集值短缺和分歧风险度量

（3.22）特别是，如果dom`:=×mi=1dom`i=IRm，那么r`（X）=sup（Gm，)D`，r（X）|r∈ IRm++，r∈ 多姆g=\\R∈IRm++:r∈dom gD`，r（X）。（3.23）备注3.7。定理3.1表明，短缺风险度量可以计算为偏离风险度量上的一组值supremum。然而，一般来说，没有单一的r∈ IRm+与1∈ 它产生了这个上确界，也就是说，上确界不是在一个参数下得到的。相反，你可以找一套 IRm+与1∈ 每一个r∈ Γ满足以下两个条件：（3.22）保持交叉口穿过所有r∈ Γ，每个D`，r（X）带r∈ Γ是集合的最大元素D`，r（X）|r∈ IRm+，1∈ 大教堂关于. 这与Heyde&L–ohne（2011）中介绍的集合优化问题的解决方案概念相对应（另见Hamel&L–ohne 2014，定义3.3），第4.1节将讨论熵风险度量以及最大元素的精确定义。每一个r∈ IRm+，定义一个函数δ`，r:L∞M→ IRm∪ {-∞} 由δ`，r（X）=（δ`，r（X），δ`m，rm（Xm））T（3.24）每当右手边处于IRmandδ`，r（X）=-∞ 否则回想一下，δ\'i，ri由δ\'i，ri（Xi）=infzi给出∈IR（zi+riE）[\'i(-xi- 如果ri>0，我们有δ\'i，0（Xi）=- ess inf Xi- sup dom`i；见（2.3）。如果1∈ dom（gi）ri，然后δ\'i，ri是根据定义2.5的标量（\'i，ri）-分歧风险度量。作为定理3.1的副产品，我们证明了散度风险度量在标量散度风险度量方面有一个更简单的性能。提议3.2。让r∈ IRm+。（i） 如果1∈ domgr，然后是D`，ris，是一个闭凸风险度量，表示为D`，r（X）=δ`，r（X）+r·C。

（3.26）（ii）否则，D`，r（X）=每X∈ L∞m、 特别地，如果dom`=IRm，那么D`，ris是一个闭凸风险度量当且仅当r∈ IRm++withr∈ dom g.注意，在命题3.2的表述中，对X的依赖性∈ L∞仅通过向量部分δ`，r（X）进行mis；然而，相对权重向量r的选择仍然会影响集合C到r·C的失真。备注3.8。让我们来评论一下使用短缺风险度量和收敛风险度量之间的权衡。根据命题3.2（i）中的表示，相对权向量r的发散性风险度量∈ IRm+（带1）∈ dom gr）具有简单结构的`，r（X）=δ`，r（X）+r·C，其中对X的依赖仅取决于标度收敛风险度量的向量δ`，r（X）。因此，散度风险测度的计算简化为m个标量风险测度的计算。然而，短缺风险度量不具备约束优化问题的简单表示。将集值风险定义为R`（X）是一个（更）保守的概念 D`，r（X）。另一方面，分歧风险度量作为附加参数r：对于每项资产，投资者必须指定多少单位的预期损失可与初始时间的一单位消费相比较。3.5双重代表在本节中，我们以向量概率度量和权重向量的形式陈述短缺和分歧风险度量的代表。这种凸风险度量的表示称为对偶表示。Hamel&Heyde（2010）和Hamel et al.（2011）证明了闭凸风险度量确实具有半空间值函数的特征，该函数在其对偶表示中出现。我们首先调用这个结果。为此，让Q=（Q。

，Qm）t是m维向量概率测度，即Qi是(Ohm, F） 每一次我∈ {1，…，m}。对于每个X，我们定义等式[X]=（等式[X]，…，EQm[Xm]）t∈ 使成分存在于IR中。我们用Mm（P）表示所有m维向量概率测度的集合(Ohm, F） 对于Q，其分量相对于P是绝对连续的∈ 我们设置dQdP=（dQdP，…，dQmdP）T，其中，对于每个i∈ {1，…，m}，dqidp表示qi对P的Radon-Nikodym导数∈ IRm+\\{0}，我们定义了半空间G（w）：=nz∈ IRm | wTz≥ 0o。（3.27）提案3.3。（Hamel et al.2011，定理4.2）函数R:L∞M→ gm是闭凸风险测度当且仅当∈ L∞m、 R（X）=\\（Q，w）∈Mm（P）×（IRm+\\{0}）-αR（Q，w）+EQ[-X], （3.28）在哪里-αR:Mm（P）×（IRm+\\{0}）→ Gm是R的惩罚函数，定义如下：- αR（Q，w）=cl[X∈L∞mhR（X）+等式[X]+G（w）i、 （3.29）每个（Q，w）∈ Mm（P）×（IRm+\\{0}）。与标量情形一样，闭凸风险测度的罚函数与其芬切尔共轭基本一致。在集值情况下，从具有对偶变量Lm×（IRm+\\{0}）的集值共轭函数到具有对偶变量Mm（P）×（IRm+\\{0}）的惩罚函数的转换需要特别小心；Hamel&Heyde（2010），Hamelet al.（2011）详细描述了该程序。在命题3.4和命题3.5中，我们分别给出了分歧和短缺风险度量的惩罚函数。为此，我们定义了向量概率测量的散度。定义3.3。让r∈ IRm+和Q∈ 嗯（P）。每一次我∈ {1，…，m}，letIgi，ri（Qi | P）：=（riEhgi）ridQidPiif ri>0，则支持iif ri=0。（3.30）元素Ig，r（Q | P）∈ IRm∪ {+∞} 定义为Ig，r（Q | P）：=（Ig，r（Q | P），Igm，rm（Qm | P））T（3.31）如果Igi，ri（Q | P）∈ 每个i的IR∈ {1, . . .

，m}，由Ig，r（Q | P）：=+∞ 否则称为向量（g，r）-Q相对于P的散度。请注意，Igi，ri（Qi | P）是Qi相对于P的（标量）（gi，ri）-散度，参见定义2.4。提议3.4。让r∈ IRm+与1∈ dom gr.散度风险测度D`，ris的惩罚函数由- αD`，r（Q，w）=-Ig，r（Q | P）+r·C+G（w）（3.32）每个（Q，w）∈ Mm（P）×（IRm+\\{0}）与约定-αD`，r（Q，w）=IRmif-Ig，r（Q | P）=+∞.提案3.5。短缺风险度量R\'的惩罚函数如下所示：-αR`（Q，w）=（z）∈ IRm | wTz≥ 苏普∈IRm+-wTIg，r（Q | P）+infx∈CwT（r·x）)=\\R∈IRm+：1∈大教堂-αD`，r（Q，w）。（3.33）每个（Q，w）∈ Mm（P）×IRm++与约定-αD`，r（Q，w）=IRmif-Ig，r（Q | P）=+∞. 特别是，如果dom`=IRm，那么- αR`（Q，w）=\\R∈IRm++:r∈多姆g-αD`，r（Q，w）。（3.34）4个例子。1集值熵风险测度在本节中，我们假设第3节的向量损失函数是具有常数风险规避向量β的向量指数损失函数∈ IRm++，即对于每个i∈ {1，…，m}和x∈ IR，`i（x）=eβix- 1βi，（4.1），满足定义2.1中的条件。相应的向量散度函数g由gi（y）=yβilog y给出-yβi+βi（4.2）对于每个i∈ {1，…，m}和y∈ IR。在这里和其他地方，我们将约定日志y=-∞ 很久以前≤ 为了方便起见，我们有时使用符号[xi]mi=1表示x=（x，…，xm）T∈ IRm。让我们来定义x-1:=（x）-1.十、-1m）和对数x:=（对数x，…，对数xm）t对于x∈ IRm++，和log[A]：={log x |x∈ A} 暂时 IRm++。我们还将使用1:=（1，…，1）TA作为IRm的一个元素。注意int`（dom`）=`（dom`）=`（IR）=-β-1+IRm++使0∈ int`（dom`）。让C∈ GM0∈ 在C的边界点上，我们称相应的短缺风险度量：=R`熵风险度量。

下一个命题表明，Rent具有“向量值函数加固定集”的简单形式，这通常不是任意损失函数的情况。注意，函数ρentin命题4.1是标量熵测度的向量。提议4.1。每X∈ L∞m、 租金（X）=ρent（X）+美分（4.3），其中ρent（X）：=β-ilog-Ehe-βiXiimi=1，（4.4）分：-β-1.原木(1 - β·C）∩ IRm++.请注意，（3.20）中定义的集合dom g变为IRm+。由于dom`=IRm，根据命题3.2，Dentr:=D`，如果r∈ IRm++和D`，r（X）=每X∈ L∞mif r∈ IRm++\\IRm++。提议4.2。每一个r∈ IRm++和X∈ L∞m、 Dentr（X）=ρent（X）+β-1· (1 - r+logr）+r·C，（4.5），其中ρent（X）由（4.4）定义。回想一下（3.23）中的租金（·）是所有含r的Dentr（·）的最高值∈ IRm++，也就是说，对于X∈ L∞m、 租金（X）=supr∈IRm++Dentr（X）=\\r∈IRm++Dentr（X）。（4.6）如果m=1，那么C的唯一选择是IR+。在这种情况下，我们可以检查X∈ L∞,租金（X）=凹痕（X）=ρent（X）+IR+。（4.7）换句话说，（4.6）中的最大值在r=1时达到。一般来说，当m≥ 2.我们可能无法找到一些∈ IR++的租金（X）=凹痕（X）。相反，我们将根据Hamel&L–ohne（2014，定义3.3）的定义计算这个集合最大化问题的解决方案，也就是说，我们将找到一个集合 IRm++使得（i）租金（X）=Tr∈ΓDentr（X），（ii）每个∈ 是集合{Dentr（X）|r的最大元素∈ IRm++}在以下意义上：R∈ IRm++:Dentr（X） 凹痕r（X）=> 此外，集合Γ将独立于X的选择。为此，根据命题4.2，我们可以重写Dentr（X）asDentr（X）=ρent（X）+\\w∈IRm+\\{0}{z∈ IRm | wTz≥ -（fw（r）+hw（r））}，（4.9）其中，对于w∈ IRm+\\{0}，r∈ IRm++，fw（r）：=wT-β-1· (1 - r+对数r）, （4.10）hw（r）：=- infx∈CwT（r·x）=supx∈-cwr（x·t）。引理4.1。

让我们∈ IRm+\\{0}。IRm++上的函数fw+hw+∞ 否则它会在一个独特的点rw上达到它的极限∈ IRm++由以下属性决定：rw是唯一的向量r∈ 在β点支持C的IRm++-1· (1 - R-1） 由法线方向为r·w的超平面，命题4.3。使用引理4.1中的符号，集合Γ：=rw | w∈ IRm+\\{0}，fw+HW是正确的（4.11）是（4.6）中每X的最大化问题的解决方案∈ L∞m、 最后，我们根据向量相对熵（Q | P）计算租金的惩罚函数：=EQilogdQidPmi=1（4.12）向量概率测度Q∈ 嗯（P）。因此，熵风险度量的惩罚函数的形式是“负向量相对熵加上非齐次半空间”（平凡情况除外）。提案4.4。对于每个（Q，w）∈ Mm（P）×（IRm+\\{0}），我们有-α租金（Q，w）=IRmif-hw（r）=+∞ 每一个r∈ IRm++，以及- α租金（Q，w）=-β-1·H（Q | P）- β-1.原木(1 - β·C）∩ IRm+++ G（w）（4.13）如果HW是一个适当的函数。4.2风险的集值平均值在本节中，我们假设第3节中的向量损失函数`是具有标度向量α的（向量）标度正部分函数∈ （0，1）m，即每i∈ {1，…，m}和x∈ IR，`i（x）=x+αi，（4.14），满足定义2.1中的条件。相应的向量散度函数g由gi（y）=（如果y为0）给出∈h0，αii+∞ 除此之外，（4.15）对于每个i∈ {1，…，m}和y∈ IR。注意0.6∈ 在本例中，int`（dom`）=IRm++。因此，让我们∈ IRm++和C∈ Gm，其中0是C的边界点。我们将把第3节的定义和结果应用于移位损失函数▽`（x）=`（x）- 十、

相应的短缺风险度量值由▽（X）给出=Z∈ IRm | E（z）- 十）+∈ α·（x）- C）, （4.16）以组件方式应用正部分功能。注意，（3.20）中定义的集合dom g变为×mi=1[0，αi]。由于dom`=IRm，根据命题3.2，D`，如果r∈×mi=1[αi+∞) AND D▽，r（X）=每X的IRM∈ L∞mif r∈ IRm+\\×mi=1[αi+∞). 在前一种情况下，使用相对权向量r进行发散度量∈×mi=1[αi+∞) 由D)`，r（X）=δ)`，r（X）+r·C forX给出∈ L∞m、 在哪里，对于每一个我∈ {1，…，m}，δ`i，ri（Xi）=infzi∈红外光谱-zi+riαiE（子）- 十一）+- 日西。（4.17）当r=（1，…，1）和C=IRm+时，我们得到了Hamel等人（2013年，定义为M=IRm）意义上的集值平均风险值，如下所示：byAV@Rα（X）：=D▽`，1（X）+X（4.18）=英夫齐∈红外光谱-zi+αiE（子）- 十一）+mi=1+IRm+。因此，我们的框架将集值平均风险值概括为凸风险度量：AV@Rα、 r（X）：=D!`，r（X）+r·X（4.19）=英夫齐∈红外光谱-zi+riαiE（子）- 十一）+mi=1+r·C。与标量情况一样，这个定义甚至适用于X∈ Lm。5市场风险衡量本节的目的是提出一种将市场摩擦纳入风险量化的方法。作为该方法的第一步，假设存在代表投资者对市场资产态度的“纯”风险度量R。这可能是第3节中介绍的基于公用事业的风险措施之一。由于风险度量没有考虑市场的摩擦，第二步是根据市场的交易机会最小化风险。

更准确地说，我们最小化（在集合优化的意义上）通过所谓的凸市场模型交易，给定头寸可以达到的金融头寸集合上的R值。作为给定头寸的函数，风险最小化的结果被称为R诱导的市场风险度量。在文献中，Barrieu&El Karoui（2008）考虑了受交易约束的标量风险度量的最小化。在多变量情况下，Hamel et al.（2011）和Hamel et al.（2013）针对锥形市场模型的特殊情况引入了市场风险度量。在这里，这个概念被认为是一个任意的凸风险度量，具有Pennanen&Penner（2010）更一般的凸市场模型，以及交易约束和清算到较少资产的可能性。第5.1节对市场进行了描述。对偶表示结果，即第5.2节中的定理5.1，是本文的主要贡献之一。最后，在第5.3节中，我们给出了定理5.1可以应用于短缺和发散风险度量的充分条件。5.1考虑交易约束的凸市场模型∈ {1, 2, . . .} 资产我们假设市场在有限离散时间内存在交易成本或非线性非流动性。继Pennanen&Penner（2010）之后，我们使用凸偿付能力区域来模拟此类摩擦。为此，让我们∈ {1, 2, . . .},T={0，…，T}，和（Ft）T∈过滤(Ohm, F、 P）由F的P-零集扩充。数字T表示时间范围，和（Ft）T∈Tree展示了信息的进化。我们假设在时间0时没有信息，也就是说，每个F-可测函数几乎肯定是确定性的P-函数；在时间T有完整的信息，也就是FT=F。

福普∈ {0, 1, +∞} 和t∈ T、 我们用Lpd（Ft）表示Lpd中所有Ft可测随机变量的线性子空间。让我们∈ T.通过集值函数D的Ft可测性：Ohm → P（IRd），表示图{（ω，y）∈ Ohm ×IRd | y∈ D（ω）}是Ft B（IRd）-可测，其中B（IRd）表示IRd上的Borelσ-代数。对于此类函数D，定义集合Lpd（Ft，D）：={Y∈ Lpd（Ft）|P{ω∈ Ohm | Y（ω）∈p的D（ω）}=1}∈ {0, 1, +∞}.接下来我们回顾一下Pennanen&Penner（2010）的凸市场模型。每个t∈ T、 letCt：Ohm → GD应该是一个Ft可测量的函数，这样IRd+ Ct（ω）与-国税局+∩ Ct（ω）={0}∈ {0，…，T}和ω∈ Ohm. 集合CTI在时间t称为（随机）偿付能力区域；见Astic&Touzi（2007），Pennanen&Penner（2010）。它将买卖价格建模为交易规模的函数，例如C,etin等人（2004年）、C,etin&Rogers（2007年）、Rogers&Singh（2010年）；因此，直接关系到订单簿的形状。更准确地说，Ct（ω）是所有投资组合的集合，当收益为ω时，这些投资组合可以在t时刻转换为具有非负成分的投资组合。凸偿付能力区域允许对临时非流动性影响进行建模，因为它们涵盖了非线性非流动性；然而，他们认为代理人没有市场力量，因此，他们的交易不会影响后续交易的成本。例5.1。一个重要的特例是卡巴诺夫（1999）提出的锥形市场模型。假设Ct（ω）是每个t的（闭凸）锥∈ T和ω∈ Ohm. 在这种情况下，交易成本与订单的大小成正比。从财务角度来看，在中间时间对交易机会可能有额外的限制。

例如，交易可能只允许达到（可能取决于状态和时间）的资产阈值水平（例5.2），或者交易单位的某个线性组合不应超过阈值水平（例5.3）。这些约束通过凸随机集建模。给定t∈ {0，…，T-1} ，让Dt：Ohm → P（IRd）是一个Ft可测函数，使得Dt（ω）是一个闭凸集，0∈ Ct（ω）∩每ω的Dt（ω）∈ Ohm. 请注意，dt不一定映射到Gd，这就是为什么我们更喜欢使用ct∩ 而不是用Ct取代CTT∩ Dt。为了方便起见，让我们也为每个ω设置DT（ω）=ird∈ Ohm.例5.2。每个t∈ {0，…，T- 1} ，假设Dt=`Yt- IRd+，对于一些“Yt”∈ 劳工部（Ft，IRd+）。在这种情况下，资产i的交易∈ 时间t时的{1，…，d}∈ {0，…，T- 1} 不得超过i级（`Yt）。例如5.3。每个t∈ {0，…，T- 1} ，假设Dt={y∈ 税务局|附件≤ 对某些人来说∈ Ld（Ft，IRd+\\{0}）和Bt∈ L（Ft，IR+）。在这种情况下，每种资产的交易都是无限的，但交易单位与权重向量At的线性组合不能超过Bt水平。从零位isK开始的市场交易可以获得的所有财务头寸的集合：=-TXt=0L∞d（英尺，Ct）∩ Dt）。（5.1）因此，拥有财务状况的投资者∈ L∞理想情况下，DCY可以在市场上实现集合Y+Kby交易的任何元素。然而，在这种情况下，结果头寸的风险可能仅通过（少量）选择d资产进行评估，换句话说，交易必须以这样一种方式进行，即结果头寸的唯一可能非零成分可以在d资产的某个选定子集中。在不丧失一般性的情况下，假设清算发生在第一个m≤ d.资产的所有权。