交易限制下的稳健定价和套期保值

相比之下，当卖出期权交易时，它们的组合总是有界的，这样的放松可能是不可能的。我们在符号中强调这一点，并写出V（p）~u，p（G）：=VXp，p，p（G）。我们的第一个结果表明，当G是有界的，那么交易看跌期权而不是看涨期权不会像人们所预期的那样对溢价产生影响。定理4.3。假设市场输入（Xp，P，P）不允许WFLVR或M的等效值-~u，P6=. 特别是，条件4.1得到满足，（4.1）定义了满足假设3.8的措施。让G:Rn+→ [-∞, ∞) 是一个上半连续函数，从上面有界。然后P~u，P（G）=PXp，P，P（G）=VXp，P，P（G）=V（P）~u，P（G）。（4.2）证明将在第6.3节和第6.5节给出，与定理3.5的证明类似。上述结果可推广到不一定有界但具有次线性增长的函数G。我们声明了一个这样的扩展，稍后将使用。相比之下，（4.2）中的二元性对于线性增长的G来说将是失败的——我们将在接下来的章节中探讨这一主题。推论4.4。在定理4.3的设置中，假设G是一个上半连续函数，对于任何M>1，GM（s，…，sn）：=G（s，…，sn）-（s+…+sn）/M从上方开始。然后（4.2）适用于G证明。我们有v（p）~u，p（G）≤V（p）~u，p（GM）+V（p）~u，p（（S+··+Sn）/M）≤P~u，P（GM）+V（P）~u，P（（S+·Sn）/M）≤P~u，P（G）+nsM，其中我们使用了明显的不等式0≤ V（p）~u，p（Si）≤ s、 i=1，n、 让我→ ∞我们得到V（p）~u，p（G）≤ P~μ，P（G）。另一个不等式V（p）~u，p（G）≥ P~u，P（G）在一般情况下是正确的（见备注2.3），我们得出结论：V（P）~u，P（G）=P~u，P（G）。4.2对偶缺口和气泡我们回到备注2.3和3.7中考虑的金融泡沫主题。Westart给出了一个简单单周期模型的激励示例，n=1。对于某些P，预测集的形式为P={s}×P R+。

我们假设市场不承认WFLVR，这相当于说通过（4.1）定义的u是一个概率度量，支持泛满意度xu（dx）≤ s、 我们假设预测集Pis是无界的，并考虑具有上半连续支付函数G:R的期权+→ [-∞, ∞)使得| G（x）|≤ K | x |对于一些K和letlim supx→∞, 十、∈PG（x）x=：β∈ [-∞, ∞).半静态交易策略是一对（X，) ∈ 美联社，X∈ Xpand ≥ 0.如果它超复制GψX，（s） ：=X（s）+（s）- （s）≥ G（s），s∈ P、 那么必然 ≥ β+，因为X是有界的，其中β+=β∨ 因此，我们发现v（p）u，p（G）=infnZX（s）u（ds）：（X，) ∈ 美联社。tψX，≥ G on Po=inf≥β+s+infnZX（s）u（ds）：（X，) ∈ 美联社。tψX，（s）≥ G（s）- ss∈ 阿宝= inf≥β+ns+Pu，P（G（s）- S） o=inf≥β+s+ZR+（G（s）- s） u（ds）（4.3）=ZR+G（s）u（ds）+inf≥β+（s）-ZR+su（ds））=ZR+G（s）u（ds）+β+（s）-ZR+su（ds））=Pu，P（G）+β+（s-ZR+su（ds））。因此，如果μ的平均值严格小于S，我们就有一个线性增长的二元间隙。直观的原因很清楚：直接购买资产的成本隐含地高于使用看跌期权构建头寸的成本。如果G有界支付，则后者是可行的，如定理4.3所示。然而，对于线性增长的G来说，任何边缘投资组合都必须包括资产S，因此成本更高，正如seenabove所言。当G（s）=（s- K） +，lim supx→∞, 十、∈PG（x）/x=1，我们得到v（p）u，p（G）=pu，p（G）+s-ZR+xu（dx）.同样，取G（s）=s，我们得到s=V（p）u（s）≥ Pu，P（S）=f:=ZR+xu（dx）。如果看跌期权的正向价格严格小于现货价格，市场就会出现泡沫，即市场价格与基本面价格不一致。

这应该与备注3.7中的情况形成对比，在备注3.7中，泡沫是由于显性资产而产生的。这些情况之间的差异可以总结如下：为了拥有一个有金融意义的市场，我们必须始终存在以下不平等：市场价格≥最便宜的超级复制价格≥ sup{model implicated prices}=基本价格这里的第一个不平等性来自这样一个事实：我们可以通过购买资产来超级复制资产，如果（由于投资组合的限制）不可能卖空资产（实际上，在本文中，我们总是将非交易资产的市场价格解释为其超级复制价格；对于交易资产，这是主要结果的简单结果），那么我们可能会有一个严格的不等式，而没有简单的套利。然而，在存在严格不平等的情况下，市场包含一个支配性的投资组合——也就是说，超级复制策略严格支配以市场价格购买资产，因此默顿的无支配原则失败。一般来说，人们不会期望这样的市场存在——即使不可能套利，人们也会期望均衡来缩小差距，因为没有（理性的）市场参与者会以市场价格购买资产。另一方面，这里的第二个不平等是合理的——超级复制价格和模型隐含价格之间没有先验的一致性。因此，上述基本面价格和市场价格之间存在真正差异的市场至少在数学上是可处理的。本文的主要贡献之一是，我们提供了一个具体的市场特征，这是可能的。在一个更经典的框架中，上述两种情况被封装在（例如）Cox和Hobson[10]以及Jarroweet al.的完整设置之间的差异中。

[26]中，市场的完整性意味着最便宜的超级复制策略和期权的模型隐含价格之间总是平等的，而Jarrow等人[27]中的不完整模型中，Merton的非支配条件强制执行了第一个不平等。然而，在Jarrow等人[27]中，泡沫的存在取决于某种定价措施的选择，以确定“市场价格”。在当前（稳健）的环境下，我们能够以具体的方式确定市场价格，从而更清晰地描述泡沫，而不需要一些外部“选择”程序。现在，我们将上述讨论扩展到一般的n-边际设置。在上面的一个周期案例中，任何G都是一个欧洲期权，其市场价格和基本价格之间的差距大小仅作为其线性增长系数和泡沫大小s的乘积给出- f、 在一般情况下，我们无法显式计算任意支付的对偶套利。我们给出了以下特征，从而使我们能够获得大多数典型交易的奇异期权的显式表达式。定理4.5。假设，un满足假设3.8。假设支付函数g:Rn+→ [-∞, ∞) 上半连续andG（s，…，sn）≤ 对于某些K，Rn+上的K（1+s+…+sn）（4.4）。定义βi:Ri+→ R通过设置βn=0和βi（s，…，si）=supsi+2，…，递归进行，。。。，锡∈R+lim supx→∞βi+1（s，…，si，x）+G（s，…，si，x，si+2，…，sn）xP（s，…，si，x，si+2，…，sn）∨ 0，（4.5）表示i=0，N- 1.如果Gβ（S）：=G（S）- β（S）- （s）-Pn-1i=1βi（S，…，Si）（Si+1- Si）是上半连续的，从上到下有界，n（p）~u，p（G）=supP∈M-~μ，PEPhG- β（S）- （s）-N-1Xi=1βi（S。

，Si）（Si+1- Si）i=P~u，P（Gβ）。更一般地说，如果存在一个序列（0，β（N））的话，结果仍然是正确的∈ Apsuch thatGβ（N）（S）是上半连续的，对于每一个N和Gβ（N）（S），从P的上方开始有界→Gβ（S）点态为N→ ∞.证据见第6.6节。这里我们展示了当P=Ohm.备注4.6。这一结果与关于pricingunder卖空约束的现有文献形成了鲜明对比：例如，在一般（经典）环境中，在某些概率测度P下，价格被假定为局部有界半鞅，在卖空约束下，Pulido[36，定理4.1]表明存在节点缺口。例1：亚式期权亚式期权具有支付函数G:Rn+→ R+定义为byG（s，…，sn）=Pni=1英寸- K+.在这种情况下，对于任何i=1，n和s，si，si+2，锡∈ R+limx→∞G（s，…，si，x，si+2，…，sn）x=n，（4.5）可以简化为βi（s，…，si）=supsi+2，。。。，锡∈R+lim supx→∞βi+1（s，…，si，x）+n.这就产生了βi=（n- i） /n表示i=0，N-1.很明显，Gβ（S）=G（S）- β（S）- （s）-N-1Xi=1βi（Si+1- Si）=Pni=1英寸- K+-Pni=1Sin+sis连续且从上方有界。因此，根据定理4.5V（p）~u（G）=supP∈M-~uEPhG- β（S）- （s）-N-1Xi=1βi（Si+1- Si）i=supP∈M-~uEP[G]+nnXi=1s-ZR+xui（dx）.示例2：具有敲入功能的回溯选项我们考虑的第二个示例是具有敲入功能的回溯选项，whosepayo fff函数G:Rn+→ R+由g（s，…，sn）给出=max0≤我≤nsi- K+min0≤我≤nsi≤ B.尤其是当B=∞, 它只是一个回望看涨期权，按（4.5）βn的K.点执行-1（s，…，sn）-1） =supsn∈R+lim supx→∞G（s，…，sn）-1，x）x=min0≤我≤N-1si≤ B.因为i=0，N- 2和s，硅∈ R+，αi（s，…，si）：=supsi+2，。。。，锡∈R+limx→∞G（s，…，si，x，si+2。

，sn）x=1。（4.5）可以简化为βi（s，…，si）=supsi+2，。。。，锡∈R+lim supx→∞βi+1（s，…，si，x）+1，i=0，N- 从中我们可以得出βi（s，…，si）=（n- 1.- i） +min0≤J≤isj≤ B、 i=0，N- 1.不难看出Gβ（S）=G（S）- β（S）- （s）-N-1Xi=1βi（S，…，Si）（Si+1- Si）=G（S）+βS-N-2Xi=0βi（S，…，Si）- βi+1（S，…，Si+1）Si+1- βn-1（S，…，Sn）-1） 锡=max0≤我≤nSi- K+min0≤我≤nSi≤ B-nXi=1Si+nXi=1min0≤J≤我-1Sj>BSi≤BSi+NSI从上方界定。现在定义连续函数β（N）i:Ri+→ 由β（N）i（s，…，si）产生的R+=N- 如果我是min0≤J≤isj≤ Bn- 我- 1+NB+N- min0≤J≤isj+否则与上面类似，我们可以证明Gβ（N）（S）=G（S）-β（N）（S）-（s）-Pn-1i=1β（N）i（S，…，Si）（Si+1）-Si）是从上方限定的。还有β（N）i→ βias N→ ∞ 对于任何i=0，N- 1.ThenGβ（N）→ Gβ点态为N→ ∞ 因此，根据定理4.5V（p）~u（G）=supP∈M-~uEPhG- β（S）- （s）-N-1Xi=1βi（S，…，Si）（Si+1- Si）i.如上面的回望选项示例所示，对偶差距不仅取决于G和边际分布（ui），还取决于ui的（最佳）传输方式。如果P是Ohm, 计算β和检验定理4.5的假设可能变得越来越困难。我们现在发展了一个论点，它渐近地连接了在有预测集的情况下G的对偶间隙和在没有预测集的情况下G的惩罚函数的对偶间隙。特别是，当P是任意闭集时，它提供了另一种计算对偶间隙的方法。假设市场输入（Xp，P，P）不允许WFLVR，G是上半连续的toG（s，…，sn）≤ K（1+s+…+sn），（s，…，sn）∈ R+。在这个假设下，我们将首先讨论P~u，P（G）=-∞, 那么V（p）~u，p（G）=-∞.根据命题4.2，缺少WFLVR相当于M-Xp，P，P6=.

根据V（p）~u的公共性和定理4.3得出V（p）~u，p（G）≤V（p）~u，pG- K（1+S+·Sn）+ V（p）~u，pK（1+S+·Sn）≤P~μ，P（G- K（1+S+··+Sn））+nKs+K=-∞.从现在起，我们再假设P~u，P（G）>-∞. 定义G（N）：Rn+→ [-∞, ∞) byG（N）（s，…，sn）=G（s，…，sn）- NλP（s，…，sn），其中λP（s）：=（1+s+…+sn）{（s，…，sn）/∈P} 如（6.12）所述。然后注意v（p）~u，p（G）=infN≥1V（p）~u（G（N））。（4.6）不平等”≤” 这很清楚。另一方面，”≥” 根据G（N）在N中递减的事实，并且给定任何（X，) ∈ Ap，ψX，≥ -N（1+S+…+Sn）表示Nsu非常大。因为P关闭了，-{（S，…，Sn）/∈P} 是上半连续函数，因此G（N）是上半连续的。然后将问题归结为P=Ohm, 如果未定权益满足定理4.5中的所有假设，我们有一个计算对偶缺口的公式。现在让γN:=V（p）~u（G（N））- 晚餐∈M-~uEP[G（N）]。然后是（4.6）v（p）~u，p（G）=infN≥1nsupP∈M-~uEP[G（N）]+γNo=limN→∞nsupP∈M-~uEP[G（N）]+γNo。此外，我们可以推断出≥1支持∈M-~uEP[G（N）]=支持∈M-~uinfN≥1EP[G（N）]=供应∈M-~u，PEP[G]，其中第一个等式是通过使用最小-最大定理（推论2 inTerkelsen[40]）实现的，第二个等式自infN起成立≥1EP[G- NλP]=-∞ 无论如何∈ （M）-~u\\M-~u，P）butinfN≥1支持∈M-~uEP[G（N）]≥ 晚餐∈M-~u，PEP[G]>-∞.因此，通过写入γ=limN，γNexists和→∞γNwe-haveV（p）~u，p（G）=supP∈M-~u，PEP[G]+γ.5连续时间：局部鞅、泡沫和定价我们现在转向连续时间模型来探索期权价格、交易约束、投机泡沫和严格局部鞅之间的联系。

允许Ohm = D（[0，T]，R+）是在[0，T]和S=（St:T）上具有左极限的非负右连续函数的空间≤ T）成为Ohm 用（Ft）表示其自然过滤。考虑看跌期权交易n的情况≥ 1到期日0<T<…<Tn=T，Xp:={（K- STi）+:1≤ 我≤ n、 K≥ 0}，pi（K）：=P（K- STi）+）。我们需要在预测上加上一些假设。预测集P Ohm 满足度ω（0）=每ω∈ 任意ω的P和∈ P和任何停止时间τ，ωτ=（ω（t∧ τ（ω））：t≤ （T）∈ P.进一步的集合P~T:={（ω，ωT，…，ωTn）：ω∈ P} 关门了。第一个条件对应于P在停止时关闭，这意味着任何超边缘策略实际上都满足抵押品要求，见下面的备注5.2。第二点是技术性的，使我们能够比较连续时间设置和离散时间设置。对于这类可容许的动态交易策略，有几种可能的选择。如果允许的类别足够大，它们通常会导致相同的超边际价格，但会导致不同的校准市场模型。在这里，为了使离散时间设置的联系更加清晰，我们考虑了动态交易策略 这是一个可预测的分段常数过程，有无数个跳跃。更准确地说， : [0，T]×Ohm → 对于任何ω∈ Ohm, （ω） ：[0，T]→ R+是一个简单的非负函数（分段常数，有无穷多个跳跃），对于任何t∈ [0，T]对于任何ω，ω∈ Ohm ω（s）=ω（s）表示s∈ [0，t）我们有t（ω）=t（ω）。我们这样说 是可以接受的，然后写 ∈ 答：请注意 ∈ 随机积分U-Dsui是一个总和，因此是按路径定义的。可接受的半静态交易策略是一对（X，) 通过输出选项X（ω）=a+Pmi=1aiXi（ω），m的线性组合≥ 0，哎∈ R、 Xi∈ Xpand ∈ A.

其在时间T的支付由ψX给出，（S） =X（S）+ZTU-dSu。回想一下，可接受的半静态交易策略集表示为Ap=AXP，以及定义2.1中给出的超级复制价格VXp，P，pW。备注5.2。注意，因为P在停止时是闭合的（参见假设5.1），所以如果（X，) ∈ P上的G实际上是ψX，（St）=X（St）+ZtU-dSu≥ G（St），t≤ T、 关于P，（5.1），其中St=（Su∧t:u≤ T） 。换句话说，（X，) 满足抵押品要求。正如我们将在下面看到的，这一特性将有助于泡沫的出现。静态交易论证，如命题3.2的证明中所述，表明如果不存在WFLVrimpiles，则pi（K）满足条件4.1中列出的属性，因此我们可以使用（4.1）定义满足假设3.8的概率度量~u=（ui）ni=1。校准市场模型集-十、 P，定义2.2中给出的PI。注意，Remark2。3.公约生效∞ - ∞ = -∞. 最后，让Mlo c~u，Pbe为(Ohm, FT），即S是P-局部鞅和EP[（K-STi）+]=pi（K），K≥ 0，或相当于STi~ ui，1≤ 我≤ n、 很容易看出-十、 P，Pis是一组度量P，在该度量P下，STi~ u和S是一种P-超马氏体，尤其是Mlo c~u，P M-十、 P，P.现在考虑一个欧式期权，它的payoff G（ω）=G（ωTn），或者更一般地说是一个上半连续的G（ω）=G（ωT，…，ωTn）。然后，我们可以将当前设置与离散n期模型的设置进行比较，离散n期模型的价格为P，禁止卖空，并与预测集P~T进行比较，如第4节所述。表示相应的原始值和对偶值PdXp，P，P~T和VdXp，P，P~T。注意，离散超边缘问题自然嵌入到连续时间问题中。离散时间交易策略对应于非负(t） 每[Ti，Ti+1]上的常数，i=0。

N-1，在A中，在原始边，对于任何P∈ Mlo c~u，p向量（S，ST，…，STn）是一个校准的离散时间市场模型，因此对于G，如上所述，校准的连续时间模型嵌入在离散时间模型中。总之，PXp，P，P（G）≤ PdXp，P，P~T（G）和VXp，P，P（G）≤ VdXp，P，P~T（G）。（5.2）在某些情况下，我们可以在第一个不平等中建立平等。例如，whenP={ω∈ Ohm : ω（0）=s}那么，任何离散时间市场模型都可以被视为资产在任何时间上都是常数的连续时间模型[Ti，Ti+1）。然后，我们可以从结果定理4.3和离散时间推论4.4中得出结论，在连续时间设置中不存在对偶间隙。然而，我们的主要兴趣是定价对冲对偶失效的情况。我们可以使用第4.2节的结果来理解欧式期权的情况。命题5.3.假设P满足假设5.1，PT:{ω（T）：ω∈ P} 是无界的，并且市场价格是这样的，Mlo c~u，P6=. 以G:R为例+→[-∞, ∞) 线性增长（即（3.1）成立）的连续函数，其极限β：=lims→∞,s∈PTG定义良好且非阴性。那么，VXp，P，P（G）=supP∈Mloc~u，Plimn→∞EP[G+（ST∧τPn）- G-（ST）]=ZG（s）un（ds）+βs-ZR+sun（ds）,（5.3）其中我们隐式地设置了G（ω）=G（ω（T）），其中（τPn）是S under和G+=G的局部化序列∨ 0，克-= -（G）∧0).在证明上述结果之前，我们首先给出两条评论。备注5.4。如果看跌期权中隐含的远期价格，f=Zsun（ds）=limK→∞（K）- pn（K））比现货便宜，s>f，那么市场就有泡沫。市场价格（定义为超边际价格）严格高于基本价格：供应∈Mloc~u，PEP[G（ST）]=ZG（s）un（ds）。修正值等于β+（s-f） 。这与理论5中的修正相同。2在Cox和Hobson[10]中，另见Jarrow等人[27]中的第6.1节。