集值短缺和分歧风险度量

（2.9）定义2.5。对于λ∈ IR+和1∈ dom gλ，函数δ`，λ：L∞→ IR被称为重量为λ的发散性度量。在（2.7）中，注意分歧风险度量用概率度量表示。更一般地说，根据F¨ollmer&Schied（2011，定理4.33），每个下半连续凸风险测度ρ：L∞→ IR具有双重表示，其特征是其所谓的能值函数αρ：M（P）→ 红外光谱∪ {+∞} 通过以下关系：ρ（X）=supQ∈M（P）情商[-X]- αρ（Q）, αρ（Q）=supX∈L∞情商[-X]- ρ（X）. （2.10）在命题2.4中，我们检验（2.7）确实是散度风险测度δ`，λ的对偶表示。我们还根据分歧风险测度的幂函数计算了短缺风险测度的惩罚函数。提议2.4。让λ∈ IR+和1∈ dom gλ。每个Q∈ M（P），它包含αδ`，λ（Q）=Ig，λ（Q | P），（2.11）以及αρ`（Q）=infλ∈IR+Ig，λ（Q | P）=infλ∈IR+：1∈dom gλαδ`，λ（Q）。（2.12）3集值短缺和分歧风险度量在本节中，我们介绍了基于效用的多元金融头寸短缺和分歧风险度量，这是本文的中心目标。证明见第6.4节。让我们介绍一些在本文其余部分中经常使用的符号。让我≥ 1是整数，|·|是IRm上的任意固定范数。通过IRm+和IRm++，我们分别用非负分量和严格正分量表示IRm的元素集。自始至终，我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）。

我们用Lm表示：=Lm(Ohm, F、 P）在IRm中取值的随机变量的线性空间，其中，如果两个元素几乎肯定相等，则可以识别它们；我们定义为{X∈ Lm|E[|X|]<+∞}, L∞m={X∈ Lm | ess sup | X |+∞}, （3.1）Lpm，+={X∈ Lpm | P{X∈ IRm+}=1}，p∈ {1, +∞}.向量的分量顺序表示为≤, 也就是说，对于x，z∈ IRm，它可以容纳x≤ z I仅当xi≤ 每个我∈ {1，…，m}。x，z的哈达玛积∈ IRmis定义为byx·z:=（xz，…，xmzm）T。我们用P（IRm）表示IRm的幂集，即IRm的所有子集的集，包括空集. 在P（IRm）上，带标量的明可夫斯基加法和乘法由A+B={A+B | A定义∈ A、 b∈ B} 和sA={sA|a∈ A} A，B 爱尔兰人∈ 与公约A+ =  + B= +  = , s =  （s6=0）和0 = {0}  IRm。我们也使用简写符号A- B=A+(-1） B和z+A={z}+A.对于x∈ IRmanda非空集A IRm，我们设置x·A:={x·A | A∈ A} 。这些操作可以在Lpm的功率集P（Lpm）上定义，P∈ {0, 1, ∞}, 以类似的方式。随机变量之间的等式用P-几乎确定的意义来理解。3.1不完全偏好关系≥ 1是一个整数，表示金融市场中的资产数量。线性空间IRmis称为合格投资组合空间。这意味着每个z∈ IRmis是一种在初始时间使用的潜在存款，用于补偿财务状况的风险。我们将财务状况建模为X元素∈ L∞m、 其中Xi（ω）表示i的ithasset中的物理单位数∈ {1，…，m}当世界的状态ω∈ Ohm 发生。我们假设投资者对L∞M

其数值表示为资产的单个损失函数和预期损失向量的比较规则：（i）资产的损失函数：我们假设投资者具有完全的偏好关系离子L∞对应于每个资产i∈ {1，…，m}这个偏好关系有一个由（标量）损失函数\'i:IR给出的vonNeumann-Morgenstern表示→ 红外光谱∪ {+∞}（见定义2.1）。也就是说，对于Xi，Zi∈ L∞,xi伊兹<=> 我(-Xi）]≤ 我(-)。（3.2）（ii）向量损失函数：Let`:IRm→ IRm∪ {+∞} 是由`（x）=（`（x），…）定义的矢量损失函数`m（xm））Tif x∈×mi=1dom`i+∞ 对于x，则为（3.3）∈ IRm。类似地，对应于随机位置X的预期损失向量∈L∞米西[`(-十） ]：=（E）[`(-十） ]，E[`m(-Xm）]）Tif P{-xi∈ dom`i}=1表示每个i∈{1，…，m}，和E[`(-十） ]：=+∞ 否则（三）比较规则：设C IRmbe一个闭凸集，使得C+IRm+ C和0∈ IRmis是C的边界点。预期损失向量将根据关系进行比较≤康奈德byx≤Cz<=> Z∈ x+C.（3.4）作为IRm+ C、 关系≤C通过概括预期损失向量与预期损失向量的成分比较，为“较小”的预期损失向量提供定义≤IRm+。下面的例子3.1讨论了集合C的一些例子。最后是不完全偏好关系 投资者在L∞假设mis具有以下数字表示：对于X，Z∈ L∞m、 X Z<=> E[`(-十） ]≤行政长官[`(-Z） ]。（3.5）备注3.1。在（3.4）和（3.5）中，元素+∞ 在IRMA中添加了关于≤C、 那就是，z≤C+∞ 每一个z∈ IRm∪ {+∞}. IRmis上的添加扩展到了IRm∪ {+∞}由z+(+∞) = (+∞) + z=+∞ 每一个z∈ IRm∪ {+∞}.备注3.2。注意≤C（因此) 存在（自0起）∈ C） ，如果C+C可传递 C和反对称如果C∩ (-C） ={0}（C是“指向的”）。

特别是，如果C是一个凸锥，那么≤Cis是与IRm上的线性结构兼容的偏序。备注3.3。这很容易检查 尊重所有偏好, . . . , （i）中所述的个人资产。换句话说，对于每一个我∈ {1，…，m}，X∈ L∞m、 还有子∈ L∞,xi伊兹=> 十、 （X，…，Xi-1，子，西+1，Xm）。（3.6）这要归功于IRm+ C.备注3.4。（3.3）中矢量损失函数的分量结构的选择由以下原因决定。（i） 对于每一项资产i，可以考虑一个更一般的损失函数，它取决于∈ IRmbut不仅在组件xi上。然而，第5节将根据现行汇率Ct（ω）和交易约束Dt（ω）对投资组合x=x（ω）组成部分在t时的互联性进行建模，因此，将包括在市场风险度量中。（ii）也可以考虑矢量损失函数：IRd→ d>m的IRM。降维的动机是只允许d资产中的m资产用作风险补偿的合格资产，降维是通过迫使清算进入L来建模的∞市场风险度量的最低定义5.2。这包括大量资产d以少数（m<d）货币表示的情况，这些货币被用作合格资产，损失函数仅为m种货币中的每种货币定义（但不是为每种资产单独定义）。（iii）另一方面，本文中向量损失函数的使用已经比假设多变量位置（如Burgert&R–uschendorf 2006）存在完全风险偏好的情况下更为普遍，该假设甚至具有由Campi&Owen（2011）中IRMA的实值损失函数给出的冯·诺伊曼-摩根斯坦表示（见下面的示例3.1（ii））。例3.1。

我们考虑以下不同选择C的比较规则示例。（i）如果C=IRm+，则≤C=≤ 对应于预期损失向量的组件顺序。在这种情况下，我们只需要=× . . . × m、 （ii）如果C是形式C的半空间=十、∈ IRm | wTx≥ 0对一些人来说∈ IRm+\\{0}，然后 Z<=> E[L(-十） ]≤ E[L(-Z） ]，（3.7）其中x 7→ L（x）：=Pmi=1wi`i（xi）是一个多元实值损失函数，如Campi&Owen（2011，示例2.10）所示。在这种情况下， 是一种完全的偏好关系。（iii）如果C是形式为C={x的多面体凸集∈ IRm | Ax≥ b} 一段时间∈ IRn×m+，b∈ 伊恩≥ 1（对于某些j，bj=0∈ {1，…，n}），然后 Z<=> E[A](`(-十）- `(-Z） ）]≤IRn+b，（3.8），这是一个线性不等式组。3.2基于不完全偏好关系的短缺风险测度及其集合优化公式 如第3.1节所述，我们接下来定义了空头风险度量。为此，我为每一个人∈ {1，…，m}，让我来∈ 例如xi:=`i(-(子)∈int`i（IR）。点z=（z，…，zm）可以用作多变量位置的确定性基准，而x=（x，…，xm）是预期损失的相应阈值。自始至终，我们假设x=0。这是没有损失的普遍性，否则一个人可以转移损失函数和工作与x 7→`（x）=`（x）- x、 回顾（3.4）和（3.5），请注意 Z<=> E[`(-十） ]≤C0<=> 0∈ E[`(-十） ]+C<=> E[`(-十） ]∈ -C.（3.9）多变量头寸X的短缺风险∈ L∞误定义为所有确定性投资组合向量z的集合∈ 这使得X+z比基准z定义3.1更可取。

函数R`:L∞M→ P（IRm）由`（X）定义=Z∈ IRm | X+z Z= {z∈ IRm | E[`(-十、- z） ]∈ -C} （3.10）被称为短缺风险度量（在L∞m使用比较规则C）。换句话说，X的短缺风险∈ L∞所有向量z的集合错误∈ Irmf表示X+Zha是一个“足够小”的预期损失向量。提议3.1。短缺风险度量R’满足以下性质：（i）单调性：Z≥ X意味着R`（Z） R`（X）对于每X，Z∈ L∞m、 （二）可译性：R`（X+z）=R`（X）- z代表每X∈ L∞m、 z∈ IRm。（iii）0:R`（0）处的有限性/∈ {, IRm}。（iv）凸性：R`（λX+（1）- λ） Z） λR`（X）+（1）- λ） R`（Z）对于每X，Z∈ L∞m、 λ∈ (0, 1).（v） 软弱的*-闭度：集合图R`:={（X，z）∈ L∞m×IRm | z∈ R`（X）}对于弱函数的乘积是封闭的*拓扑σ（L）∞m、 Lm）和IRm上的常见拓扑。备注3.5。命题3.1中的性质使R\'成为多变量投资的合理风险度量，即每个投资组合z∈ R`（X）可以补偿X的风险∈ L∞m、 让我们来评论一下这些房地产的财务解释。单调性确保一个较大的位置（关于组件排序）风险较小，也就是说，它有一组更大的风险补偿投资组合。可转换性是指一个头寸的确定性增量将其每个风险补偿投资组合减少相同金额的要求。0的有限性保证了零位的风险可以通过至少一个但不是所有的EligiblePortfolio来补偿。对于前两个属性，它甚至保证了R`（X）意义上的任何地方的完整性/∈ {, IRm}对于每个X∈ L∞m、 凸性可以被解释为通过多样化降低风险。

最后，软弱*-封闭性是弱函数的集值形式*-标量风险度量的下半连续属性（如F¨ollmer&Schied 2011）。满足命题3.1中性质的集值函数称为（集值）（弱）*-)Hamel&Heyde（2010）和Hamel等人（2011）研究了封闭凸风险度量和风险度量。这些属性的中间结果是，闭凸风险度量的值属于集合GM:=G（IRm，IRm+）：={a IRm | A=cl-co（A+IRm+）}，（3.11），其中cl和co分别表示闭包算子和凸壳算子。事实证明，GML是研究集合优化的一个方便的图像空间，见Hamel（2009）。特别地，当它具有通常的超集关系时，它是一个更完备的格. 对于Gm的每一个非空子集A，我们有以下的上确界和下确界公式：，)A=氯钴[A]∈AA，sup（总经理，)A=\\A∈AA。（3.12）封闭（凸）集的并集不一定是封闭（凸）集，这一事实激发了内确界公式。我们也使用常规inf（Gm，) =  和sup（总经理，) = IRm。集值函数的短语“图像空间”指函数映射到的集合（幂集的子集）。这个集合一般不是线性空间。特别是，gm是Hamel（2009）意义上的圆锥线性空间：它在Minkowski加法的闭包下是闭合的，在非负calar的乘法下是闭合的（约定为0） = IRm+。注意C∈ GM0是它的边界点。如果C=IRm+，那么短缺风险度量R`就变成了标量短缺风险度量（见定义2.2）的一个微不足道的推广，即R`（X）=（ρ`（X），ρ`m（Xm））T+IRm+，（3.13）每X∈ L∞m、 一般来说，R`的这种显式表示可能并不存在。

然而，givenX∈ L∞m、 有人可能写`（X）=inf（Gm，)z+IRm+| 0∈ E[`(-十、- z） ]+C，z∈ IRm, （3.14）也就是说，R`（X）是集极小化问题minimizeΦ（z）在0的条件下的最优值∈ ψ（z），z∈ IRm，（3.15）式中Φ：IRm→ Gmandψ：IRm→ g分别表示（集值）目标函数和约束函数，定义为Φ（z）=z+IRm+，ψ（z）=E[`(-十、- z） [C.（3.16）这里，可以理解为ψ（z）= 无论何时[`(-十、- z） ]=+∞.Hamel&L–ohne（2014）提出了形式（3.15）问题的拉格朗日对偶理论。利用这个理论，我们将计算R`（X）的拉格朗日对偶问题。在变量发生变化后，双目标函数会产生另一类集值凸风险测度，称为散度风险测度。我们在第3.3节中分别介绍了这些风险度量，二元性结果被推迟到第3.4.3.3节分歧风险度量。在本节中，我们介绍了分歧风险度量，作为投资者关于多元随机头寸消费水平的决策问题。短缺和分歧风险措施之间的关系将在第3.4节中制定。假设投资者有随机投资组合X∈ L∞我想选择一个决定论者∈ IRM将在初始时间收到。因此，她将持有X- 在终点时间。她有两个相互竞争的目标：（i）最大化消费：投资者希望最大化她的即时消费z，或者等效地最小化-z、 优化只涉及投资组合向量的成分排序。（ii）最小化损失：投资者希望最小化预期损失E[`(-剩余随机位置X的X+z]- Z

在这种情况下，根据第3.1节（iii）中的集合C比较预期损失向量。这两个目标可以概括为以下集合最小化问题，其中目标函数映射为G2m：最小化-z+IRm+E[`(-X+z]+C以z为准∈ IRm。（3.17）在这里以及下面的定义3.2中，目标函数的值被理解为 生命[`(-十、- z） ]/∈ IRm。另一方面，投资者通过相对权重向量r将这些相互竞争的目标结合起来∈ IRm+：对于每个资产，我∈ {1，…，m}，Ri是预期损失E[`i]的相对权重(-Xi+zi）]关于-子。因此，她解决了“部分规模化”问题- z+IRm++r·（E）[`(-X+z）]+C）受z约束∈ IRm。（3.18）该问题的最佳值定义为X定义3.2的分歧风险。让r∈ IRm+。函数D`，r:L∞M→ GMD定义的比亚迪，r（X）=inf（Gm，){-z+r·（E）[`(-X+z）]+C）|z∈ IRm}（3.19）被称为具有相对权重向量r的分歧风险度量。显然，对于r的某些值∈ IRm+，优化问题是无界的，每X有一个hasD`，r（X）=irmF∈ L∞m、 在命题3.2中，我们将描述rfor的所有值的集合，这些值是有限的，实际上是一个闭凸风险度量，也就是说，它满足命题3.1中的五个属性。备注3.6。在一维m=1的情况下，有D`，r（X）=δ`，r（X）+IR+，其中δ`，r（X）=infz∈IR:E[`(-X+z）]<+∞(-z+rE[`(-X+z）]是定义2.5中的分歧风险度量。在文献中（见Ben Tal&Teboulle 1986年，2007年），在定义分歧风险度量时，仅考虑了r=1的情况（或针对风险度量的优化确定性等效值）-δ`,1). 在Ben Tal&Teboulle（2007）中，一般情况下r>0被简单地用标度损失函数r`处理，因为δ\'，r=δr\'，1。

（这种简化在多维情况下是不可能的，m>1为r。）∈ IRm+是集合E的倍数[`(-X+z）]+C，但不仅仅是向量E[`(-X+z）]）然而，在我们的处理中，δ`，ris被解释为一个双目标优化问题的加权和标量化，而这个问题的特征是整个族（δ`，r）r∈IR+分散风险度量。据我们所知，这一解释是本文的独创性贡献。3.4短缺风险度量的拉格朗日对偶公式本节阐述了本文的主要结果之一，定理3.1：短缺风险度量可以写成由其相对权重向量索引的散度风险度量的交集，即集值上确界（见（3.12））。第6.4节使用Hamel&L–ohne（2014）中最新的拉格朗日二重性，将短缺风险度量作为首要问题，得出了结果。第6.3节回顾了拉格朗日对偶性。引理6.1中说明了其直接应用于短缺风险度量的结果，随后引理6.2中提供了变量的变化。后一个额外步骤对于在（重新制定的）对偶问题中获得分歧风险度量至关重要。回想一下，iis的共轭函数由gi表示，这是定义2.3意义上的发散函数。向量散度函数g:IRm→ IRm∪ {+∞} 定义为g（y）=（g（y），gm（ym）Tif y∈ dom g:=×mi=1dom gi+∞ 其他的（3.20）鉴于备注2.2，给出r∈ IRm+，我们定义（y）=（g）r（y），（gm）rm（ym））T（3.21）∈ IRmand set dom gr=×mi=1dom（gi）ri。此外，对于r∈ IRm++，作者：=（r，…，rm）T.定理3.1。每X∈ L∞m、 R`（X）=sup（总经理），)D`，r（X）|r∈ IRm+，1∈ 大教堂=\\R∈IRm+：1∈domgrd`，r（X）。