与富有的鲨鱼一起游泳：寿命、波动性和价值

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英文标题：
《Swimming with Wealthy Sharks: Longevity, Volatility and the Value of
  Risk Pooling》
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作者：
Moshe A. Milevsky
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Who {\\em values} life annuities more? Is it the healthy retiree who expects to live long and might become a centenarian, or is the unhealthy retiree with a short life expectancy more likely to appreciate the pooling of longevity risk? What if the unhealthy retiree is pooled with someone who is much healthier and thus forced to pay an implicit loading? To answer these and related questions this paper examines the empirical conditions under which retirees benefit (or may not) from longevity risk pooling by linking the {\\em economics} of annuity equivalent wealth (AEW) to {\\em actuarially} models of aging. I focus attention on the {\\em Compensation Law of Mortality} which implies that individuals with higher relative mortality (e.g. lower income) age more slowly and experience greater longevity uncertainty. Ergo, they place higher utility value on the annuity. The impetus for this research today is the increasing evidence on the growing disparity in longevity expectations between rich and poor.
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中文摘要：
谁{\\em更看重}终身年金？是健康的退休人员期望长寿并可能成为百岁老人，还是不健康的退休人员期望寿命较短，更有可能意识到长寿风险的共担？如果不健康的退休人员与健康得多的人合并，从而被迫支付隐性负担，会怎么样？为了回答这些和相关的问题，本文通过将年金等价财富（AEW）的{em经济学}与{em精算}老龄化模型联系起来，研究了退休人员从长寿风险池中受益（或可能不受益）的经验条件。我将注意力集中在{\\em死亡率补偿定律}上，这意味着相对死亡率较高（例如收入较低）的个人年龄增长较慢，寿命不确定性较大。因此，他们将更高的效用价值放在年金上。今天，这项研究的推动力是越来越多的证据表明，富人和穷人之间的寿命预期差距越来越大。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Swimming_with_Wealthy_Sharks:_Longevity,_Volatility_and_the_Value_of_Risk_Pooling.pdf (2.18 MB)

2022-6-11 05:14:50 上传

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关键词：波动性 Quantitative Mathematical Expectations Compensation

《与富有的鲨鱼共游：长寿、波动性和风险池的价值》Moshe A.Milevsky，2018年11月22日，米列夫斯基，舒利希商学院金融学教授，约克大学数学与统计研究生院成员。联系方式：milevsky@yorku.ca，或致电：416-736-2100 x 66014。他的地址是：加拿大安大略省多伦多市基尔街4700号，M3J1P3。作者希望感谢：迈克尔·斯特普纳（Michael Stepner）提供美国死亡率数据的访问和帮助，凯文·米利根（Kevin Milligan）提供加拿大死亡率数据的访问和帮助，维克托·勒（Victor Le）、大丽亚·米列夫斯基（Dahlia Milevsky）和约瑟夫·比斯克（Yossef Bisk）提供的研究协助，亚历克斯·布兰德（Alexa Brand）和亚历山德拉·麦奎恩（AlexandraMacqueen）提供的编辑协助，鼓励形影不离的娜塔莉，来自蒙特利尔CEAR-RSI家庭理财研讨会（2018年11月）讨论者Lars Stentoft和参与者的建议，来自两位匿名JPEF评论员的反馈，以及与Tom Salisbury和HuaxionHuang就（建模）生死进行的多次交流。与富有的鲨鱼一起游泳：寿命、波动性和风险池的价值谁更看重终身年金？是健康的退休人员期望长寿并有可能成为百岁老人，还是不健康的退休人员期望寿命短更有可能意识到长寿风险的共担？如果不健康的退休人员与健康得多的人共同生活，从而被迫支付隐性负担，那该怎么办？为了回答这些及相关问题，本文通过将年金等价财富（AEW）经济学与老龄化精算模型联系起来，考察了退休人员受益（或可能不受益）的经验条件。我将注意力集中在死亡率补偿定律上，这意味着相对死亡率较高的个体（例如。

lowerincome）年龄越慢，寿命的不确定性越大。因此，他们将更高的效用价值放在年金上。今天，这项研究的推动力是越来越多的证据表明，贫富之间的寿命预期差距越来越大。JEL:H55（养老金），G22（保险）关键词：年金，退休，公用事业，社会保障，Gompertz模型。死亡并不严重，一切都是玩具，名声和格雷斯都死了。《麦克白》（Macbeth），第二幕，第三幕1背景与动机著名普林斯顿经济学家、诺贝尔奖获得者安格斯·迪顿（Angus Deaton）最近写道：“收入预测死亡率的发现由来已久”，早在19世纪，弗里德里希·恩格斯（Friedrich Engels）就在英国曼彻斯特指出了这一点。根据Deaton（2016）对Chetty et al.（2016）的类似发现的评论，“yetanother的研究表明，收入较高的人比收入较低的人预期多活15年，这并不令人惊讶。”这根本不是新闻。事实上，使用佩尔茨曼（2009）创造的一个短语来研究死亡率及其不平等的经济学家们的焦点已经转移到了因果关系上，而不是证明其存在。流行的问题是：为什么死亡率梯度会变陡？为什么有些国家的情况比其他国家更糟？经济学家们关注较少的是，美国收入最低的百分位数人群的寿命不仅如此，事实上，这可能让许多人感到惊讶。S、 越低，其剩余寿命的不确定性或可变性也越高。这与投资组合理论中众所周知的关系正好相反。如果有人考虑剩余的寿命随机变量：Txin回报率（即预期长度）和风险（即。

一般来说，收入较低（即较穷）但年龄相同的个人的平均值较低，但标准偏差较高。而且，当这两个数字表示为一个比率（也称为长度变化系数或CoVoL）时，差异更为明显。死亡率与个体寿命波动性（以及标准差）之间的正（cor）关系源自死亡率补偿定律（CLaM）。该理论于1978年（俄语）引入，并由加夫里洛娃（1991）在其教科书中加以扩展。稍后我将对此进行详细阐述，但要明确的是，这是一种理论，仍然存在一些争议。在这一点上，我要说的是，如果你不幸拥有高死亡率，你也会面临更高的寿命不确定性。现在，除了对统计数据的好奇或无所事事的困惑之外，没有任何地方比在养老金、退休计划和（主观）年金估值领域更能说明预期寿命与其波动性之间的自然联系了。1.1养老金补贴为了更广泛的读者群（但有疏远学术观众的公认风险），我将摒弃传统，用一个非常简单的例子来激励本文。假设Heather夫人将于65岁退休，现在有权领取养老金，也就是社会保障，或者每月支付25000美元的终身保障收入。为了记录在案，这是她在工作了必要的年数后，可以获得的法定最高收入。换言之，她也贡献了最大值，可能是通过扣留工资的一小部分，或者通过所得税系统间接贡献。

养老金支付根据一些国家指数衡量的生活成本或物价波动进行调整，但收入将在她去世后停止。养老金不包含现金价值或流动性规定，也不能将收入遗赠给子女、孙子或亲人。我并不是在描述任何特定的国家或ZF计划，而是一个由任何大型赞助者管理的通用、无固定福利（DB）养老金计划。巧合的是，她的隔壁邻居西蒙先生也是同年出生的，也将在65岁退休，并享有每年25000美元的年金。他也为这项计划作出了最大的贡献。目前，西蒙和希瑟如何支付养老金的确切细节并不重要。关键是，在他的工作生涯中，尤其是在他退休时，西蒙和希瑟都为养老金体系做出了贡献。不过，两者之间有一个重要的区别。遗憾的是，西蒙的预期寿命为10年，而且病得很重，而希瑟的健康状况非常好，相应的预期寿命为30年——他们都知道这一点。希瑟预计活到95岁（从目前的65岁开始），比西蒙活得更久，西蒙只能活到75岁。不同的是，虽然他们的年代学年龄（CA）都是65岁，但希瑟的生物年龄（BA）远低于西蒙的BA。从精算的角度来看，他的死亡率风险率实质上高于希瑟。然而，尽管西蒙的健康状况不佳，而且他向退休计划或养老金计划缴纳的金额与希瑟完全相同，但他无权从养老金计划的年金中获得比希瑟更多的收入。用保险的语言来说，退休计划不会根据个人健康状况进行承保或调整。

相反，世界各地的所有ZF社会保障计划都是中性或中性的。如果你向这个系统贡献了（同样的数额），你就可以获得同样的好处，无论是你的性别、健康状况还是任何其他长寿生物标志物。显然，西蒙十年的预期寿命较短，这意味着他将比希瑟（Heather）收到更少的钱。此外，如果退休计划或计划的目的是从长远来看既不赚钱也不亏损，也就是说，它是精算平衡的，那么世界上（生病的）西蒙斯正在补贴（健康的）石南花。经济学家对此非常清楚，这是所有ZF养老金计划的本质。事实上，在今天的大多数欧洲国家，保险公司都被禁止使用性别来为任何类型的保单定价，无论是人寿、健康、家庭保险，甚至是汽车保险。（换句话说，与西蒙相比，希瑟在欧洲的汽车保险费要多一些。）我引入这个非常简单的框架的目的是量化西蒙对希瑟的财政补贴的规模，这将为后面的工作奠定基础和直觉。当然，尽管这项转移具有巨大的美元价值，但本文的全部观点是，由于西蒙的长寿风险更大，因此，为什么（并量化）他仍然可以从养老金计划中受益。为了从财务角度正确分析补贴，下一步自然是：Simon公开支付多少（也称为。

零售）市场获得每年25000美元的养老金，希瑟需要支付多少？这一价格或成本应该大致反映出西蒙托·希瑟提供的转让的规模。实际上，市场价格将取决于许多负荷因素，更重要的是，西蒙和希瑟的预期寿命的不确定性程度。但为了让事情变得非常简单（在这个早期的直觉阶段），我假设西蒙能活10年，希瑟能活30年。换句话说，剩余寿命是确定的，Simon在65岁时将被收取212750美元，Heather将被收取487250美元，以获得相同的确切（定期）年金。这些数字以3%的有效（实际）年利率为基础，但不要求在假设或参数方面有其他要求。不同的是，10年每年25000美元的现值正好是212750美元，30年现金流的现值是487250美元。此外，他们综合养老金的市场成本为212750美元+487250美元=700000美元，从资金和养老金解决方案的角度来看，这是一个非常重要的数字。因此，如果——这是一个很大的如果——养老金计划是精算平衡的，那么它应该有70万美元的准备金，在希瑟兰和西蒙都退休时支付养老金。需要明确的是，现实世界的保险公司不会向托西蒙和希瑟收取212750美元和487250美元的养老金。首先也是最重要的是，这些公司必须盈利，所以他们会加价或“加载”价格，就像零售成本和批发成本一样。更重要的是，保险公司必须对不确定性进行预算和准备，包括年金受益人的寿命风险。

我将在第#3节了解更多定义的致命模型。相关结果如下：Simon将137250美元转给Heather，这一补贴相当于Simon养老金假设价值的64.5%。这个数字是从哪里来的？同样，整个系统应该为这两个项目预留70万美元，其中Heather需要487250美元，Simon只需要212750美元。然而，通过建筑，他们两人都为养老金计划贡献了相同的金额，大概在他们的一生中，总金额为350000美元x 2=700000美元。为了重复，Simon贡献了35万美元，在openmarket中获得的价值减少了137250美元。希瑟贡献了35万美元，并在开放市场上获得了价值137250美元的东西。见表#1。表#1如下所示。这些数字假设养老金制度过于简单，没有遗属福利，两名（且只有两名）参与者之间的（极端）寿命差距为20年。更重要的是，我假设Simon和Heather正好在他们的预期寿命时死亡，这假定没有任何寿命不确定性，这是保险效用的驱动因素。注：很少有计划拨出接近70万美元，以合理的贴现率支付所有有保障的养老金年金。关于这一领域最突出的声音，请参见约书亚·劳赫。事实上，西蒙可能活到75岁以上（或者他可能死得更早），希瑟可能活到95岁（或者她可能活得更长）。在这些事后结果下，交叉补贴将更小（或者甚至更大），并暗示了这些计划的保险方面，这一点我将稍后再谈。但是，事前的现实是，尽管他们已经向退休计划支付了类似的金额，但他们收到的福利的预期现值之间仍存在很大差距。事实上，只要你混合。

将具有不同长期前景的异质人群汇集到一个计划中，在这个计划中，每个人的余生都会获得养老金年金，在事前和事后都会有赢家和输家。这一结果在养老金和保险经济学文献中广为人知，但对于非专业人士来说常常令人惊讶。1.2输入寿命风险如果我们加入寿命风险或期限不确定性，会发生什么？嗯，正如我所注意到的，西蒙超过75岁的寿命超过10年和/或希瑟在95岁之前去世的可能性很小。没有人真正知道他们会提前活多久。在这种情况下，西蒙事后向希瑟转移的财富不到他的养老金价值的65%。在极端的边缘，西蒙实际上活得比希瑟长的可能性很小，而事后的转会则相反；她资助他。直到所有的希瑟人和西蒙人都死了我们才知道。这里是主要的经济问题。他们有权在余生领取的养老金不仅为他们提供了定期现金流或收入，还为他们提供了长寿保险。此外，任何类型的保险的价值或收益都无法根据平均可能发生的情况进行量化。它必须考虑分布的尾部，最好通过（某种形式的）贴现预期效用来衡量。回到希瑟和西蒙身边。如前所述，他们的年金使他们有权分别获得30年和10年以上的特定年金——他们已经购买了长寿保险，以保护他们的寿命。

Simon更愿意与像他这样的人一起分享相同的风险，因为他希望得到“更平等”的分布。但即使是西蒙也愿意与希瑟合用，前提是根本没有合用。事实上，正如Holzman et al.（2017）最近指出的那样，这是流行的概念界定供款（NDC）计划的一个问题。那么，谁更重视这种保险呢？希瑟还是西蒙？还是保险福利是对称的？不同的是，Simon是否可以从与Heather的合作中获得更多（效用），即使他在预期现值的基础上亏损？答案是肯定的，Simoncould会赢（经济效用），即使他看起来在输（美元和美分）。为什么？因为他长寿的波动性更大。西蒙的预期寿命很短，但相对而言，他的实际寿命达到了峰值，这两种寿命都以（i.）年来表示：SD【Tx】，以及（ii.）一个分数：SD[Tx]/E[Tx]，实际上比Heather的大。如果Simon的寿命是30年而不是10年，那相当于300%（平均寿命）的电击。这不太可能，但在可能的范围内。相比之下，预计能活30年的希瑟永远不会经历300%的震惊。这意味着她将多活90年（从65岁）到155岁。这根本不会发生。可能性为零。因此，西蒙的个人长寿波动率高于希瑟。如图（#1）所示，将在后面解释。图1从保险经济学的角度来看，这意味着Simon比Heather更重视养老金的风险池资产。我所说（和模型）的波动性比她目前预期寿命延长300%的可能性要微妙得多。