商品期货价格无限维模型的表示

鉴于命题3.7，有一个随机cádlág过程f，它是Hw值随机微分方程df（t）=xf（t）dt+ψ（f（t））dW（t），其中f（0）=f∈ Hw，即f（t）=Utf+ZtUt-sψ（t，f（s））dW（s），t∈ R+。设BTbe如例3.10所示，G（t，t）：=G（t，t）- t） 为了0≤ T≤ T<∞, 然后我们有F（t，t）=F（0，t）+ZtF（s，t）G（s，t）dBT（s），orF（t，t）=F（0，t）E（AT（t）），其中E（AT（t））是过程的随机指数AT（t）：=ZtG（s，t）dBT（s）。特别地，S（t）=f（t）+ZtF（S，t）G（S，t）dBt（S），t∈ R+。在这个例子中，远期的动态仅仅由一个随机指数给出，而现货价格过程遵循一个相当复杂的动态。ATis是一个具有独立增量的高斯过程。对于特定选择，G（t，t）=exp(-δ（T）- s） ）σ（T），0≤ T≤ T<∞, δ>0我们恢复了Audet等人[3]中使用的正向动力学。这里，δ用于模拟萨默森效应，时间非均匀函数σ涵盖了扩散中可能的季节性效应。我们以空间Hw的结构结果结束。提案4.18。假设k:=R∞w（x）dx<∞. 设kkk:=kkfkwforf∈ HWHERK=√5+4k。（Hw，k·k）是一个与逐点乘法有关的可分Banach代数。商品市场中无限维远期价格模型的表示。让f，g∈ 嗯。定理4.17 yieldskfgk=kkMfgkw≤ KKFKKKW=KKKKKKK。HW的Banach代数性质大大简化了前面提到的技术引理的证明（见引理3.3）：我们展示了关于平方函数Lipschitz连续性的以下推论：推论4.19。假设∞w（x）dx<∞. 然后呢- gkw≤ 3小时∞kwkg+gkwkg- GKWF对于任何g，g∈ 嗯。证据定义f+：=g+g和f-:= G- g、 然后推论4.18 yieldskg- gkw=kf+f-千瓦≤√1+4KF+KKF-千瓦。附录A。

一些技术成果我们介绍了本文正文中使用的一些技术成果和注意事项。这些结果大部分是已知的，但为了方便读者，这里收集了这些结果。A.1。里兹基地。让λ∈ C、 T>0，gλ（x）：=e-任意x的λxf∈ [0，T）和mλ：L（[0，T），C）→ L（[0，T），C），f7→ fgλ。（21）那么Mλ是可逆线性算子，kfkmin{1，e-T Re（λ）}≤ kMλfk≤ kfkmax{1，e-T Re（λ）}。引理A.1。设λ，T>0，切：R→ [0，T），x7→ 十、- max{tz:z∈ Z:TZ≤ x} andA:L（[0，T），C）→ L（R+，C），f 7→x7→ E-λxf（割（x））.那么A是一个有界线性算子，其范围在L（R+，C）中是封闭的。此外，e-2Tλ1- E-2Tλkfk≤ 卡夫克≤1.- E-2TλkF适用于任何f∈ 商品市场中无限维远期价格模型的表示证明A显然是线性的∈ L（[0，T），C）。然后是卡夫克=∞Xn=0ZnT+TnTe-2λx | f |（截（x））dx=∞Xn=0ZTe-2λx-2λtn | f |（x）dx=∞Xn=0e-2λT nkMλfkm，其中Mλ在（21）中定义。MλyieldskAfk的范数估计≤∞Xn=0e-2λT nkfk=1- E-2Tλkfk因此A以q1为界-E-2Tλ。此外，本节开头的计算也暗示了卡夫克≥∞Xn=0e-2λT（n+1）kfk=e-2λT1- E-2λTkfk。因此A是其范围上的同构。因此，A的范围是封闭的。定义A.2。让T>0。约束算子是byRT:L（R+，C）给出的连续线性投影→ L（[0，T），C），f7→ f |[0，T）.引理A.3.设λ，x>0，定义gn:R+→ C、 x7→√xe（2πinx）-λ） 设V是由（gn）n生成的L（R+，C）的闭子空间∈Z.那么以下陈述成立。（1） （gn）n∈Zis是V的Riesz基，（2）线性算子B:V→ L（[0，x]，C），f7→ f |[0，x]是可逆连续的。证据（1） 对任何人来说∈ Z定义：[0，x]→ C、 x7→√xe2πinxx。然后（恩）n∈Zi是L（[0，x]，C）的正交基。让A定义为Lemma。1.那么对于任何n，gn=aen∈ Z

因此，由（gn）n生成的闭子空间∈Z是A的范围。引理A.1和Young[47，定理1.9]中所述的A的性质意味着（gn）n∈Zis是V的Riesz基。（2） 定义B-:= A.o M-λ其中M-λ在（21）中定义。那么B是连续的，线性的，作为从L（[0，x]，C）到V的算子是可逆的。它的逆B也是可逆连续线性算子，对于n∈ N我们有Bgn=Mλen=gn |[0，x]。商品市场中无限维远期价格模型的表示47A。2.随机积分的性质。提议A.4。设U为Hilbert空间，T∈ R+，MT是U值平方可积鞅的集合，其a.s.cádlág路径定义在时间间隔[0，T]上，MT的子集合包含所有a.s.连续平方可积鞅。乐视·kT:MT→ R、 男7→ kMkT:=pE（M（T））。然后MT，cis是前Hilbert空间（MT，k·kT）的闭子集。此外，k·k相当于标准k·k*T:MT→ R、 男7→ kMkT:=pE（sup{M（t））：t∈ [0，T]}）。让M，N∈ 然后是公里- NkT=0当且仅当存在空集N Ohm 所有ω的n（ω，·）=M（ω，·）∈ Ohm\\N.证据。见Prév^ot和R"ockner[42，第2章]。作为命题a.4的一个简单推论，我们有一个众所周知的循环式a.5。设M是一个平方可积鞅，在Hilbert空间U，H是Hilbert空间，ψ中有a.s.cádlág路径和值∈ LM（H）。然后x（t）：=Ztψ（s）dM（s）定义了一个具有a.s.cádlág路径的平方可积鞅。如果M有a.s.连续路径，那么X有a.s.连续路径。提案A.6。设M是一个平方可积鞅，在Hilbert空间U，F，H中有a.s.cádlág路径和值∈ LM（F），I（t）：=Rtψ（s）dM（s），t∈ R+和Γ∈ 李（H）。那么Φ（t）：=Γ（t）ψ（t），t∈ R+是LM（H）和ZtΦ（s）dM（s）=ZtΓ（s）dI（s）的一个元素。证据

我们概述了Prév^ot和R"ockner[42，第2章]的证明：首先假设Γ和ψ是简单的。那么Φ是简单的，等式来自初等计算。一般的Γ和ψ可以用简单的被积函数来近似(Ohm, H） -等待。商品市场中无限维远期价格模型的表示参考文献[1]Andresen，A.，Koekebakker，S.和Westgaard，S.（2010）。使用多元正态逆高斯分布建模电力远期价格。J.能源市场。3(3).[2] 阿维森，W.（2002）。光谱理论短期课程，纽约斯普林格。[3] Audet，A.，Heiskanen，P.，Keppo J.和Vehvil"ainen A.（2004年）。北欧市场电力远期曲线动态建模。在竞争性电力市场的价格建模中。，威利父子公司第251-265页[4]巴恩多夫·尼尔森，O.E.（1998）。正态逆高斯型过程。金融与斯托克。，2（1），第41-68页。[5] Barndorff Nielsen，O.E.，Benth，F.E.，和Veraart，A.（2013）。通过波动性调节的Lévy驱动的Volterra过程模拟能源现货价格。伯努利，19（3），第803-845页。[6] Barndorff Nielsen，O.E.和Schmiegel，J.（2004）。基于Lévy的节奏空间建模；应用于城市。Uspekhi Mat。诺克，59，第65-91页。[7] Barth，A.和Benth，F.E.（2010）。能源市场的正向动态——有限维建模和模拟。随机出现。[8] Benth，F.E.（2011）。商品市场中Barndorff Nielsen和Shephard的随机波动模型。数学《金融》，21，第595-625页。[9] Benth，F.E.，Saltyt˙E Benth和Koekebakker，S.（2008）。《电力和相关市场的随机建模》，世界科学院，新加坡。[10] 本思，F.E.和什阿尔蒂特˙E本思。(2013).

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