极端罢工时篮子期权的隐含波动性

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Implied volatility of basket options at extreme strikes》
---
作者：
Archil Gulisashvili and Peter Tankov
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  In the paper, we characterize the asymptotic behavior of the implied volatility of a basket call option at large and small strikes in a variety of settings with increasing generality. First, we obtain an asymptotic formula with an error bound for the left wing of the implied volatility, under the assumption that the dynamics of asset prices are described by the multidimensional Black-Scholes model. Next, we find the leading term of asymptotics of the implied volatility in the case where the asset prices follow the multidimensional Black-Scholes model with time change by an independent increasing stochastic process. Finally, we deal with a general situation in which the dependence between the assets is described by a given copula function. In this setting, we obtain a model-free tail-wing formula that links the implied volatility to a special characteristic of the copula called the weak lower tail dependence function.
---
中文摘要：
在本文中，我们刻画了一篮子看涨期权在各种情况下的隐含波动率的渐近行为。首先，在假设资产价格的动态由多维Black-Scholes模型描述的情况下，我们得到了一个隐含波动率左翼有误差界的渐近公式。接下来，我们发现了在资产价格遵循多维Black-Scholes模型且随时间变化的情况下，通过一个独立的递增随机过程，隐含波动率的渐近性的前导项。最后，我们讨论了资产之间的依赖关系由给定的copula函数描述的一般情况。在这种情况下，我们得到了一个无模型尾翼公式，该公式将隐含波动率与copula的一个特殊特征联系起来，称为弱下尾依赖函数。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

---
PDF下载：
--> Implied_volatility_of_basket_options_at_extreme_strikes.pdf (314.85 KB)

2022-5-6 06:49:46 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：波动性 Quantitative Dimensional asymptotics Independent

极端罢工时篮子期权的隐含波动率阿尔西尔·古利萨什维利*和Peter Tankov+摘要在这篇论文中，我们描述了篮式看涨期权在各种情况下的隐含波动率的渐近行为，具有越来越广泛的普遍性。首先，在假设资产价格的动态由多维Black-Scholes模型描述的情况下，我们得到了一个隐含波动率左翼有误差界的渐近公式。接下来，在资产价格遵循多维Black-Scholes模型且随时间变化的情况下，我们通过一个独立的递增随机过程，找到隐含波动率渐近性的领先项。最后，我们讨论了资产之间的依赖关系由给定的copula函数描述的一般情况。在这种情况下，我们得到了一个无模型尾翼公式，该公式将隐含的波动率与copula的一个特殊特征联系起来，称为弱下尾依赖函数。关键词：隐含波动率渐近性、篮子期权、指数期权、大/小罢工、时间变化、期权市场中的copula1引入、普通看涨期权和看跌期权的价格通常以其最大波动率I（T，K）来报价，定义为波动率参数的值，必须替换为Black-Scholes期权定价公式，以获得报价期权价格。同样，给定arisk中性模型，可以定义函数（T，K）7→ I（T，K）来自该模型计算的香草期权价格。然而，由于在大多数随机资产价格模型中，隐含的波动率函数并不明确，因此获得有效且准确的渐近逼近就变得非常重要。这种近似方法之所以有用，至少有两个原因。

首先，它们可能揭示了资产价格模型中隐含波动率的定性行为，也揭示了不同模型参数对模型生成的隐含波动率表面形状的影响。其次，他们允许通过比较市场隐含波动率和渐近近似值，对模型进行近似校准。这种初步估计可以作为构造数值校准算法的智能参考，以加速其收敛。许多作者已经在各种不同的过敏状态下研究了隐含波动率的近似值，无论是在特定模型中还是在独立于模型的环境中。关于这一主题的早期参考文献之一是刘易斯[25]关于随机波动率模型的书。各种各样的*俄亥俄大学数学系，美国俄亥俄州雅典市。电子邮件：gulisash@ohio.edu+法国巴黎迪德罗大学概率与模型实验室和俄罗斯莫斯科国立研究大学“高等经济学院”定量金融国际实验室。电子邮件：tankov@math.univ-巴黎狄德罗。在过去的十年里，我们获得了描述隐含波动率翼行为的无模型公式。据我们所知，著名的Lee’s矩公式是极端冲击下隐含波动率的第一个独立于模型的同情公式（见[24]）。Lee的研究结果后来被Benaim和Friz[7,6]以及Gulisashvili[17,18,19]所证实。在Gao和Lee[14]中，找到了极端打击下隐含波动率的高阶渐近公式，在Tehranchi[32]中，得到了隐含波动率的统一估计。

在[9]（局部波动模型）、[12]（赫斯顿随机波动模型）、[26]（跳跃差异）和[1,11,27,29]（指数L’evy模型）等文献中，对隐含波动性的小时间行为进行了分析。[13]（对于赫斯顿模型）和[31]（与模型无关）中给出了远离到期日的隐含波动率公式。最后，各种模型的夏普价格和隐含波动率近似值已在[8,16]中作为“围绕Bla-ck-Scholes模型的扩展”得到。一篮子股票（或市场指数）的期权也会在市场中引用隐含波动率。请注意，Black-Scholes公式可以通过将整个篮子（指数）作为对数正态随机变量来计算va nilla期权的价格。在这种情况下，找到隐含波动率的可靠渐近近似值可能更为重要，因为由于篮子的尺寸较大，以数字方式计算精确值在计算上可能非常昂贵。[3]和[5]中最近定义了基于多维局部波动率模型中sm-all-noise渐近的近似，但在其他渐近机制中，与单资产情况相比，对多资产期权的了解较少。本文的主要目的是描述一篮子股票（具有正权重）上的看涨期权在大罢工和小罢工情况下隐含效用的渐近行为。本文考虑了三类不同的多维风险中性模型，它们具有越来越大的通用性。在第3节中，我们讨论了相关对数标准资产的情况，换句话说，遵循多维Black-Scholes模型的资产。

利用最近对相关对数正态随机变量和的尾部行为的描述[22]，我们得到了小s trikes下隐含波动率的误差估计的asharp渐近公式。另一方面，利用[2]中得到的结果，可以很容易地刻画大冲击下隐含波动率的渐近性。然而，对于大罢工，篮子看涨期权的隐含波动率近似于篮子中股票的最高波动率。第4节讨论了这种情况，其中资产遵循多维Black-Scholes模型，时间由一个独立的递增随机过程改变。在本节中，假设时间变化过程的边际密度在本质上衰减，如函数s 7→ sαe-θswithα∈ R和θ>0。此类模型的clas包括各种指数L′evy模型的标准多维扩展，例如变量伽马模型、正态逆高斯模型或广义双曲模型。据我们所知，对于这样一类多维模型，边际分布的尾部行为以前没有被研究过。在第4节中，我们提供了时变多维Black-Scholes模型中资产价格分布函数的双边估计，并使用这些估计来确定隐含波动率的顺式展开中的领先项。最后，在第5节中，我们讨论了篮子中的资产重新关联，并且依赖结构由给定的copula函数描述的情况。在这里，我们得到了一个n渐近公式，可以被认为是[7]中建立的一个尾翼公式的多维设置的推广。新的尾翼公式使用了种群的一个特殊特性，称为弱下尾翼依赖函数。

这个概念最近在[30]中被引入。关于pape r中未定义的函数的评论o设f和g是定义在r上的函数，且设a∈ [-∞, ∞]. 在本文中，我们写下“f”~ g为x→ 一个“提供的限制条件”→af（x）g（x）=1。我们也使用符号“f.g”作为x→ “iflim supx”→af（x）g（x）≤ 1，然后写“f（x）≈ g（x）as x→ a“如果存在c>0和c>0，那么CG（x）≤ f（x）≤ a的某个邻域中所有x的cg（x）.o在[a]中定义的正函数f，∞) 对于某些情况，a>0会随指数α的变化而有规律地变化∈ R如果对于任何λ>0，limx→0f（λx）f（x）=λα。对于所有α>0。指数为α的所有规则变化函数的类用Rα表示。这个类的元素叫做缓慢变化的函数。在零度时有规律变化的函数也可以类似地定义以下装置将用于pape r：d:={w∈ Rd:wi≥ 0，i=1，d、 anddXi=1wi=1}让我们∈ d、 我们设定（w）：=-dXi=1wilog wi，（1）对于x=0的约定x log x=0。隐含挥发分的无模公式可以是过滤概率空间上的非负鞅(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）。考虑astochastic模型，其中proce ss X对as集合的价格动态进行建模。定义上述价格模型中的买入和卖出定价函数byC（T，K）=E[（XT- K） +]和P（T，K）=E[（K-XT）+]，（2）分别。这里T>0表示到期日，K>0表示执行价。隐含波动率（T，K）7→ I（T，K）由以下等式确定：C（K，T）=CBS（T，K，σ=I（T，K）），其中符号CBS代表Black-Scholes调用定价函数。在下文中，到期日是固定的，隐含波动率仅被视为履约价格的函数。我们将建立两个无模型的渐近公式，用put-pr-ice函数刻画隐含波动率的左翼行为。

下面将需要这些公式。假设价格过程的初始条件是X=1。还假设资产价格模型没有原子为零。前面的假设意味着P（XT=0）=0。然后，以下渐近公式（隐含波动率的零阶公式）成立：I（K）=√√TslogeP（K）-log logKeP（K）-√√TslogKeP（K）-log logKeP（K）+O开！-（3） 作为K→ 这里EP是满足条件P（K）的正函数≈eP（K）as K→ 0.公式（3）在[17]中建立（参见[19]中的定理9.29）。[10]中注意到，原子的缺失是式（3）有效性的必要条件（见a lso[20]）。下一个渐近公式（隐含波动率公式的一阶）可以从[19，第9.6和9.9节]：I（K）中得出=√√TslogP（K）-logKP（K）+logb（K）-√√TslogKP（K）-logKP（K）+logb（K）+Olog logKP（K）logKP（K）-!（4） 作为K→ 0，其中b（K）=qlogP（K）-qlogKP（K）√πqlogP（K）。（5） 公式（4）考虑了[14]中得到的结果。与公式（3）中EP=P相比，它提供了更多关于小冲击下隐含波动率渐近展开的术语。关于隐含波动率的模型fr ee公式的更多信息可在[19]中找到。3多维Black-Scholes模型中的篮子期权我们本节的目标是在n维无漂移BlackScholes模型中描述欧洲风格的篮子期权在小范围内的隐含波动率的渐近行为。我们假设利率等于零。让我们，n可能是一篮子资产，比如logest=logeS-diag（B）t+BWt，其中est=（St，…，Snt），eS=（S，…，Sn），W是n维标准布朗运动，B是协方差矩阵，diag（B）代表B的主对角线。

，λn）∈与ba sket中as集合关联的权重向量。考虑以下形式的过程：St=nXi=1λiSit，t≥ 0.（6）过程S的初始条件由S=Pni=1λiSi给出，我们将在方程中假设所有1的Si=1≤ 我≤ n、 前面的条件意味着t S=1。在此之前，St=Pni=1exp{Yit}，其中Yit=logλi-biit+nXj=1βijWjt，1≤ 我≤ n、 （7）在（7）中，符号βij代表矩阵B的元素。我们还设置了ui，t=logλi-biit，1≤ 我≤ n、 （8）很明显，以下等式成立：exp{Yit}=λiSit，t>0，1≤ 我≤ n、 3.1多维BlackScholes模型中看跌期权定价函数的渐近性随机变量St的分布密度用pT表示。最近，在[22]中建立了一个PTC的渐近公式。让我们简要地回忆一下那篇文章中使用的符号。让我们∈ nbe唯一的向量，使得⊥B’w=最小值∈西北⊥Bw。（9） w的存在性和唯一性来自于矩阵B的非简并性。我们让n:=Card{i=1，…，n:\'wi6=0}，（10）\'i:={i=1，…，n:\'wi6=0}:={k（1），…，\'k（\'n）}，\'u∈ R’n带‘ui=u’k（i）和‘B∈ M\'n（R）与\'Bij=B\'k（i），\'k（j）。“B”的逆矩阵用“B”表示-1及其元素和行和由“aijand”Ak:=P“nj=1”akj表示。有关此符号的更多详细信息和解释，请参阅感兴趣的rea derto[22]。[22]中确定，在相关矩阵B的特殊限制下（假设[22]中的（a）），以下渐近公式为va lid，即x→ 0:pT（x）=CTlogx1.-\'-nx-1+TP‘nk=1’Ak对数A+·A+·n+Ak+uk，T经验-2T（\'A+·A+·n）对数x1+Ologx-1.（11） 其中常数C由Ct决定=√2πTq“B”p‘A+···+’A‘np································-2T\'nXi，j=1\'aij对数A+·A+·n+Ai+ui，T对数A+·n+·Aj+·μj，T.

（12） 利用公式（11），我们可以刻画看跌期权定价函数P在小罢工时的渐近行为。这可以按如下方式进行。考虑由Fm（σ）=Z定义的二阶分形积分∞σ(τ - σ） M（τ）dτ，（13），其中M是（0）上的正函数，∞). SinceP（K）=ZK（K- x） pT（x）dx，不难看出p（K）=S-1FM（S），其中S=K-1和M（y）=y-3pTY-1.. （14） 使用（11），我们得到m（y）=CT（logy）1-“纽约-2.-T-1P“nk=1”Ak对数A+·A+·A+和k+微克，T经验-2T（A+·A+·n）逻辑1+O（对数y）-1.（15） 就像我一样→ ∞, 其中CTI由（12）给出。在[21]中，得到了分数次积分的一般渐近公式（见[19]中的lso定理5.3）。接下来我们将阐述这个一般结果。假设m（y）=a（y）e-b（y）代表所有y≥ cwc>0是一个数字。假设以下条件成立：1。y|a′（y）|≤ γa（y）对于某些γ>0且所有γ>c.2。b（y）=b（对数y），其中b是（c）上的正增函数，∞) 这样B′（y）≈ 1安检→ ∞.那么作为σ→ ∞,FM（σ）=M（σ）b′（σ）（1+O（（对数σ）-1)). （16） （14）中的函数M满足上述条件。接下来，使用b（u）=2T（\'A+·A+·n）u的（14）、（15）和（16），我们建立以下断言。定理1。设P为（2）中定义的看跌期权的价格，假设协方差矩阵B的假设（A）成立（见[22]）。

然后，作为K→ 0，P（K）=δ条件稳定常数δKδexp-δlogK1+O条件稳定常数-1.（17） 式中δ=CTT“A+··+”A“n”, δ= -3+-n，δ=-1.-T\'nXk=1\'Ak对数A+·A+·n\'Ak+uk，T, δ=2T（\'A+·A+·A\'n），CTI由（12）给出。下一小节将使用公式（17）来描述多维Black-Scholes模型中与篮子期权相关的隐含波动率的le-ft wing行为。3.2与篮子期权相关的隐含波动率的左翼渐近行为下一个陈述描述了小罢工隐含波动率的渐近行为。定理2。假设（A）对协方差矩阵B成立。那么，作为K→ 0，I（K）=p\'A+·A+·n-P\'nk=1\'Ak对数A+·A+·n\'Ak+uk，T+ T2（A+·A+·n）条件稳定常数-1.-T（\'n- 1） 2（\'A+·A+·n）对数对数对数条件稳定常数-2+O条件稳定常数-2.（18） 备注1。上述隐含波动率表达式中的前导项也可以写成aslimK↓0I（K）=p\'A+·A+·n=rminw∈西北⊥Bw。证据根据（17）可知，作为K→ 0，logP（K）=对数δ- δlog logK- δlogK+δlogK+O条件稳定常数-1.（19） 和logkp（K）=对数δ- δlog logK- （δ+1）logK+δlogK+O条件稳定常数-1.（20） 其中δ，δ，δ，a和δ如orem 1所示。此外，（4）中的误差项可以表示为：条件稳定常数-3.（21）接下来我们将把logb（K）的渐近行为刻画为K→ 0 . 用V（K）和V（K）分别表示（19）和（20）右侧的函数。然后，使用（5）、（19）和（20），我们得到log B（K）=log√π+对数“1-s1-V（K）- V（K）V（K）#。很容易看到日志（1-√1.- h） =logh+O（h）等于h→ 0.放置h=V（K）-V（K）V（K）。那么我们有log B（K）=log√π+logV（K）- V（K）2V（K）+O条件稳定常数-1.hencelog B（K）=log√πδ- log logK+O条件稳定常数-1.（22）作为K→ 我们的NEXT目标是通过考虑（19）、（20）、a和（22）来简化公式（4），并用（21）中的表达式替换错误项。