马尔可夫切换仿射模型中的投资组合优化

因此，最优策略的候选者采用以下形式：‘π（t）=n1- ΔλσP |{z}均值-方差组合+1- ΔρσXσPfxf |{z}t、 X（t），MC（t）(3.5)=1 - ΔσPnγ+ρσxfot、 X（t），MC（t）. （3.6）“π”的第一部分显示出与Black Scholes模型中没有

此外，观察“π”不依赖于财富过程V“π”。在HJB方程（3.2）中插入方程（3.4）和（3.6），可得出以下未知函数f（t，x，ei）和所有（t，x）的简化偏微分方程组∈ [0，T]×DX:ft（T，x，ei）+f（T，x，ei）δnr（ei）+1- Δγ（x，ei）o+fx（t，x，ei）nux（x，ei）+Δ1- ΔρσX（X，ei）γ（X，ei）o+fxx（t，X，ei）σX（X，ei）+fx（t，X，ei）f（t，X，ei）δ1- ΔρσX（X，ei）=-lXj=1qijf（t，x，ej），f（t，x，ei）=1，我∈ E.（3.7）解析求解该系统具有挑战性，方程的耦合使数值过程复杂化。然而，在下一节中，我们将列出一系列特殊模型，通过方便地将依赖关系置于马尔可夫链上，可以得到简单的表达式，这些表达式可以轻松地进行数值计算。请注意，仅找到HJB方程的解不足以显示结果策略的最佳性。需要证明验证定理，以表明所有技术假设确实满足。验证结果也包含在以下内容中。4显式解对于无杠杆（即ρ=0）的情况，我们在一般模型（2.1）中提供了仅在马尔可夫链的概率测度上的一个非常简单的期望的解，该概率测度可以非常有效地计算（见定理4.7）。对于一种特殊情况，我们甚至可以导出一个确定性Riccati方程的显式解（见定理4.8）。对于布朗运动表现出瞬时相关性的情况，导出了相关参数选择的闭式解（见定理4.9）。

此外，在OREM 4.5中，我们陈述了一个非常容易验证的验证结果。在继续这些解决方案之前，我们需要解决辅助模型中的优化问题，其中参数根据确定性阶跃函数进行切换。第4.1.4.1节时间相关的有效模型给出了模型的精确定义和问题的解决方案，以及所需的验证结果。作为中间步骤，我们将从一般时间相关模型（第4.1.1节）的结果开始，然后介绍一个特例，如果验证结果可以以非常方便的方式显示（第4.1.2节）。4.1.1一般时间相关的效率模型考虑以下随机因素模型：dPm（t）=Pm（t）rm（t）dtdPm（t）=Pm（t）hrm（t）+ γXm（t），m（t）σPXm（t），m（t）| {z}=λ（Xm（t），m（t））dt+σPXm（t），m（t）dWP（t）idXm（t）=uX（Xm（t），m（t））dt+σX（Xm（t），m（t））dWX（t）dhWP，WXi（t）=ρdt，（4.1），初始值为Pm（0）=p，Pm（0）=pand Xm（0）=X。注意，r，γ，λ，σp，uX和σX是与模型（2.1）定义中相同的确定性函数，m是一个具有E={E，…，el}中值的非确定性分段常数函数。让我们用M表示所有这些函数的集合。更精确地说，M由以下公式给出：M（t）：=mt∈ [0，t）公吨∈ [t，t）…mKt∈ [tK，T），（4.2）其中tj，j=1，…，K，T:=0<T<T<T<tK≤ T=：tK+1denote m的跳跃次数，K是直到时间T和mj的跳跃次数∈ E、 j=1，K是相应的状态。我们可以将该模型解释为模型（2.1），该模型以马尔可夫链的任意但固定路径为条件。

这就是为什么我们将其称为与模型（2.1）相对应的时间相关模型，或由m诱导的时间相关模型，反之亦然，模型（2.1）是与模型（4.1）相对应的马尔可夫切换模型。与之前一样，PMD表示无风险投资的价格，PMI表示风险资产和Vm的价格过程，π表示与自我融资策略π相对应的财富过程。我们再次考虑幂效用函数U（v）=vΔδ和以下优化问题：J（t，v，x，m）（π）：=EQhUVm，π（T）Vm，π（t）=v，Xm（t）=xiΦm（t，v，x）：=最大π∈其中∧m（t，v）：=nππ（s）∈ R∧ Vm，π（s）≥ 0, s∈ [t，t]∧ EQhUVm，π（T）-Fti<∞o、 在这种情况下，HJB方程的形式如下：maxπ∈R{L（m（t），π）Φm（t，v，x）}=0，Φm（t，v，x）=vΔδ，（4.4），其中微分算子L定义为所有t∈ [0，T]通过：L（m（T），π）Φm（T，v，x）：=Φmt+uv（v，x，m（T），π）Φmv+ux（x，m（T））Φmx+σv（v，x，m（T），π）Φmvv+σx（x，m（T））Φmxx+ρv（v，x，m（T），π）σx（x，m（T））Φmvx。与之前类似，我们使用内部最大值的一阶条件πL（m（t），π）Φm（t，v，x）= 0以获得最佳投资策略的候选：\'\'πm（t）=-λΦmv+ρσXσPΦmvxVm，π（t）σPΦmvvt、 Xm（t），m（t）.（4.5）通过ansatz：Φm（t，v，x）=vΔδfm（t，x），（4.6）我们简化了‘πmto:’πm（t）=1- δnλσP+ρσXσPfmxfmot、 Xm（t），m（t）=1.- ΔσPnγ+ρσxfmxot、 Xm（t），m（t）.（4.7）替换HJB方程（4.4）中的方程（4.6）和（4.7）会导致函数fm在t和x中出现以下偏微分方程：fmt（t，x）+fm（t，x）δnr（m（t））+1- Δγ（x，m（t））o |{z}=:g（x，m（t））+fmx（t，x）nux（x，m（t））+δ1- ΔρσX（X，m（t））γ（X，m（t））o |{z}=：~uX（X，m（t））+fmxx（t，X）σX（X，m（t））+fmx（t，x）fm（t，x）δ1- ΔρσX（X，m（t））=0，fm（t，X）=1。（4.8）请注意，在这种情况下，我们得到的是一个PDE，而不是马尔可夫切换情况下的一个PDE系统。

如【26】中所述，我们应用以下变换来去除非线性项：hm（t，x）：=fm（t，x）θ，因为θ=1-δ1-δ+δρ. 然后hmt应该求解以下偏微分方程：hmt（t，x）+hm（t，x）θg（x，m（t））+hmx（t，x）~ux（x，m（t））+hmxx（t，x）σx（x，m（t））=0，hm（t，x）=1。（4.9）观察ρ=0时θ=1。在某些可积条件下，我们可以应用推论。6从上面获得偏微分方程解的以下概率表示：hm（t，x）=EhexpnZTtθg~Xm（s），m（s）o~Xm（t）=xi=expnZTtθδnr（m（s））+1- ΔΓ（1）（m（s））odsoEhexpnZTtδ1- ΔΓ（2）（m（s））~Xm（s）dsoXm（t）=xi，（4.10），其中，过程动力学为t∈ [0，T]通过以下标准差分方程：dXm（T）=uX~Xm（t），m（t）σX+dt~X（t），m（t）dWX（s）。观察到，当表达式（4.10）中的期望以封闭形式明确已知时，我们不需要检查推论a.6中的假设，因为我们可以插入解并验证它确实是HJB方程的解。在接下来的内容中，我们将描述这个解决方案，直至Riccati ODE。首先回顾一下我们模型的定义，这意味着：△uX（X，e）=u（1）X（e）+δ1- δζ（1）（e）+{u（2）X（e）+δ1- Δζ（2）（e）}x。这种有效结构允许函数hm的有效ansatz。更准确地说，我们假设：hm（t，x）=expnZTtθΔnr（m（s））+1- ΔΓ（1）（m（s））odsoexp{Am（t）+Bm（t）x}。将此ansatz插入方程（4.9），并将X和X前面的系数与Amand Bm的以下两个ODE相等：Bmt（t）+∑（2）Xm（t）Bm（t）+δ1 - δζ(2)m（t）+ u（2）Xm（t）Bm（t）+δ1- δΓ(2)m（t）= 0，Bm（T）=0（4.11）Amt（T）+∑（1）Xm（t）Bm（t）+δ1 - δζ(1)m（t）+ u（1）Xm（t）Bm（t）=0，Am（t）=0。

（4.12）为了得到HJB方程的解，我们只需要解Riccati方程（4.11）并在方程（4.12）中进行积分：Am（t）=ZTt∑（1）X男(s)小巴（s）+δ1 - δζ(1)男(s)+ u（1）X男(s)Bm（s）ds。观察这些方程中的参数随时间变化，但分段恒定。因此，我们正在寻找和Bm的连续、分段、连续可微的解决方案。如果我们知道常数参数和非齐次终端条件的解，则可以使用包含无数步骤的递归求解方法。命题5.1给出了方程（4.11）的可解性及其解的概率表示。并在第5节的引理5.1中进行了总结，在第5节中，我们应用它来逐步构造赫斯顿模型示例的解。下一个定理总结了我们刚才推导的结果。定理4.1（依赖时间的a fiffne模型中的HJB解）假设方程（4.11）允许一个唯一的连续、分段连续可微解Bm。然后，HJB方程（4.4）的解由以下公式给出：Φm（t，v，x）=vΔδEhexpnZTtθg~Xm（s），m（s）dso~Xm（t）=xiθ=vδδexpnZTtδnr（m（s））+1- ΔΓ（1）（m（s））odsoexp{θAm（t）+θBm（t）x}（4.13）=vδexpnZTtδr男(s)+δ1 - δΓ(1)男(s)+θ∑（1）X男(s)小巴（s）+ θδ1 - δζ(1)男(s)+ u（1）X男(s)Bm（s）dsoexp{θBm（t）x}。（4.14）最优投资组合的对应候选项具有以下形式（见等式（4.7））：\'πm（t）=1- δnλσP+ρσXσPθBmo（t，Xm（t），m（t））=1- ΔσPnγ+ρσXθBmo（t，Xm（t），m（t））。（4.15）微不足道，Φm∈ C1,2,2[tn，tn+1）×R≥0×DX为了所有人∈ {0，1，2，…，K}并且它在整个区间[0，T]上是连续的。剩下要做的就是证明HJB方程的解确实是我们优化问题的值函数。下一个定理总结了这方面的一系列条件。

它不仅适用于有效模型，而且适用于具有随机因子和时间相关分段常数参数的一般模型。定理4.2（依赖时间的函数模型中的验证结果）考虑实值函数Φm（t，v，x）：[0，t]×R≥0×DX→ R并假设：i）Φm∈ C1,2,2[ti，ti+1）×R≥0×DX对于所有i=0，k、 ii）Φm∈ C[0，T]×R≥0×DX,iii）Φm表示以下PDE，针对所有i=1……分段定义，K:maxπ∈R{L（mi，π）Φm（t，v，x）}=0，对于所有（t，v，x）∈ [ti，ti+1）×R≥0×DXΦm（T，v，x）=vΔδ，其中左侧的最大值在‘πm=-λΦmv+ρσXσPΦmvxVm，π（t）σPΦmvvt、 Xm（t），m（t）.如果Φmis阳性，则为EUVm，π（T）Vm，π（t）=v，Xm（t）=x≤ Φm（t，v，x），适用于所有（t，v，x）∈ [0，T]×R≥0×dx和所有可容许的投资组合策略π。现在再考虑一个不一定是正的函数（满足条件i）、ii）和iii）。另外假设：iv）Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）T∈[0，T]是鞅。然后：EUVm，πm（T）Vm，πm（t）=v，Xm（t）=x= Φm（t，v，x），和UVm，π（T）Vm，π（t）=v，Xm（t）=x≤ Φm（t，v，x），适用于所有（t，v，x）∈ [0，T]×R≥0×dx和所有可容许的投资组合策略π。证明见附录B。因此，需要检查定理4.2中的条件，以确定感兴趣的特殊模型的参数。这可能相当费劲。这就是为什么我们在下一节中介绍了一般时间相关模型的一个特例，可以很容易地显示验证结果。4.1.2具有∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0的特殊时变有效模型对于本节，我们另外假设模型（4.1）∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0。然后，验证结果很容易从[13]的推论3.4中给出的关于有效过程指数的一般陈述中得出。为了方便起见，这个结果在附录B的引理B.2中进行了总结。

现在我们将其应用于验证结果。定理4.3（对∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0的验证结果）假设定理4.1的假设成立，∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0。然后最优投资组合策略如方程（4.15）所示，方程（4.14）所示的Φmas是相应的值函数。附录BRemark 4.4中给出了证明[14]中给出了Heston模型的替代验证定理。它依赖于本例中解决方案的特定形式。然而，这是非常技术性的，需要对模型参数进行一些限制。总之，当我们考虑∑（1）X=Γ（1）=ζ（1）=0的时间相关模型的一个特殊例子时，我们只需要找到连续的、分段可微函数a和BM，分别解方程（4.11）和（4.12）。然后我们可以应用刚刚证明的定理，得出最优解。在第5节中，我们将对aHeston类型的模型执行此操作。在推导出时间相关模型的所有必要结果之后，我们可以继续马尔可夫调制模型。我们将分别考虑驱动股票价格的布朗运动与随机因素之间存在和不存在相关性的情况，因为相关性的存在使推导变得非常复杂。4.2具有独立布朗运动的马尔可夫调制a ffine模型在本节中，我们在模型（2.1）中设置ρ=0。观察到，虽然布朗运动不表现出瞬时相关性，但这两个过程通过联合马尔可夫链额外相关。

在考虑了第4.2.1节中的一般情况后，我们将在第4.2.2节中提出一个特殊的可分离情况，其中的解决方案可以进一步简化。4.2.1ρ=0的一般马尔可夫调制a函数模型（MMAF）在下面的内容中，我们首先根据推论a.6猜测HJB解决方案，然后证明它确实是我们的优化问题的值函数。观察到函数f的偏微分方程（3.7）系统简化为：ft（t，x，ei）+f（t，x，ei）δnr（ei）+1- Δγ（x，ei）o |{z}=g（x，ei）+fx（t，x，ei）ux（x，ei）+fxx（t，x，ei）σx（x，ei）=-lXj=1qijf（t，x，ej），f（t，x，ei）=1， 我∈ E.（4.16）因此，如果过程X和函数g（X，ei）满足推论A.6的条件，则系统（4.16）的解为：f（t，X，ei）=EhexpnZTtδR司仪(s)+1.- δγX（s）、MC（s）dsoX（t）=X，MC（t）=eii。此外，为了简化以下推导的可读性，我们为任何n维过程Z引入以下符号：Zt，Z=（Zt，Z，…，Znt，Z）表示在时间t点Z=（Z，…，zn）开始的过程Z。现在在新的符号中重写前面的方程，并用塔式规则对其进行转换，条件期望如下：f（t，x，ei）=EhexpnZTtδR麦肯锡工业大学（s）+1.- δγXt、x、ei（s）、MCt、ei（s）dsoi=ehexpnzttδR麦肯锡工业大学（s）+1.- δγXt、x、ei（s）、MCt、ei（s）dso | FMCTii=EhfMCt，ei（t，x）i=EhfMC（t，x）MC（t）=eii，适用于所有人（t，x，ei）∈ [0，T]×DX×E，其中fm表示所有m∈ M是系统（4.8）在由M诱导的时间相关模型中的解，因此fMC（t，x）是一个FMCT可测量的随机变量。注意，这里我们使用了MC和WX的独立性。

因此，所考虑的模型中的值函数的候选者具有以下形式：Φ（t，v，x，ei）=vδf（t，x，ei）=vδEhfMCt，ei（t，x）i=EhvδfMCt，ei（t，x）i=E[ΦMCt，ei（t，v，x）]=E[ΦMC t，v，x）|MC MC（t）=ei∈ M、 ΦM表示时间相关模型中的值函数。这一见解启发我们展示了一个通用的验证结果，该结果将马尔可夫切换的情况减少到具有确定性时间相关模型参数的情况，并且可以很容易地进行检查。这个验证结果的一个重要优点是，我们不需要声明我们的候选值函数解决了HJB方程，但我们直接表明它确实是我们问题的值函数。下一个理论提供了这个结果。定理4.5（独立布朗运动的验证结果）假设∈ M由ΦM（t，v，x）给出的时间相关模型中的值函数：[0，t]×R≥0×DX→ R和最优投资策略“πm取决于m的当前水平和随机过程的当前值，而不是[0，T]上m的整个路径，即对于某些函数p:[0，T]×e×R，它由“πm（T）=p（T，m（T），Vm，”“πm（T），Xm（T））给出≥0×DX→ R.然后，相应马尔可夫调制模型中的值函数由以下公式给出：Φ（t，v，x，ei）=E[ΦMC（t，v，x）| MC（t）=ei]，最优投资策略为‘π（t）=p（t，MC（t），v‘π（t），x（t））。证明让“π”和“π”如上述定理所定义。