集值短缺和分歧风险度量

利用这个命题，假设1∈ dom g，定理2.1被证明为λ=1（F¨ollmer&Schied2011，定理4.122），在这种情况下，δ`，1保证是一个风险度量（它有有限的值）。在我们的治疗中，虽然1可能不在dom g中，但在1中存在一些¨λ>0∈ dom g′λ和δ′，′λ是一种风险度量。另一方面，在Ben Tal&Teboulle（2007）中，散度函数g具有中心重要性：除了这里的假设之外，Ben Tal&Teboulle（2007）中假设g在值为0的情况下在1时达到其最大值，这相当于假设`（0）=0和1∈ `(0). 这些假设使g成为一个自然发散函数，因为函数Q 7→ M（P）上的E[g（dQdP）]具有非负值，如果Q=P，则取0；E[g（dQdP）]可以解释为某些“主观”度量Q之间的距离∈ M（P）和物理测量。另一方面，关于损失函数的附加假设可被视为限制性的。在这里，我们放弃这些假设，以“为中心对象，并使用本塔尔和特布尔（2007）中的凸性方法。注意，定理2.1（Ben Tal&Teboulle 2007，定理4.2）和命题2.4的第一部分（Ben Tal&Teboulle 2007，定理4.4）在Ben Tal&Teboulle（2007）中对λ=1的情况进行了证明。在这里，我们通过考虑约束条件（6.8）无法成立的情况，基本上推广了这个证明。约束条件（6.8）也用于Ben Tal&Teboulle（2007，定理4.2）的证明。6.3集合优化的拉格朗日对偶性：快速回顾定理3.1和命题3.5的证明依赖于最近在Hamel&L¨ohne（2014）中拉格朗日的应用。我们在此快速回顾双重问题的定义。设X是局部凸拓扑线性空间。

考虑一个集合极小化问题（3.15），其中Φ：X→ gm是一个任意的目标函数，ψ：X→ GMP是一个任意约束函数。这个问题的最优值是p:=inf（Gm，){Φ（x）|0∈ ψ（x），x∈ X}。半空间值函数Sλ，v:IRm→ λ的gm∈ IRm，v∈ IRm+\\{0}定义为λ，v（z）=nη∈ IRm | vTη≥ λTzo（6.21）将被用作标量对偶理论（连续）线性泛函的集值替代物，如Hamel（2009）、Hamel&L¨ohne（2014）所述。这里有两种类型的对偶变量：变量λ∈ IRmis是拉格朗日乘子的常用向量，用于对ψ的值进行标量化，而变量v∈ IRm+是用于对Φ的值进行标度化的权重向量。集值拉格朗日L:X×IRm×（IRm+\\{0}）→ G和目标函数H:IRm×（IRm+\\{0}）→ （3.15）的对偶问题的gm定义为（x，λ，v）=clΦ（x）+inf（Gm），){Sλ，v（z）|z∈ ψ（x）}, （6.22）H（λ，v）=inf（Gm，){L（x，λ，v）|x∈ X}。对偶问题的最优值q是对偶目标函数在双变量上的上确界：q:=sup（Gm，){H（λ，v）|λ∈ IRm，v∈ IRm+\\{0}。（6.23）提案6.1。（Hamel&L–ohne 2014，定理6.1）假设Φ和ψ是凸函数，p6=IRm。强对偶成立，也就是说，如果Slater条件的下列集值形式成立，p=q：存在‘x∈ X使得Φ（`X）6= 和ψ（°x）∩ -IRm++6=.6.4命题3.1第3节中结果的证明。单调性、平移性和凸性是微不足道的。为了证明0的完整性，使用命题2.1的证明，我们可以找到z∈ 伊姆威思`(-z）∈ -IRm+andz∈ 伊姆威思`(-z）∈ IRm++。根据C的性质，R`（0）6∈ {, IRm}。示弱*-封闭性，let（Xn）n∈Nbe L中的有界序列∞快到X了∈ L∞几乎可以肯定。

让z∈ IRmand假设存在锌∈ R`（Xn），每n∈ N、 使（zn）N∈n收敛到z。利用支配收敛定理，证明了-C、 事实上，对dom的限制：={x∈ IRm |`（x）∈ IRm}=×mi=1dom`i 伊米斯，我们有[`(-十、- z） ]嗯`画→∞(-Xn- 锌）i=limn→∞E[`(-Xn- zn）]∈ -C、 （6.24）也就是z∈ R`（X）。这显示了R的所谓法头属性，即thatlim infn→∞R`（Xn）：=nz∈ IRm|N∈ N锌∈ R`（Xn）：limn→∞锌=zoR`（X）。（6.25）由Hamel&Heyde（2010，定理6.2）提出，这相当于弱*-R′的封闭性。为了证明定理3.1，我们需要下面的引理。引理6.1。每X∈ L∞m、 R`（X）=\\λ∈IRm+，v∈IRm+\\{0}η ∈ IRm | vTη≥ infz公司∈IRm:E[`(-十、-z） ]∈IRmfλ，v（z）+infx∈CλTx, （6.26）式中fλ，v（z）：=vTz+λTE[`(-十、- z） ]。（6.27）证据。让X∈ L∞m、 使用（6.22）和（3.12），问题（3.14）的拉格朗日计算为l（z，λ，v）=clz+IRm++cl[x∈（E）[`(-十、-z） ]+C）∩IRmSλ，v（x）(6.28)=(η ∈ IRm | vTη≥ fλ，v（z）+infx∈CλTx如果E[`(-十、- z） ]∈ 嗯， 如果E[`(-十、- z） ]/∈ 伊姆福兹∈ IRm，λ∈ IRm，v∈ IRm+\\{0}。因此，双目标函数由h（λ，v）给出=η ∈ IRm | vTη≥ infz∈IRm:E[`(-十、-z） ]∈IRmfλ，v（z）+infx∈CλTx（6.29）对于λ∈ IRm，v∈ IRm+\\{0}。假设λ6∈ IRm+。自C+IRm以来+ C、 存在x∈ 这样，每n∈ 在这方面，我们有n\'x∈ C和λT′x<0。因此，infx∈CλTx=-∞ H（λ，v）=IrmForeV∈ IRm+\\{0}。因此，通过（6.23）和（3.12），对偶问题的最优值由（6.26）的右边给出。最后，命题6.1使（6.26）的两面相等，因为斯莱特的条件成立：存在“z”∈ 例如：[`(-十、- \'z]+C）∩ -IRm++6=. 关于标量版本，见命题2.2的证明。引理6.2。设置wT(-∞) = -∞ 每当w∈ IRm+\\{0}。

然后，每X∈ L∞m、 R`（X）=\\R∈IRm+，w∈IRm+\\{0}Z∈ IRm | wTz≥ wTδ`，r（X）+infx∈CwT（r·x）. （6.30）证据。考虑到（6.29），r，w∈ IRm+\\{0}，我们定义（r，w）：=η ∈ IRm | wTη≥ wTδ`，r（X）+infx∈CwT（r·x）, （6.31）我们将展示\\λ∈IRm+，v∈IRm+\\{0}H（λ，v）=\\r∈IRm+，w∈IRm+\\{0}M（r，w）。（6.32）首先，如果r∈ IRm+，w∈ IRm+\\{0}，然后定义λi=riwi和vi=wi∈ {1，…，m}。那么λ∈ IRm+，v∈ IRm+\\{0}以及H（λ，v）=M（r，w）；见（3.24）和（3.25）。这意味着左手边的界面至少和右手边的界面一样多；因此，”” 这是真的。反之，如果λ∈ IRm+，v∈ IRm+\\{0}，然后我们为每个n定义∈ 恩安迪∈ {1，…，m}，（rni，wni）：=λivi，vi如果vi>0，（1，vi）如果vi=0，λi=0，nλi，n如果vi=0，λi>0。（6.33）然后∈ IRm+，wn∈ IRm+\\{0}和λi=rniwni。设η为（6.32）右侧的一个点。如果没有我∈ 满足vi=0且λi>0的{1，…，m}，则v=wn且H（λ，v）=m（rn，wn）为每n∈ N因此，η∈ H（λ，v）。接下来，假设有一些j∈ vj=0，λj>0的{1，…，m}。自η∈ M（rn，wn）表示每n∈ N、 接下来是Xi:vi>0i:vi=λi=0viηi+Xi:vi=0，λi>0ηin≥Xi:vi>0i:vi=λi=0infzi∈IR:E[`(-xi-)<+∞（vizi+λiE[`i(-xi- zi）]+Xi:vi=0，λi>0ninfzi∈IR（zi+nλiE[`i(-xi- zi）]+infx∈CλTx.（6.34）如果j∈ {1，…，m}使得vi=0，λj>0，然后我们得到，对于每个n∈ N- ess sup Xj- nλjgjnλj≤ infzj∈IR（zj+nλjE[`j(-Xj- （6.35）≤ - ess inf Xj- nλjgjnλj.这可以通过与（6.14）中类似的计算进行检查。由于gj是凸的且低阶连续的，因此gjcl-dom gj的限制是一个连续函数，参见Zalinescu（2002年，命题2.1.6），因此limn→∞ninfzj∈IR（zj+nλjE[`j(-Xj- zj]）=- 画→∞λjgjnλj= -λjgj（0）。

（6.36）另一方面，infzj∈IR（vjzj+λiE[`i(-Xj- zj）]）=λjinfzj∈愤怒的，愤怒的(-Xj- zj）]（6.37）=λjinfy∈IR`j（y）=-λjgj（0）自`jis非减损和Xj∈ L∞. 以（6.34）中的极限为n→ ∞, 我们最终得到vtη≥mXi=1infzi∈IR:E[`i(-xi-)<+∞（vizi+λiE[`i(-xi- zi）]+infx∈CλTx，（6.38）即η∈ H（λ，v）。因此，（6.32）如下。定理3.1的证明。让r∈ IRm+和definegw，r（z）：=wT(-z+r·E[`(-X+z）]（6.39）每w∈ IRm+\\{0}和z∈ IRmwith E[`(-十、- z） ]∈ IRm。注意d`，r（X）=\\w∈IRm+\\{0}η ∈ IRm | wTη≥ infz∈IRm:E[`(-十、-z） ]∈IRmgw，r（z）+infx∈CwT（r·x）=\\W∈IRm+\\{0}η ∈ IRm | wTη≥ wTδ`，r（X）+infx∈CwT（r·x）, （6.40），这源自定义3.2、（3.24）、（3.25），以及一个闭凸集是其所有支撑半空间的交点这一事实；参见Hamel&L–ohne（2014，（5.2））。根据定理2.1，我们有δ`，r（X）∈ IRmif且仅当1∈ 因此，D`，r（X）=IRmif且仅当1/∈ dom gr.结果直接来自引理6.2。命题3.2的证明。如果1∈ dom gr，然后δ`，r（X）∈ 定理3.1证明中的计算可归结为：d`，r（X）=δ`，r（X）+\\w∈IRm+\\{0}Z∈ IRm | wTz≥ infx∈CwT（r·x）（6.41）=δ′，r（X）+r·C。通过这种表示，很容易检查D′，ris是一个闭凸风险度量，因为δ′i，ri是每个i的下半连续凸标量风险度量∈ {1，…，m}。如果1/∈ dom gr，那么δ`，r（X）=-∞ 因此，D`，r（X）=不适用于常规wT(-∞) = -∞ 引理6.2。命题3.4的证明。让我们∈ IRm+\\{0}和M（r，w）如（6.31）所示。现在，让我们一起过去-α（3.32）右侧定义的功能。

利用定理2.1给出的标量散度风险测度的对偶表示，我们得到m（r，w）=（z）∈ IRm | wTz≥mXi=1supQi∈M（P）wi（EQi）[-Xi]- Igi，ri（Qi | P））+infx∈CwT（r·x））=\\Q∈毫米（P）Z∈ IRm | wTz≥ wT（等式[-X]- Ig，r（Q | P））+infx∈CwT（r·x）=\\Q∈毫米（P）-α（Q，w）+EQ[-X]. （6.42）因此，D`，r（X）=\\w∈IRm+\\{0}M（r，w）（6.43）=\\（Q，w）∈Mm（P）×（IRm+\\{0}）-α（Q，w）+EQ[-X].最后，我们展示了-α = -αD`，r.用（3.29）表示Q∈ 嗯（P），w∈ IRm+\\{0}，我们获得-αD`，r（Q，w）=cl[X∈L∞M等式[X]+δ`，r（X）+r·C+G（w）(6.44)=Z∈ IRm | wTz≥ infX∈L∞mwT等式[X]+δ`，r（X）+ infx∈CwT（r·x）=（z）∈ IRm | wTz≥ -mXi=1wiIgi，ri（Qi | P）+infx∈CwT（r·x））=-α（Q，w），其中第三个等式来自命题2.4中建立的类似标量结果。因此-αD`，r=-α和（3.32）成立。命题3.5的证明。用（3.29）表示Q∈ 嗯（P），w∈ IRm++，我们获得- αR`（Q，w）=cl[X∈L∞M等式[X]+G（w）+cl[z∈IRm:E[`(-十、-z） ]∈IRmz+IRm+| 0∈ E[`(-十、- z） ]+C= cl[z∈IRm[X∈L∞m:E[`(-十、-z） ]∈IRmnz+EQ[X]+G（w）|0∈ E[`(-十、- z） ]+Co=cl[X∈L∞mnEQ[-十] +G（w）|0∈ E[`（X）]+Co=inf（Gm，)nEQ[-十] +G（w）|0∈ E[`（X）]+C，X∈ L∞mo，（6.45），其中E[`（X）]+C被理解为 每当E[`（X）]=+∞. 接下来，我们计算这个凸集值极小化问题的对偶问题的最优值。由（6.22），为X∈ L∞m、 λ∈ IRm+，v∈ IRm+\\{0}，我们有L（X，λ，v）=IRmif v6∈ {sw|s>0}。此外，如果v=sw对于某些大于0的情况，那么l（X，λ，v）=EQ[-十] +G（西南）+Z∈ IRm | swTz≥ λTE[`（X）]+infx∈CλTx=Z∈ IRm | swTz≥ swTEQ[-十] +λTE[`（X）]+infx∈CλTx（6.46）每当E[`（X）]∈ IRmand L（X，λ，v）= 否则每s>0，观察G（sw）=G（w）。因此，H（λ，sw）=Z∈ IRm | wTz≥ infX∈L∞m:E[`（X）]∈IRmwTEQ[-十] +sλTE[`（X）]+ infx∈CsλTx=Hλs，w（6.47）对于λ∈ IRm+，s>0。对偶问题的最优值Hλs，w| s>0，λ∈ IRm+= 啜饮H（λ，w）|λ∈ IRm+.

（6.48）因为每一个i的wi>0∈ {1，…，m}根据假设，我们有h（λ，w）=nz∈ IRm | wTz≥ infX∈L∞MwTEQ[-十] +wT（r·E[`（X）]）+ infx∈CwT（r·x）o，（6.49），其中ri:=λiwi，i∈ {1，…，m}。注意infx∈L∞MwTEQ[-十] +wT（r·E[`（X）]）=mXi=1wiinfXi∈L∞wiE-dQidPXi+ riE[`i（Xi）]=mXi=1wiEinfxi∈红外光谱-dQidPxi+ri`i（xi）= wTIg，r（Q | P）。（6.50）因此，对偶问题的最优值等于（3.33）中的中间项。请注意，Slater的条件成立，即存在“X”∈ L∞例如`（`X）+ C）∩ -IRm++6=. 这与命题2.4的证明中的标量版本是直接相关的。因此，第一个等式（3.33）由Hamel&L–ohne（2014，定理6.6）确定。自Ig以来，r（Q | P）6∈ IRmif 1/∈ dom gr，wealso在（3.33）中有第二个等式。6.5命题4.1第4节结果的证明。利用这些定义，我们得到了租金（X）=（z∈ IRm|C∈ C我∈ {1，…，m}:Eeβi(-xi-(子)- 1βi=-ci）（6.51）=（z∈ IRm|C∈ C我∈ {1，…，m}:zi=βilogEE-βiXi1.- βici，1>βici）=ρent（X）+分。命题4.2的证明。每一次我∈ {1，…，m}，注意δ\'i，ri（Xi）=infzi∈IR（zi+riE）[\'i(-xi- zi）]（6.52）=βilog-Ehe-βiXii+βi（1- ri+对数ri）∈ IR。结果来自命题3.2。引理4.1的证明。首先，我们使用最初的定义将FW和HW从IRm++扩展到IRm，这样我们就有了∈IRm++（fw（r）+hw（r））=infr∈IRm（fw（r）+hw（r））。请注意，fw是一个正确的、严格凸的、连续的函数，并且有一个唯一的最小点。因此，根据Rockafellar（1970，定理27.1（d）），fw没有衰退的方向，也就是说，fw的衰退函数fw+总是严格取正值；定义见Rockafellar（1970年，第66页和第69页）。此外，hw是一个真凸下半连续函数。如果hw≡ +∞, 然后是fw+hwis的数量+∞. 假设hw是一个适当的函数。

因为0是-C、 hways总是采用非负值。因此，HW的定义是有限的。根据Rockafellar（1970，定理27.1（a），（i）），这意味着Hways的衰退函数hw+采用非负值。因此，fw+hw没有衰退的方向，因为（fw+hw）0+=fw++hw+byRockafellar（1970年，定理9.3）。因此，根据Rockafellar（1970，定理27.1（b），（d））和fw+hw的严格凸性，该函数有一个唯一的最小点rw∈ IRm++由一阶条件决定0∈（fw+hw）（rw）（6.53）=wiβi-wiβirwimi=1+w·\'x |\'x∈ -C、 好的∈-CwT（rw·x）=wT（rw·x）,就是，βi1.-rwimi=1∈ C、 infx∈CwT（rw·x）=mXi=1wirwiβi1.-rwi, （6.54）属于rw的索赔财产。命题4.3的证明。由引理4.1可知，对于每个∈ IRm+\\{0}，我们有∈IRm++（fw（r）+hw（r））=infr∈Γ（fw（r）+hw（r））=fw（rw）+hw（rw）。因此，租金（X）=ρent（X）+\\w∈IRm+\\{0}，r∈IRm++nz∈ IRm | wTz≥ -（fw（r）+hw（r））o（6.55）=ρent（X）+\\w∈IRm+\\{0}Z∈ IRm | wTz≥ - infr∈Γ（fw（r）+hw（r））=\\R∈ΓDentr（X）。让我们∈ IRm+\\{0}使fw+hw是正确的，并让r∈ IRm++。假设Dentr（X） 丹特沃（X）。然后-（fw（r）+hw（r））=infz∈Dentr（X）wTz≥ infz∈Dentrw（X）wTz=-（fw（rw）+hw（rw）），即fw（r）+hw（r）≤ fw（rw）+hw（rw）。根据引理4.1，这意味着r=rw。命题4.4的证明。命题3.5和引理4.1给出- αR`（Q，w）（6.56）=\\R∈1/gZ∈ IRm | wTz≥ -wTIg，r（Q | P）+infx∈CwT（r·x）=-β-1·H（Q | P）+\\r∈IRm++（z）∈ IRm | wTz≥mXi=1wiβi（1- ri+log ri）+infx∈CwT（r·x））=-β-1·H（Q | P）+\\r∈IRm++nz∈ IRm | wTz≥ -（fw（r）+hw（r））o=-β-1·H（Q | P）+nz∈ IRm | wTz≥ -（fw（rw）+hw（rw））o=-β-1·H（Q | P）+（z）∈ IRm | wTz≥mXi=1wiβi（1- rwi+日志rwi）+infx∈CwT（rw·x）），假设hw不相同+∞ （否则-αR`（Q，w）=IRm）。从最后一行到所声称的公式的段落由（6.54）给出。6.6命题5.1第5节结果的证明。

显然，Rmar（0）6= 从0开始∈ ∧m（0）和R（0）6=. 我们证明了函数y7的单调性和平移性→~R（Y）：=SX∈首先∧m（Y）R（X）。对于单调性，考虑Y，Y∈ L∞德威西≤ Y.让X∈ ∧m（Y）。带)Y:=Y- Y∈ L∞d、 +，itholdsBX∈ Y+K=Y-~Y+K（6.57）=Y-T-1Xt=0L∞d（英尺，Ct）∩ Dt）-~Y+L∞d（英尺，CT） Y-T-1Xt=0L∞d（英尺，Ct）∩ Dt）-L∞d、 ++L∞d（英尺，CT） Y+K，自L以来最后一次包含∞d、 ++L∞d（英尺，CT）=L∞d（英尺，IRd+）+L∞d（英尺，CT）=L∞由CT（ω）引起的d（FT，CT）∈ 对于每ω∈ Ohm. 因此，X∈ ∧m（Y）。因此∧m（Y） ∧m（Y），而黑猩猩R（Y）~R（Y）。为了证明可译性，让Y∈ L∞d、 z∈ IRm。每X∈ L∞m、 它能保持∈ ∧m（Y+Bz）<=> BX∈ Y+Bz+K（6.58）<=> B（X）- z）∈ Y+K<=> 十、- Z∈ ∧m（Y）。因此，~R（Y+Bz）=[X∈∧m（Y+Bz）R（X）=[X-Z∈∧m（Y）R（X）（6.59）=[X∈∧m（Y）R（X+z）=R（Y）- z、 可译性由此而来。在闭包算子和凸包算子下，很容易检查最后两个性质是否保持不变。因此，Rmaris具有单调性和可翻译性。因为R是凸的，所以也很容易检查R和R是凸的。最后，由于R具有凸值，并且该属性在闭包算子下保持不变，（5.6）如下。作为定理5.1证明的准备，我们在市场风险度量和集值函数卷积的概念之间建立了联系。我们首先介绍两个关键概念（基于完全格的）集值凸分析，读者可以参考Hamel（2009）的详细内容。定义6.1。（Hamel 2009，示例1）让Y L∞d、 设置Y的指示器功能是功能ImY:L∞D→ GMY定义Y=IRm+如果Y∈ Y 其他的（6.60）定义6.2。（哈默尔2009，第4.4（C）节）≥ 1是一个整数。每n∈ {1，…，N}，让Fn:L∞D→ gm应该是一个函数。功能Nn=1Fn:L∞D→ 定义为(Nn=1Fn）（Y）=cl co[Y，…，YN∈L∞d（NXn=1Fn（Yn）|Y+…+YN=Y）。（6.61）被称为F的非理想卷积。

，FN。回想一下线性运算符B:IRm→ IRD定义为（5.2）：Bx=（x，…，xm，0，…，0）Tforx∈ IRm。它的伴随词B*: 国税局→ IRmis定义（5.3）：B*y=（y，…，ym）t代表y∈ 税务局。下一个引理表明，市场风险度量基本上是原始风险度量与（5.1）定义的所有自由可用投资组合集合K的负指数函数的错误卷积。引理6.3。让R:L∞M→ Gmbe是一个闭凸风险度量，定义R:L∞D→ Gmby≈R（Y）=（R（B）*Y）如果Y∈ B（L）∞m） ,， 其他的（6.62）然后∈ L∞d、 Rmar（Y）=（R） 伊姆河-K） （Y）（6.63）=（R） ImL∞d（F，C）∩D） . . .  ImL∞d（英尺，CT）∩DT））（Y）。证据每一天∈ L∞d、 我们有r（Y）=cl[{X∈L∞m | BX∈Y+K}R（X）=cl[U∈Y+KR（U）（6.64）=cl[U，U∈L∞d{R（U）+Im-K（U）|U+U=Y}=cl[U，U，…，UT∈L∞d（R（U）+TXt=0ImL∞d（英尺，Ct）∩Dt）（Ut）|U+U+…+UT=Y）。由于非理想卷积中的每个函数都是凸的，我们可以在定义6.2中省略凸壳算子；结果如下。根据引理6.3，市场风险度量可以表示为一个不完全卷积。这些共轭函数的凸和在卷积理论中；参见Hamel（2009，引理2）。这个结果的应用是下面定理5.1证明的主要步骤。为了完整性，我们从定义集值函数的共轭开始。定义6.3。（哈默尔2009，定义5）让F:L∞D→ gm应该是一个函数。F的（芬切尔）共轭是函数-F*: Ld×（IRm+\\{0}）定义人- F*（V，V）=cl[Y∈L∞DF（Y）+nz∈ IRm | vTz≥ 嗯-VTYio. （6.65）定理5.1的证明。由于cl Rmarhas是闭合值，引理6.3意味着∈L∞d、 （R ImL∞d（F，C）∩D） . . .  ImL∞d（英尺，CT）∩DT（Y）=Rmar（Y） （第二章）。