既不动态对冲也不完全对冲的风险中性期权定价

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英文标题：
《Risk Neutral Option Pricing With Neither Dynamic Hedging nor Complete
  Markets》
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作者：
Nassim N. Taleb
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Proof that under simple assumptions, such as constraints of Put-Call Parity, the probability measure for the valuation of a European option has the mean derived from the forward price which can, but does not have to be the risk-neutral one, under any general probability distribution, bypassing the Black-Scholes-Merton dynamic hedging argument, and without the requirement of complete markets and other strong assumptions. We confirm that the heuristics used by traders for centuries are both more robust, more consistent, and more rigorous than held in the economics literature. We also show that options can be priced using infinite variance (finite mean) distributions.
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中文摘要：
证明在简单假设下，如看跌期权平价的约束条件下，欧洲期权估值的概率测度具有从远期价格得出的平均值，在任何一般概率分布下，该平均值可以（但不必）是风险中性的，绕过Black-Scholes-Merton动态对冲论点，而且不需要完整的市场和其他强有力的假设。我们确认，数百年来交易者使用的启发式方法比经济学文献中的方法更稳健、更一致、更严格。我们还表明，期权可以使用无限方差（有限均值）分布定价。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Risk_Neutral_Option_Pricing_With_Neither_Dynamic_Hedging_nor_Complete_Markets.pdf (73.3 KB)

2022-5-6 05:21:17 上传

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关键词：期权定价 Mathematical distribution Quantitative Assumptions

极端风险倡议——纽约大学工程学院工作文件系列独特的期权定价措施，既不动态对冲，也不完全市场*+ *纽约大学工程学院（School of Engineering）、纽约大学（NYU）和前期权交易委员会（Foreign Option Trade）提供了一个有力的证据，证明在简单的假设下，如看跌期权平价的约束条件下，欧洲期权估值的概率测度具有从远期价格中得出的平均值，在任何一般概率分布下，远期价格可以，但不必是风险中性的，绕过布莱克-斯科尔斯-默顿动态套期保值论点，不需要完全市场和其他强有力的假设。我们确认，数百年来交易者使用的启发式方法比经济学文献中的方法更稳健、更一致、更严格。我们还表明，期权可以使用有限方差（有限元）分布进行定价。I.背景期权估值方法已经被贸易商有效地使用了几个世纪（Haug和Taleb，2010）。此外，根据最终收益预期进行的估值迫使期权价格使用的概率分布平均值为远期平均值，这要归功于看涨期权平价，如果远期为风险中性定价，期权也将如此。

Black-Scholes论点（Black and Scholes，1973，Merton，1973）旨在允许风险中性期权定价考虑动态对冲，因为期权变得多余（因为其收益可以建立为现金和基础资产的线性组合，随时间动态修正）。这是一个谜，因为：1）由于跳跃导致的投资组合变化占主导地位，动态套期保值在金融市场上不具有操作可行性；2）动态套期保值的论点在数学上不适用于fattails；它需要一个非常特殊的“Black-Scholes世界”，其中有许多不可能的假设，其中一个假设需要精确的变化，3）交易员使用相同的Black-Scholes“风险中性参数”对不允许动态复制的资产期权进行估值，4）交易者在风险中性参数不适用的领域内持续交易期权5）存在基本的信息限制，阻止了随机积分的收敛。本论文的几位前辈认为，看跌期权平价是在基础分布的平均水平上实施某种结构的充分约束，如Derman和Taleb（2005年）、Haug和Taleb（2010年）。这些方法具有启发性、鲁棒性，但被认为是手工操作（Ruf fino和Treussard，2006）。此外，他们还表明，运营商需要使用风险中性均值。

本文所做的是，在一个科学谜题的案例中，爱德华·索普（Edward Thorp，1973）在不需要动态套期保值的一个基于期望的神经推导中记录（并使用）了一个名为“BlackScholes-Merton”的精确公式它超越了“手工”的形式证明它使用完全不受分布影响的、基于期望的方法，证明了风险中性的论点，没有动态对冲，也没有任何分布假设除了风险中性之外，它还建立了在缺乏此类论证的情况下，期权价格的唯一定价分布的情况。远期（或未来）价格可以嵌入预期并偏离套利价格（例如，监管或其他限制），但期权的定价仍然可以按照与此类远期平均值相对应的分布进行。o它展示了一个人如何在没有“完整性”和金融经济学理论支持的情况下实际拥有一个期权市场。这些都是在两个约束条件下完成的：“水平”，即看跌期权平价，和“垂直”，即不同的履约价格估值提供了一个概率度量，该概率度量被证明是唯一的。唯一的经济假设是，远期退出是可交易的——在没有这种独特的远期价格的情况下，讨论标准期权定价是徒劳的。我们还需要概率度量来对应有限第一时刻的分布。在这个方向上，前面的工作如下。

Breedenand Litzenberger（1978）和Dupire（1994）展示了期权分布如何提供独特的概率度量；有一些文件在期权之间建立了更广泛的套利关系，比如卡尔和马丹（2001年）。然而1）这些论文都没有通过远期合约在卖出和卖出之间架起桥梁，从而将概率分布期权之间的套利关系转化为符合远期合约分布均值的必要性，从而形成风险中性的关系（如果远期合约被套利）2） 也没有任何论文表明，在没有二阶矩（比如，有限方差）的情况下，我们可以很容易地为期权定价。我们的方法和证明没有使用方差。3） 我们的方法简单得多，更直接，对假设的变化也更稳健。我们不做一般市场完整性的假设。期权不是多余的证券，而且一直如此。表1见格林和贾罗（1987年）和纳希曼（1988年）。自Harrison和Kreps（1979年）以来，我们已经知道在没有动态套期保值的情况下进行风险中性定价的可能性，但该理论需要非常强大的——而且非常不现实的——假设，例如严格完整的市场和多期定价核心极端风险倡议——纽约大学工程学院工作论文系列2总结了本文的要点。3.4II。证明C（St，K，t）和P（St，K，t）分别为欧式看涨期权和执行价为K的看跌期权，到期日为t，并在t，t时作为基础证券≥ t、 以及标的证券在t.A.时的可能价值。

案例1：作为风险中性衡量指标的远期汇率确定r=t-tRttrsds，无风险货币市场基金的回报率，δ=t-tRttδsds指资产的支付（股票的持续股息，货币的外币利息）。我们有套利远期价格FQt:FQt=S（1+r）（t-t） （1+δ）（t）-（t）≈ Se（r）-δ） （t）-t） （1）通过套利，参见凯恩斯1924。因此，我们称FQT为通过套利以风险中性利率获得的未来（或远期）价格。假设未来FPt需要与“预期回报”m相关的风险，预期远期价格：FPt=S（1+m）（t-（t）≈ 扫描电镜（t-t） 。（2） 备注：通过套利，给定的远期价格的所有可交易价值必须等于FQt。这里的“可交易”并不是指“可交易”，只是受制于“现金和套利”的随机复制，即，如果嵌入的远期收益与r.B.衍生工具不同，则借入现金并持有产生d的证券。在以下情况中，我们认为F本身具有动态性——与情况1或情况2无关——因此是唯一的概率测度QOhm = [0, ∞) = AK∪ 其中AK=[0，K]和AK=（K，∞).考虑一类标准（简化）概率空间(Ohm, ui）以i为索引，其中uiis是一种概率度量，即满意度rOhmdui=1。定理1。

对于一个给定的到期日T，有一个独特的衡量标准，即欧洲看跌期权和看涨期权的价格取决于对最终收益的预期。这个指标可以是风险中性的，因为它对远期FQt进行定价，但不一定非要如此，并且会给远期中嵌入的股票带来回报率。著名的哈坎森悖论如下：如果市场是完全的，期权是多余的，为什么有人需要它们？如果市场不完整，我们可能需要选择，但我们如何定价？这种讨论可能为这个悖论提供了一个解决方案：市场是不完整的，我们可以为期权定价。期权价格在绝对意义上并不是唯一的：内在溢价可以占据整个价值范围；只是看跌期权平价约束迫使看跌期权和看涨期权所使用的度量与远期期权相同，并具有相同的预期。

就证券而言，期权本身就是证券；他们只是和前方有很强的联系。表I显示了动态Hedging参数与S-Reading ACROSSSTRIKES的S-Static PUT-CALL奇偶校验之间的实际差异。Black ScholesMertonPut Call Paritywith SpreadingType持续再平衡。内插静态对冲。市场假设1）持续的市场，没有缺口，没有跳跃。1） 间隙和跳跃是可以接受的。持续的罢工，或可接受的罢工次数。2） 能够在所有日期借入和出借基础资产。2） 能够为单个转帐日期借入和借出基础资产。3） 交易资产中没有交易成本。3） 交易期权交易成本低。概率分布要求所有时刻都是有限的。不包括缓慢变化的分布类别，需要有限的时间（可接受有限的时间）。市场完整性是通过动态完整性实现的，不需要（在传统意义上）假设的现实性概率的低-高收敛性（不确定；一个较大的跳跃改变了预期）在“伪造”标准偏差后，指向合适的实际使用。Portmanteau，使用适用于ALITYEXtreme风险倡议的特定分布——纽约大学工程学院工作论文系列3引理1。对于给定的到期日T，存在两个度量单位u和u，用于与终端收益预期估值相关的相同到期日和相同基础证券的欧洲看涨期权和看跌期权，这两个度量单位是唯一的，因此，对于K的任何看涨期权和看跌期权，我们有：C=ZOhmfCdu，（3）和p=ZOhmfPdu，（4），其中Fc和Fp分别为（St- K） +和（K）-分别是。证明：为了清晰起见，将r和δ设置为0，而不损失通用性。

通过看跌期权平价套利，看涨期权（“多头”）的正持有和看跌期权（“空头”）的负持有复制了可交易远期；由于损益变化，长用正号，短用负号：C（St、K、t）- P（St，K，t）+K=FPt（5），因为FPt是可交易的。对所有攻击保持调用奇偶性，所以：C（St，K+K、 （t）-P（St，K）+K、 t）+K+K=所有K的FPt（6）∈ Ohm现在，一个电话的数量在扩大K、 表达asC（St、K、t）- C（St，K+K、 如果St>K+K（即，对应于指示器函数1S>K+K） 如果圣≤ K（或1S>K），数量乘以St- K如果K<St≤ K+K、 也就是说，在0到1美元之间（见Breeden和Litzenberger，1978年）。同样地，考虑一下看跌期权的相反论点K<St.处于极限，例如K→ 0C（St、K、t）K=-P（St>K）=-扎克德。（7） 根据同样的论点：P（St，K，t）K=ZAKdu=1-扎克德。（8） 作为半封闭区间，生成整个Borelσ-代数Ohm, 这表明u和u是唯一的。引理2。看跌期权和看涨期权的概率度量是相同的，即对于A中的每个Borel集合Ohm, u（A）=u（A）。证明：组合方程式5和6，除以康德K→ 0:-C（St、K、t）K+P（St，K，t）K=1（9）对于K的所有值，soZAcKdu=ZAcKdu，（10）因此u（AK）=u（AK）对于所有K∈ [0, ∞). 这个等式适用于任何半闭区间，它可以推广到任何Borelset。引理3。静态套利要求看跌期权和看涨期权的评估与风险中性度量uQas可交易远期相同。证明：FPt=ZOhmFtduQ；（11） 从方程5ZOhmfC（K）du-ZOhmfP（K）du=ZOhmFtduQ- K（12）两边都有导数- fP=S+K，我们得到所有K.III值的氡Nikodym导数：duQdu=1（13）。

远期合约不是风险中性的情况考虑FTI可观察、可交易且仅将其用作自身具有动态性的基础证券的情况。在这种情况下，我们可以完全忽略名义标的S的动态，或者使用非风险中性的“隐含”利率将现金与远期m挂钩*=日志财政司司长T-t、 利率m可以嵌入风险溢价、融资困难、借贷的结构性或监管障碍，对最终结果没有影响。在这种情况下，可以通过将测量值uQ替换为另一个热测量值uQ来显示应用前完全相同的结果*. 期权价格仍然是独一无二的。四、 评论我们用一个简单、更温和的插值问题取代了动态套期保值的复杂性和难处理性，并绕过金融经济学定理的结构，使用简单的启发式和规则解释了前布莱克-斯科尔斯期权算子的性能。期权可以保持非冗余且市场不完整：我们只是在这里讨论一种形式的套利定价（包括概率测度预期水平上的风险中性定价），仅此而已。但这足以让我们使用任何具有有限初始时刻的概率分布，包括恢复BlackScholes的对数正态分布。我们假设证据的贴现率为0；如果利率为非零，则按照套利运营商极端风险计划（NYU工程学院工作文件系列4A最终比较）的利率贴现溢价。在动态heding中，错过一个套期保值，或遇到一个缺口（尾部事件）可能是灾难性的——正如我们所提到的，它需要数学上的一系列假设，以及数学上严重且高度不切实际的约束。在有尾分布的情况下，增加套期保值的频率并不能保证降低风险。