集值短缺和分歧风险度量

以下定义5.1中引入的清算函数概念使清算的概念更加精确。让我们来介绍线性算子B:IRm→ Ird定义为bz=（z，…，zm，0，…，0）T.（5.2）我们将在Lm中使用B与随机变量的组合。给定X∈ Lm，BX表示Ld中的元素，由ω的（BX）（ω）=B（X（ω））定义∈ Ohm. 伴随B*: 国税局→ IRmof B由B提供*y=（y，…，ym）T.（5.3）同样地，B*可以由Ld中的随机变量组成。在稍微滥用符号的情况下，我们还将使用B*在向量概率测度的背景下。给定Q∈ Md（P），我们定义*Q=（Q，…，Qm）T∈ 嗯（P）。定义5.1。函数∧m:L∞D→ P（L）∞m） 定义为∧m（Y）={X∈ L∞m | BX∈ Y+K}（5.4）被称为与K有关的清算函数∈ L∞d、 集合∧m（Y）由Y+K中所有可能产生的头寸组成，这些头寸已被清算为第一个m资产。5.2市场风险度量及其双重代表让我们考虑一个闭凸风险度量R:L∞M→ 在将结果头寸变现为第一笔m资产后，用于风险评估。由于∧m（Y）中的所有头寸对持有头寸Y的投资者都是可访问的∈ L∞d、 如以下定义所示，R的值应在∧m（Y）集合上最小化。定义5.2。函数r:L∞D→ P（IRm）定义byRmar（Y）：=inf（Gm，){R（X）|X∈ ∧m（Y）}=cl-co[X∈∧m（Y）R（X），（5.5）被称为由R引起的市场风险度量。备注5.1。在示例5.1中描述的锥形市场模型的情况下，当Dt（ω）=每个ω∈ Ohm 和t∈ {0，…，T}，且不考虑T=T时的清算（m=d），定义5.2恢复了Hamel等人（2013，定义2.8，备注2.9）中给出的市场扩张概念（具有闭合值）。回想一下，闭凸风险度量R:L∞M→ GMI由Proposition 3.1中的五个属性定义。

对于市场风险度量，这些属性需要用明显的更改进行重写，因为函数现在已在L上定义∞d、 （例如，Rmarreads的可译性为Rmar（Y+Bz）=Rmar（Y）- z代表每一个Y∈ L∞丹兹∈ IRm。）下一个命题表明，市场风险度量是一个闭凸风险度量，除了一个完整条件和弱条件*-亲密。提议5.1。市场风险度量是单调的、可平移的和凸的，它的总风险度量（0）6=. 此外，凸包算子可以从定义5.2中删除，即Y∈ L∞d、 Rmar（Y）=cl[X∈∧m（Y）R（X）。（5.6）恢复虚弱*-封闭性，我们定义了Rmarvia的封闭版本，即封闭船体的概念。定义5.3。函数F:L的闭壳clf∞D→ gm是点上最大的弱点*闭函数将其最小化，也就是说，如果F:L∞D→ 他是个弱者*-闭函数使得F（Y）F（Y）代表所有Y∈ L∞d、 然后我们有（clf）（Y） F（Y）表示每个Y∈ L∞d、 闭壳cl-Rmarof-Rmaris称为由R诱导的闭市场风险度量。可以检查在采用闭壳的情况下，单调性、平移性和凸性是否保持不变。因此，考虑到命题5.1，闭式投资风险测度R:L引发的闭式市场风险测度∞M→ 如果（cl Rmar）（0）6=IRm，则GMR是一个闭凸风险度量。下面的定理5.1给出了封闭市场风险度量的双重表示，即在零不确定性假设下，原始风险度量R的惩罚函数。推论5.1（推论5.2）给出了凸（锥形）市场模型中无交易约束的特殊情况。以下结果中使用的对偶变量集由wm，d:=Md（P）×（（IRm+\\{0}）×IRd给出-m+。（5.7）我们还将利用齐次半空间G（w）：={y∈ 税务局≥ 0}表示w∈ IRd+\\{0}。定理5.1。

假设R:L∞M→ gm是一个带惩罚函数的闭凸风险测度-αR:Mm（P）×（IRm+\\{0}）→ 通用汽车，见提案3.3。假设（cl Rmar）（0）6=IRm。然后闭式市场风险度量cl Rmar:L∞D→ GMS也是一个闭凸风险度量，它具有以下对偶表示：对于每个Y∈ L∞d、 （cl Rmar）（Y）=\\（Q，w）∈西医，卫生署-αcl-Rmar（Q，w）+B*情商[-Y]+G（w）∩ B（IRm）i、 （5.8）在哪里-αcl-Rmar:Wm，d→ 由αcl Rmar（Q，w）定义的GMI=- αR（B）*Q、 B*w） +TXt=0cl[Ut∈L∞d（英尺，Ct）∩Dt）B*情商美国犹他州+ G（w）∩ B（IRm）. （5.9）回想一下，非空凸集C的衰退锥 是凸锥0+C:={y∈ 税务局| y+C C} 非空凸锥K的正对偶锥 IRdis是凸角K+：={y∈ 税务局|K∈ K:yTk≥ 0}; 例如，见Rockafellar（1970年，第8节，第61页）和Zalinescu（2002年，第1.1节，第7页）。推论5.1。在定理5.1的假设下，假设每个ω的Dt（ω）=ird∈ Ohm和t∈ 那么-αcl Rmargiven by（5.9）集中在setWconvexm上，d:=n（Q，w）∈ Wm，d|T∈ T:w·EdQdP英尺∈ Ld（Ft，（0+Ct）+o，（5.10），其中，对于每个t∈ T、 （0+Ct）+：Ohm → Gd是由（0+Ct）+（ω）定义的可测量函数：=（0+Ct（ω））+。换句话说，我们有-αcl-Rmar（Q，w）=IRmfor（Q，w）∈ Wm，d\\Wconvexm，d在上一个结果的设置中。推论5.2。在定理5.1的假设下，假设每个ω的Dt（ω）=ird∈ Ohm和t∈ T、 市场模型是锥形的，如例5.1所示。考虑setWconem，d:=n（Q，w）∈ Wm，d|T∈ T:w·EdQdP英尺∈ Ld（Ft，C+t）o，（5.11），其中，对于每个t∈ T、 C+T：Ohm → Gd是由C+t（ω）定义的可测函数：=（Ct（ω））+。然后，（5.9）减少到- αcl-Rmar（Q，w）=(-αR（B）*Q、 B*w） if（Q，w）∈ Wconem、d、IRmelse（5.12）各（Q、w）∈ Wm，d；因此，对于每一个Y∈ L∞d、 （cl Rmar）（Y）=\\（Q，w）∈卫生署沃科内姆-αR（B）*Q、 B*w） +B*情商[-Y]+G（w）∩ B（IRm）我

（5.13）上述定理5.1、推论5.1、推论5.2的证明见第6.6节。他们的观点是，大致来说，市场风险度量是原始风险度量和凸集的（集值）指标函数的（集值）不正卷积∞d（英尺，Ct）∩ Dt），t∈ T.第6.6节讨论了这一技术观察结果，并给出了这些概念的定义。5.3缺口和分歧风险度量引发的市场风险度量在本节中，我们提供了充分的条件，以保证缺口和分歧风险度量引发的封闭市场风险度量的有限价值条件（cl Rmar）（0）6=IRM。一旦这个性质成立，这些闭市场风险测度就是闭凸风险测度，定理5.1给出了它们的对偶表示。为了简单起见，我们假设市场模型在示例5.1中是锥形的。假设5.1。假设市场模型的偿付能力锥共享一个共同的支持空间，即存在“w”∈ IRd+\\{0}使得对于P-几乎每个ω∈ Ohm 还有每个人∈ T、 英菲∈Ct（ω）`wTy>-∞, 或相当于“w”∈ （Ct（ω））+。备注5.2。假设5.1说明了半空间G（`w）={z的存在性∈ IRd| wTz≥ 0}对于某些w∈ IRd+哪个满足G（`w） P-几乎每个ω的Ct（ω）∈ Ohm 和t∈ T.特别是，当偿付能力锥由买卖价格（见Kabanov 1999）构成时，这相当于具有统一（时间和结果）下限的买卖价格，或相当于具有统一（时间和结果）上限的买卖价格。就是“wj”≤ πij（ω，t）–wi代表everyi，j∈ {1, . . .

，d}，每t∈ T、 P-几乎每ω∈ Ohm, 式中，πij（ω，t）是资产i的单位数，代理人可以在时间t和状态ω购买资产j的一个单位，因此，根据资产i，表示资产j的风险价格。命题5.2。假设假设5.1成立，dom`=IRm。（i） 让r∈ IRm++withr∈ dom g.Ifinfx∈C’wT（r·x）>-∞, （5.14）然后（cl-Dmar`，r）（0）6=IRm。特别地，cl-Dmar`，ris是一个闭凸风险度量，具有定理5.1提供的对偶表示。（ii）如果存在∈ IRm++withr∈ dom g使（5.14）保持，然后（cl Rmar`）（0）6=IRm。特别是，cl Rmar`是一个闭凸风险度量，具有定理5.1.6证明和技术注释6提供的对偶表示。1.命题2.1第2节结果的证明。单调性、平移性和凸性是微不足道的。让X∈ L∞.它坚持住了`(- ess sup X- （s）≤ E[`(-十、- s） ]≤ `(- ess inf X- s） 每一天∈ IR。请注意，`Istrictly在`-1（int`（IR））：={x∈ IR|`（x）∈ int`（IR）}=（a，b），其中a:=inf{x∈ IR |`（x）>infy∈IR`（y）}∈ 红外光谱∪ {-∞} b:=sup{x∈ IR|`（x）<+∞} ∈ 红外光谱∪ {+∞}. 因此，他们的投资`-1定义为从int`（IR）到（a，b）的函数。它保持着平衡[`(-十、- s） ]≤ 0代表每个人≥ - ess inf X- `-1（0）和E[`(-十、- s） ]>每个s<0- ess sup X- `-1(0). 所以ρ`（X）∈ IR。此外，E[`(-十、- ρ`（X））]≤ 0，因为\'on dom\'的限制是一个连续函数。托肖（弱）*-)下半连续，let（Xn）n∈Nbe L中的有界序列∞汇聚到某处∈ L∞几乎可以肯定。然后，利用Fatou引理，再加上“on dom”的限制是非减损的和连续的，我们得到了`-十、- 林恩芬→∞ρ`（Xn）i=呃`林恩芬→∞(-Xn- ρ`（Xn））i（6.1）≤ 林恩芬→∞E[`(-Xn- ρ`（Xn））]≤ 0.这意味着ρ′的所谓法头性质，即ρ`（X）≤ 林恩芬→∞ρ`（Xn）。

ByF¨ollmer&Schied（2011，定理4.33），这相当于ρ`的下半连续性。命题2.2的证明。注意第7条→ E[`(-十、- s） ]是IR上的一个适当凸函数。因此，根据定义2.2，ρ`（X）是凸极小化问题的最佳值。IR+上相应的拉格朗日双目标函数h由h（λ）=infs给出∈IR:E[`(-十、-s） ]<+∞（s+λE）[`(-十、- s） ]）。（6.2）很明显，h（λ）=δ`，λ（X），如果λ>0，因为λE[`(-十、- s） ]=+∞ 如果E[`(-十、- s） ]=+∞. 另一方面，请注意[`(-十、- s） ]+∞ 当且仅当P{-十、- s∈ dom`}=1。因此h（0）=inf{s∈ IR|E[`(-十、- s） ]+∞} = - ess inf X- sup dom`。（6.3）因此，对偶问题的最优值等于（2.2）的右边。最后，（2.2）的两面是相等的，因为通常的斯莱特条件成立：存在∈ 就这样[`(-十、- \'s]<0。这是因为我们有E[`(-十、- s） ]<0表示每个s>- ess inf X- `-1（0），在哪里`-1是int`（IR）上的反函数，如命题2.1的证明。命题2.3的证明。设f为损失函数，f*: 红外光谱→ 红外光谱∪ {+∞} 它的共轭功能。注意domf* IR+因为，对于每个y<0，我们有*（y）≥ 苏普∈N个(-纽约- f(-n） )≥ 苏普∈N个(-（纽约）- f（0）=+∞, （6.4）其中，我们对第二个不等式使用f的单调性。此外，0∈ 多姆f*sincef*(0) = - infx∈IRf（x）<+∞. 显然，f*（y）≥ -每个y的f（0）∈ IR。此外，Rockafellar（1970年，定理23.3）指出f在0处的f（0）是非空的，根据Rockafellar（1970，定理23.5），我们有f*（y） =-f（0）对于每个y∈ f（0）。因此，f*达到它的极限。最后，f*不是Y7型的→ +∞·1{y<0}+（ay+b）·1{y≥0}对于某些∈ 红外光谱+∪{+∞} b∈ 否则我们会得到f（x）=（f*)*（x） =+∞ · 1{x>a}- b·1{x≤a} ，x∈ IR，所以f在dom上是常数，所以f*是散度函数。

相反地，设φ为发散函数，且*: 红外光谱→ 红外光谱∪ {+∞} 它的共轭函数。让x，x∈ 与x的红外光谱≥ x、 Sincedom~n IR+，我们有xy-~n（y）≥ xy-对于每个y∈ 所以*（十）≥ φ*（x） 。因此，ν*这是不减损的。此外，infx∈IR~n*（x） =-φ(0) > -∞ 自=（*)*和0∈ 多姆。显然是*(0) = - 英菲∈IR~n（y）∈ IR使0∈ 多姆尼*. 最后，ν*不是相同的常数*另有规定的话，则为*)*将无法满足定义2.3中的属性（iii）。因此，ν*这是一个很好的函数。定理2.1的证明。如果λ=0，则Ig，λ（Q | P）=sup dom`∈ M（P）我们有δ`，0（X）=- ess inf X- sup dom`=supQ∈M（P）EQ[-X]- 通过最坏情况风险度量X 7的双重表示来支持dom`（6.5）→ - ess inf X；例如，参见F¨ollmer&Schied（2011，示例4.39）。因此，在λ=0的情况下，（2.7）成立。此外，在备注2.2中，sup dom`<+∞ 当且仅当1∈ 因此，如果1，δ`，0是一个较低的半连续凸度量∈ dom g和δ`，0（X）=-∞ 每X∈ L∞否则假设λ>0。注意，（2.7）的右边可以重写为可积非负实值随机变量空间L+上的最大化问题(Ohm, F、 P）（几乎可以确定的平等性）：supQ∈M（P）情商[-X]- Ig，λ（Q | P）= supV∈L+E[-十五]- λEGλV| E[V]=1. （6.6）相应拉格朗日对偶问题的最优值计算为qx:=infs∈IRsupV∈L+E[-十五]- λEGλV+ s（1）- E[V]）（6.7）=infs∈IRs+supV∈L+E(-十、- s） 五- λgλV!= infs∈IRs+E“supz∈红外光谱+(-十、- s） z- λgλz#!= infs∈IR（s+E[g]*λ(-十、- s） ]），其中第三个等式是由Rockafellar&Wets（1998，定理14.60）和g*λ是散度函数gλ的共轭；见备注2.2。因此，g*λ=λ′，qx等于（2.7）的左侧。最后，为了总结（2.7），我们考虑以下情况：（i）假设1∈ int dom gλ，即λ<β。

（回想一下int dom gλ=（0，λβ），参见定义2.4等。）例如，以下约束条件适用于“V”≡ 1:\'V∈ L+：E\'V= 1，V∈ int dom gλP-几乎可以肯定。（6.8）Borwein&Lewis（1992，推论4.8），（6.8）总结（2.7）。注意我们有-E[X]- λgλ≤ supV∈L+E[-十五]- λEGλV| E[V]=1(6.9)≤ - ess inf X- λinfx∈使（2.7）的两边都处于IR。（ii）假设λβ=1且dom gλ=[0，λβ]=[0，1]，即dom g=[0，β]=[0，λ]。在这种情况下，唯一的V∈ 带E[V]=1和P{V]的L+∈ dom gλ}=1是V≡ 1，因此，（2.7）的右边给出-E[X]- λg（λ）∈ IR。注意（6.8）在这里不能保持。在前面的案例中使用（2.7），我们得到了∈IR（s+λE）[`(-十、- s） ]=limε↓0infs∈IR（s+（λ+ε）E[`(-十、- s） ]）（6.10）=limε↓0supQ∈M（P）情商[-X]- （λ+ε）EGλ+εdQdP,其中，自适当的凹上半连续函数Ir 3γ7起，遵循第一个等式→ infs∈IR（s+γE）`(-十、- s） )∈ 红外光谱∪ {-∞} （6.11）在γ=λ时右连续。最后，我们得到了limε↓0supQ∈M（P）情商[-X]- （λ+ε）EGλ+εdQdP（6.12）=limε↓0supQ∈M（P）情商[-X]- （λ+ε）EGλ+εdQdP- g（0）- limε↓0（λ+ε）g（0）（6.13）=infγ∈[λ，λ+ε]supQ∈M（P）情商[-X]- γEGγ-dQdP- g（0）- λg（0）=supQ∈M（P）infγ∈[λ,λ+ε]情商[-X]- γEGγ-dQdP- g（0）- λg（0）=supQ∈M（P）情商[-X]- λEGλdQdP= -E[X]- λgλ∈ IR，其中ε>0是某个固定数。这里是函数γ7之后的第二个等式→ γ（g（yγ）- g（0））是IR++上针对每个y的非递增函数∈ 红外光谱；见备注2.2。第三个等式是由于一个经典的极大极小定理，它使用区间[λ，λ+ε]的紧性，参见Sion（1958，推论3.3）。第四个等式后面是单调收敛定理和函数γ7的单调性→ γ（g（yγ）- g（0））在IR++上。上面已经讨论了最后一个等式。

最后，第一个等式如下，因为两个极限sin（6.13）由后续等式确定。因此，我们得到（2.7）。（iii）假设1/∈ dom gλ，即dom gλ=[0，λβ）和λβ≥ 1，或dom gλ=[0，λβ]和λβ>1。在这种情况下，没有Y∈ 带E[Y]=1和P{Y的L+∈ dom gλ}=1。因此，（2.7）的右侧给出-∞. 另一方面，我们有INF∈IR（s+λE）[`(-十、- s） ]）≤ infs∈IR（s+λ）`(- ess inf X- s） ）（6.14）=- ess inf X- 小吃∈IR（s）- λ`（s））=- ess inf X- λgλ= -∞.因此，（2.7）成立。在前两种情况下∈ domgλ，我们观察到δ`，λ（0）∈ IR。此外，（2.3）还直接保证了单调性、平移性、凸性和下半连续性，这使得δ\'、λ成为下半连续凸风险测度。在最后一种情况下，1/∈ dom gλ，δ`，λ（X）=-∞ 每X∈ L∞.命题2.4的证明。让Q∈ M（P）和λ∈ IR+和1∈ dom gλ。如果λ=0，则根据定义2.3和定理2.1的证明，αδ`，0（Q）=sup dom`=Ig，0（Q | P）。假设λ>0。使用（2.3）和（2.10）中惩罚函数的定义，αδ\'，λ（Q）=sups∈红外光谱-s+supX∈L∞E-dQdPX- λ`(-十、- （s）（6.15）=支持∈红外光谱-s+E好的∈红外光谱-dQdPx- λ`(-十、- （s）= 小吃∈红外光谱-s+EdQdPs+gλdQdP= Ig，λ（Q | P），其中第二个等式来自Rockafellar&Wets（1998，定理14.60），第三个等式来自备注2.2。对于ρ′的罚函数，注意αρ′（Q）=supX∈L∞情商[-X]- infs∈红外光谱s+I(-∞,0]（E）[`(-十、- s） ]）（6.16）=supX∈L∞等式[X]- 我(-∞,0]（E[`（X）]）= 好的∈L∞nEQ[X]|E[`（X）]≤ 0o。对于最后一个最大化问题，IR+上相应的拉格朗日对偶目标函数h由h（λ）=supX给出∈L∞: E[`（X）]<+∞等式[X]- λE[`（X）]. （6.17）注意E[`（X）]<+∞ 当且仅当P{X∈ dom`}=1。如果λ=0，那么h（0）=supX∈L∞: E[`（X）]<+∞EQ[X]=sup dom`=Ig，0（Q | P）。

（6.18）另一方面，如果λ>0，则h（λ）=supX∈L∞: E[`（X）]<+∞等式[X]- λE[`（X）]（6.19）=E好的∈红外光谱dQdPx- λ`（x）= Ig，λ（Q | P），其中我们使用Rockafellar&Wets（1998，定理14.60）表示第二个等式，并对第三个等式使用备注2.2。因此，对偶问题的最优值由Q（Q）：=infλ给出∈IR+h（λ）=infλ∈IR+Ig，λ（Q | P）。（6.20）请注意，斯莱特的条件成立，即存在“X”∈ L∞以至于`（`X）< 0; 以“X”为例≡ `-1(0) - 1.在哪里`-1是int`（IR）上的反函数，如命题2.1的证明。因此，αρ`（Q）=Q（Q）。注意Ig，λ（Q | P）=+∞ 每λ∈ IR+和1/∈ dom gλ，见定理2.1证明中的情况（iii）。因此，我们也有q（q）=infλ∈IR+：1∈dom gλαδ\'，λ（Q）.6.2关于F¨ollmer&Schied（2002，定理10）和F¨ollmer&Schied（2011，定理4.115）中标量损失函数的一个注记，命题2.4的第二部分用`映射到IR的附加假设来证明。这一假设意味着“短缺风险度量从下到下是连续的，并且达到了第一个上限（2.10）。（F¨ollmer&Schied 2011，命题4.113）。此外，同样的假设也适用于g上所谓的超线性增长条件，即limy→∞g（y）y=+∞ （F–ollmer&Schied 2002，引理11）。F¨ollmer&Schied（2002）中命题2.4的分析证明利用了这一性质，而不是与分歧风险度量的对偶关系。