行为准则下的最优投资——双重方法

相似文件 换一批

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Optimal investment under behavioural criteria -- a dual approach》
---
作者：
Mikl\\\'os R\\\'asonyi and Jos\\\'e G. Rodr\\\'iguez-Villarreal
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  We consider a discrete-time, generically incomplete market model and a behavioural investor with power-like utility and distortion functions. The existence of optimal strategies in this setting has been shown in a previous paper under certain conditions on the parameters of these power functions.   In the present paper we prove the existence of optimal strategies under a different set of conditions on the parameters, identical to the ones which were shown to be necessary and sufficient in the Black-Scholes model.   Although there exists no natural dual problem for optimisation under behavioural criteria (due to the lack of concavity), we will rely on techniques based on the usual duality between attainable contingent claims and equivalent martingale measures.
---
中文摘要：
我们考虑一个离散时间的、一般不完全的市场模型和一个具有类似幂函数的效用和扭曲函数的行为投资者。以前的一篇论文已经证明了在这种情况下，在某些条件下，这些幂函数的参数存在最优策略。在本文中，我们证明了在不同的参数条件下最优策略的存在性，这与Black-Scholes模型中证明的必要和充分的条件相同。虽然在行为标准下不存在优化的自然对偶问题（由于缺乏凹性），但我们将依赖基于可达到的未定权益和等价鞅测度之间通常的对偶性的技术。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
--> Optimal_investment_under_behavioural_criteria_--_a_dual_approach.pdf (200.09 KB)

2022-5-6 05:37:42 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Optimization Optimisation Quantitative Behavioural Measurement

beh avioura l标准下的最优投资——adual方法Miklós Rásonyi*JoséG.Rodríguez Villarreal+2022年3月25日摘要我们考虑了一个离散时间的、一般不完全的m市场模型，以及一个具有类似于权力的效用和扭曲函数的行为投资者。[2]在某些条件下，这些幂函数的参数表明了这种设置下最优策略的存在性。在本文中，我们证明了在参数的不同条件下，最优策略的存在性，与[5]中的相同，这在B-lack-Scholes模型中被证明是必要且充分的。我们还放松了[2]的一些假设。虽然在行为准则下不存在选择的自然对偶问题（由于缺乏凹性），但我们将依赖基于可达到的未定权益和等价鞅测度之间通常的对偶性的技术。关键词：累积前景理论、行为投资者、最优投资组合选择、概率扭曲、非凹效用、适定性和存在性。理学硕士分类：小学G 11；次要G 12.1简介本文补充并改进了[2]的结果，在一定的参数限制下（假设2.3b），证明了具有行为标准的投资者存在非最优策略。这里我们展示了在不同参数限制条件下的相同结果（假设2.3a），这与[5]中的结果相同，但它们既不比假设2.3b强，也不比假设2.3b弱。假设2.3a在某些连续时间模型中是必要且充分的（这在[5]中有所说明，但证据尚未公布的临界情况除外）。

此外，在较弱的假设下，我们成功地反驳了[2]的主要结果。关键的新思想是从[5]中引进的，并依赖于构造一个等价的鞅测度，用于密度具有良好可积性的价格过程（见下面的引理3.1）。正是这个martinga-le度量允许我们证明优化策略序列的紧密性（下面的引理3.13），这就是为什么我们称我们的方法为双重方法。*MTA Alfréd Rényi数学研究所、布达佩斯和爱丁堡大学，电子邮件：rasonyi@renyi.mta.hu+爱丁堡大学，电子邮件：J.G.罗德里格斯-Villarreal@sms.ed.ac.uk2模型描述定义一个整数T>0，作为续集中的时间范围和一个经过过滤的概率空间Ohm, F、 {Ft}t=0，。。。，T、 P. 我们考虑一个离散时间演化的金融市场，由d个风险资产组成，其贴现价格由n个价值适应的随机过程给出，S=（St）t=0，。。。，Twore街=圣，Sdt.此外，我们假设金融市场是流动的、无摩擦的，也就是说，与交易相关的所有成本和约束都不存在，投资者可以卖空股票和借钱，并且始终可以买卖任何资产的无限数量的股票。我们用Ξdtd表示d的集合-维度英尺-可测量的随机变量。设w为R值（或Rd值）随机变量Y的集合，使得EP | Y | p<∞所有p>0。交易策略的特征是初始资本z和代表各自资产持有量的d维过程{θt:1 6 t 6 t}。我们假设θ是可预测的，即θt∈ Ξdt-1.对于所有t.所有此类策略的类别均由Φ决定。我们定义Xzt（θ）：=z+Ptk=1θk·Sk，初始投资z和交易策略θ的投资组合的价值过程，其中Sk:=Sk- Sk-1和·表示scalarproduct。

为了x∈ R符号x+，x-分别代表积极部分和消极部分。假设2.1。对于所有的t>1，圣∈ W此外，对于0 6 t 6 t- 1.存在可测量的κt，βt>0的κt，βt∈ 如此这般∈ΞdtP（ξ·St+16-κt |ξ| Ft）>βta。s、 （1）我们可能并将在续集中假设κt、βt6 1。正如[2]所指出的，（1）是没有阿尔比悲剧条件的强化形式。我们用Me（S）表示S的等价鞅测度集。回想一下，在标准无套利假设下，Me（S）6=, 参见例[3]。假设2.1将允许我们构造一个特定的Q∈ 具有有利性质的Me，见下面的引理3.1。现在我们来谈谈对经济代理人的描述。她对失败和失败的态度将用函数u+和u+来描述-. 此外，她将被假定通过函数SW+和w扭曲“真实世界”分布（概率）-. 她还将有一个“基准”或参考点B，用于在终端时间T评估投资组合收益。假设2.2。我们假设u±：R+→ R+和w±：[0,1]→ [0,1]是可测量的函数，使得u±（0）=0，w±（0）=0，w±（1）=1，以及u+（x）6k+（xα+1），（2）k-xβ- 1.6 u-（x） ，（3）w+（p）6g+pγ，（4）w-（p） >g-pδ，（5）α，β，γ，δ>0，k±，g±>0固定常数。假设2.3。这涉及假设2.2中涉及的参数。为方便起见，我们将考虑两种不同的情况。假设2.3a。参数α、β、γ和δ满足α<β和αγ<1<βδ。（6） 假设2.3b。α、β、γ和δ的参数如下：≤ 1，α<β，αγ<β。（7） 假设2.4。与前面的假设类似，我们考虑了两种情况。假设2.4a。参考点B∈ Ξt对于某些r>0的情况，延伸至L1+r（P）。假设2.4b。

参考点B∈ Ξt这里有一个交易策略∈ 初始资本b∈ R满足xbt（φ）=b+TXt=1φt·St6 B.（8）显然，在上述假设2.3b中，两种条件α<β和α/γ<β中的一种包含另一种，取决于γ>1还是γ≤ 1.假设2.4b不容易给出经济解释。这意味着行为投资者基准中发生的损失与一些自我融资投资组合的价值相当。给定一个代表投资结果的实值随机变量X，行为代理人衡量其满意度，包括预期收益的效用以及预期损失的“不满”。考虑非线性函数V+（X）和V-（十） 定义如下。乐视+（X）：=Z∞注意V+包含了投资者对收益的效用，并且w+对给定的概率分布产生了非线性变化。如果w+（x）=x，那么我们返回到预期的效用框架，因为在这种情况下V+（x）=Eu+（十）- B）+.同样，乐视网-（十） ：=Z∞W-（P（u）-（十）-) > y） 最后，我们旨在优化的目标或性能函数定义为V（X）：=V+（X）- 五、-（十） ，（11）前提是至少有一个总结是确定的。根据[4]和[7]中发展的累积性前瞻性理论（CPT），行为投资者通过（11）中定义的功能和基准B评估他们对给定投资组合的满意度。因此，我们定义了功能V+，V-低于byV+（z，θ，…，θT）：=V+（XzT（θ））=z∞w+Pu+（XzT（θ）- B）+> Ydy，（12）V-（z，θ，…，θT）：=V-（XzT（θ））=Z∞W-PU-（XzT（θ）- B）-> Ydy.（13）我们说交易策略θ∈ 如果V，则Φ可用于首字母z-（XzT（θ））<∞. 我们用A（z）表示这类交易策略的集合，用θ表示∈ A（z），V（z，θ，…，θT）：=V（XzT（θ））=V+（z，θ。

，θT）- 五、-（z，θ，…，θT）。行为投资者的最优投资组合问题在于找到θ=(θ, . . . , θ（T）∈ A（z）这样的supθ∈A（z）V（z，θ，…，θT）=V（z，θ）, . . . , θT） 。（14） 3主要结果众所周知，大多数离散时间市场模型都是不完备的，即Me（S）不是一个单体，因此如何选择合适的等价鞅测度Q的问题就出现了。引理3.1。在假设2.1下，存在Q∈ 对于ρ：=dQ/dp，我们都有ρ，1/ρ∈ W证据我们依赖于[6]，它提供了一个效用最大化框架，其中可以保证具有期望性质的鞅测度的存在。定义连续可微凹函数u（x）=（x-如果x>0-（十）- 1） 如果x<0。（15） [6]中命题7.1的假设在假设2.1和假设（15）中成立，这里是Q∈ ρ=dQdP=U′（XT（φ*))EU′（XT（φ）*))为了一些*∈ Φ. 检查[6]中命题7.1的证明可以很容易地检查φ*T∈ W代表所有t.因此ρ∈ W和ρ的界远离0，更确切地说，是1/ρ∈ W我们将刚刚构建的概率Q乘以x，以供以后使用。这将是确定作为我们主要结果基础的时刻估计的关键。还要注意的是，假设2.4 a，B∈ L1+（Q）对于所有0<<r，通过霍尔德不等式和ρ∈ W我们首先讨论行为投资者最优投资组合问题的适定性。我们说，如果（14）中的上确界是有限的，则最优投资问题（14）是恰当的。如果上确界是有限的，则该问题称为不适定问题。我们从[2]的第3节中知道，α/γ6β/δ和α<β是适定性所必需的。他们是否也足够，这是一个悬而未决的问题。然而，我们在下文中表明，（6）或（7）都是足够的。定理3.2。在假设2.1、2.2、2.3a和D2.4a下，优化问题（14）是适定的。

换句话说，supθ∈A（z）V（z，θ，…，θT）<∞. （16） 我们将使用下面给出的辅助结果，如[5]所示（见引理3.12、3.13和3.14）。为了完整起见，我们加入了他们的陈述。引理3.3。如果a、b和s是满足bsa>1的正数，则存在常数D，即p（Xs）6 1+DZ∞PXb>y阿迪a、 （17）对于所有非负随机变量X。引理3.4。让dQ/dP，dP/dQ∈ W，α<β和αγ<1<βδ。修理m∈ 然后有一些η>0满足η<β，α<η和δ<η，并且存在常数L=L（m）和L=L（m），使得∞P（（X+）α>y）γdy6l+LZ∞P（（X）-)η> y）δdy，（18）对于所有随机变量X，等式[X]=m。引理3.5。设a，b和s为严格正实数，使得s<a<b和61。然后存在0<ζ<1和常数R，Rsuch thatZ∞P（Xa>y）sdy6r+RZ∞PXb>y斯迪ζ、 （19）对于所有非负随机变量X。备注3.6。注意，在文献[5]中，假设u±，w±是幂函数（不仅与上述假设2.2中的幂函数可比）。此外，α，β，γ，δ≤ 根据文献，规定了1项。我们可以在[5]中检查，上面引理3.4的证明没有这个限制。这些引理允许我们证明定理3.2。定理3.2的证明。我们模仿了[5]中定理3.15的证明。自相矛盾的是，让我们假设优化问题是不适定的。然后对于序列φ（n）∈A（z），n∈ 我们有V+（[XzT（φ（N））- B] +）→ +∞ 作为n→ +∞. 注意，对于任何非负X，V+（X）6Z∞g+P（Xα>（y/k+）- 1） γdy≤Z∞g+k+P（Xα>t）γdt+g+k+。因此，它遵循引理3.4（选择m:=z- 等式[B]）thatlimn→+∞Z+∞P[XzT（φ（n））- B] η-> Yδdy=+∞对于满足η<β，α<η和δ<η的一些η。注意-（十） >Z∞G-P（k）-Xβ- K-> y） δdy≥Z∞G-K-P（Xβ>t）δdt。

（20） 因此，我们可以应用引理3.5得出如下结论：→+∞五、-（[XzT（φ（n））- B]-) = +∞.因此，再次使用引理3.4和3.5（并回顾0<ζ<1），V（XzT（φ（n））- B）≤ g+k+（L+1）+g+k+LZ+∞P（[XzT（φ（n））- B]-)η> y）δdy- 五、-（[XzT（φ（n））- B]-) ≤ g+k+（L+1+LR）+g+k+LR五、-（[XzT（φ（n））- B]-)G-K-+ 1.ζ- 五、-（[XzT（φ（n））- B]-) -----→N→+∞-∞,这太荒谬了。因此，正如所声称的，这个问题是适定的。在假设2.3b和2.4b的替代条件下，我们给出了一个关于适定性的结果。值得指出的是，虽然定理3.2和3.7的结论是相同的，但证明它们的方法却有很大不同。定理3.7。在假设2.1、2.2、2.3b和2.4b下，问题是适定的，即supθ∈A（z）V（z，θ，…，θT）<∞. （21）证据。注意δ≤ 1和（5）表示[2]中假设4.1中的第四个不等式。因此，我们的结果来自于[2]中的定理4.4。注意在[2]α，β，γ中≤ 1人也被调查过。正如在[2]的备注4.2中所指出的，证明不受此限制。从现在起，最优策略的存在将是我们主要关注的问题。我们需要假设过滤在以下假设3.8的意义上足够丰富。这种假设意味着投资者会随机选择他们的策略，或者从数学的角度来看，我们会扩大潜在的概率空间。我们也将在第4节对此进行评论。假设3.8。定义G={, Ohm}, 对于1，Gt=σ（Z，…，Zt）≤ T≤ T，其中theZi，i=1，T是RN值的独立随机变量。她是常数，StisGt适应，B是可测量的。此外，Ft=Gt∨ F、 t≥ 0，其中F=σ（ε），ε均匀分布在[0,1]上，与（Z，…，ZT）无关。备注3.9。上述假设显然意味着对于某些Borel functions f（t），对于所有t，St=f（t）（Z，…，Zt），B=gB（Z。

，ZT）用于某些Borel函数gB。我们可以并且将不失一般性地假设每一个子域都是有界的。[5]在假设2.3a（和b）下证明了最优策略的存在性∈ L（Q）对于某些参考概率Q∈ Me（S））在（狭窄的）连续时间模型类中。在[2]中，假设f（t），gB的连续性，在假设2.3b，2.4b和3.8不精确时间模型下显示了存在。在本文中，我们将在假设3下证明离散时间模型中存在一个最优化者。8和假设2.3a或假设2.3b，我们不需要连续性off（t），gB。我们首先介绍了一些准备结果。提案N3.10。假设4a和q2.2.2~ 在引理3.1中构造Pas。进一步，假设一系列trading策略{θn} A（z）令人满意-（z，θn，…，θnT）<∞. （22）然后存在π>1，使得supneq（XzT（θn））π-< ∞, （23）和supneq（XzT（θn））+<∞. （24）下面是SUPNEQsupt6T（Xzt（θn））π-< ∞, （25）supn，tEQ[|Xzt（θn）|]∞. （26）证据。这是引理3.5的直接应用。实际上，选择1<s<βδ和λ，使1<λ<s<βδ。Applyi ng H"older不等式，EQh（XzT（θn）- B） sλ-i=EQhρ1/λρ1/λ（XzT（θn）- B） sλ-i6 CEPh（XzT（θn）- B） s-i1/λ，其中C=等式ρq/λ1/q<∞ q是λ的共轭数。引理3.3 yieldsthat，对于所有n，CEP（XzT（θn）- B） s-1/λ6 C1+DZ∞P（XzT（θn）- B） β-> Yδdy1/δ!1/λ（27）对于某些D<∞. 因此（22）和（20）意味着（23），设置π：=min{sλ，1+r}（注意，正如我们在引理3.1之后指出的，等式| B | 1+（r/2）<∞). 此外，H"older\'sinequality给出了ssupneq（XzT（θn））-< ∞.根据[3]中的定理2，{Xzt（θn）}t6是Q下的鞅e，thusEQ | Xzt（θn）| 6 EQ | Xzt（θn）|，对于所有n，t。从式[Xzt（θn）]=z和（23）我们有supnEQ（Xzt（θn））+6 | z |+supnEQ（Xzt（θn））-< ∞因此supnEQ|XT（θn）|<∞ 这意味着（24）和（26）。

为了证明（25），应用了等式中的Doob\'s，注意f（x）=x-是凸的，因此过程{（Xzt（θn））-}这是一个正的次鞅。请注意，我们只能在离散时间内显示命题3.10，因为它依赖于[3]中的T heorem 2，在更一般的（例如连续时间）设置中失败。备注3.11。在[5]中，可容许策略θ必须同时满足V-（XzT（θ））<∞ 以及Xzt（θ）的鞅性质（在某些固定Q下）∈ 我（S））。上述证明表明，在目前的离散时间设置下，V-（XzT（θ））<∞ 意味着Xzt（θ）在Q下的可压缩性。因此，本文中的优化域与[5]中的优化域相同。备注3.12。设θ=（θ，θ，…，θT）∈ A（z）与命题3.10相同。显然，（θT·ST）+6（XzT（θ））++XzT-1(θ)-. （28）ThusEQ（θT·ST）+6eq（XzT（θ））++EQXzT-1(θ)-暗示（θnT·（圣）+< ∞. （29）我们现在将继续证明满足（22）的交易策略具有一致有界矩。引理3.13。设{θn} A（z）是一系列交易策略。让我们假设一下。1、2.2、2.3a和2.4a保持不变，并假设（22）个保持不变。然后是supneq |θnt | 1/2<∞ 对于t=1，2，T.（30）证据。在这个证明中，括号h·、·i用于表示标量积。EQh（θnT·）的均匀边界ST）+ican可按备注3.12获得。对t6t，EQhθnt使用相同的想法，Sti+6eq（Xzt（θn））++EQXzt-1（θn）-6 EQ | Xzt（θn）|+EQXzt-1（θn）, （31）右手边在n上由命题3.10一致有界。表示ρt:=EP[ρ| Ft]表示0≤ T≤ T根据假设2.1，EQhθnT，STi+>EQ|θnT |*θnTθnT, ST+（*θnT |θnT |），ST+>κT-1)> （32）>EQ“|θnT |κT-1Q*θnTθnT, ST+>κT-1.英尺-1!#.