马尔可夫切换仿射模型中的投资组合优化

经典费曼-卡克定理的一般化在下面的定理中给出。定理A.4（带马尔可夫切换的费曼-卡克定理I）让过程X，在集合DX中取值 R、 是由以下SDE给出的一维马尔可夫调制It^odi扩散：dX（t）=uXX（t），MC（t）σX+dtX（t），MC（t）dW（s），其中W是布朗运动，MC是定理a.1中的马尔可夫链。进一步考虑函数K:[0，T]×DX×E→ R.然后定义函数k:[0，T]×DX×E→ Rvia:k（t，x，ei）：=Ehexpn-ZtKT- s、 X（s）、MC（s）dsoX（0）=X，MC（0）=eii。适用于所有人（t、x、ei）∈ [0，T]×DX×E，假设函数k定义良好，k（T，x，ei）<∞,以下条件成立：i）函数k在x中是两次连续可微的。ii）对于过程{N（r）}r∈[0，T]定义为：N（r）：=rZrhxkt、 X（s）、MC（s）uXX（s）、MC（s）+十、xkt、 X（s）、MC（s）σXX（s）、MC（s）+lXj=1qMC（s）jk（t，X（s），ej）ids，它认为：limr↓0E[N（r）|X（0）=X，MC（0）=ei]=E[limr↓0N（r）|X（0）=X，MC（0）=ei]。这意味着，它在平均值上收敛到几乎确定的极限∈ [0，T]。iii）EhRrxkt、 X（s）、MC（s）σXX（s）、MC（s）德国西部(s)X（0）=X，MC（0）=eii=0，对于所有r∈ [0，T]。iv）EhRrk（t，X（s），e），k（t，X（s），el）dM（s）X（0）=X，MC（0）=eii=0，对于所有R∈ [0，T]。v） ForZ（t+r）：=expn-Zt+rKt+r- s、 X（s）、MC（s）dsoY（r）：=expnZrKt+r- s、 X（s）、MC（s）dso，它认为，对于所有的r∈ [0，T- t] ，即：limr↓0EhZ（t+r）Y（r）- Y（0）rX（0）=X，MC（0）=eii=Ehlimr↓0Z（t+r）Y（r）- Y（0）r）X（0）=X，MC（0）=eii=E[Z（t）X（0）=X，MC（0）=ei]K（t，X，ei）。那么k是可微的w.r.t。

t和满足以下耦合偏微分方程系统，forall（t，x）∈ [0，T]×DX:-tk（t，x，ei）- k（t，x，ei）k（t，x，ei）+xk（t，x，ei）ux（x，ei）+十、xk（t，x，ei）σx（x，ei）=-lXj=1qijk（t，x，ej），k（0，x，ei）=1，我∈ E.（A.3）此外，上述条件iii）和iv）以及v）可分别替换为以下条件：iii）“EhRrn”xkt、 X（s）、MC（s）σXX（s）、MC（s）臭氧消耗物质X（0）=X，MC（0）=eii<∞,无论如何∈ [0，T]。iv）“EhRr”k（t，X（s），ej）dsX（0）=X，MC（0）=eii<∞, 无论如何∈ [0，T]。v） K（t，x，ei）和tK（t，x，ei）在t，x和limr中是连续的↓0EhZ（t+r）Y（r）- Y（0）rX（0）=X，MC（0）=eii=Ehlimr↓0Z（t+r）Y（r）- Y（0）r）X（0）=X，MC（0）=eii，对于所有r∈ [0，T- t] ，ej∈ E.注意，上述等式成立的一个充分条件是Z（t+r）Y（r）的可积界的存在-Y（0）r.证明该证明遵循[20]中定理8.2.1的证明。备注A.5关于k、uX、σX和k的一些有界条件可以很容易地取代假设（ii）、（iii）、（iv）和（v）。然而，这些函数对于重要样本（如Heston模型）是没有界的。这就是为什么我们尽可能地保持这些假设的普遍性。对于我们的应用，我们需要Feynman-Kac结果的向后公式，这是上述定理的直接应用，并在以下推论中说明：推论a.6（带马尔可夫切换的Feynman-Kac定理II）考虑过程X和MC，如定理a.4和一些函数H:[0，T]×DX×E→ R.定义函数h:[0，T]×DX×E通过：h（T，x，ei）：=Ehexpn-ZTtHs、 X（s）、MC（s）oX（t）=X，MC（t）=eii。表示K（t，x，ei）：=H（t- t、 x，ei）定义函数k（t，x，ei），如定理A.4所示。假设定理A.4的条件适用于k和k，那么h是不同的。r、 t。

并满足以下所有（t，x）的耦合偏微分方程系统∈ [0，T]×DX:th（t，x，ei）- h（t，x，ei）h（t，x，ei）+xh（t，x，ei）ux（x，ei）+十、xh（t，x，ei）σx（x，ei）=-lXj=1qijh（t，x，ej），h（t，x，ei）=1，我∈ E.作为向后Feynman-Kac结果的一个应用，我们得到了以下关于马尔可夫链及其与耦合常微分方程线性系统的推论期望：推论A.7（耦合常微分方程线性系统）再次考虑来自定理A.1和定义函数ξ：[0，T]×E的马尔可夫链MC→ R如下：ξ（t，ei）=Ehexpn-ZTtΞs、 司仪(s)dsoMC（t）=eii，对于某些有限函数Ξ：[0，t]×E→ R.假设函数ξ定义良好，且ξ（t，ei）<∞,  （t，ei）∈ [0，T]×E.进一步，对于任意但x T∈ [0，T]和allr∈ [0，t]，定义：Z（t+r）：=expn-Zt+rΞT- T- r+s，MC（s）dsoY（r）：=expnZrΞT- T- r+s，MC（s）dso，并假设，对于所有ei∈ E、 thatlimr↓0EhZ（t+r）Y（r）- Y（0）rMC（0）=eii=Ehlimr↓0Z（t+r）Y（r）- Y（0）r）MC（0）=eii=E[Z（t）MC（0）=ei]Ξ（T）- t、 ei）。（A.4）除了假设（A.4）之外，还可以要求Ξ（t，ei）和tΞ（t，ei）对所有ei都是连续的∈ E.然后ξ满足以下所有t的颂歌系统∈ [0，T]：tξ（t，ei）- ξ（t，ei）Ξ（t，ei）=-lXj=1qijξ（t，ej），ξ（t，ei）=1，我∈ E.B定理4.2第4节附录，考虑任意但固定的点（t，v）∈ [0，T]×R≥0和容许策略π∈ λm（t，v）并将其^o规则逐步应用于ΦmT、 Vm，π（T），Xm（T）:ΦmT、 Vm，π（T），Xm（T）= ΦmtK，Vm，π（tK），Xm（tK）+ZTtKLm（mK，π）Φms、 Vm，π（s），Xm（s）ds+ZTtKΦmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZTtKΦmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）=ΦmtK-1，Vm，π（tK-1） ，Xm（tK-1)+KXi=K-1Zti+1tiLm（mi，π）Φms、 Vm，π（s），Xm（s）ds+ZTtK-1Φmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZTtK-1Φmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）=。

.=Φmt、 Vm，π（t），Xm（t）+KXi=0Zti+1tiLm（mi，π）Φms、 Vm，π（s），Xm（s）|{z}≤0ds+ZTtΦmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZTtΦmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）≤ Φmt、 Vm，π（t），Xm（t）+ZTtΦmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZTtΦmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）=：Ym（T）。注意，这里我们使用了函数Φm的连续性和分段可微性。对于任意端点τ，我们可以用类似的方式展示该语句∈ [t，t]：Φmτ、 Vm，π（τ），Xm（τ）≤ Φmt、 Vm，π（t），Xm（t）+ZτtΦmvs、 Vm，π（s），Xm（s）σVVm，π（s），Xm（s），m（s），π（s）dWP（s）+ZτtΦmxs、 Vm，π（s），Xm（s）σXXm（s），m（s）dWX（s）=：Ym（τ）。（B.1）现在假设Φmτ、 v，x≥ 0表示所有（τ，v，x）∈ [0，T]×R≥0×DX。它跟在y（τ）后面≥ 此外，Ym是一个局部鞅，因为所有涉及的函数至少是分段连续的，所以它是一个超鞅。然后它认为：EhUVm，π（T）Fti=EhVm，π（T）δδFti=EhΦmT、 Vm，π（T），Xm（T）Fti≤ E[Ym（T）| Ft]≤ Ym（t）=Φmt、 Vm，π（t），Xm（t）,这证明了定理的第一个陈述。我们继续为第二个陈述提供证据。作为一个鞅，它直接跟在后面：呃Vm，πm（T）δδFti=EhΦmT、 Vm，πm（T），Xm（T）Fti=Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）.我们的证据是完整的。2标记B.1注意到我们没有使用模型的指数结构进行证明。因此，该结果适用于具有随机因子的一般时间相关模型。引理B.2（指数鞅）设Z=（Z，…，Zn）是一个n维连续半鞅，具有一个不同的特征（uZ，γZ）∈ Rn×Rn×n，即uZ（t）=uZ（t）。。。unZ（t）=α（t）。。。αn（t）+nXj=1Zjαj（t）。。。αnj（t）γZ（t）=γZ（t）。γ1nZ（t）。。。。。。。。。γn1Z（t）。γnnZ（t）=β（t）。β1n（t）。。。。。。。。。βn1（t）。βnn（t）+nXj=1Zjβj（t）。β1nj（t）。。。。。。。。。βn1j（t）。

βnnj（t）,对于某些确定性函数αkj，βk，lj:[0，∞] → R、 j∈ {0，…，n}，k，l∈ {1，…，n}。进一步假设存在一个数字p∈ N、 p≤ n这样的话∈ R≥0：关于半鞅微分特征的定义，请参见[13]。i） βklj（t）=0如果0≤ J≤ p、 一,≤ k、 l≤ p，除非k=l=j；ii）如果j，αkj（t）=0≥ p+1,1≤ K≤ Piii）βklj（t）=0如果j≥ p+1,1≤ k、 l≤ n、 如果另外αj（t）和βj（t）在t中是连续的∈ R≥0代表所有人0≤ J≤ n以下条件适用于约1≤ 我≤ n：αij（t）+βiij（t）=0， 0≤ J≤ n、 （B.2）那么exp{Zi（t）}T∈[0,∞)这是一个鞅。定理4.3由方程（4.14）导出的函数Φm的证明显然是连续的且分段有效的，根据定理4.2，我们只需要证明Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）}T∈[0，T]是鞅。我们首先写下Vm的SDE的解，\'πm:Vm，\'πm（t）=vexpnZtr男(s)+ λXm（s），m（s）πm（s）-πm（s）σPXm（s），m（s）ds+Zt′πm（s）σPXm（s），m（s）dWP（s）o，适用于所有0≤ T≤ T

然后我们把它插入Φm的表达式中：Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）=Vm，πm（t）ΔδexpnZTtδr男(s)dsoexpθAm（t）+θBm（t）Xm（t）=vΔδexpnZTδr男(s)dsoexp{θAm（0）+θBm（0）x}{z}=Φm（0，v，x）·expnZtΔλXm（s），m（s）πm（s）-δπm（s）σPXm（s），m（s）+ θAmt（s）+θBmt（s）Xm（s）+θBm（s）uXXm（s），m（s）ds+ZtθBm（s）σXXm（s），m（s）| {z}=：σ（1）L（s，Xm（s））dWX（s）o+Ztδ′πm（s）σPXm（s），m（s）| {z}=：σ（2）L（s，Xm（s））dWP（s）=：Φm（0，v，x）expnZtuLs、 Xm（s）ds+Ztσ（1）Ls、 Xm（s）dWX（s）+Ztσ（2）Ls、 Xm（s）dWP（s）o=：Φm（0，v，x）exp{Lm（t）}，现在我们很容易识别出微分半鞅特征uZ（t）=u（1）Zt、 Xm（t）u（2）Zt、 Xm（t）!和ΓZ（t）=Γ（11）Zt、 Xm（t）Γ（12）Zt、 Xm（t）Γ（21）Zt、 Xm（t）Γ（22）Zt、 Xm（t）!二维过程的Z:=（Xm，Lm，）：u（1）Zt、 x=uX（X，m（t））=u（1）Xm（t）+ xu（2）xm（t）u（2）Zt、 x=uL（t，x）=Δλx、 m（t）πm（t）-δπm（t）σPx、 m（t）+ θAmt+θBmtx+θBmuXx、 m（t）=θAmt+θBmu（1）X+xnθBmt+θBmu（2）X+δ1- δΓ(2)1.-2(1 - δ)- θBmζ（2）δ（1）- δ)-δ(1 - δ） θ（Bm）ρ∑（2）XoΓ（11）Z（t，x）=σx（x，m（t））=x∑（2）xm（t）Γ（12）Z（t，x）=Γ（21）Z（t，x）=σx（x，m（t））σ（1）L（t，x）+ρσ（2）L（t，x）= xnBm（t）∑（2）Xm（t）+δ1 - δζ(2)m（t）oΓ（22）Z（t，x）=σ（1）L（t，x）+σ（2）L（t，x）+ 2ρσ（1）L（t，x）σ（2）L（t，x）=xnθ（Bm（t））∑（2）xm（t）1 +ρδ(1 - δ)+ 2ρδ1 - δ+ 2θBm（t）ζ（2）m（t）δ(1 - δ)+δ(1 - δ)Γ(2)m（t）o、 其中，为了更好的可读性，我们省略了对m、t和x的依赖关系，并替换了以下等式：\'-πm（t）=1- δnλx、 m（t）σPx、 m（t）+ ρσXx、 m（t）σPx、 m（t）θBm（t）oσXx、 m（t）= ∑（2）Xm（t）xuxx、 m（t）= u（1）Xm（t）+ u（2）Xm（t）xρλx、 m（t）σXx、 m（t）σPx、 m（t）= ζ(2)m（t）xλx、 m（t）σPx、 m（t）!= Γ(2)m（t）x、 观察到uZandΓZare是p=1的引理B.2中的分段连续和完整条件i）、ii）、iii）。

接下来，我们证明了u（2）Z（t，x）+Γ（22）Z（t，x）=0，通过比较系数，这相当于方程（B.2）中的i=2:u（2）Z（t，x）+Γ（22）Z（t，x）=θhAmt+u（1）XBmi+θxhBmt+∑（2）xBm+δ1 - Δζ（2）+u（2）XBm+δ1- ΔΓ（2）i=0，其中，由于等式（4.11）和（4.12），最后一个等式成立。引理B.2给出了{exp{Lm（t）}}t的过程∈[0，T]因此也处理46{Φmt、 Vm，πm（t），Xm（t）}T∈[0，T]是鞅。定理4.2的应用完成了证明。参考文献[1]Y.Ait-Sahalia和R.Kimmel。随机波动率模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》，83。[2] N.鲍尔和U.里德。具有马尔可夫调制股价和利率的投资组合优化。《自动控制》，49:442–447，2004年。[3] G·伯恩哈特、S·H¨ocht、M·纽格鲍尔、M·纽曼和R·扎格斯特。动荡市场中的资产相关性以及不同制度对资产管理的影响。亚太运筹学杂志，28:1-232011。[4] 崔先生和袁先生。具有制度变迁的连续时间随机波动模型。工作文件，2013年。[5] G.达勒姆和Y.帕克。除了随机波动和收益率和波动率的跳跃。商业与经济统计杂志，31:107–121，2013年。[6] 艾利斯。使用变换方法的具有时间相关参数的模型：应用于heston模型。工作文件。[7] R.J.Elliott、K.Siu和L.Chan。heston随机波动率模型下的波动率互换定价。应用数学金融，14:41–622007。[8] S·L·埃利奥特。具有随机波动性的期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。《金融研究评论》，6:327–3431993。[9] R.恩格尔。波动性模型有什么好处？《定量金融》，2001年1:237-245。[10] J·D·汉密尔顿。

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