三个不等式来自柯西-施瓦兹不等式。我们得出ρ（x，y）≥kChxkw- kCkopp | y- x | kChxkw+kCkopp | y- x |=1-2kQk1/2opp | y- x | kQ1/2hxkw+kQk1/2opp | y- x |因为kQk1/2op=kQ1/2kopby Palmer[39，定理3.4.21]。注意，相关性没有先验的上界。实际上，考虑随机变量X:=（hx+hy）A，其中A是标准正态随机变量，0≤ 十、≤ Y≤ ∞.那么，ρ（x，y）=1。Thm。3.12意味着接近到期日的远期之间的相关性很高，从实际角度来看，这是很自然的，因为在不同但临近的时间交付商品的经济差异很小。然而，值得注意的是，HW空间的空间代数对相关性施加了一个明确的下限，该下限在交付时间和遵循平方根函数之间的距离上是静态的。3.3. 用Ornstein-Uhlenbeck型过程之和表示远期。在商品市场中，根据OrnsteinUhlenbeck过程的有限和给出了一类流行的现货价格模型（例如，见Benth等人[9]及其参考文献）。在传统的设置中，一种是通过奥恩斯坦纽伦贝克过程的有限和对对数现货价格动态进行建模，每个过程由一个勒维过程驱动。然而，有几篇论文也主张直接通过Ornstein-Uhlenbeck过程的有限和来建模现货价格动态（参见商品市场中无限维远期价格模型的表示，例如Benth、Meyer Brandis和Kallsen[11]，以及Garcia、Klüppelberg和Müller[29]中的power）。

在一个非常简单的设置中，我们从模型（t）=∧（t）+X（t）开始，其中∧是一些确定性的季节性函数，X遵循Ornstein-Uhlenbeck过程dx（t）=-λX（t）dt+dN（t）对于某些R值Lévy过程N和λ>0a常数。其中一种方法将远期价格定义为交货时现货价格的有条件预期，给定当前时间的信息，在某些定价措施下进行预期（见Benth等人[9]）。也就是说，F（t，t）=e[S（t）| Ft]代表t≤ T为了避免不必要的技术细节，我们假设现货模型已经在定价测度下陈述，并且Lévy过程N是可积的。那么推导f（t，t）=∧（t）+λE[N（1）]（1）是一项直接的任务- E-λ（T）-t） ）+e-λ（T）-t） X（t）。换句话说，在Ornstein-Uhlenbeck过程中，远期价格是线性的，其系数在到期时间T呈指数下降- 以均值回复速度λ给出的速率。如果我们认为现货模型是此类Ornstein-Uhlenbeck过程的总和，我们发现上述远期价格表达式自然会推广到指数加权Ornstein-Uhlenbeck过程的总和。我们现在想分析相反的情况在多大程度上成立，也就是说，我们什么时候可以表示我们的远期价格动态f（t）是一个过程，其价值在Hwas中是一系列加权的OrnsteinUhlenbeck过程？当我们在一个无限长的过程中，期望随机的过程在无限长的过程中被扰动，但在无限长的过程中，我们不能让它在无限长的过程中被扰动。这种有限级数表示法的主要技术障碍是指数函数不构成Hw中的任何正交集。

然而，如果正向曲线在一个方便的子空间中取值，并以指数函数作为Riesz基，那么我们可以找到一个关于Ornstein-Uhlenbeck过程的级数表示。我们给出了一些辅助结果来说明这一点。回想一下，Riesz基是序列（xn）n∈在Hilbert空间H中，有一个正交基（en）n∈Nin H和一个可逆线性算子T，使得T en=xn。关于进一步的等价陈述，我们请读者参考杨[47，定理1.9]。在下一个定理中，我们为Hw的“大”子空间找到一个仅由指数函数组成的Riesz基。该子空间将包含L（[0，T]，C）上第一个Sobolev空间的自然副本。我们将我们的结果公式化为权重函数w:x7的特定选择→ Hw中的eαxforα>0：定理3.13。设λ>0，且fix x>0。然后有一个封闭的子空间Hxwsuch，下面的语句支持它。（1） Hxwhas a Riesz基（gn）n∈那么g（x）=1，x∈ R+和gn（x）=λn√x（1）-eλnx），x∈ R+，n6=1，其中λn=2πinx- λ - α/2.商品市场中无限维远期价格模型的表示20（2）gn=g-n.任何∈ C.（3）有一个连续的线性投影∏x:Hw→ 对于任何g，都是∏xg（x）=g（x）∈ Hw，x∈ [0，x]。（4） 半群（Ut）t下的Hxwis不变量≥0定义为Thm。3.4.（5） 如果（g）*n） n∈Zis是杨[47，第28页]和（Ut）t意义上的相应双正交系统≥0 Thm中定义的半群。3.4，然后是美国*甘油三酯*n=e-λntg*nand g*= g、 证据。设V为引理A.3。引理A.3表示（~gn）n∈Zis是Vwheregn:R的Riesz基+→ C、 x7→√xe（2πinx）-λ） x，n∈ N.定义Hxw:={f∈ Hw:f′√W∈ V}和gn（x）：=Zxgn（y）e-yα/2dy=1- eλnxλn√x、 x∈ R+。ψ：L（R+，C）→ Hw，f 7→x7→Zxf（y）e-yα/2dy是等距嵌入，因此（1）和（2）如下。对于证明的其余部分，让（gn）n∈在Zbe（1）中。设F:={F∈ Hw:f（x）=0，x∈ [0，x]}。

那么F是对Hxwin-Hw的闭向量空间的补充。因此有一个连续的线性投影∏：Hw→ Hxww与内核F。让∈ Hw，x∈ [0，x]。然后g-πg是∏的核心。因此g- πg∈ 这意味着（3）。让我们≥0是Thm中定义的移位半群。3.4. n n n=e-λntgn+gn（t）g∈ Hxw，显示（4）。由于gis赋范且与（gn）n6=0正交，我们得到了g*= g、 杨[47，定理1.8]暗示（g*n） n∈Zis也是一个Riesz基础。设n6=0。那我们就有你了*甘油三酯*n=Xk∈朱*甘油三酯*n、 gkig*k=Xk∈Zhg*n、 乌特吉格*k=Xk∈Zhg*n、 e-λktgk+gk（t）gig*k=e-λntg*n、 因此，证据是完整的。鉴于Thm。3.13 HW上的任何随机过程X都可以被Hxw上的随机过程模拟，即Y（t，X）=X（t，X）对于任何X∈ [0，x]。如果我们假设远期价格过程f（t）在Hxw空间中演化，那么它可以用一系列的Ornstein-Uhlenbeck过程来表示。商品市场中无限维远期价格模型的表示定理213.14。设x>0，Hxwbe如定理3.13所示。假设f（t）是Hxw值。然后是序列（Mn）n∈Nof复值平方可积鞅，使得f（t）=S（t）+2∞Xn=1Re中兴通讯(s)-t） λn{hg*n、 β（s）ids+dMn（s）}, T∈ R+。其中和几乎肯定在Hwand（gn）n收敛∈Zis是inThm提供的Riesz基础。3.13.此外，如果ψ是确定性的，那么mn是一个具有独立增量的过程。如果ψ是确定不变的，那么mn是一个Lévy过程。如果ψ是确定性的，L是布朗运动，那么（Mn）n≥1是一系列高斯过程。证据让（g）*n） n∈Zbe与（gn）n有关的双正交系统∈Z.我们定义Mn（t）：=hg*n、 任意n的RtψsdL（s）i∈ Z.观察Mn，n≥ 1具有定理末尾所述的性质。我们有f（t）=Xn∈Zgnhf（t），g*ni=hf（t），g*i+Xn∈Z、 n6=0gnZthg*n、 Ut-sβ（s）dsi+gnZthg*n、 Ut-sψ（s）dL（s）i无论如何∈ R+。作为g*= 1.我们发现hf（t），g*i=S（t）。

此外，我们还拥有ZTHG*n、 Ut-sψ（s）dL（s）i=ZthU*T-sg*n、 ψ（s）dL（s）i=Zte（s）-t） λnhg*n、 ψ（s）dL（s）i=Zte（s）-t） λndMn（s）。这里我们应用了Thm。3.13，第二等式第（5）部分。同样，对于漂移部分βwecalculate，Zthg*n、 Ut-sβ（s）dsi=ZthU*T-sg*n、 β（s）dsi=Zte（s-t） λnhg*n、 β（s）dsi=Zte（s-t） λnhg*n、 任意n的β（s）ids∈ Z、 n6=0，t∈ R+。最后，观察gnRte-t） λndMn（s）是g的复合共轭物-nRte（s）-t） λ-ndM-n（s），因此它们的和等于2regnRte（s）-t） λndMn（s）.商品市场中无限维远期价格模型的表示22该定理告诉我们，远期曲线确实可以表示为一系列有限的（复值）Ornstein-Uhlenbeck过程。我们必须将注意力限制在空间Hxw上，然而，正如我们从上面看到的，hww中的任何元素都可以投影到Hxw上，两条曲线在[0，x]上重合。我们可以将xas视为市场利益到期的最大期限。例如，在电力市场中，合同的交货期通常长达4年（北欧市场NordPool或德国EEX市场就是这种情况）。人们可以在Hw中建模正向曲线，将其投影到Hxw，然后获得Ornstein-Uhlenbeck过程的表示。有关交货时间，即x≤ x、 我们将得到表示与f（t）的动力学一致。在外部，对于x>x，我们不知道这是否适用于Hw中的曲线。让我们对特定权重函数w做一个最后的评论。当w不是一个指数函数时，情况非常微妙，需要对上述分析进行广泛的推广。因为我们不想太偏离我们的主题，所以我们决定不在这里包括更一般的案例。3.4. 阶乘模型和协方差表示。

正如我们从Peszat和Zabczyk[41]中回忆的那样，基于协方差算子Q的谱分解，L可以写成正交和不相关的实值Lévy过程之和。这种分解可以用级数表示来表示前向动力学f（t）。然而，在许多实际应用中，很难明确地找到Q的谱分解。此外，出于建模目的，有时更方便的方法是指定驱动噪声推动前向曲线的方向。例如，可以指定协方差Byqg=kXn=1hgn，gignwhere g，GK是Hw中的一组有限函数。在经验背景下，人们可以将这些函数视为观测方向的因子载荷。请注意，用有限函数集{gn}kn=1表示Q，可以将噪声L视为k维Lévy过程。这可以概括为有限和，只要附加条件为∈Nkgnkw<∞这一部分主要关注这种分解，并总结了我们在这方面的主要结果。备注3.15。让（Ln）n∈一、 我 N是方差为1且（yn）N的不相关均零平方可积Lévy过程族∈Hilbert空间中的一个家庭∈I | yn |<∞.ThenNXj=1Ln（t）yn，t∈ R+在L中收敛(Ohm, H） 对于某些H值均值为零的平方可积Lévy过程，协方差qx=Xn∈伊恩，谢恩，x∈ H.商品市场中无限维远期价格模型的表示23如果序列是随机独立的，那么Peszat和Zabczyk[41，推论3.12]认为收敛性是P-a.s.虽然我们在特定的Hilbert空间Hw中工作，但下面的结果支持广义Hilbert空间H，我们在这种情况下对此进行了表述：定理3.16。

设L是协方差为Q且m:=EL（1）的平方可积Lévy过程。让我们∈I=N或let（yn）N的H的Riesz基∈Ibe是H中一个有限的线性独立元素集。假设L的协方差Q由qx=Xn给出∈Ihx，yniynx∈ H、 （12）其中∈Ikynk<∞. （13） 然后是一个家庭∈Iof不相关、均零、平方可积和R值的Lévy过程，ELn（1）=1，因此oLn适用于L对任何n生成的过滤∈ N、 oL（t）=tm+Pn∈NLn（t）yn，其中和在L中收敛(Ohm, H） 在t个相互影响的时间间隔内保持一致。特别是，如果W=L是一个维纳过程，那么Wn:=Ln定义了一系列独立的标准布朗运动，W（t）=Pn∈NWn（t）yn，其中对于任何t收敛为P-a.s∈ R+。证据我们可以假设m=0，因为我们可以用el（t）：=L（t）- tm取而代之。对任何人来说∈ 我让zn∈ 对于任意k，hzn，yki=1{n6=k}∈ I.定义（t）：=hzn，L（t）I，t∈ R+设∏是（yn）n生成的闭子空间上的正交投影∈I.我们有∏（L（t））=Xn∈ILn（t）对于任何t∈ R+。此外，对于任意n，k，我们有（Ln（t）Lk（t））=thQzn，zki=thyn，zki=t1{n=k}∈ 因此（Ln）n∈Iis是一类不相关、均零、平方可积的andR值Lévy过程，ELn（1）=1。此外，观察Q∏=Q，因此我们有∏（L（t））- L（t），xi=tkQ（πx）- x） 对于任意x，k=0∈ H商品市场中无限维远期价格模型的表示24在第3.4节的剩余部分中，我们假设以下假设：ψ（t）=σ（t）t（14），其中σ是一些R值、局部有界和自适应的随机过程，t是从U到Hw的线性算子。然后T QT*是一个正半限定迹类算子。因此，T QT*具有唯一的正半限定根C，这是一个Hilbert-Schmidt算子。

请注意，ψ的这种规定是一种简单的方法，可以将季节性和随机波动性纳入正向曲线演化，而T将我们的Lévy过程嵌入到曲线空间Hw中。例如，Barndorff Nielsen等人[5]和Benth[8]分别找到了电力和天然气现货价格随机波动的证据。Benth和Koekebakker[12]、Andresen等人[1]和Frestad等人[28]从经验角度讨论了远期价格波动的季节性，他们的结果也可能表明存在随机波动。我们有f（t）的下列级数表示：定理3.17。让（gn）n∈硬件的Ibe元素，满足以下任一条件： N是有限的，（gn）N∈Iis线性独立，或oI=N和（gn）N∈HwwithPn闭子空间的一个Riesz基∈Ikgnkw<∞.此外，假设（T QT*)g=Pn∈我知道，吉格∈ 嗯。然后有一个平均零R值不相关Lévy过程（Ln）n族∈i的E（Ln（1））=1，使得f（t）=Utf+ZtUt-sβ（s）ds+Xn∈IZtσ（s）Ut-sgndLn（s）适用于任何t≥ 0，其中和在L中收敛(Ohm, Hw）。此外，如果∈ 多姆(x） 对任何人来说∈ 一、 thenf（t）=Utf+ZtUt-sβ（s）ds+Xn∈我中兴通讯（美国）-rg′n）σ（r）dLn（r）ds+gnZtσ（s）dLn（s）无论如何∈ R+，其中和在L中收敛(Ohm, Hw）。此外，在附加假设下，我们有s（t）=f（t）+Ztδt-sβ（s）ds+Xn∈IZtgn（t- s） σ（s）dLn（s）=f（t）+ZtUt-sβ（s）ds+Xn∈我ZtZsg′n（s- r） σ（r）dLn（r）ds+gn（0）Ztσ（s）dLn（s）无论如何∈ R+。商品市场中无限维远期价格模型的表示。