集值短缺和分歧风险度量

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英文标题：
《Set-valued shortfall and divergence risk measures》
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作者：
\\c{C}a\\u{g}{\\i}n Ararat, Andreas H. Hamel, Birgit Rudloff
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Risk measures for multivariate financial positions are studied in a utility-based framework. Under a certain incomplete preference relation, shortfall and divergence risk measures are defined as the optimal values of specific set minimization problems. The dual relationship between these two classes of multivariate risk measures is constructed via a recent Lagrange duality for set optimization. In particular, it is shown that a shortfall risk measure can be written as an intersection over a family of divergence risk measures indexed by a scalarization parameter. Examples include set-valued versions of the entropic risk measure and the average value at risk. As a second step, the minimization of these risk measures subject to trading opportunities is studied in a general convex market in discrete time. The optimal value of the minimization problem, called the market risk measure, is also a set-valued risk measure. A dual representation for the market risk measure that decomposes the effects of the original risk measure and the frictions of the market is proved.
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中文摘要：
在基于效用的框架下研究了多元财务状况的风险度量。在一定的不完全偏好关系下，短缺和分歧风险测度被定义为特定集合极小化问题的最优值。这两类多元风险度量之间的对偶关系是通过最近的拉格朗日对偶集合优化来构造的。特别地，研究表明，短缺风险度量可以写成一系列由标量化参数索引的分歧风险度量的交集。示例包括熵风险度量的集值版本和平均风险值。作为第二步，在离散时间的一般凸市场中，研究了这些风险度量在交易机会下的最小化问题。最小化问题的最优值称为市场风险测度，也是集值风险测度。证明了市场风险测度的对偶表示，它分解了原始风险测度和市场摩擦的影响。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Set-valued_shortfall_and_divergence_risk_measures.pdf (681.69 KB)

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关键词：风险度量 风险度 Minimization Multivariate Quantitative

集值短缺和分歧风险度量*Andreas H.Hamel+Birgit Rudloff2017年9月10日摘要多元金融头寸的风险度量是在基于效用的框架下研究的。在一定的不完全偏好关系下，差额和分歧风险度量被定义为特定集合最小化问题的最优值。这两类多元风险度量之间的对偶关系是通过最近的拉格朗日对偶来构造的。特别地，研究表明，短缺风险度量可以写成一系列由标量化参数索引的分歧风险度量的区间。示例包括熵风险度量的集值版本和平均值atrisk。作为第二步，在离散时间的一般凸市场中，研究了这些风险度量在交易机会下的最小化问题。最小化问题的最优值，称为市场风险测度，也是集值风险测度。证明了市场风险度量的对偶表示，它分解了原始风险度量的影响和市场的摩擦。关键词和短语：优化确定性等价；短缺风险；发散相对性；熵风险测度；平均风险价值；集值风险测度；多变量风险；不完全偏好；交易成本；偿付能力锥；流动性风险；错误卷积；拉格朗日对偶；设置优化。数学学科分类（2010）：91B30、46N10、46A20、26E25、90C46。1简介随机向量的风险度量最近引起了金融数学界的兴趣。在开创性工作Jouini et al.（2004）中引入的集值风险度量已被用于量化存在交易成本或非流动性影响等摩擦的市场中的金融风险。

这些风险度量是分配给m维随机向量X aset R（X）的函数 IRM这些要素可以用作风险补偿投资组合。这里，X表示m资产的财务状况，其组成部分是物理单位，而不是特定数量的价值。最近，集值风险度量也被用于量化金融网络中的系统性风险；见范斯坦等人（2017年），阿拉拉特和鲁德罗夫（2016年）。在这种情况下，m是金融机构的数量，X的分量表示这些机构的随机冲击（权益/损失）的相应大小。Jouini等人（2004）中的一致集值风险度量已扩展到Hamel&Heyde（2010）中的ConvxCase，以及Hamel等人（2011）中的随机市场模型。这些*土耳其安卡拉比尔肯特大学工业工程系，邮编：06800，cararat@bilkent.edu.tr+意大利安德烈亚斯博赞博赞自由大学经济与管理学院，邮编39031。hamel@unibz.it维也纳经济与商业大学统计与数学研究所，维也纳，1020，奥地利，brudlo Off@wu。通过对偶理论的应用，尤其是Hamel（2009）提出的集值函数的Moreaufhenchel双共轭定理，ac.atextensions是可能的。范斯坦和鲁德罗夫（2013、2015a、b）、本·塔哈尔和勒皮内特（2014）以及卡斯科斯和莫尔查诺夫（2016）对动态框架的扩展进行了研究。Jouini&Kallal（1995年）、Burgert&R¨uschendorf（2006年）、Weber等人（2013年）（财务风险）以及Chen等人（2013年）、Biagini等人（2013年）对多元随机变量的标量风险度量进行了研究，这些变量可以解释为集值风险度量的标量化（见Feinstein&Rudlo ff 2015b，第2.4节）。

（2015）（系统性风险）。一些著名的标量一致性风险度量的集值推广已经被研究过，例如哈默尔等人（2013）、范斯坦和鲁德罗夫（2015a）、哈默尔等人（2014）中的平均风险值集值版本，或者哈默尔等人（2011）、洛恩和鲁德罗夫（2014）、范斯坦和鲁德罗夫（2013）中的具有交易成本的市场中的超边际投资组合集。本·塔哈尔（2006年）、卡斯科斯和莫尔查诺夫（2016年）中还提供了多变量索赔的一致性风险度量的其他例子。据我们所知，除了在有摩擦的市场中使用确定性交易约束进行超边缘化，从而产生集值凸风险度量（seeHamel et al.2014），还没有研究过凸情况下的其他例子。本文介绍了随机向量的基于效用的凸风险测度。基本假设是，投资者对每一项资产都有完全的风险偏好，该资产具有冯·诺依曼-摩根斯特恩损失（效用）函数的数值代表性。然而，她对多元头寸的风险偏好是不完整的，可以用单个损失函数的向量来表示。基于这种不完全偏好，随机向量X的短缺风险定义为所有投资组合z的集合∈ IRM对于基准投资组合z，哪个X+z更受青睐∈ IRm。

例如，当单个损失函数是指数函数时，我们得到了著名的熵风险度量的集值形式（见F¨ollmer&Schied 20022011）。我们将短缺风险度量的计算公式化为一个约束集优化问题，并应用集优化文献中的最新工具来获得对偶公式。特别是，利用Hamel&L–ohne（2014）中的拉格朗日对偶，在对偶问题中得到了另一种类型的凸风险测度，称为散度风险测度。差异风险度量是基于消费确定量z之间的权衡而定义的∈ Irmof今日持仓并实现剩余金额X的预期损失- 在终点时间。决策问题是双目标的：投资者希望选择一个投资组合z，以使z最大化，并使X导致的（向量值）预期损失最小化- 同时，在集合优化的意义上理解bothof（参见第3.3节）。这两个目标通过相对权重（标量化）参数r结合在一起∈ IRm+和风险X的散度定义为确定性消费z选择上的无约束集优化问题。作为特例，我们获得了Hamel等人（2013）给出的风险集值平均值的定义，以及它的凸版本。本文的一个主要结果是，短缺风险度量可以写成由其相对权重索引的分歧风险度量的区间，一般来说，区间不是由唯一的相对权重获得的。因此，短缺风险度量是（远）比分歧风险度量更保守的风险度量。

虽然短缺风险度量很难作为约束优化问题进行计算，但我们表明，发散风险度量的计算可以简化为标量发散风险度量的计算（Ben Tal&Teboulle 1986，2007年的优化确定性等价物）。在流动性方面，与短缺风险度量相比，为了能够使用差异风险度量，决策者必须指定损失相对于每项资产消费的相对权重。虽然差额和分歧风险度量是根据投资者的偏好确定的，但它们没有考虑市场摩擦对头寸风险的影响。在第5节中，我们提出了一种将这些摩擦纳入风险计算的方法。我们通过包含凸随机集建模的交易约束，并将清算问题考虑到资产的某个子集合中，推广了市场风险度量的通知（见Hamel et al.2013，名称为市场扩展）。与Hamel et al.（2013）不同，我们考虑了凸（不一定是锥形）市场模型，以包括临时流动性不足的影响，其中买卖价格取决于交易的规模，因此由限价订单簿的形状给出；例如，seeAstic&Touzi（2007年）、Pennanen&Penner（2010年）。假设R是一个（无市场）风险度量，如差额或分歧风险度量，其诱导市场风险度量被定义为R在市场交易可获得的所有金融头寸集合上的最小值。作为本文的第二个主要结果，我们证明了市场风险测度的对偶表示定理（定理5.1）。

特别地，我们证明了市场风险测度的惩罚函数（Fenchel共轭）是基本风险测度的惩罚函数与市场凸区域的支撑半空间之和。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们回顾了短球和散度风险度量的标量理论。然而，我们推广了文献中的标准结果，因为我们允许扩展实值损失函数，并且我们没有像F¨ollmer&Schied（2002）、Ben Tal&Teboulle（2007）那样对损失函数施加任何增长条件。本文的主要部分是第3节，研究了集值短缺和分歧风险度量。第4节，集值熵风险度量作为短缺风险度量的例子进行了研究，集值平均风险值作为分歧风险度量的例子进行了回顾。第五章研究了具有清算和交易约束的一般凸市场模型中的市场风险测度。第6.2节标量短缺和分歧风险度量收集了所有证据。在本节中，我们总结了单变量金融头寸（基于效用/损失）短缺和分歧风险度量的理论。F–ollmer&Schied（2002）介绍了短缺风险度量。在Ben Tal&Teboulle（1986）中介绍了分歧风险度量，在Ben Tal&Teboulle（2007）中进一步分析了优化确定性等价物的名称，在Cherny&Kupper（2007）中进一步分析了分歧实用程序的名称，以说明其负面影响。Schied（2007）和Ben Tal&Teboulle（2007）指出了短缺和分歧风险度量之间的双重关系。

在基本损失函数的假设方面，我们通过降低增长条件来推广这些论文的结果；有关比较，请参见第6.2节。第6.1节给出了本节结果的证明，其中大部分继承了Ben Tal&Teboulle（2007）中的凸对偶论，而不是ollmer&Schied（2002）中的分析论。定义2.1。下半连续凸函数f:IR→ 红外光谱∪ {+∞} 有效域名为dom f={x∈ IR|f（x）<+∞} 如果满足以下性质，则称为损失函数：（i）f是infx的非减损函数∈IRf（x）>-∞.（ii）0∈ domf.（iii）f在domf上不是常数。在本节中，让`:IR→ 红外光谱∪ {+∞} 这是一个损失函数。上述定义2.1保证int`（IR）6=, 其中int表示内部运算符。让我们定义一个阈值levelx∈ int`（IR）表示预期损失值。在不丧失一般性的情况下，我们假设x=0。基于损失函数，我们定义了空间L上的短缺风险度量∞概率空间的本质有界真值随机变量(Ohm, F、 P），其中随机变量几乎可以确定相等。定义2.2。函数ρ`:L∞→ 红外光谱∪ {±∞} 定义为ρ`（X）=inf{s∈ IR|E[`(-十、- s） ]≤ 0}（2.1）被称为短缺风险度量。提议2.1。函数ρ′是一个弱函数*-)F–ollmer&Schied（2011，定义4.1和4.4）中的下半连续凸风险度量。特别是，ρ′取IR中的值。备注2.1。自infx以来∈IR`（x）>-∞, 它保持着平衡[`(-十、- s） ]>-∞ 每X∈ L∞, s∈ IR。因此，（2.1）中的预期总是很明确的。此外，假设x=0∈ 如命题2.1的证明所示，int`（IR）对于ρ`（X）的完整性至关重要；见第6.1节。根据定义2.2，数ρ`（X）可视为凸极小化问题的最优值。

下一个命题计算ρ`（X）作为相应拉格朗日对偶问题的最优值。第6.1节中的证明是强对偶的一个简单应用。提议2.2。每X∈ L∞,ρ`（X）=supλ∈IR+δ\'，λ（X），（2.2）式中δ\'，λ（X）：=infs∈IR:E[`(-十、-s） ]<+∞（s+λE）[`(-十、- s） ）（2.3）=（infs∈IR（s+λE）[`(-十、- s） ]如果λ>0，- ess inf X- 如果λ=0，则为sup dom`。注意δ`，λ是L上的一个单调可平移函数∞对于每个λ∈ IR+。我们的目标是确定λ的值，对于λ，该函数是具有IR值的下半连续凸风险度量。为此，我们定义了Legendre-Fenchel共轭g:IR→ 红外光谱∪ {±∞} 损失函数byg（y）：=`*（y） =supx∈IR（xy）- `（x） ）。（2.4）在下文中，我们将通过该公约(+∞) · 在凸分析中，0=0，见Rockafellar&Wets（1998）。我们还将使用+∞= 0以及=+∞.定义2.3。一个适当的凸下半连续函数→ 红外光谱∪{+∞} 具有有效的域名dom~n={y∈ |IR（y）+∞} 如果满足以下性质，则称为散度函数：（i）0∈ 多姆尼 IR+。（ii）通过IR达到其上限。（iii）ψ不是y 7的形式→ +∞ · 1{y<0}+（ay+b）·1{y≥0}带有∈ 红外光谱+∪ {+∞} b∈ IR。提议2.3。Legendre-Fenchel共轭提供了损失函数和发散函数之间的双射。备注2.2。设λ>0。如果f是一个损失函数，那么λf也是一个损失函数。如果φ是一个发散函数，那么函数y7→ νλ（y）：=IR上的λ洎（yλ）也是一个散度函数。当且仅当λf和Фλ为时，函数sf和Ф为彼此的共轭函数。在这种情况下，我们还定义了分离函数ν：IR→ 红外光谱∪ {+∞} φ乘以φ（y）：=supλ>0（φλ（y）- λν（0））=limλ↓如果y为，则0аλ（y）=（y）≥ 0,+∞ 如果y<0，则每个y的值为2.5∈ IR。这里，λ7→ νλ（y）- λg（0）是IR++上的一个非递增凸函数∈ IR。

此外，由于假设0，第二个等式成立∈ dom~n，见Rockafellar（1970年，定理8.5，推论8.5.2）。最后一个等式是由于真凸函数f的有效域的支撑函数与其共轭的衰退函数φ重合，见Rockafellar（1970，定理13.3）。接下来我们回顾分歧的概念。为此，让M（P）是所有概率测度的集合(Ohm, F） 对于第2.4条定义而言，这是绝对连续的。设φ为散度函数，λ的相应损失函数为f∈ IR+和Q∈ M（P），数量i|，λ（Q | P）：=EφλdQdP=（λEh~n）λdQdP如果λ=0（2.6），则iifλ>0，sup dom f称为Q相对于P的（ν，λ）-散度。备注2.3。I~n，1是Csisz\'ar（1967）意义上的惯常的k-分歧。它是概率测度之间的“距离”概念，包括众所周知的相对熵作为一种特殊情况，见下文（4.12）。注意g=`*是散度函数，dom g是某种β的[0，β]或[0，β]形式的区间∈ 红外光谱++∪ {+∞}. 这里，我们有domg6={0}，因为否则g将是形式7→ +∞ · 1{y<0}+（ay+b）·1{y≥对于a=0}+∞ b=g（0）。对于每个λ>0，y 7→ gλ（y）：=IR上的λg（yλ）是一个散度函数，注释2.2中的dom gλ=[0，λβ）或dom gλ=[0，λβ]，相应的（g，λ）-散度根据定义2.4定义。在λ=0的情况下，y7→ g（y）=+∞ · 1{y<0}+（sup dom`）y·1{y≥IR上的0}不是散度函数。此外，如果dom`=IR，我们有dom g={0}，如果dom`6=IR，我们有dom g=IR+。定理2.1。每λ∈ IR+和X∈ L∞,δ`，λ（X）=supQ∈M（P）情商[-X]- Ig，λ（Q | P）. （2.7）此外，如果1，δ`，λ是下半连续凸风险测度∈ δ`，和λ`，和-∞每X∈ L∞否则因此，ρ`（X）=supλ∈IR+：1∈dom gλδ`，λ（X）。（2.8）特别是，如果dom`=IR，那么ρ`（X）=supλ>0:λ∈domgδ`，λ（X）。