马尔可夫切换仿射模型中的投资组合优化

首先，请注意以下等式适用于任意但为x m的情况∈ M:Xmt，x，Vm，\'πmt，v，x，\'πmt，v，x≡Xt，x，m（t），V′πt，V，x，m（t），′πt，V，x，m（t）{MC（s）=m（s），s∈ [t，t]}。这意味着：XMCt，x，ei，VMC，\'πMCt，v，x，ei，\'πMCt，v，x，ei≡Xt，x，ei，V′πt，V，x，ei，′πt，V，x，ei.请注意，这是正确的，因为最佳策略“πmin”依赖于时间的模型仅取决于逐步函数m的当前值，而不取决于其在[t，t]上的整个路径，并且由于布朗运动和马尔可夫链之间的独立性。通过应用这一观察结果和条件观测的塔式法则，我们得到：Φ（t，v，x，ei）=EΦMC（t，v，x）MC（t）=ei= EΦMCt，ei（t，v，x）= EhEΦMCt，ei（t，v，x）禁产条约i=EhE（VMC，πMCt，v，x，ei（T））Δδ禁产条约i=EhEV′πt，V，x，ei（t）δδ禁产条约i=呃V′πt，V，x，ei（t）Δδi.So，函数Φ确实表达了对应于策略π的预期效用。为了得到π的最优性，考虑一个任意可容许的π∈ ∧（t，v，x，ei）并注意到π|{MC（s）=m（s），s∈ [t，t]}∈ ∧m（t，v，x），M∈ M、 因此π∈ ∧MCt，ei（t，v，x）。这意味着，对于时间相关模型，马尔可夫链的整个路径π上的条件是允许的，其中函数m对应于马尔可夫链的路径。因此，利用πMC的最优性，可以计算Φ（t，v，x，ei）=EhEVMC，πMCt，v，x，ei（T）δδ禁产条约我≥ EhEVMC，πt，v，x，ei（t）δδ禁产条约i=呃Vπt，V，x，ei（t）Δδi.备注4.6注意，对于上述证明，不需要假设ρ=0。因此，对于ρ6=0的一般模型，该陈述也成立。我们将这个定理应用于第4节中得到的时间相关模型的解。1并在下面的定理中给出结果。定理4.7（具有独立布朗运动的解）考虑模型（2.1）并设置ρ=0。

假设相应的时间相关模型中的值函数由以下公式给出：Φm（t，v，x）=vΔΔEhexpnZTtg（Xm（s），m（s））dsoXm（t）=xi=：vΔδfm（t，x）和最优投资策略：- ΔλσP（Xm（t），m（t））=1- ΔγσP（Xm（t），m（t））。然后，马尔可夫调制模型中的值函数具有以下形式：Φ（t，v，x，ei）=E[ΦMC（t，v，x）|MC（t）=ei]=vΔδEhexpnZTtg（x（s），MC（s））dsoX（t）=X，MC（t）=eii=：vΔδf（t，X，ei），（4.17），最优投资组合策略为‘π（t）=1- ΔλσP（X（t），MC（t））|{z}均值-方差组合=1- ΔγσP（X（t），MC（t））。注意，如前所述，在ρ=0的情况下，最优策略只包括均值-方差投资组合。证明了时间相关模型中的最优投资组合不依赖于函数m的整条路径，并应用定理4.5。在推导出通解之后，我们现在对简化定理4.7中的概率表示感兴趣。为了实现这一目标，我们考虑下面介绍的一个特殊模型。4.2.2ρ=0的可分离马尔可夫调制函数模型（SMMAF）在本节中，我们假设函数f（t，x，ei）在x和ei中的可分离性，即我们考虑以下情况：f（t，x，ei）=ξ（t，ei）expB（t）x,对于某些函数，ξ：[0，T]×E→ R和B:[0，T]→ R.为了能够将PDE与f分离，我们需要假设出现在随机因子X前面的系数不依赖于马尔可夫链。更准确地说，模型参数的以下结构称为（SMMAF）：γ（x，ei）=Γ（1）（ei）+Γ（2）xux（x，ei）=u（1）x（ei）+u（2）Xxσx（x，ei）=∑（1）x（ei）+∑（2）Xx（SMMAF），其中‘（2），∑（2）x∈ R≥0，¨u（2）X∈ R是一些常数。

定理4.7中的概率表示仍然无法简化，因为过程X依赖于马尔可夫链。然而，直接替换ansatz和PDE（4.16）中的参数规格是有用的。它导致函数ξ（t，e）的以下偏微分方程系统∈ [0，T]：\'ξT（T，ei）+\'ξ（T，ei）δr（ei）+δ1- ΔΓ（1）（ei）+B（t）u（1）X（ei）+B（t）∑（1）X（ei）| {z}=:w（t，ei）=-lXj=1qij′ξ（t，ej），′ξ（t，ei）=1，我∈ E、 （4.18）和以下B（t）的常微分方程：Bt（t）+B（t）\'∑（2）X+B（t）\'u（2）X+δ1- δ′Γ（2）=0，B（T）=0。（4.19）方程（4.19）可用引理5.1求解。一般来说，系统（4.18）的解不能以封闭形式导出，但是，可以用所谓的Magnus指数级数来近似，详情见[15]。应用数值求解方案也是可能的。或者，推论A.7为函数ξ（t，e）提供了以下概率表示：ξ（t，ei）=EhexpnZTtw（s，MC（s））dsoMC（t）=eii，（t，ei）∈ [0，T]×E，（4.20）作为w（T，E）和tw（t，e）在t中是连续的。在下面的定理中，我们总结了我们刚刚推导的内容：定理4.8（ρ=0的可分离情况下的解和验证）让模型规范由SMMAF给出，并假设方程（4.19）包含唯一可微分解B。然后相应HJB方程的解由以下公式给出：Φ（t，v，x，ei v）=ΔEhexpnZTtw（s，MC（s））dsoMC（t）=eiiexp{B（t）x}=vΔδξ（t，ei）exp{B（t）x}，（t、v、x、ei）∈ [0，T]×R≥0×DX×E，（4.21），其中w（t，ei）=δr（ei）+δ1-ΔΓ（1）（ei）+B（t）u（1）X（ei）+B（t）∑（1）X（ei），对于所有（t，ei）∈[0，T]×E。

注意Φ∈ C1,2,2适用于所有ei∈ E.如果∑（2）X6=0，则∑（2）X<0，δ1-δΓ(2)<u（2）X“∑（2）x和0≤A.-u（2）X∑（2）X，对于a:=qu（2）X-δ1-δ′Γ（2）∑（2）X，那么函数B由以下公式给出：B（t）=-c(-u（2）X+a）exp{-a（T）-t） }-u（2）X-a∑（2）X（1）-c经验{-a（T）-t） }）对于0<a-μ（2）X∑（2）X0表示0=a-“u（2）X”∑（2）X，我们将在第5节中看到，对于一个重要的例子，X遵循一个CIR过程，它保持“u（2）X<0”。使用c：=-u（2）X-A.-u（2）X+a。此外，考虑马尔可夫链的任意但固定路径m，并考虑与m相关的时间依赖模型。然后，其HJB方程的解Φmt由以下公式给出：Φm（t，v，X）=vΔδexpnZTtws、 男(s)dsoexpB（t）x.现在假设对于所有m，Φmis确实是相应的时间相关模型中的值函数。然后，函数Φ是马尔科夫交换模型的值函数，最优投资组合为：¨π（t）1- ΔλσP（X（t），MC（t））=1- ΔγσP（X（t），MC（t））。第一个和第七个推论可以直接应用于上面的推论tw（t，ei）在t中是连续的∈ E.对于B的显式表示，另外考虑引理5.1。对于时间相关模型中的HJB解，观察B（t）解所考虑模型规范的方程（4.11），并应用定理4.1。记住，对于ρ=0、θ=1和ζ（1）=0，很容易验证方程（4.14）中的积分项对应于w（s，m（s））。因此，Φm求解了与时间相关的HJB方程，并假设它是它的值函数。观察它保持的函数Φ：Φ（t，v，x，ei）=E[ΦMC（t，v，x）| MC（t）=ei]。此外，时间相关模型中的最优策略由以下公式给出：‘πm=1- ΔλσP（Xm（t），m（t））=1- ΔγσP（Xm（t），m（t））。由于它不取决于m的整个路径，而只取决于其当前水平，因此我们可以应用EoREM 4.5。

声明如下。在以赫斯顿模型为例说明这些结果之前，我们给出了这种情况下的解，其中我们考虑了股票价格过程和随机因素之间的瞬时相关性。4.3带杠杆的马尔可夫调制函数模型在本节中，我们考虑一般模型（2.1），因此函数f由系统（3.7）表征。我们一般无法找到它的解决方案，主要是因为非线性项。不幸的是，像第4.1节中的转换在最一般的情况下不起作用，因为这里我们有一个耦合的偏微分方程系统。更重要的是，定理4.5不能应用于这种情况，因为在一般情况下，πm依赖于整个pathof m。在这种情况下，找到解决方案的关键是假设一个可分离的指数ansatz:f（t，x，ei）=ξ（t，ei）expD（t）x, （4.22）对于某些函数ξ：[0，T]×E→ R、 D:[0，T]→ R、 这当然意味着对模型参数的某些限制。更准确地说，为了能够分离ei和x中考虑的数据，我们假设以下参数规格，称为（SMMAFρ）：γ（x，ei）=Γ（1）（ei）+Γ（2）xux（x，ei）=u（1）x（ei）+u（2）Xxσx（x，ei）=b（Γ（1）（ei）+Γ（2）x（SMMAFρ∈ R≥0，b∈ R> 0和¨u（2）X∈ R

请注意，该参数设置是系统规范（SMMAF）的一个特例，我们还需要假设σXis是γ的常数倍，或等效γ（x，ei）=bσx（x，ei），因此风险的市场价格与随机因素的波动性成正比。通过在PDE（3.7）中插入（4.22），我们得到了关于函数ξ（t，e）和D（t）的下列方程，对于所有t∈ [0，T]：ξ（T，ei）hδr（ei）+δ1- ΔΓ（1）（ei）+Du（1）X（ei）+Dδ1- ΔρbΓ（1）（ei）+DbθΓ（1）（ei）i|{z}=：Γ（t，ei）+ξt（t，ei）=-lXj=1qijξ（t，ej），ξ（t，ei）=1，我∈ E（4.23）Dt+δ1- δ′Γ（2）+Du（2）X+δ1- ΔρbΓ（2）+DbθΓ（2）=0，D（T）=0，（4.24），其中θ=1-δ1-δ+δρ. 与之前类似，我们从推论A.7中得到ξ的以下表达式：ξ（t，ei）=EhexpnZTtΓ（s，MC（s））dsoMC（t）=eii，工程安装∈ E.（4.25）观察到它是连续且可微分的w.r.t。如前一节所述，ξ一般可以通过数值求解常微分方程组、马格纳斯级数或（4.25）的蒙特卡罗模拟来计算。对于D，我们需要用常数参数解aRiccati方程（见引理5.1）。让我们总结一下刚才计算的内容，并提供所需的验证结果。定理4.9（利用杠杆进行求解和验证）将模型规格视为（SMMAFρ），并假设方程（4.24）具有唯一的可微分解D。然后相应HJBE方程的解由以下公式给出：Φ（t，v，x，ei）=vΔΔΔEhexpnZTtΓ（s，MC（s））dsoMC（t）=eiiexp{D（t）x}=vΔΔξ（t，ei）exp{D（t）x}，（t、v、x、ei）∈ [0，T]×R≥0×DX×E，（4.26），其中函数ξ如等式（4.25）所示。

注意Φ∈ C1,2,2适用于所有ei∈ E.如果bΓ（2）6=0，\'u（2）X+δ1-ΔρbΓ（2）<0，δ1-δΓ（2）<θ（2）X+δ1-ΔρbΓ（2））bΓ（2）和0≤θ（a）-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2））bΓ（2），对于a:=q（\'u（2）X+δ1-ΔρbΓ（2））-δ1-δbθ（Γ（2）），那么函数D由以下公式给出：D（t）=θ-c(-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2）+a）exp{-a（T）-t） }-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2）-A.bΓ（2）（1）-c经验{-a（T）-t） }）对于0<θ（a）-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2））bΓ（2）0表示0=a-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2））bΓ（2），带c：=-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2）-A.-u（2）X-δ1-ΔρbΓ（2）+a.进一步，考虑马尔可夫链的任意但固定路径m，并考虑与m相关的时间依赖模型。然后，其HJB方程的解Φmt由以下公式给出：Φm（t，v，x）=vΔδexpnZTts、 男(s)dsoexpD（t）x. （4.27）假设对于所有m，Φmis实际上是相应时间相关模型中的值函数。然后，函数Φ是带有马尔可夫交换的模型的值函数，最优投资组合由以下公式给出：\'-π=n1- Δλ∑P |{z}均值-var.portf+1.- ΔρσXσPD |{z}（t，（X（t），MC（t））=1- ΔσPnγ+ρσXD（t）o（t，（X（t），MC（t））。第一个陈述的证据考虑上述推导和推论A.7。函数D的显式表达式后面是引理5.1。对于等式（4.27）的证明，观察B（t）：=θD（t）为所考虑的模型规格求解等式4.11，并应用定理4.1。很容易验证等式（4.14）中积分的项对应于Γ（s，m（s））。因此，Φm求解了与时间相关的HJB方程，并假设它是它的值函数。观察它保持的函数Φ：Φ（t，v，x，ei）=E[ΦMC（t，v，x）| MC（t）=ei]。此外，时间相关模型中的最优策略由以下公式给出：‘πm=1- δnλσP+ρσXσPDo（t，（Xm（t），m（t））=1- ΔσPnγ+ρσXDo（t，（Xm（t），m（t））。由于它不取决于m的整个路径，而只取决于其当前水平，因此我们可以应用EoREM 4.5和4.6。

声明如下。5示例：马尔可夫调制的赫斯顿模型（MMH）在本节中，我们将导出的结果应用于著名的赫斯顿模型，其中，随机因素遵循均值回复CIR过程，并被解释为资产价格过程的随机波动性。原始模型在[8]中介绍。[14]和[12]推导了原始赫斯顿模型下的最优投资组合。接下来，我们将这个框架扩展到马尔可夫切换参数。更准确地说，我们考虑以下模型：dP（t）=P（t）rMC（t）dtdP（t）=P（t）hrMC（t）+^λMC（t）X（t）dt+νMC（t）pX（t）dWP（t）idX（t）=κMC（t）(θMC（t）- X（t））dt+χMC（t）pX（t）dWX（t）dhWP，WXi（t）=ρ，（5.1），初始值P（0）=P，P（0）=pand X（0）=X和r，^λ，ν，κ，θ，χ：E→ 对于所有ei，都是κ（ei）、θ（ei）、χ（ei）>0的确定性函数∈ E.此外，假设2κ（ei）θ（ei）≥ χ（ei），对于所有ei∈ E、 为了确保过程Xm的积极性。注意，根据模型（2.1）和（MMAF）中的符号，该框架对应于以下参数规格：σP（x，ei）=ν（ei）√xγ（x，ei）=^λ（ei）ν（ei）√十、=> Γ（1）（ei）=0，Γ（2）（ei）=^λ（ei）ν（ei）uX（X，ei）=κ（ei）θ（ei）- 十、=> u（1）X（ei）=κ（ei）θ（ei），u（2）X（ei）=-κ（ei）σX（X，ei）=χ（ei）√十、=> ∑（1）X（ei）=0，∑（2）X（ei）=χ（ei）ργ（X，ei）σX（X，ei）=ρ^λ（ei）ν（ei）χ（ei）X=> ζ（1）（ei）=0，ζ（2）（ei）=ρ^λ（ei）ν（ei）χ（ei），（MMH）表示所有（t，ei）∈ [0，T]×E.在[7]中，波动率掉期的定价使用了类似的模型。与之前一样，我们首先在相应的时间依赖模型（第5.1节）中推导出最优投资组合策略和价值函数。之后，在第5.2节中，我们给出了马尔可夫调制模型的结果，该模型与驱动风险资产价格过程的布朗运动和波动率之间没有相关性。

第5.3节讨论了相关案例。5.1时间依赖模型时间依赖模型如下所述：dP（t）=P（t）rm（t）dt，dP（t）=P（t）hrm（t）+^λm（t）Xm（t）dt+νm（t）pXm（t）dWP（t）i，dXm（t）=κm（t）(θm（t）- Xm（t））dt+χm（t）pXm（t）dWX（t），dhWP，WXi（t）=ρdt，（5.2），初始值P（0）=P，P（0）=pand X（0）=X，其中函数m定义为不等式（4.2）。在[6]和[18]中的校准和衍生工具定价的背景下，提出了一个类似的模型。从第4.1节中的等式（4.8）中，我们知道，修改后的过程的漂移φXm由以下公式给出：△X（~Xm（t），m（t））=κ（m（t））θ（m（t））-~Xm（t）+δ1 - Δρχ（m（t））^λ（m（t））ν（m（t））~Xm（t）=：：κ（m（t））θ（m（t））-~Xm（t）.进一步回顾一下，我们对解方程（4.11）和（4.12）感兴趣，以便找到优化问题的值函数。此外，根据定理4.1，我们有以下概率表示：hm（t，x）=EhexpnZTtθg（s，~Xm（s），m（s））dso~Xm（t）=xi。当然，它会导致相同的ODE（4.11）和（4.12），但是在时间相关参数的情况下，使用期望值更方便。下面的定理将概率方法和ODE方法结合起来，并提供了显式计算解决方案的主要工具。引用自[14]的命题5.1。引理5.1通过以下SDE定义过程X:dX（t）=κ（θ）- X（t））dt+χpX（t）dW（t），其中κ，θ，χ∈ R> 0和Wis是标准的布朗运动。

对于β≤κ2χ和α≤κ+aχ，其中a:=pκ- 2βχ，以下函数定义明确：α，β（t，t，x）：=Ehexpnαx（t）+βZTtX（s）dsoX（t）=xi。更准确地说，它由以下公式给出：α，β（t，t，x）=expAα，β（T- t） +Bα，β（t- t） x,其中，对于固定T>0的函数，Aα、β（τ）和Bα、β（τ）是实值函数，在[0，T]上可连续微分，并满足以下常微分方程组：- Bα，βτ（τ）+χBα，β（τ）- κBα，β（τ）+β=0，Bα，β（0）=α- Aα，βτ（τ）+κθBα，β（τ）=0，Aα，β（0）=0。对于β<κ2χ和α<κ+aχ，它们由以下公式给出：aα，β（τ）=κθ（κ- a） χτ-2κθχlnn1- c经验(-aτ）1- coBα，β（τ）=-c（κ+a）exp(-aτ）+κ- aχ1.- c经验(-aτ）,其中c：=-αχ+κ-A.-αχ+κ+a.对于β≤κ2χ和α=κ+aχ我们得到：aα，β（τ）=κθκ+aχτ，Bα，β（τ）=κ+aχ。观察函数Aα，β（t）：=Aα，β（t-t） 和Bα，β（t）：=Bα，β（t-t） 求解以下常微分方程组：~Bα，βt（t）+χ~Bα，β（t）- κBα，β（t）+β=0，~Bα，β（t）=α~Aα，βt（t）+κθ~Bα，β（t）=0，~Aα，β（t）=0。在下面的引理中，我们总结了函数Aα，β和Bα，β的一些性质，我们将需要这些性质来计算价值函数F m和对最优投资组合进行定性分析。引理5.2（特征函数的性质）考虑引理5.1的表示法，并假设β<κ2χ和α<κ+aχ。然后证明：i）Bα，β（τ）在τ中是单调的。ii）limτ↓0Bα，β（τ）=α。iii）limτ↑∞Bα，β（τ）=κ-aχ< 0，对于β<0=0，对于β=0>0，对于β>0。（四）τAα，β（τ）(≤ 0表示α≤ 0和β<0≥ 0表示α≥ 0和β>0。v） 让β≥ 0和α≥ 0.α，β（τ）∈- 2κθχln{1+Tκ}，3κθTχ总之τ∈ [0，T]。vi）设a=6=0。不管怎样，c∈ (κ-aχ，κ+aχ）它认为：如果α<c，那么Bα，β（τ）<c。证明语句i），ii），iii）和iv）的证明，然后是琐碎的计算。