马尔可夫切换仿射模型中的投资组合优化

剩下的证据如下。陈述v）：首先，我们通过插入关系1，以一种方便的方式重写函数Aα，β（τ）- c=2a-αχ+κ+a:aα，β（τ）=κθχh（κ- a） τ- 2 lnn1- c经验(-aτ）1- coi=κθχh（κ- a） |{z}∈[0,κ]τ - 2 lnn1- 经验(-aτ）2a |{z}∈[0，T]- αχ+κ+a| {z}∈[0,2κ]+exp(-aτ）|{z}∈[exp(-κT），1]oi。现在请注意∈ [0，κ]，作为β≥ 0.因此，κ-A.∈ [0，κ]和exp(-aτ）∈ [exp(-κτ ), 1].进一步的-αχ+κ+a∈ [0，2κ]，作为α≥ 0.现在考虑一下术语1-经验(-aτ）2a，并通过证明其导数w.r.t.a为负，证明其单调递减：A.1.- 经验(-aτ）2a=经验(-aτ）（1+aτ）- 12a，其中负性后面是一般不等式exp（x）>1+x，十、∈ R.那么，fora∈ [0, κ],1-经验(-aτ）2a∈ [1-经验(-κτ）2κ，利马↓01-经验(-aτ）2a]。限制由：利马给出↓01- 经验(-aτ）2a=利马↓0exp(-aτ）τ=τ。Asτ∈ [0，T]，我们得到：1-经验(-aτ）2a∈ [0，T]。把上面的不等式结合起来就得出了这个结论。声明六）：在这一证明中，我们将Bα、β（τ）视为α中的函数，并确定所有其他参数。计算前两个导数表明，Bα，β是α的凸单调递增函数：αBα，β（τ）=4aexp(-aτ）（1）- c经验(-aτ）(-αχ+κ+a）≥ 0αBα，β（τ）=8aχexp(-aτ）（1）- 经验(-aτ）（1）- c经验(-aτ）|{z}>0）(-αχ+κ+a |{z}>0）≥ 0.进一步，limα↑κ+aχBα，β（τ）=limc↑∞Bα，β（τ）=κ+aχ。现在我们想找出Bα，β的图与函数F（α）=α的图相交的点。为此，我们求解以下方程：Bα，β（τ）=α<=> （κ+a）（1）- c经验(-aτ）- 2a=χα（1）- c经验(-aτ）<=> (αχ- κ+a）（exp(-aτ）- 1) = 0.现在假设τ6=0和a6=0，并观察唯一的解由α=κ给出-一个χ。更重要的是，在这种情况下，前两个导数甚至是严格正的，这意味着Bα，β是严格单调递增的，并且在α中是严格凸的。

因此，它的图形是α∈κ-aχ，κ+aχ在函数f（α）=α的图形下，在α=κ处穿过它-aχ并收敛于α↑κ+aχ。这证明了τ6=0和a 6=0的语句vi）。现在假设a>0，τ=0。然后，Bα，β（0）=α和语句vi）直接在这个例子中出现。用模型（5.2）中给出的函数κ、θ和χ表示法，我们为所有e引入以下表示法∈ E:Aα，β，E（τ）：=-κ（e）θ（e）（κ（e）- a（e））χ（e）τ+2κ（e）θ（e）χ（e）lnn1- c（e）经验(-a（e）τ）1- c（e）oBα，β，e（τ）：=--c（e）（κ（e）+a（e））exp(-a（e）τ）+κ（e）- a（e）χ（e）1.- c（e）经验(-a（e）τ）,式中：a（e）：=pκ（e）+2βχ（e），c（e）：=αχ（e）+κ（e）- a（e）αχ（e）+κ（e）+a（e）。函数a（e）、~c（e）、~aα、β、e（τ）和▄Bα、β、e（τ）类似地定义为变换参数▄κ和▄θ。现在我们应用前两个引理来推导HJB方程的解。结果在下面的定理中给出。定理5.3（含时赫斯顿模型的求解和验证）假设（5.2）中的模型参数具有以下条件：2θδ1- δ^λ（e）ν（e）<κ（e）2χ（e），E∈ E（5.3）最大值∈Enκ（e）- ~a（e）χ（e）o≤ 矿∈然后给出了所有（t，v，x）的相应HJB系统的解∈ [0，T）×R≥0×DXby:Φm（t，v，x）=vΔΔEhexpnZTtθg（s，~Xm（s），m（s））dso~X（t）=xi=vδδhexpnZTtδr（m（s））dsoexpAj（tj+1- t） +Bj（tj+1）- t） xkYi=j+1exp{Ai（τi）}iθ=：vδδexpnZTtδr（m（s））dsoexpθAm（t）+θBm（t）x,式中：τi:=ti+1- ti，i=1，βi:=2θδ1- δλ（m（ti））ν（m（ti））, . . . , KAK:=~A0，βK，mK（τK），BK:=~B0，βK，mK（τK）Ai:=~ABi+1，βi，mi（τi），Bi:=~BBi+1，βi，mi（τi），i=0。

K- 1.此外，Φm（t，v，x）是优化问题的值函数，并给出了所有t的最优投资组合策略∈ [0，T]by:\'πm（T）=1- δn^λ（m（t））ν（m（t））+ ρχ（m（t））ν（m（t））θBm（t）o.证明通过从等式（4.10）中回顾HM的概率表示并从后面逐步应用引理5.1，证明如下。在每一步中，都需要检查定理5.1的假设。它们的内容如下：βi=2θδ1- δλ（m（ti））ν（m（ti））<κ（mi）2χ（mi），我∈ {j，…，K}（5.5）αi=~Bαi+1，βi+1，mi+1（ti+2- ti+1）<κ（mi）+a（mi）χ（mi），我∈ {j，…，K- 1} （5.6）αK=0<κ（mK）+a（mK）χ（mK）。（5.7）不等式（5.5）直接来自假设（5.3），不等式（5.7）是显而易见的，因为△κ（e），~a（e）>0，E∈ E.对于不等式（5.6），回想一下，在我们的模型中，βi>0，因此对于所有i∈ {0，…，K}。那么，αK=0<maxe∈Enκ（e）-~a（e）χ（e）o:=c。从假设（5.4）中，我们进一步得到所有i∈ {0，…，K}。引理5.2中的陈述（vii）导致了αK-1=~BK<c<~kκ（mK-1） +a（mK）-1） χ（mK）-1). 为了获得所有i的条件（5.6），观察αi=~Bi+1，并以类似的方式继续向后，显示所有i的~Bi+1<c<~k（mi）+~a（mi）χ（mi）∈ {0，··，K}。注意，这里我们不需要检查推论A.6的假设，因为我们已经以显式形式导出了解决方案，并且可以通过直接替换进行验证。Φm解相应的HJB方程。验证结果和最优投资组合策略遵循REM 4.3.5.2无杠杆马尔可夫调制赫斯顿模型的直接应用。我们继续使用无相关性的马尔可夫调制赫斯顿模型。

推导出一般参数规格的解决方案（第5.2.1节）后，我们将在可分离的情况下（第5.2.2节）对其进行简化。5.2.1无杠杆的一般马尔可夫调制赫斯顿模型（MMH）考虑模型（5.1）并设置ρ=0。基于时间相关模型的结果，马尔可夫切换模型中HJB方程的解可以导出如下定理。推论5.4（在ρ=0的MMH中求解和验证）假设定理5.3的条件成立。然后，ρ=0的模型（5.1）中的值函数Φ由以下等式给出：Φ（t，v，x，ei）=vδEfMC（t，x）MC（t）=ei=vΔδEexpnZTtδr（MC（s））dsoexpAMC（t）+BMC（t）xMC（t）=ei,（5.8）任何m∈ M、 函数Amand和bm由以下公式给出：Am（t）=KXj=0nZTtδr（M（s））ds+Aj（tj+1- t） +KXi=j+1Ai（τi）ot∈[tj，tj+1）Bm（t）=KXj=0Bj（tj+1）- （t）T∈[tj，tj+1），其中：τi:=ti+1- ti，βi:=δ1- δλ（m（ti））ν（m（ti））, i=1，kk:=A0，βK，mK（τK），BK:=B0，βK，mK（τK）Ai:=ABi+1，βi，mi（τi），Bi:=BBi+1，βi，mi（τi），i=0，K- 1.最优投资组合为：¨π（t）=1- Δ^λ（MC（t））ν（MC（t））.证明定理5.3对ρ=0的应用，即θ=1，定理4.5导致该陈述。观察到，函数Φ可以很容易地用部分蒙特卡罗方法计算，其中一个必须只模拟马尔可夫链的路径，而不是所有其他过程。5.2.2不带杠杆的可分离马尔可夫调制赫斯顿模型（SMMH），我们将考虑与第4.2.2节中给出的特殊情况相对应的可分离示例。

所以，我们指定我们的模型，这样可以找到一个可分离的显式解：dP（t）=P（t）rMC（t）dtdP（t）=P（t）hrMC（t）+ dνMC（t）| {z}=^λ（MC（t））X（t）dt+νMC（t）pX（t）dWP（t）idX（t）=κ（θ）MC（t）- X（t））dt+χpX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）=0，（5.9），其中P（0）=P，P（0）=P，X（0）=X，κ，χ∈ R> 0，d∈ R、 和之前一样θ（e）∈ R> 0和2κθ（e）≥ χ、 尽管如此∈ E、 所以X（t）≥ 0，尽管如此∈ [0，T]。该模型可以用（SMMAF）的表示法嵌入如下：γ（x，ei）=dx=> Γ（1）（ei）=0，\'Γ（2）=duX（X，ei）=κθ（ei）- κx=> u（1）X（ei）=κθ（ei），\'u（2）X=-κσX（X，ei）=χX=> ∑（1）X（ei）=0，“∑（2）X=χ。（SMMH）直接应用定理4.3和定理4.8可得出以下解：推论5.5（在ρ=0的SMMH中的解和验证）考虑模型（5.9）并假设：δ1- δd<κχ。（5.10）然后给出所有（t，v，x，ei）的值函数∈ [0，T]×R≥0×DX×E by:Φ（t，v，x，ei）=vΔδ′ξ（t，ei）exp{B（t）x}，（5.11）式中：′ξ（t，ei）=EhexpnZTtw（s，MC（s））dsoMC（t）=eii， （t，ei）∈ [0，T]×E，w（T，ei）=Δr（ei）+B（T）κθ（ei），表示所有（T，ei）∈ [0，T]×E和b（T）=-c（κ+a）exp{-a（T）-t） }+κ- aχ1.- c经验{-a（T）-t） },  T∈ [0，T]，其中a=qκ-δ1-δdχ和c:=κ-aκ+a.最优投资组合为：\'-π（t）=1- δdν（MC（t））。定理4.8和定理4.3.5.3直接证明了带杠杆的可分离马尔可夫调制赫斯顿模型（SMMHρ）对于可处理模型，对于带杠杆的情况，我们将模型（5.9）推广到ρ6=0:dP（t）=P（t）rMC（t）dtdP（t）=P（t）hrMC（t）+ νdMC（t）X（t）dt+νMC（t）pX（t）dWP（t）idX（t）=κθMC（t）- X（t）dt+χpX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）=ρdt，（5.12），初始值P（0）=P，P（0）=P，X（0）=X。

这对应于（SMMAFρ）符号中的以下规格：γ（x，ei）=dx=> Γ（1）（ei）=0，\'Γ（2）=duX（X，ei）=κθ（ei）- κx=> u（1）X（ei）=κθ（ei），\'u（2）X=-κσX（X，ei）=χX=> b=χ| d |。（SMMHρ）与定理4.3和定理4.9之前一样，在这种情况下导致验证结果：推论5.6（SMMHρ中的解和验证）假设：0<κ-δ1 - Δρχd |（5.13）δ1- δd<θ（κ-δ1-Δρχd|χ（5.14）表示a:=q（κ）-δ1-Δρχd |）-δ1-Δχθd.然后，给出了模型（5.12）中所有（t，v，x，ei）的值函数∈ [0，T]×R≥0×DX×E by:Φ（t，v，x，ei）=vΔΔξ（t，ei）exp{D（t）x}，（5.15）式中：ξ（t，ei）=EhexpnZTtа（s，MC（s））odsMC（t）=eii，（t，ei）∈ [0，T]×E，（5.16）表示Γ（T，ei）=δr（ei）+D（T）κθ（ei），和：D（T）=θ- c（κ）-δ1-Δρχd |+a）exp{-a（T）-t） }+κ-δ1-Δρχd|- A.χ(1 - c经验{-a（T）-t） }），T∈ [0，T]（5.17）带c:=κ-δ1-Δρχd|-aκ-δ1-Δρχd |+a.最优投资组合为：‘π（t）=1- δhdνMC（t）+ ρχνMC（t）D（t）i.（5.18）如前所述，最优投资组合的第一部分，\'-πMV（t）：=1-δdν（MC（t））称为均值-方差项，第二个称为¨πH（t）：=1-Δρχν（MC（t））D（t），是套期保值项。证明这个陈述来自定理4.9和定理4.3。在从理论上验证了这个解决方案之后，我们现在有兴趣从经济角度来解释它。

我们首先明确推导风险资产对数收益的方差过程V ar（t）：=V（MC（t））X（t）：推论5.7（对数收益的方差）对数资产收益的瞬时方差具有以下特征：dV ar（t）=κMC（t）^θMC（t）- V ar（t）dt+^χMC（t）pV ar（t）dWX（t）+V ar（t）lXi=1ν（ei）νMC（t）dMi（t），其中：^κMC（t）= κ -lXi=1ν（ei）νMC（t）qMC（t）i^θMC（t）=νMC（t）κθMC（t）^κ^χMC（t）= νMC（t）χ.使用此符号，风险资产的价格过程由以下SDE给出：dP（t）=P（t）hrMC（t）+νdMC（t）V ar（t）idt+pV ar（t）dWP（t）。证明直接遵循定理A.3中关于马尔可夫调制It^o扩散的It^o公式的应用。观察方差V ar遵循均值回复过程，根据马尔可夫链进行跳跃，其中所有参数都依赖于马尔可夫链。这种丰富的随机结构使得所考虑的模型非常灵活，适合描述广泛的市场。此外，请注意，被定义为超额收益除以Var（t）的风险市场价格由dν（MC（t））给出，这正是最优投资组合的平均方差项的驱动因素。相应风险的回报越高（即d越高）或相同回报的风险越低（即ν越低），股票对投资者的吸引力越大，且“πMV”越大。请注意，当ν改变时，π-hex的绝对值表现出类似的行为，如π-MV和π-his不变量w.r.t之间的商。ν：\'-π-MV（t）\'-πH（t）=dρχd（t）。更重要的是，这种关系对于马尔可夫链的所有状态都是相同的。

这是有意义的，因为套期保值项是对均值-方差投资组合的修正，所以只要¨πmv因马尔可夫链而改变，它就会被调整。通过回顾等式（5.18）中给出的最优策略所产生的财富过程，我们可以更好地理解ν对最优投资组合的影响：dV′π（t）=V′π（t）nrMC（t）+d1- δd+ρχd（t）X（t）dt+1- δd+ρχd（t）pX（t）dWP（t）o.请注意，财富过程并不依赖于ν，并回顾一下，ν决定了风险的市场价格以及

第一个是e，描述了一个平静的市场，波动性适中。第二种是对波动性较高、市场风险价格较低的动荡状态的反应。在整个过程中，投资时间范围设置为T=5。基于[1]的经验结果，我们确定了以下基本参数集：κ=4，θ（e）：=θ=0.02，θ（e）：=θ=0.04，χ=0.35，d=1.7，ν（e）：=ν=1，ν（e）：=ν=1.3，r（e）：=r=0.03，r（e）：=r=0.01，ρ=-0.8. 因此，过程X的平均逆转所需的时间平均为κ=3个月。此外，在[3]之后，我们将强度矩阵的元素设置为q=-1.0909，q=-3.4413. 这意味着，平均而言，马尔可夫链在平静状态下保持一年，在动荡状态下保持大约4个月，因为马尔可夫链在状态EI中花费的等待时间。本文根据1990年至2003年期间对股票指数S&P500和波动率指数VIX的每日观察来估计赫斯顿模型的参数。根据他们的结果，我们选择了马尔可夫调制参数，第一种状态的MC描述了一个平静的市场，第二种状态描述了一个不稳定的市场。本文利用马尔可夫调制的Black-Scholes模型估计了1987年至2009年期间标普500指数的周价格。我们将其结果用于马尔可夫链的强度矩阵。在下一次跳跃之前，它是指数分布的-我和我的期望。我们将比较两名风险偏好不同的投资者的结果：第一名投资者的风险规避参数δ=0.3为正，第二名投资者的风险规避参数δ=0.3为负-1.

我们分别用集合1和集合2表示这些参数规格。这种差异是必要的，因为δ强烈影响投资者的最佳行为，我们将在下文中看到。表1包含集合1和集合2的最佳预期效用，如推论5所示。6，其中函数ξ通过马尔可夫链的蒙特卡罗模拟计算，模拟次数为10000次。此外，还将其与通过模型（5.12）的完整蒙特卡罗模拟（1 Mio）计算的最佳预期效用进行了比较。模拟和每年250步，即每天交易一次。参数公式Comp。时间蒙特卡罗公司。时间集1 7.4261 40秒7.4260约2.2 hs时间集2-0.0802 40秒-0.0802约2.2 h表1：根据推论5.6（第二列）和完全蒙特卡罗模拟（第四列）计算的最佳预期效用的比较，其中V（0）=10，X（0）=0.02，MC（0）=e，T=5。第三列和第五列包含相应的计算时间。可以注意到，第二列和第四列的值彼此非常接近。这表明，每天只交易一次，这在现实中可能是合理的，不会导致显著的效用损失。因此，导出的最优策略是实用的。此外，请注意，为了获得完整蒙特卡罗方法的收敛结果，需要进行许多耗时的蒙特卡罗模拟，这证实了推论5.6中导出的理论结果的重要性。现在我们比较两种参数设置下的最优交易策略。它们如图2所示。最优策略的主要部分由平均方差组合给出。可以观察到，它是正的，这是可以预期的，因为预期资产回报率超过了马尔科夫链两个状态的无风险利率。