集值短缺和分歧风险度量

（6.66）由Hamel（2009，备注6，引理2）提出，Rmarand cl Rmarhave在Ld×（IRm+\\{0}）上的共轭式与-~R ImL∞d（F，C）∩D） . . .  ImL∞d（英尺，CT）∩DT）*= -~R*+TXt=0-（ImL）∞d（英尺，Ct）∩Dt）*. （6.67）请注意，这是规则的集值版本“许多凸函数的非理想卷积的共轭是它们的共轭之和”让（V，V）∈ Ld×（IRm+\\{0}）。由Hamelet等人（2011年，命题6.7）关于风险度量的共轭，对于每一个（V，V）∈ Ld×（IRm+\\{0}），我们有-（cl（Rmar（·）））*（V，V）=IRmunless我们有V∈ -Ld，+和v=E[-B*V]。接下来，我们从Ld×（IRm+\\{0}）传递到Wm，d=Md（P）×（（IRm+\\{0}）×IRd-m+）使用“变量变化公式”（Hamel等人，2011年，引理3.4）。每一个V都能得到∈ -Ld，+withv=E[-B*V]，存在（Q，w）∈ Wm，D就是这样，对于每一个Y∈ L∞d、 新西兰∈ IRm | vTz≥ 嗯(-V）TYio=B*等式[Y]+G（w）∩ B（IRm）, （6.68）和相反，每（Q，w）∈ Wm，Dc可以通过一些V∈ -Ld，+带v=E[-B*V]使（6.68）适用于每个Y∈ L∞d、 注意B*（IRd）=IRm×{0∈ 国税局-m} 。对于这样的对应对（V，V）和（Q，w），使用（6.68），我们首先观察到-~R*（V，V）=cl[Y∈L∞D~R（Y）+nz∈ IRm | vTz≥ 嗯-VTYio（6.69）=cl[Y∈L∞D~R（Y）+B*等式[Y]+G（w）∩ B（IRm）= cl[Y∈B（L）∞m）R（B）*Y）+EB*Q[B*Y]+G（B）*w）= cl[X∈L∞MR（X）+EB*Q[X]+G（B）*w）= -αR（B）*Q、 B*w） 。接下来，让我们∈ T.对于相同的对（V，V）和（Q，w），根据定义6.1和6.3，我们有-ImL∞d（英尺，Ct）∩Dt）*（V，V）=cl[Ut∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）新西兰∈ IRm | vTz≥嗯(-V）TUtio（6.70）=cl[Ut∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）B*等式[Ut]+G（w）∩ B（IRm）.最后，请注意，cl r是一个封闭的凸集值函数，通过假设，它在零处是有限的。

因此，通过集值函数的双共轭，参见（Hamel，2009，定理2），wehave（cl Rmar）（Y）=\\V∈-Ld，+，v=E[-B*V]h-（cl Rmar）*（V，V）+nz∈ IRm | vTz≥ Ehvtyoi（6.71）每Y∈ L∞d、 上面的计算允许通过向量概率测度：（clRmar）（Y）=\\（Q，w）∈西医，卫生署-αcl-Rmar（Q，w）+B*（情商[-Y]+G（w））∩B（IRm）i、 （6.72）其中，对于（Q，w）∈ Wm，d，-αcl-Rmar（Q，w）=- αR（B）*Q、 B*w） （6.73）+TXt=0cl[Ut∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）B*等式[Ut]+G（w）∩ B（IRm）.推论5.1的证明。Let（Q，w）∈ 所以存在∈ T和A∈ P（A）>0和w·EhdQdP | Fti（ω）/∈ （0+Ct（ω））+对于每个ω∈ A.利用Ird中非空闭凸集的支撑函数的有效域是其衰退锥的子集这一事实，这是Rockafellar（1970，推论14.2.1）的一个简单推论，我们可以看到∈Ct（ω）w·EhdQdPFti（ω）Tyt=-∞ 对于每个ω∈ A.注意CL[Ut∈L∞d（英尺，Ct）B*等式[Ut]+G（w）∩ B（IRm）=Z∈ IRm | wT（Bz）≥ 注入∈L∞d（英尺，Ct）wTEQ美国犹他州=（z）∈ IRm |（B）*w） Tz≥ E“infyt∈计算机断层扫描w·EdQdP英尺Tyt#），其中最后一个等式由Rockafellar&Wets（1998，定理14.60）给出。注意，第三行中的passageto条件期望对于应用这个定理是必要的。SinceP（A）>0，这意味着clSUt∈L∞d（英尺，Ct）B*（（等式）美国犹他州+ G（w））∩ B（IRm））=IRm。通过命题5.1证明中的计算，可以得出-αcl-Rmar（Q，w）=IRm。推论5.2的证明。让我们∈ T.对于每个ω∈ Ohm, 我们有∈Ct（ω）w·EdQdP英尺(ω)Tyt=（如果w·EhdQdP为0）Fti（ω）∈ （Ct（ω））+，-∞ else（6.75），因为Ct（ω）是一个非空闭凸锥。与推论5.1的证明中的计算类似，我们有cl[Ut]∈L∞d（英尺，Ct）B*情商美国犹他州+ G（w））∩ B（IRm）=（z）∈ IRm |（B）*w） Tz≥ E“infyt∈计算机断层扫描w·EdQdP英尺Tyt#），即（6.76），从中可以立即得出结果。命题5.2的证明。第一部分，让我∈ {1，…，m}。

从备注2.2中，回想一下Thari\'i（s）=supy∈红外光谱sy- 里吉伊里≥ s- 里吉里每一天∈ IR。因此，给定X∈ L∞m、 δ\'i，ri（Xi）=infy∈IR（y+riE[`i(-xi- y） ]）≥ -E[Xi]- 里吉里（6.77）每∈ {1，…，m}。那么infz∈Dmar`，r（0）（B）*\'w）Tz（6.78）=infX∈∧m（0）infz∈D`，r（X）（B）*\'w）Tz=infX∈∧m（0）（B）*\'w）Tδ\'，r（X）+infx∈C（B）*w）T（r·x）≥ infX∈∧m（0）（B）*w）TE[-X]-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*\'w）T（r·x）=infX∈∧m（0）wTE[-[BX]-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*w）T（r·x）≥ 英菲∈K\'wTE[-Y]-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*\'w）T（r·x）=TXt=0infU∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）Eh\'wTUi-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*w）T（r·x）≥TXt=0infU∈L∞d（Ft，Ct）Eh\'wTUi-mXi=1¨维里吉里+ infx∈C（B）*w）T（r·x）=:a，其中第一个不等式从（6.77）开始，第二个不等式从∧m（0）={x开始∈L∞m | BX∈ K} 最后一个不等式是L∞d（英尺，Ct）∩ Dt） L∞d（英尺，Ct）表示每个∈ {0，…，T}。根据与推论5.1和推论5.2的证明相同的论点，假设保证a>-∞. 因此，Dmar`，r（0）(η ∈ IRm |（B）*\'w）Tη≥ infz∈Dmar`，r（0）（B）*w）Tz）nη∈ IRm |（B）*\'w）Tη≥ ao6=IRm。（6.79）注意∞m3 X 7→ {η ∈ IRm |（B）*\'w）Tη≥ a}∈ gm是一个弱闭凸函数。因此，所需的完整性条件如下，因为备注5.3产生（cl-Dmar`，r）（0） {η ∈ IRm |（B）*\'w）Tη≥ a} 6=IRm。（6.80）对于第二部分，（3.23）得到R`（X） D`，r（X）每X∈ L∞M因此，根据第5.3条的定义，（第3条） （cl Dmar`，r）（Y）对于每个Y∈ L∞d、 下面是上一部分的结果。感谢作者感谢两位匿名推荐人，他们的评论对论文的改进非常有帮助。作者要感谢Zachary Feinstein和Samuel Drapeau对集值熵风险度量和优化确定性等价物的有用评论。参考文献c,。Ararat&B.Rudlo off（2016）系统风险度量的双重表述。arXiv:1607.03430。F&N。

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