马尔可夫切换仿射模型中的投资组合优化

人们还可以认识到，δ越高，风险集合中的多头头寸就越高，δ=0.3时，风险敞口甚至超过了投资者的财富。δ越低，风险资产的投资越温和。这一观察结果与δ作为风险规避参数的解释一致。此外，在马尔可夫链的动荡状态下，对therisky资产的投资较低，因为它与较低的超额收益和较高的波动性相关，因此风险较高。正是由于这种差异，在马尔可夫链不同状态的最佳行为中，投资者识别真实状态并对参数变化做出反应非常重要。套期保值项取决于股票的布朗运动与随机因素、随机因素和函数D的波动系数χ之间的相关性ρ。函数D绘制在图3中。注意，对于δ>0，它是正的，afact来自引理5.2中的陈述i）、ii）和iii）。所以，当ρ为负时，集合1的套期保值项为负。这是有道理的，因为负相关关系缓和了更高的波动性，因为Wx的增量更高，资产价格下跌。因此，投资者将其长期风险头寸作为防范额外风险的措施。湍流状态下的hedgingterm稍高，也就是说，它的绝对值较小，因为在这种状态下，平均方差组合也较小，但商“πH”πMV仍为0 2 4-2.-10123设定1时间平均值-波特夫变种。0 2 4-2.-10123设置2时间0 2 4-2.-10123设置3时间0 2 4-2.-10123设置4时间0 2 4-0.0500.05设定1时间对冲期限0 2 4-0.0500.05设置2时间0 2 4-0.0500.05设置3时间0 2 4-0.0500.05设置4时间平静状态。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。

状态图2：两个考虑参数集的均值-方差投资组合（第一行）和套期保值期限（第二行）。蓝线代表平静状态下的最佳投资，绿线代表动荡状态下的最佳投资。0 1 2 3 4 500.050.10.150.2时间集10 1 2 3 4 5-0.2-0.15-0.1-0.050时间集20 1 2 3 4 500.050.10.150.2时间集30 1 2 3 4 5-0.2-0.15-0.1-0.050timeDSet 4图3：两个不同参数集的函数D与时间的关系。和前面提到的一样。如果δ<0，则函数D为负，由于ρ为负，套期保值项在两种状态下均为正。这可能被解释为对错过的盈利机会的优势，因为这个高度规避风险的投资者的均值-方差投资组合小于1。请注意，对于δ的两个值，绝对值ofD在几乎整个时间范围内保持稳定，并且在过去一年中，它向零迅速下降。由于风险资产价格的微小变化会对最终财富产生强烈影响，因此在短期内，套期保值的作用会减弱，而这种高灵敏度，即高风险，正主导着套期保值的效果。现在，我们进一步观察风险规避参数δ对最优投资组合的影响。图4显示了根据不同δ值得出的最优策略，投资者的最终财富密度。人们可以清楚地认识到，δ值越高，极低（接近零）和极高（甚至超过120）财富水平的概率越高。相比之下，对于小δ，高损失和高收益的概率都要小得多。对于δ的较小值，5%分位数向右移动和95%分位数向左移动也反映了这一事实。图5证实δ越小，平均方差组合越保守。

对于较小的增量，套期保值期限的绝对值也会降低，这主要是因为因子1的影响-δ也是均值-方差项的驱动力。此外，在图5中，我们可以再次观察到，在动荡状态下，投资者在整个时间内持有的风险资产较少，δ的所有值也较少。我们处理均值-方差组合的其余部分：d和ν。0 50 100 15000.10.2增量的终端财富的影响=0.7密度0 50 100 15000.020.040.06增量的终端财富=0.3密度0 50 100 15000.020.040.06增量的终端财富=0.1密度0 50 100 15000.050.1增量的终端财富=-0.5密度0 50 100 15000.10.2三角洲的最终财富=-1密度0 50 100 15000.51三角洲的终端财富=-10密度5%quantile95%quantile5%quantile95%quantile5%quantile95%quantile5%quantile95%quantile5%quantile95%quantile5%quantile95%quantileFigure 4：根据不同δ值的衍生最优策略，投资者的终端财富密度，剩余参数采用集合1中的参数。密度通过模型（5.12）的蒙特卡罗模拟获得。为了更好的可比性，所有高于150的值都汇总在图的最后一个栏中。πmv上的d自然是正的，如果ν是正的，因为高d意味着高风险的市场价格。套期保值期限的绝对值也随着d的增加而增加，在δ>0的情况下，这可能被解释为对较高风险敞口的补偿，在δ<0的情况下，可能被解释为由于较高的风险市场价格而增加风险敞口的意愿。图6显示了d对δ=0.3的投资者终端财富分布的影响。可以看到，d越高，一侧95%分位数越高，另一侧5%分位数越低。所以，大收益和大损失的概率都会更高。

下跌的风险来自这样一个事实：ivestor的风险敞口更大，d值更大，因此如果股价下跌，她将承受更大的损失。然而，正面的影响更大，因为d的增加会导致股票的高超额回报，从而有可能获得更高的收益。如图7所示，δ=-1.然而，d对财富分布的影响并不是很强，因为我们面对的是一个更厌恶风险的投资者，他们更喜欢少接触风险资产。此外，观察到这种情况下的财富分布比δ=0.3时更加对称，这再次反映了投资者的风险厌恶。相比之下，δ=0.3的投资者愿意接受低端的高质量，因为它可以通过获得非常高收益的可能性得到补偿。从最优投资组合的分析公式中可以很容易地得出ν对投资策略的影响。ν的值越高，0246的投资就越少-2.-10105101520timedeltaMean-波特夫变种。平静的状态0246-2.-101-6.-4.-202TimeDeltahing术语平静状态0246-2.-101051015timedeltaMean-波特夫变种。图布。state0246-2.-101-4.-202TimeDeltahing术语turb。状态图5：不同δ值的最优均值-方差投资组合和随时间变化的套期保值期限。其余参数取自集合1。风险资产，因为它降低了风险的市场价格。当ν<ν时，湍流状态下的风险集暴露量小于平静状态下的风险集暴露量。这一观察结果适用于均值-方差投资组合以及对冲期限。ν和ν之间的差异越大，投资者就越需要认识到市场的马尔可夫转换特征并调整策略。让我们继续剩下的模型参数。

正如我们很容易从方程（5.18）中看到的那样，ρ影响对冲条款的符号：符号（(R)πH）=符号（D）符号（ρ）=符号（δ）符号（ρ）。因此，对于正δ和正ρ，套期保值期限是正的，因为投资者从实现更高终端财富水平的可能性中获利，因为Wx正增量导致的X增加将与WP正增量导致的股票价格上涨相关）。相反，对于一个非常厌恶风险的投资者来说，δ<0正相关会导致负对冲组合，因为高回报的可能性不足以弥补下跌X和股价下跌风险的增加。对于δ>0和ρ<0，套期保值期限为负，以减少因随机因素增加和股价下跌而产生的额外风险敞口，尤其是考虑到‘πMV’的大多头头寸。如果δ<0且ρ<0，则套期保值期限为正，允许投资者从波动性低的情景中获利，从而稳定高资产价格。这是有道理的，特别是考虑到对冲条款的解释是对过于保守的投资的保护。既然我们已经解释了对冲条款的符号，我们将考虑其绝对值如何随所考虑的参数而变化。WX和WP之间的相关性越高，套期保值条款的绝对值越高，因为风险资产可以更好地对冲随机因素。此外，可以总结出，较低的χ值和较高的κ值会导致套期保值项的绝对值较低，因为较低的波动系数会降低来自仓促因子X的风险，而较快的均值回归会使套期保值更加困难。由于空间原因，此处省略了相应的图。现在我们将讨论马尔可夫切换参数θ的影响。

对于d=0.5和delta=0.3Density 5%quantile0 50 100 150 200 25000.050.1对于d=1和delta=0.3Density 5%quantile0 50 100 150 150 200 25000.020.040.06对于d=1.7和delta=0.3Density 5%quantile0 50 100 150 200 25000.020.04，d=1和delta=0.3Density 5%quantile0 50 100 150 200 25000.020.020.04对于d=2.5和delta=0.3Density 5%quantile95%quantileFigure 6：根据不同d值的衍生最优策略，投资者的最终财富密度，剩余参数采用集合1中的参数。密度通过模型（5.12）的蒙特卡罗模拟获得。为了更好的可比性，所有大于250的值都汇总在图的最后一个栏中。如前所述，影响最优投资组合政策，但只影响函数ξ和价值函数Φ。图8和图9给出了δ=0.3和δ=-分别为1。可以看出，对于δ=0.3和δ=-1.投资者利用随机因素，利用这一额外风险产生更多收益。此外，从图中可以看出，价值函数Φ不严重依赖于马尔可夫链的初始状态。这可能是因为，对于较长的到期日，马尔可夫链将有足够的时间切换几次，对于较短的到期日，ξ公式中的积分非常小。

然而，θ和θ之间的差异越大，马尔可夫链的当前状态对Φ的影响就越大。6结论在效用最大化的背景下，我们提出了一个灵活且同时具有分析可处理性的资产价格模型，其中考虑了两个额外的随机性来源：马尔可夫链和马尔可夫调制扩散过程后的连续随机因子。根据马尔可夫链的半鞅表示，我们给出了相应的HJB方程。我们找到了最优控制的显式解，并导出了马尔可夫链上的期望值函数。此外，我们还通过一些数值计算验证了导出公式的实用性。我们发现最优投资组合由两部分组成：第一部分对应于均值-方差优化问题的解，第二部分修正了随机因素带来的额外风险。此外，我们还表明，马尔可夫链的状态强烈影响了d=0.5和δ的最优投资0 10 20 30 40 50 6000.050.1最终财富=-密度5%分位数95%分位数10 20 40 50 6000.050.1 d=1和delta的最终财富=-密度5%分位数95%分位数10 20 50 60 000.050.1 d=1.7和delta的最终财富=-密度5%分位数95%分位数10 20 40 60 000.050.1 d=2.5和delta的最终财富=-1密度5%数量95%数量图7：根据不同d值的衍生最优策略，投资者的最终财富密度，剩余参数采用集合2中的参数。密度通过模型（5.12）的蒙特卡罗模拟获得。为了更好的可比性，所有高于60%的数值都汇总在图表的最后一个栏中。02411.11.21.31.41.5theta=[0.1,0.2]时间xi平静状态。

状态0 2411.11.21.31.41.5θ=[0.05,0.1]时间平静状态b。状态0411.11.21.31.41.5θ=[0.02,0.08]时间平静状态。状态0411.11.21.31.41.5θ=[0.02,0.04]时间平静状态。状态0411.11.21.31.41.5θ=[0.02,0.025]时间平静状态。状态0246.577.588.599.510theta=[0.1,0.2]时间φ0246.577.588.599.510theta=[0.05,0.1]时间0246.577.588.599.510theta=[0.02,0.08]时间0246.577.588.599.510theta=[0.02,0.04]时间0246.577.588.599.510theta=[0.02,0.025]时间平静状态。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。状态图8：对于（θ，θ）的不同选择，函数Φ与时间的关系。其余参数采用集合1（δ=0.3）。决定除了这些实际见解之外，我们还证明了一种易于检验的验证理论，该理论将马尔可夫转换的情况简化为具有时间相关系数的情况。我们应用它来验证马尔可夫调制赫斯顿模型的解。综上所述，我们通过在现实模型中解决最优投资问题，并从理论和实践角度分析结果，为文献做出了贡献。关于马尔可夫链和马尔可夫调制的一般数学结果在本节中，我们概述了马尔可夫链的一些性质，这些性质将用于解决所考虑的优化问题。较长的证据在附录中外包。下一个定理说明马尔可夫链是半鞅，并从半鞅理论的角度揭示了强度矩阵的重要性。

4.4.0.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.80.90.90.90.90.50.50.50.0.0.0.0 0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0 0.80.80.80.80.80.50.50.50.50.50.50.50.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8）024-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.1,0.2]时间φ0.24-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.05,0.1]时间0.24-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.02,0.08]时间0.24-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.02,0.04]时间0.24-0.1-0.09-0.08-0.07-0.06-0.05θ=[0.02,0.025]时间平静状态。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。StateTurm stateturb。状态图9：对于（θ，θ）的不同选择，函数Φ与时间的关系。其余参数采用集合2（δ=-1).定理A.1（半鞅分解）假设MC是一个状态空间为E={E，…，el}且生成矩阵为Q的马尔可夫链。然后，MC可以写成以下形式：MC（t）=MC（0）+ZtQMC（s）ds+M（t），T∈ [0, ∞), （A.1）其中M是鞅w.r.t.过滤FMC={FMCt}t≥0由processMC生成。注意processRtQMC ds的变化是有限的。因此，方程（A.1）是MC的半鞅表示。我们推导所需的一个关键结果是马尔可夫调制It^o公式。在陈述主要结果之前，让我们正式定义一下我们所说的马尔科夫效应。定义A.2（马尔可夫调制它^o扩散）设W:={W（t）}t≥0be是m维布朗运动且MC:={MC（t）}t≥0如定理A.1所示。然后进程X={X（t）}t≥0=X（t）。

，Xn（t）T≥0∈ 定义方式：X（t）=X（0）+ZtuXs、 X（s）、MC（s）ds+ZtσXs、 X（s）、MC（s）dW（s）（A.2）=十、xn+ZtuXs、 X（s）、MC（s）...unXs、 X（s）、MC（s）ds+ZtσXs、 X（s）、MC（s）. . . σ1mXs、 X（s）、MC（s）.........σn1Xs、 X（s）、MC（s）. . . σnmXs、 X（s）、MC（s）DW（s）。。。西医(s)被称为马尔可夫调制It^o扩散，其中uX:[0，∞) ×Rn×E→ r与σX:[0，∞) ×Rn×E→ Rn是确定性函数。注意X是一个连续过程，因为我们有两个积分w.r.t.连续过程。Xis的自然过滤由FX={FXt}t表示≥0.定理A.3（马氏调制It^o微分的It^o公式）将过程X视为定义A.2中的过程。此外，函数f:[0，∞) ×Rn×E→Rt、 （x，…，xn），ei7.→ Ft、 （x，…，xn），ei第一个变量是连续的，第二个变量是连续的∈ E.那么Ft、 X（t），MC（t）T≥0是一个半鞅，我们有：ft、 X（t），MC（t）= f（0，X（0），MC（0））+Zthtfs、 X（s）、MC（s）+nXj=1xjfs、 X（s）、MC（s）ujxs、 X（s）、MC（s）+nXj，k=1xjxkfs、 X（s）、MC（s）mXr=1σjrXs、 X（s）、MC（s）σkrXs、 X（s）、MC（s）ids+ZtmXr=1nXj=1σjrXs、 X（s）、MC（s）xjfs、 X（s）、MC（s）dWr（s）+ZtlXi=1fs、 X（s），eiqMC（s）ids+ZtlXi=1f（s，X（s），ei）dMi（s）。下面的证明是[11]第57页定理4.47中关于半鞅的一般It^o公式的应用。关于它的另一个重要结果是，由马尔可夫链扩展的^o微分是确定性偏微分方程的解与指数期望之间的联系。