马尔可夫切换仿射模型中的投资组合优化

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Portfolio Optimization in Affine Models with Markov Switching》
---
作者：
Marcos Escobar, Daniela Neykova, Rudi Zagst
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  We consider a stochastic factor financial model where the asset price process and the process for the stochastic factor depend on an observable Markov chain and exhibit an affine structure. We are faced with a finite time investment horizon and derive optimal dynamic investment strategies that maximize the investor\'s expected utility from terminal wealth. To this aim we apply Merton\'s approach, as we are dealing with an incomplete market. Based on the semimartingale characterization of Markov chains we first derive the HJB equations, which in our case correspond to a system of coupled non-linear PDEs. Exploiting the affine structure of the model, we derive simple expressions for the solution in the case with no leverage, i.e. no correlation between the Brownian motions driving the asset price and the stochastic factor. In the presence of leverage we propose a separable ansatz, which leads to explicit solutions in this case as well. General verification results are also proved. The results are illustrated for the special case of a Markov modulated Heston model.
---
中文摘要：
我们考虑了一个随机因素金融模型，其中资产价格过程和随机因素的过程依赖于一个可观测的马尔可夫链，并且呈现出仿射结构。我们面临一个有限的投资期限，并得出最佳的动态投资策略，最大限度地提高投资者的预期效用从终端财富。为了实现这一目标，我们采用了默顿的方法，因为我们正在处理一个不完整的市场。基于马尔可夫链的半鞅特征，我们首先导出了HJB方程，在我们的例子中，它对应于一个耦合非线性偏微分方程组。利用该模型的仿射结构，我们在没有杠杆的情况下，即驱动资产价格的布朗运动与随机因素之间没有相关性的情况下，导出了解的简单表达式。在存在杠杆的情况下，我们提出了一个可分离的ansatz，这也导致了这种情况下的显式解。验证结果也得到了验证。这些结果在马尔可夫调制的赫斯顿模型的特例中得到了说明。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

---
PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_in_Affine_Models_with_Markov_Switching.pdf (851.27 KB)

2022-5-6 01:00:16 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：投资组合优化 投资组合 马尔可夫 Optimization Verification

MarkovSwitchingMarcos Escobar，Daniela Neykova，Rudi Zagst 2018年7月30日摘要我们考虑一个随机因素金融模型，其中资产价格过程和随机因素的过程依赖于一个可观察的马尔可夫链，并呈现出一种有效结构。我们面临一个有限的投资期限，并得出最佳的动态投资策略，最大限度地提高投资者对终端财富的预期效用。为了实现这一目标，我们采用了默顿的方法，因为我们正在处理一个不完全市场。基于马尔可夫链的半鞅特征，我们首先推导了HJB方程，在我们的例子中，HJB方程对应于一个耦合非线性偏微分方程组。利用模型的有效结构，我们推导出了无杠杆情况下解的简单表达式，即驱动资产价格的布朗运动与随机因素之间没有相关性。在存在杠杆的情况下，我们提出了一个可分离的leansatz，这也导致了这种情况下的显式解决方案。一般验证结果也得到了证实。结果在马尔可夫调制赫斯顿模型的特例中得到了说明。1导言在本文中，我们在一个非常灵活的模型下，通过最大化终端财富的预期效用，同时受到一些连续随机因素和马尔可夫链的影响，得出最优投资策略。Black-Scholes模型在[16]和[17]中首次提出并连续解决了效用最大化问题。从那时起，许多作者进一步发展了这一理论，以建立更复杂、更现实的市场模型。

一个重要的扩展是资产收益波动率的随机建模，因为恒定的Black-Scholes波动率不能反映重要的经验观察结果，例如不对称厚尾股票收益率分布和波动率聚类（有关详细的经验研究，请参见[22]，[9]）。一些最受欢迎的随机波动率模型示例包括Stein&Stein和Heston分别在[24]和[8]中提出的有效模型。例如，在[26]中，推导了一个连续时间模型的最优投资规则，该模型带有一个附加的随机因子，遵循一个扩散过程。[14] 严格证明了他们在赫斯顿模型中的有效性。虽然随机波动率的加入使资产价格建模更现实，但它并不能捕捉长期宏观经济发展。这些基本因素可以用马尔可夫链来描述，马尔可夫链的每一个州都位于多伦多维多利亚街350号瑞尔森大学数学系，位于德国加钦霍奇布吕克市11号帕克林，M？unchen科技大学数学金融学院M5B 2K3 CanadaChair。电子邮件：丹妮拉。neykova@tum.de.（通讯作者）德国加钦戈什布鲁克公园11号、邮编85748的蒙城理工大学数学金融系主任描述了不同的市场形势，例如危机或繁荣的经济。[10]中首次引入了马尔科夫转换自回归模型，并以经验为依据。在[2]和[23]中，一个马尔可夫切换Black-Scholes模型被应用于效用最大化，其中描述了相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，并导出了最优控制。我们的贡献是在投资组合优化的背景下，结合了随机性的两个来源——一个连续的随机因素和一个马尔可夫链。

为了确保模型的分析可处理性，我们假设了一个有效的结构。此类模型最近被考虑用于衍生品定价。[7] 推导波动性Waps的定价公式，[19]和[21]将摄动方法应用于不同的马尔科夫切换模型下的期权定价。此外，在[4]、[5]中可以找到关于这类模型相关性的经验证实。据我们所知，我们是第一个为展示这种丰富随机结构的模型推导最优投资组合策略和相应的价值函数的人。我们的推导基于马尔可夫链的半鞅特征，这是一个强大的工具，尽管在马尔可夫链的文献中不太流行。它允许我们陈述相应的HJB方程，在这种情况下，这将导致一个耦合偏微分方程系统。我们设法在马尔可夫链上解决它，这是一个简单而快速的计算。我们甚至考虑了仓促因素和资产价格过程之间的瞬时相关性，这与经验观察结果一致（见[9]）。作为计算的副产品，我们得到了著名的费曼-卡克定理的一个版本，该定理适用于马尔可夫调制随机过程，并可用于求解其他应用中的耦合偏微分方程组。此外，我们证明了一个非常有用的验证结果，它将马尔可夫切换的情况减少到了具有确定性系数的情况，因此非常容易检查。最后，我们从经济学的角度对结果进行了分析。本文的剩余部分组织如下。第2节精确地描述了我们正在处理的模型和优化问题。之后，第3节概述了用于解决该问题的方法。第4节介绍了获得的解决方案。

马尔可夫调制赫斯顿模型的数值实现和结果分析见第5节。第6节结束。2模型和优化问题我们考虑一个连续时间的金融市场，有一个无风险的投资机会（银行账户）和一个风险资产。相应的价格过程用{P（t）}t表示∈[0，T]和{P（T）}T∈[0，T]。这些价格过程的动力学受到随机因子X和可观测连续时间马尔可夫链MC的影响。有关马尔可夫链和强度矩阵的标准定义，请参见例如[25]，第16页。我们假设这些过程遵循一个特殊的模型，我们称之为马尔可夫调制模型，该模型更精确地定义如下：定义2.1（马尔可夫调制模型（MMAF））该模型是在过滤概率空间上陈述的(Ohm, F，Q，F），其中Q表示现实世界的度量。设MC为平稳连续时间齐次马尔可夫链，有限状态空间E={E，…，el}，强度矩阵Q={qij}i，j=1，。。。，L∈ Rl×l，其中eidenotes表示Rl中的第i个单位向量。此外，用wp和wx表示两个相关的一维布朗运动，独立于马尔可夫链。

如果银行账户和交易资产根据以下动力学发展：dP（t）=P（t）r，则金融市场模型称为马尔可夫调制的有效模型MC（t）dtdP（t）=P（t）hrMC（t）+ γX（t），MC（t）σPX（t），MC（t）| {z}=：λ（X（t），MC（t））dt+σPX（t），MC（t）（t）MC（t）dWX（t）dWX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）为（t）dWX（t）dWX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）为（2.1）和（2.1）具有初值P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）和（2）和（2.1）具有初值P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）=（0）P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）P（0）P（P（0）P（0）P（P（0）P（P（0）P（0）P（P（P），P（P（P（0）P（P（0）P（P（0）P（0）P（0）P（0）P（P（0）P），P（P（0）P（0）P ei）X，（MMAF）代表所有人（X，ei）∈ DX×E，其中DX R表示过程X和u（j）X的定义集，ζ（j）：E→ RΓ（j），∑（j）X:E→ R≥0，对于j=1，2，r和σP:DX×E→ R是确定性函数。观察λX（t），MC（t）代表风险资产的超额收益，γX（t），MC（t）对应于风险的市场价格。此外，我们用FMC={FMC（t）}t表示马尔可夫链产生的过滤∈[0，T]。请注意，这一定义和后续文章中给出的所有结果都可以很容易地扩展到参数的附加时间依赖性。备注2.2请注意，对于ρ=0，（MMAF）中的最后一个假设是微不足道的，对于ρ6=0，它意味着：σX（X，ei）=b（ei）γ（X，ei）=> 对于某些确定性函数b:E，γ（x，ei）=b（ei）σx（x，ei），（2.2）→ R.所以，对于具有相关性的情况，风险的市场价格应该是随机因素波动率的倍数。备注2.3从现在起，在整篇文章中，我们用E={1，2，…，l}和定义过程MC={MC（t）}t来表示MC状态的指数集≥0by MC（t）：=Pli=1i1{MC（t）=ei}。观察随机因素的漂移和扩散项，以及风险的四次市场价格（夏普比率）在X中是有效的。该特性解释了模型的名称。

我们将在第3节中看到，由于这一点，相应HJB方程中的所有项都有一个有效结构，这使得其解具有指数形式。这类模型的一个重要例子是在著名的赫斯顿模型中加入马尔可夫切换（MS）。本示例将在第5节中详细讨论。请注意，随机性的另外两个来源-马尔可夫链和随机因素-使市场模型不完整。这就是为什么效用最大化的鞅方法不适用，我们将依赖于动态规划方法。我们假设投资者不仅可以观察资产价格，还可以观察随机因子X的值和马尔可夫链MC的状态，并根据所有这些信息做出投资决策。她的策略是用π=π（t）t表示的∈[0，T]，投资于风险资产的财富的相对部分。由于我们只考虑自我融资交易策略，财富过程的SDE Vπ={Vπ（t）}t∈[0，T]由策略π产生（当投资从时间0开始，初始财富v）由以下公式给出：dVπ（T）=vπ（T）hrMC（t）+ λX（t），MC（t）π（t）i |{z}=：uVVπ（t），X（t），MC（t），π（t）dt+Vπ（t）π（t）σPX（t），MC（t）| {z}=：σVVπ（t），X（t），MC（t），π（t）dWP（t）Vπ（0）=V.（2.3）回想一下这个SDE解的指数形式，我们可以得出结论，对于所有的t，Vπ（t）>0∈ [0，T]。投资者的风险偏好以幂效用函数为特征：U（v）=vδδ，δ<1，δ6=0。观察相对风险规避的Arrow-Pratt测量值（如果byvUU=1）- δ、 因此，参数δ描述了投资者的风险规避：δ→ 1表示风险中性投资者，δ越小，投资者越厌恶风险。图1证实了这一点，它显示了不同参数值的效用函数。

可以看出，δ越高，高财富水平的权重越大，低财富价值的权重越小。这意味着与δ较低的投资者相比，δ接近1的投资者更愿意承担风险。对于δ的负值，可以更清楚地认识到这种关系，其中非常高的负权重被分配给接近于零的财富水平，而非常高的财富水平只能略微提高投资者的效用。这就是为什么带有负参数δ的效用函数被用来描述非常厌恶风险的投资者。投资者的目标是最大限度地利用终端财富。我们声明这0 5 10 15 20 25 30 35 4005101520253035财富效用增量=0.9增量=0.5增量=0.3增量=0.10 0.2 0.4 0.6 0.8 1-100-80-60-40-200wealthutility delta=-0.1德尔塔=-0.5delta=-1德尔塔=-10图1：不同参数δ的功率效用函数U（v）=vδδ≤ 1.在以下所有优化问题中（t、v、x、ei）∈ [0，T]×R≥0×DX×E:J（t，v，x，ei）（π）：=EQhU（vπ（t））|vπ（t）=v，x（t）=x，MC（t）=eiiΦ（t，v，x，ei）：=maxπ∈∧（t，v）J（t，v，x，ei）（π），（2.4），其中最大预期效用Φ称为价值函数，∧（t，v）表示所有可接受的交易策略的集合，从时间t开始，初始财富v：∧（t，v）：=nππ（s）∈ R、 Vπ（t）=V，Vπ（s）≥ 0, s∈ [t，t]，EQhUVπ（T）-|Fti<∞o、 严格来说，我们应该写∧（t，v，x，ei），但是为了更好的可读性，我们省略了剩下的参数。注意，在我们的案例中，财富过程的积极性对于所有自我融资交易策略都是充分的。定义∧（t，v）的最后一个条件要求终端效用的负部分是可积的，不包括可能以正概率确定负效用的策略。

然而，如果可以证明价值函数是有限的，那么这个条件对于相应的最优投资组合来说是微不足道的，因为电力效用在其整个定义集上是正的或负的。要么值有限，要么函数为负。因此，在所考虑的情况下，我们不需要额外检查最优交易策略的可接受性。观察到，现在我们的优化问题不仅有一个状态变量，就像经典的默顿优化问题一样，还有三个状态变量，对应于我们模型中的三个可区分的随机性源。在介绍这个优化问题的解决方法之前，我们请读者参考附录A，在附录A中，我们总结了一些关于马尔可夫链和马尔科夫函数的一般结果，我们稍后将需要这些结果。现在我们已经准备好了继续解决问题（2.4）的所有方法。3 HJB方法由于我们正在处理一个不完全市场，我们应用Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方法进行投资组合优化。下文对其进行了简要描述。该方法基于所谓的贝尔曼原理，即最优控制的特点是，无论初始动作是什么，考虑到第一个动作的结果，剩余的决策都是最优的。

这在下面的方程中正式表示：Φ（t，v，x，ei）=maxπ∈∧（t，v）EQhΦt+h，Vπ（t+h），X（t+h），MC（t+h）Vπ（t）=V，X（t）=X，MC（t）=eii。（3.1）将马尔可夫调制It^o微分的It^o公式应用于函数Φt+h，Vπ（t+h），X（t+h），MC（t+h）, 启发式地交换期望值和积分，并取h的极限→ 方程（3.1）中的0导致以下所有（t，v，x）的值函数Φ的耦合DHJB方程组∈ [0，T]×R≥0×DX:maxπ∈R{L（ei，π）Φ（t，v，x，ei）}=-lXj=1qijΦ（t，v，x，ej），我∈ EΦ（T，v，x，ei）=U（v）=vΔδ，我∈ E、 （3.2）其中微分算子L（ei，π）针对每个ei给出∈ E by:L（ei，π）Φ（t，v，x，ei）：=Φt+uv（v，x，ei，π）Φv+ux（x，ei）Φx+σv（v，x，ei，π）Φvv+σx（x，ei）Φxx+ρσv（v，x，ei，π）σx（x，ei）Φvx。请注意，从现在起，我们对偏导数采用以下符号：Fa=美国联邦航空局=A.空军基地=A.对于任何函数F（a，b，…）。观察到，我们需要解一个耦合偏微分方程组，而不是像经典It^odi方程那样只处理一个偏微分方程。首先，我们陈述了内部最优的一阶条件：πL（ei，π）Φ（t，v，x，ei）=vλ（x，ei）Φv+vπσP（x，ei）Φvv+ρvσx（x，ei）σP（x，ei）Φvx=0，其中我们插入了从方程（2.3）中定义的uVandσvf。因此，可以导出以下最优解的候选解：\'\'π（t）=\'\'πt、 X（t），MC（t）= -λΦv+ρσXσPΦvxV′π（t）σPΦvvt、 X（t），MC（t）, T∈ [0，T]。（3.3）然后，根据适用性函数，我们对值函数声明如下ansatz：Φ（t，v，x，ei）=vΔδf（t，x，ei），（t、v、x、ei）∈ [0，T]×R≥0×DX×E，（3.4）对于某些函数f（t，x，ei）：[0，t]×DX×E→ R