商品期货价格无限维模型的表示

设W是一个平均零布朗运动，其值在可分Hilbert空间U中相对于某些过滤（Ft）t∈R+，H是另一个可分Hilbert空间，ψ∈ LL（G，H）一个可测量的，Θ是一个非零的从属项，具有有限的时刻，使得Θ（t）是每个t的停止时间∈ R+。让（Gt）t∈R+是Gt:=FΘ（t）给出的时变过滤，以及商品市场中无限维远期价格模型的表示7L（t）：=W（Θ（t）），t∈ R+。然后L是一个U值平方可积Lévy过程，存在不等嵌入Γ：LL（G，H）→ LW（F，H）使得ztψ（s）dL（s）=ZΘ（t）Γ（ψ）（s）dW（s）P-a.s.，（3）其中左随机积分与过滤（Gt）t有关∈R+，正确的随机积分与过滤（Ft）t有关∈R+。证据Θ是过滤（Ft）的时间变化∈定义为R+。Benth和Krühner[13，定理4.7]得出，L本身就是一个Lévy过程，但其增量与时间变化的过滤无关，因此它是相对于过滤（Gt）的Lévy过程∈R+。为了建立等距嵌入Γ，使用初等被积函数是足够的。让ψ∈ LL（G，H）是初等的，即有n∈ N、 0≤ aj≤ bj<∞, Gaj可测平方可积随机变量Yjand~nj∈ L（U，H）使得ψ=nXj=1Yj]aj，bj]Θj。定义ψΘ：=Pnj=1Yj]Θ（aj），Θ（bj）]Θj。观察到ψ不依赖于ψ的表示。

我们有Θ∈ LW（F，H）和ztψ（s）dL（s）=nXj=1Yj~nj（L（t）∧ （北京）- L（t）∧ aj））=nXj=1YjΘj（W（t）∧ Θ（bj））- W（Θ（t）∧ Θ（aj））=ZΘ（t）ψ（s）dW（s）。此外，我们有∞E（hQLψ（s），ψ（s）i）dhL，Li（s）=EZ∞ψ（s）dL（s）!= E画→∞ZΘ（n）ψΘ（s）dW（s）！= EZ∞ψΘ（s）dW（s）!=Z∞商品市场中无限维远期价格模型的E（hQWψΘ（s），ψΘ（s）dhW，wi（s）表示，其中ql表示L的鞅协方差，QWdenotes表示W的鞅协方差。从构造中我们可以看出，方程（3）适用于初等被积函数，并通过密度参数适用于所有被积函数。通过利用这个引理，我们可以导出有限维随机积分的泛函与有限维随机积分之间的联系。定理2.5。让n∈ N和H，U是可分的Hilbert空间。设L是一个具有鞅协方差Q的非零、平方可积均值为零的U值从属布朗运动∈L+。假设dim跑了（Q）≥ n、 让ψ∈ LL（H），T∈ L（H，Rn）和definex（t）：=tZtψ（s）dL（s）.然后有一个n维平方可积平均零Lévy过程n，使得x（t）=Ztσ（s）dN（s），其中σ（s）：=（tψ（s）Qψ（s）*T*)1/2∈ LN（Rn）。如果σ（s）在Rn×nNλ中是可逆的P-almostany s∈ R、 然后σ-1.∈ LX（Rn）和n（t）=Zt（σ（s））-1dX（s）。证据首先我们假设ψ是初等的，即有n∈ N、 0≤ aj≤ bj<∞, faj可测平方可积随机变量Yjand~nj∈ L（U，H）使得ψ=nXj=1Yj]aj，bj]~nj。通过定义L，我们得到了U值维纳过程W的L（t）=W（Θ（t）），该过程W具有鞅协方差QWand和一个从属函数。设Γ为引理2.4中给出的等距嵌入。请注意，Γ（Tψ）=TΓ（ψ），因为如果ψ是初等的，这一点成立。

Peszat和Zabczyk[41，定理8.7（v）]，引理2.4和定理2.1 yieldTZtψ（s）dL（s）=商品市场中无限维远期价格模型的ZtTψ（s）dL（s）=ZΘ（t）Γ（tψ）（s）dW（s）=ZΘ（t）tΓ（s）dW（s）=ZΘ（t）σ（s）dB（s）表示，其中B是Rnandσ（t）上的标准布朗运动=TΓ（ψ）（T）QWΓ（ψ）*（t） t*1/2.= ΓTψQWψ*T*1/2（t） 再次应用引理2.4Ztψ（s）dL（s）=Ztσ（s）dN（s），其中N（t）：=B（Θ（t）），t∈ R+和σ（t）=Tψ（T）QWψ（T）*T*1/2.Sato[44，定理30.1]暗示N是一个具有期望性质的N维Lévy过程。观察qll和QWcoincide的鞅协方差。一般情况可以用密度参数来推导。我们考虑一个例子：设Θ是一个逆高斯从属函数，即一个具有递增路径的Lévy过程，其中Θ（1）是逆高斯分布的。然后，L（t）=W（Θ（t））是Benthand Krühner[13，定义4.1]意义上的希尔伯特空间值正态逆高斯（HNIG）Lévy过程。上述定理中的Lévy过程N变成了一个无变量正态逆高斯（MNIG）Lévy过程（见Rydberg[43]）。特别是，在n=1的情况下，这是一个普通的NIG Lévy过程（见Barndorff Nielsen[4]）。NIG Lévy过程经常用于模拟各种金融市场的资产价格，包括商品（见B"orger等人[16]）和电力（Andresen，Koekebakker和Westgaard[1]，Benth，Frestad，Koekebakker[28]）。HNIG Lévy过程与功率前向曲线动力学建模相关。在这些一般性考虑之后，我们现在将重点讨论远期价格的动态以及本文剩余部分中的各种表示。3.远期曲线建模和表示我们有兴趣研究远期价格F（t，t），0的动态≤ T≤ T，指在T>0时交付商品的合同。

我们将主要关注F在Musiela参数化方面更方便的表示，其中我们让F（t，t）=F（t，t）- t） ，对于函数f（t，x），x≥ 0表示交付时间为x的合同在t时的远期价格。我们将f解释为一个随机过程，其值在R+上的函数空间中。更具体地说，我们考虑菲利波维奇[26，第5章]引入的希尔伯特空间。这些希尔伯特空间适用于在Musiela参数化中对远期利率曲线进行建模，参见例如Filipovi\'c、Teichman和Tappe[27]。由于远期价格的建模在理念上与固定收入市场中的远期利率相似，我们采用了以下空间进行分析。商品市场中无限维远期价格模型的表示103.1。关于Hw的一些初步结果。让我们先介绍和回顾一下空间的一些基本事实，然后再将注意力转向前向曲线及其动力学。我们注意到，关于HW的以下结果基本上可以在菲利波维奇[26，第4、5章]中找到。然而，有些结果是轻微的修改，增加了证据。设AC（R+，R）是函数g:R的集合+→ R是绝对连续的。对于函数w:R+→ [1, ∞) 连续、递增且w（0）=1，定义：=G∈ AC（R+，R）：Z∞w（x）g′（x）dx<∞.我们引入内积hg，hi:=g（0）h（0）+R∞w（x）g′（x）h′（x）dx和相应的范数kgkw:=phg，gi对于任何g，h∈ 嗯。请注意，以下所有结果也表明，ifAC（R+，R）被AC（R+，C）取代，但这没有财务意义。我们观察到，点评估δx:Hw→ R代表任何x∈ R、 其中δx（g）=g（x），是Hw上的连续线性泛函。它的对偶算子可以明确地刻画，如下面的引理所示：引理3.1。

为了x∈ R、 定义：R+→ R、 y 7→ 1+Zy∧当δxis的对偶算子由δ给出时*x:R→ Hw，C7→ chx及其算子范数由kδxkop=hx（x）给出。证据第一种说法是菲利波维奇[26，引理5.3.1]的特例。接下来，由于算子范数与hxwe的范数重合，因此得到kδxkop=hx（0）hx（0）+Z∞w（y）（h′x（y））dy=1+Zxw（y）dy=hx（x）。因此，引理如下。在附加假设下∞w（x）dx<∞HW中的函数具有连续的完整性，而“完整性点评估”对应于使用函数H的标量积∞: R+→ R、 x7→ 1+Zxw（s）ds。（4） 下面的引理总结了这些事实。商品市场中无限维远期价格模型的表示11引理3.2。假设∞w（x）dx<∞. 森克∞:= 好的∈R+| g（x）|≤ ckgkw。式中c:=q1+R∞w（x）dx。此外，h∞∈ Hwandlimx→∞g（x）=hh∞, 大兵。对于任何g∈ Hwand h∞定义见第（4）条。证据我们有∞千瓦=1+Z∞w（x）dx=c，因此为h∞∈ 嗯。通过引理3.1中给出的hx，我们可以看到thatkh∞- hxkw=Z∞xw（y）dy→ 0，x→ ∞.因此hx→ H∞在Hwfor x中→ ∞. 因此引理3.1意味着limx→∞g（x）=limx→∞hhx，gi=hh∞, 大兵。特别地，g是有界的。让x∈ R+。引理3.1产生| g（x）|≤ KHXKWKKW=hx（x）KKKW≤ ckgkw，也就是KKK∞≤ ckgkw。下面的技术引理稍后需要用到。证明了平方函数在有界集上是Lipschitz连续的。引理3.3。假设k:=R∞w（x）dx<∞. 然后呢- gkw≤√5+4kkg+gkwkg- GKWF对于任何g，g∈ 嗯。特别是，（·）：Hw→ Hw，G7→ Hw有界子集上的gis-Lipschitz连续。显然，第二部分来自第一部分。由于第一部分的直接证明是非常技术性的，因此我们将其委托给下面的推论4.19，其中Lipschitz连续性很容易从Hw的Banach代数结构中得到，相对于逐点乘法（参见。

4.18).在定义f的动态时，远期价格，相对于x的微分算子，x、 自然发生。对于Hw上的这个算子，我们有以下方便的结果：定理3.4。我们有x:{g∈ Hw:g′∈ Hw}→ Hw，G7→ g′是商品市场中任意t，x的无限维远期价格模型的utg（x）=g（t+x）表示给出的强连续半群的生成元∈ R+，g∈ 嗯。证据见菲利波维奇[26，定理5.1.1，备注5.1.1]。移动框架法尤其适用于强连续半群的拟压缩生成元，参见Tappe[46]。引理3.5。生成的半群xis是准收缩的，即存在一个常数β>0，这样kutkop≤ 任何t>0的etβ。证据让g∈ Hw，使kgkw≤ 1和t∈ [0, 1]. ThenkUtgkw=g（t）+Z∞（g′（t+y））w（y）dy≤ g（0）+2g（0）Ztg′（y）dy+Ztg′（y）dy+Z∞t（g′（y））w（y）dy≤ g（0）+2kgkw | hg，ht- 嗨|+tZt（g′（y））dy+Z∞t（g′（y））w（y）dy≤ g（0）+2KKWKHT- hkw+Z∞（g′（y））w（y）dy=kgkw（1+2kht）- hkw）其中HTA定义为引理3.1。上面我们用Schwarz不等式表示第二个不等式，用Cauchy-Schwarz不等式表示第三个不等式。因此我们有库特科普≤p1+2kht- hkw≤ 1+t≤ exp（t），它显示了t的断言不等式∈ [0, 1]. t>1的不等式随后是迭代。有了空间Hwat的这些结果，我们现在准备开始分析正向动力学。3.2. 一般正向曲线动力学。我们考虑一个形式为df（t）=(xf（t）+β（t））dt+ψ（t）dL（t），t≥ 0（5）在其温和公式f（t）=Utf+ZtUt的意义上-sβ（s）ds+ZtUt-sψ（s）dL（s），t≥ 0（6）对Musiela参数化中规定的远期价格动态进行建模。在这里≥0表示由x、 比照。

引理3.5，我们假设L是一个平方可积的平均零Lévy过程，其值在某个希尔伯特空间U和Q的协变算子中。此外，我们用f（0）=f表示初始条件，其中f∈ 嗯。远期动态的“波动性”为ψ∈ LL（Hw），我们有可积漂移β：R+×Ohm → 嗯。对于空间Hw，我们假设k:=R∞w（s）ds<∞.商品市场中无限维远期价格模型的表示13备注3.6。如果（b，C，F）是L相对于某截断函数χ的特征，则L（1）的平均值m和协方差算子Q由qx=Cx+ZUyhx，yiF（dy）和m=b+zuy（y）给出- 对于任意x，χ（y））F（dy∈ U、 参考文献[41，定义4.45]，角度括号由hL给出，Lit=tTr（Q）参考文献[41，第35页]，运算符角度括号由hhL给出，Liit=tQ参考文献[41，定理8.2]，因此可压缩协方差由Q/Tr（Q）参考文献[41，定义8.3]。建立一个类似（5）的方程的自然方法是考虑随机偏微分方程，即假设β（t）=A（t，f（t）），ψ（t）=ψ（t，f（t））对于一些合适的函数A，ψ。下面的陈述是关于（5）的温和解的存在性和唯一性，这是本文在β和ψ的状态依赖性规范下所需要的。提案3.7。设a:R+×Hw→ Hw，ψ：R+×Hw→ L（U，Hw）使得有一个递增函数K:R+→ R+使以下Lipschitz条件成立。ka（t，g）- a（t，h）千瓦≤ K（t）kg- hkw，g，h∈ Hw，t∈ R+，ka（t，g）千瓦≤ K（t）（1+kgkw），t∈, G∈ Hw，R+kψ（t，g）- ψ（t，h）kop≤ K（t）kg- hkw，g，h∈ Hw，t∈ R+，kψ（t，g）kop≤ K（t）（1+kgkw），g∈ Hw，t∈ R+，设f∈ 嗯。然后有一个唯一的适应Hw值cádlág随机过程f满足f（t）：=Utf+ZUT-sa（s，f（s））ds+ZUT-sψ（s，f（s））dL（s），t≥ 0，为温和溶液todf（t）=(xf（t）+a（t，f（t）））dt+ψ（t，f（t））dL（t），t≥ 0.证明。引理3.5指出UTI是准收缩的。

因此，塔普[46，定理4.5]得出了这个定理。我们注意到，上面列出的Lipschitz和生长条件比Tappe[46，定理4.5]中所述的条件强得多，但我们仅为简单起见将注意力限制在此类系数a和ψ上。在本文的其余部分中，我们不假设命题3.7中的任何β和ψ的函数表示，而是不时地应用f的表示（6）。我们参考Peszat和Zabczyk[41]对随机偏微分方程的mildsolutions进行定义和进一步分析。在我们开始讨论主要话题之前，让我们先讨论物理和风险中性模型的观点。为简单起见，假设SPDE（5）由维纳过程W驱动，即df（t）=(xf（t）+β（t））dt+ψ（t）dW（t），t≥ 商品市场中无限维远期价格模型的表示14资产定价的基本定理表明，存在一个等价的σ-鞅测度~ P，参见Delbaen和Schachermayer[22，主要定理1.1]，适用于任何包含大量证券的市场。为了避免进一步的复杂化，我们只假设鞅测度Q的存在~ P然后Carmona和Tehranchi[19，定理4.2]得出Q-动力学off由df（t）给出(xf（t）+（β（t）- Q1/2ψ（t）））dt+ψ（t）dW（t），t≥ 0对于某些Hw值可预测随机过程ψ，其中Q是W的鞅协方差。然而，交货期参数化中的远期F（t，t）必须是鞅测度Q下的鞅，因此下面的定理3.9产生β（t）=Q1/2ψ（t），t≥ 0 .我们得出结论，无套利范式意味着漂移项β必须保持在Q1/2的范围内。当然，如果驱动噪声不是维纳过程，那么分析就会变得更加复杂，我们已经在有限维情况下看到了这一点，cf。

Jacod和Shiryaev[35，定理III.3.24]。如果我们想直接在风险中性度量下建模，那么我们可以而且必须将β=0。注意，我们通过应用f上的评估图δ来恢复现货价格动态S（t）（参见命题3.1）：S（t）：=δ（f（t）），（7）在L是U中的从属布朗运动的情况下，我们从远期价格f（t）得到隐含现货价格动态的以下结果：定理3.8。如果L是从属布朗运动，即L（t）=W（Θ（t）），t≥ 对于某个值布朗运动W和某个从属函数Θ，则s（t）=f（t）+Ztβ（s）（t- s） 对于任何t，ds+Ztσ（t，s）dN（s）（8）∈ R+式中N（t）=B（Θ（t）），t≥ 0和B是R值布朗运动和σ（t，s）=hψ（s）Qψ的常数倍*（s） ht-s、 ht-s，t的si（9）∈ R+。证据注意，如果B是R值布朗运动，则φ∈ LL（R）是一个算子值的可预测过程，那么Peszat和Zabczyk[41]中定义的积分可以表示为Jacod和Shiryaev[35]中的astochastic积分，由Zt~n（s）dB（s）=Zt~n（s）（1）dB（s）和我们的It^o等距表示Ztа（s）dB（s）=ZtETr（~n（s）~n（s）*)ds=ZtE(五)(一)ds。商品市场中无限维远期价格模型的表示15（7）中S的定义和（6）中f的表示收益率（t）=δ（f（t））=f（t）+Ztβ（S）（t- s） ds+Ztδt-任意t的sψ（s）dL（s）∈ R+。因此，应用Thm。2.5和引理3.1我们发现（t）=f（t）+Ztβ（s）（t- s） 任何t的ds+Ztσ（t，s）dN（s）∈ R+。这里，N是与L相同类型的R值从属布朗运动，σ（t，s）=δt-sψ（s）Qψ*（s） δ*T-s=hδt-sψ（s）Qψ*（s） ht-s、 1i=hψ（s）Qψ*（s） ht-s、 ht-筛选任何s，t∈ R+。让我们暂时假设Thm中的β=0。3.8。在ψ是确定性的情况下，σ（t，s）也将成为确定性的。因此，现货价格动态将是一个Volterra过程。

另外，如果ψ是常数，那么σ（t，s）=hψQψ*ht-s、 ht-si=：γ（t）- s） 。但S将是一个所谓的Lévy平稳过程。Lévy平稳过程的一个推广就是所谓的Lévy半平稳（LSS）过程。通过选择某个线性算子T的ψ（s）=eσ（s）T∈ L（U，Hw）和一个可预测的R值随机eσ，然后是Thm中的S。3.8构成LSS流程。实际上，在这种情况下，波动率是σ（t，s）=eσ（s）hT QT*ht-s、 ht-硅。这些过程已被应用于能源价格的随机动力学建模（见Barndorff-Nielsen等人[5]），以及风速和温度（见Benth和Saltyt˙e Benth[10]）和湍流（见Barndorff-Nielsen和Schmiegel[6]）等其他随机现象。我们可以根据这些不同的特殊类别的点模型讨论漂移β的类似规定。我们对远期价格T7的动态变化的类似结果感兴趣→ F（t，t），t≤ 对于在时间T交付的合同。显然，F（t，t）：=δt-tf（t），（10）代表t≥ T≥ 0.定理3.8的证明的自然改编揭示了F（t，t）与现货价格S（t）的类似表示。我们给出了双变量过程T7动力学的这个结果→ （F（t，t），F（t，t））=（δt-tf（t），δt-tf（t）），0≤ T≤ T≤ T<∞. 这不仅为我们提供了单个合同的动态信息，还提供了我们模型中两个不同交货时间的远期合同的关联信息。商品市场中无限维远期价格模型的表示定理3.9。如果L是从属布朗运动，即L（t）=W（Θ（t）），t≥ 对于某个值布朗运动W和某个从属函数Θ，则为0F（t，t）F（t，t）=f（T）f（T）+Ztβ（s）（T）- s） β（s）（T）- （s）任何T的ds+Zt∑（T，T，s）dN（s）≤ T