交易限制下的稳健定价和套期保值

其中，bubblewas由一个附带要求和一个严格的局部鞅性质驱动。前者是一种自然的交易限制，后者则是艺术性的。在我们的鲁棒性框架中，泡沫是由交易限制和期权市场价格的属性触发的。不同之处在于，我们将市场价格视为给定价格，并采用稳健的框架。当这些价格与资产价格不一致时，泡沫就会出现，而由于交易限制，套利不会出现。在我们的设置中，交易限制采取了卖空禁令的形式，并如上文备注5.2所述，采取了抵押品要求的形式。备注5.5。假设Mlo c~u，P6= 是对P和市场价格的隐含假设。例如，当P等于所有路径或所有连续路径时，其满足条件，且从沙盘价格pi（K）开始满足条件4.1中列出的属性。latteris相当于~u=（ui）ni=1，通过（4.1）定义，满足假设3.8。第5.3号提案。如上所述，我们可以直接将连续时间设置与第4节中的离散时间设置进行比较，其卖出价格和预测集P~T={（ω，ωT，…，ωTn）：ω∈ P} 。使用（4.3），这是一个边际结果，可以直接得到Vdxp，P，P~T（G）≤ Vpun，PT（G）=ZG（s）un（ds）+β+s-ZR+sun（ds）因此我们得出结论，vxp，P，P（G）≤ZG（s）un（ds）+β+s-ZR+sun（ds）. （5.4）考虑一种超边缘策略（X，) 和P∈ Mlo c~u，Pwith（τn）a在P.If G（ST∧τn）>0，由（5.1）和G得出-≥ 0 thatX（圣∧τn）+ZT∧τnU-dSu≥ G+（ST）∧τn）- G-（ST）。否则，G（ST∧τn）≤ 0，然后x（ST）+ZTU-dSu≥ G（ST）≥ G+（ST）∧τn）- G-因此，+（ST）∧τn）- G-（ST）≤X（圣）+X（圣∧τn）- X（圣）{G（圣∧τn）>0}+ZTU-dSu，在哪里u=u{u≤τn∧T}+u{u>τn∧T}{G（ST∧τn）≤0}. 我们注意到 ∈ 因此，在P下，积分的期望值是非正的。

此外，τn∧ T=T表示n大零（这可能取决于路径），X有界，因此我们可以应用支配收敛定理得出lim supn→∞EP[G+（ST∧τn）- G-（ST）]≤ EP[X（ST）]=P（X）（5.5），因此LHS是VXp，P，P（G）的下界。最后我们计算LHS。注意，对于任何>0，G（s）- (β - ）s在PT上从下方有界。接下来，应用法头引理，注意到∈ Mlo c~u，Pimplies STand ST∧τnare几乎肯定在PT，thatlim infn中→∞EP[G+（ST∧τn）]≥林恩芬→∞EP[G+（ST∧τn）- (β - ）圣∧τn]+（β- s≥EP[G+（ST）- (β - ）ST]+（β- ）s=ZG+（s）un（ds）+（β- )s-Zsun（ds）.我们得出结论，（5.4）中的上界与（5.5）中的超边缘策略中的0和inf得到的下界一致。根据定理4.5，上述声明可以扩展到G，这取决于中间到期日的资产价值，即G（S）=G（ST，…，STn）。我们在这里不追求它。附录6。1初步结果在本节以及第6.3节和第6.5节中，我们假设u，uR+上具有有限第一时刻的奈尔概率测量。设∏~u为所有Borel概率测度的集合Ohm 边缘δs，u，unand表示M-~uP上的概率度量集Ohm 这样S是一个超鞅，Si是根据ui分布的。我们还写Cb（Rj+，R+）来表示Rj+上的连续、有界和非负函数f集，以及连续非负和紧支持函数子集的Cc（Rj+，R+）集。引理6.1。让π∈ Π~u. 那么以下是等价的：1。π ∈ M-~u.2. 为了0≤ J≤ N- 1和每 ∈ Cc（Rj+，R+），我们有Ohm（x，…，xj）（xj+1）- xj）dπ（x，…，xn）≤ 0（6.1）引理6的证明。1.（1）声称 Rj+，j=0，N- 波雷尔是可测量的吗OhmsA（x，…，xj）（xj+1）- xj）dπ（x，…，xn）≤ 0

（6.2）见（6.1）=> （6.2），我们计算任何j=0，N- 1和 ∈ Cc（Rj+，R+）和定义简单函数fk:Rj+→ R乘以fk=2-K2k. 然后0≤ fk↑  从优势收敛定理和（6.2）可以看出（6.1）满足（6.2）=> （6.1），首先考虑∈ Rj+使得A是开放且有界的。注意AIS是下半连续的，因此存在序列（fk）k≥1.∈ Cc（Rj+，R+）如0≤ fk≤A和fk↑因此，支配收敛定理意味着OhmA（x，…，xj）（xj+1）- xj）dπ（x，…，xn）≤ 0.现在是∈ Rj+是一个任意的开放集。我们有一个∪N≥1A（n）与A（n）：=A∩{S∈ Rj+：kSk<n}是开放的和有界的。然后利用支配收敛定理emzOhmA（x，…，xj）（xj+1）- xj）dπ（x，…，xn）≤ 0.最后，如果 Rj+是一个Borel集，然后根据Bruckner等人[8]的推论3.12，对于everyN>0，有一个开集 Rj+这样 带π（AN）的AN≤ π（A）+N.它跟在z后面OhmA（xj+1）- xj）dπ（x，…，xn）=ZOhm安（xj+1）- xj）dπ（x，…，xn）-ZOhmAN\\A（xj+1）- xj）dπ（x，…，xn）≤ZOhmAN\\A（x，…，xj）xjdπ（x，…，xn）=ZOhmAN\\A{xj≥√N} xjdπ（x，…，xn）+ZOhmAN\\A{xj<√N} xjdπ（x，…，xn）≤ZR+{xj≥√N} xjuj（dx）+√NN→ 0作为N→ ∞.引理6.2。对于一个封闭的P Ohm 布景M-~u，Pis在弱拓扑中是紧凑的。证据自从我-~μ，Pis是紧致集∏~u的子集，它需要证明M-~u，Pis是∏~u的封闭子集。引理6.1，M-~u=\\0≤J≤N-1\\:Rj+→R+连续和有界nzrn+（x，…，xj）（xj+1）- xj）dπ（x，…，xn）≤ 0o。因此，根据Beiglb–ock等人[4]中的引理2.2-~u是软拓扑中∏至u的封闭子集。给我看-~μ，Pis是M的闭子集-~u，我们取任意序列（Qn）∈ M~u使得Qn（P）=1和Qn→ Q代表一些Q∈ M~μas n→ ∞. 然后通过测量值的弱收敛，对于P Ohm 闭的，Q（P）≥ 林尚→∞Qn（P）=1。

因此，M~u，Pis是M~u的封闭子集，因此在弱拓扑中是封闭的∏u。为了证明定理3.5和4.3，我们将使用以下Monge-Kantorovich对偶定理，它本质上是Beiglb¨ock等人[4]中的命题2.1。这个命题写在这里是为了符合本文的符号和目的。引理6.3。对于任何上半连续且从上有界的G，我们有supπ∈π~uEπ[G]=infnP（X）：X∈ Ao，s.t.X≥ φonOhmo、 o在哪里∈ {c，p}。（6.3）此外，对于满足3的任何上半连续G，o=c的结果仍然正确。1.看涨期权案例只是Beiglb–ock等人[4]的命题2.1。看跌期权的情况来自Beiglb¨ock等人[4]中命题2.1的证明中的等式（A.1），我们的符号简单地表示，对于任何上半连续且从上超π有界的G∈π~uEπ[G]=infnnXi=0ZR+uidui:ui∈ Cb（R+，R）s.t.nXi=1ui（Si）≥ G（S）onOhmo、 （6.4）注意，如果∈ 1，i=1,R，n、 这里有一些u:R+→ r按a+Pmj=1aj（Kj）的形式计算-sj）+使u≥ f安德尔（u）-f）dui<。因此，我们可以将（6.4）中的容许函数类从Cb（R+，R）改为u:R+→ r按a+Pmj=1aj（Kj）的形式计算- s） +.6.2交易买入或卖出设置中FTAP的证明：P=Ohm命题3.2和命题4.2的证明几乎相同，所以我们只给出命题3.2的证明。我们包括命题3.3的证明。在本节中，我们只在P=Ohm.

这使得我们可以证明定理3.5，当NP=Ohm 当P（Ohm.第一步： MCM（市场校准模型）==> “没有WFLVR”首先，我们将证明市场校准模型的存在意味着没有WFLVR。修复市场校准的P型和任何（Xk，（k）∈ AXand（X，) ∈ ax使得ψXk，K→ P上的0点，limkP（Xk）定义良好，ψXk，K≥ ψX，. 然后，通过法图引理，我们知道lim infkEP[ψXk，k]≥ EP[lim infkψXk，k] =0和hencelimkP（Xk）=limkEP[Xk]≥ lim infkEP[ψXk，k]≥ EP[lim infkψXk，k] =0。第2步：“无WFLVR==> 条件3.1“简单而经典的是，如果没有稳健一致强的任意性，则会导致条件3.1（i）-（ii）。请注意，由于ci（·）是凸的，因此ci（0+）定义得很好。设αi:=limK→∞ci（K），由条件3.1（i）和αi很好地定义≥ 0表示anyi=1，n、 如果某些i=1的αi>0，n然后（Xk，（0））与Xk=-（是的- k） +是自Xk以来的aWFLVR吗→ 0点为k→ ∞ P（Xk）=-ci（k）→ -αi<0。如果条件3。1（iv）被违反，那么对于某些K∈ R+和i，ci（0）- ci（K）<ci+1（0）- ci+1（K）。LetX=（Si）-0)+-（是的-（K）+-（Si+1）-0）++（Si+1-（K）+∈ Xc，i={Si<K}和j=0表示j=i，然后（X，) 是自ψX以来的稳健一致强套利，≥ 但P（X）<0。我们得出结论，没有WFLVR意味着条件3.1。此外，不存在稳健一致强套利意味着条件3.1（i）、（ii）和（iv）。第3步：“如果P=Ohm 然后：条件3.1==>  MCM“接下来，我们证明条件3.1意味着当NP=Ohm. 根据条件3.1（i）、（ii）和（iii），我们可以从观察到的看涨期权价格中得出（R+，B（R+）的概率测度，例如，对于任何i=1，n和K∈ R+ci（K）：=Z（x）-K） +ui（dx）和ci（0）=Zxui（dx），其中B（R+）是R+的Borelσ-代数。

事实上，由于Breeden和Litzenberger[7]，对于K，可以通过ui（[0，K]）=1+c′i（K）来定义ui∈ R+。此外，给定u，根据观察到的看涨期权市场价格，Strassen定理（[39]）指出，条件3.1（iv）成立当且仅当对于任何凸非增函数φ：R+→ R、 序列（Rφdui）i≥1是非递减的，这是Rn+上存在一个具有μ，un.因此，当P=Ohm, WFLVR的缺失意味着市场校准模型的存在，当且仅当条件3.1满足时才会发生。步骤4：“命题3.3的附加参数”鉴于上述步骤，为了说明命题3.3，仍需证明条件3.1（i）、（ii）和（iv）意味着当P=Ohm.相反，假设存在一个半静态策略（X，) 使得ψX，≥ 0和P（X）<0。由于X是Xc元素的有限线性组合，我们让kmaxb在X中出现的看涨期权中最大。然后，对于任何δ>0足够小的情况，存在一系列函数（c（δ）i）ni=1满足条件3.1（i）-（iv），并且| ci（K）- c（δ）i（K）|≤ δ、 对于任何i=1，n和K≤ Kmax。事实上，我们可以用以下方式构造（c（δ）i）ni=1。对于任何一个，n、 我们首先定义ciby ci（K）=ci（0）- (1 -δi2ns）（ci（0）- 如果c′i（0+）<0，~ci（K）=（ci（0）-δ（n+1）-i） 2nKmaxK）∨ 否则。注意，如果c′i（0+）=0，那么cj≡ cj（0）表示任何j≥ i、 然后，|ci（K）-ci（K）|≤K的δ/2≤ δ足够小（~ci）ni=1满足条件3.1（i）-（iv）和~ci（K）时的Kmax- 对于K，ci（0）在i中严格减小∈ （0，Kmax）。然后，对于任何i=1。

，n，我们可以清楚地找到凸的递减函数c（δ）i，它近似于任意接近的[0，Kmax]，满足c（δ）i（0）=ci（0），ci+1（0）- ■ci+1≥ c（δ）i（0）- c（δ）i≥ ~ci（0）- ■ciandc（δ）i（K）→ 0作为K→ ∞. 根据上述论点，当P（δ）对应于价格（c（δ）i时，P（δ）和（c（δ）i不满足WFLVR，因此不存在稳健一致强套利，因此P（δ）（X）≥ 然而，我们可以取足够小的δ，使得| P（X）- P（δ）（X）|</2给出所需的矛盾，并完成命题3.3.6.3的证明定理3.5和4.3的证明：P=Ohm G是有界的，我们现在给出了在P=Ohm. 在这种情况下，我们可以应用命题3.2或4.2。一般案件的证据将被推迟。由于定理4.3的证明与定理3.5几乎相同，我们只给出定理3.5的证明。定理3.5的证明。在P=Ohm.在P=Ohm, WFLVR的缺失相当于toM-Xc，P，Ohm6=0，保持条件3.1是必要且有效的。遵循Breeden和Litzenberger[7]中的经典论点，通过定义概率度量μ离子R+通过μi（[0，K]）=1+c′i（K）表示K∈ R+，（6.5）我们可以用ci（K）=P（Si）通过（ui）对市场价格P或ci（K）进行编码- K） +）=R（s）- K） +ui（ds）。因此M-Xc，P，Ohm= M-~u.根据备注2.3，为了建立（3.2），必须显示VXc，P，Ohm（G）≤ PXc，P，Ohm（G） 。定义G: 注册护士+→ [-∞, ∞) 比格（S） ：=G（S）-N-1Xj=0j（S，…，Sj）（Sj+1）- Sj）。很明显，如果J∈ Cc（Rj+，R+）表示每个j，然后是G（S） 上半连续且有界，因此满足（3.1）。我们可以推断vxc，P，Ohm（G） =inf（X，)∈Acs。t、 ψX，≥GP（X）（6.6）≤ infJ∈Cc（Rj+，R+）infnP（X）：X∈ Ac，s.t.X≥ G在…上Ohmo（6.7）=infJ∈Cc（Rj+，R+）supπ∈π~unZRn+G（s，…，sn）dπ（s。

n）o（6.8）=supπ∈π~uinfJ∈Cc（Rn+，R+）nZRn+G，（s，…，sn）dπ（s，…，sn）o，（6.9），其中（6.7）和（6.8）之间的等式由引理6.3保证。为了证明（6.8）和（6.9）之间的质量，我们将极小极大定理（见Terkelsen[40]中的推论2]）应用于紧致凸集∏u，凸集R+×Cc（R+，R+）×。×Cc（Rn）-1+，R+，和函数f（π(j） ）=ZRn+G（s，…，sn）dπ（s，…，sn）。显然，f在每个变量中都是一个函数。此外，通过测度的弱收敛，f（·(j） ）在∏u上是上半连续的。因此，推论2 inTerkelsen[40]的假设得到满足。最后一步是建立以下等式supπ∈π~uinfJ∈Cc（Rj+，R+）nZRn+G（s，…，sn）dπ（s，…，sn）o=supP∈M-~uEP[G（S）]。（6.10）如果π/∈ M-~u，然后通过引理6.1，有一个J∈ Cc（Rj+，R+）对于某些j，例如b=ZRn+j（s，…，sj）（sj+1）- sj）dπ（s，…，sn）>0。通过缩放，B可以任意大。因此，如果π/∈ M-~嗯，然后呢J∈Cc（Rj+，R+）nZRn+G（s，…，sn）dπ（s，…，sn）o=-∞. （6.11）因为G是有界的，M-~u6= , VXc，P（G）≥ 晚餐∈M-~uEP[G]>-∞.因此，在（6.10）的LHS中，必须考虑π∈ M-~u然后infJ∈Cc（Rj+，R+）n-1Xj=0Z（sj，s，…）- sj+1）dπ=0。亨塞普π∈M-~uinfJ∈Cc（Rj+，R+）nZRn+G（s，…，sn）dπ（s，…，sn）o≤ 晚餐∈M-~uEP[G]+supπ∈M-~uinfJ∈Cc（Rj+，R+）n-1Xj=0Zj（s，…，sj）（sj）- sj+1）dπ=supP∈M-~uEP[G]。6.4完成命题3.2的证明在本节中，我们在P（Ohm.第5步：“无WFLVR==>  MCM“当P是Ohm 这样P（Ohm 和条件3。1是令人满意的，没有集中在P上的市场校准模型意味着WFLVR的存在。事实上，在这种情况下，它是一种稳健一致强的套利。定义lowersemi连续函数λP:Rn+→ R乘以λP（s，…，sn）={（s，…，sn）/∈P} 。

（6.12）然后我们将定理3.5应用于预测集Ohm 和-λ并发现VxC，P，Ohm(-λP）=supP∈M-Xc，P，OhmEP[-λP]：=α。如果α=0，则存在一个序列（Pk）k∈N∈ M-Xc，P，Ohm这样Pk（P) → 0.拜莱玛6.2米-Xc，P，Ohm它紧凑而封闭。因此（Pk）k∈Nhas是收敛到某个P的子序列∈ M-Xc，P，Ohm. 实际上，通过测度的弱收敛性，P（P) = 0和亨塞普∈ M-Xc，P，P。这表明，在没有市场校准模型的情况下，α<0。因此α<0，我们可以得出结论，没有集中在PIMPLI上的市场校准模型能够证明稳健一致强套利（因此WFLVR）的存在。结合第6.2节的结果，这就完成了命题3.2的证明。有了命题3.2的完整证明，我们现在可以在p6=Ohm.6.5完成定理3.5和4.3的证明： Ohm现在我们完成了定理3.5和4.3的证明，对于满足（3.1）的G，在 Ohm. 同样，由于它们实际上是相同的，我们这里只给出定理3.5的证明。如果（3.2）适用于G，那么（3.2）适用于G=G+X，适用于任何形式为a+Pni=1ai（Si）的X-Ki）+。因此，在不丧失普遍性的情况下，我们可以并且将假定G从上方有界。回想一下（6.12），λP（s，…，sn）={（s，…，sn）/∈P} 有界且下半连续，因此G∨ (-N）- NλPis有界且每个N的上半连续∈ 我们也注意到VXc，P，P（G）≤ VXc，P，Ohm（G）∨ (-N）- NλP）每N∈ N、 作为G∨(-N）- NλPonOhm 自然超级复制G在P.ThusVXc，P，P（G）≤ infN≥0VXc，P，Ohm（G）∨ (-N）- NλP）=infN≥0PXc，P，Ohm（G）∨ (-N）- NλP）=infN≥0supP∈M-~uEP[G∨ (-N）- NλP]。定义fN:M-~u→ (-∞, ∞) 由fN（P）=EP[G∨ (-N）- NλP]。注意fn在M上是半连续的-~u通过度量和fN的弱收敛≥ fN+1为埃弗林∈ N

因此，将极小极大定理（参见Terkelsen[40]中的推论1]）应用于紧凸集M-~u和（fN）N∈N、 我们已经≥0supP∈M-~uEP[G∨ (-N）- NλP]=supP∈M-~uinfN≥0EP[G∨ (-N）-NλP]。定义GP：Ohm → [-∞, ∞) 由GP=G对P和-∞ 在别处注意，gp是G的逐点极限∨ (-N）- NλPas N→ ∞. 然后通过法图引理，补充∈M-~uinfN≥0EP[G∨ (-N）- NλP]≤ 晚餐∈M-~uEP[GP]=支持∈M-~u，PEP[G]。因此我们有VXc，P，P（G）≤ PXc，P，P（G），它与备注2.3一起引导我们得出vxc，P，P（G）=PXc，P，P（G）。6.6定理4.5的证明。给定一个半静态超级复制策略（X，) 根据定义，我们有X（s，…，sn）+n-1Xi=0i（s，…，si）（si+1）- si）≥ G（s，…，sn），（s，…，sn）∈ P.（6.13）我们从以下索赔开始：如果（X，) 是G对P的静态超复制策略J≥ βj对于任何i=0，N- 1.我们用归纳法证明这项索赔。当j=n时-1、我们-1:=（s，…，sn）-1). 出租∈ P（~sn）-1，n）：={x：（s，…，sn-1，x）∈ P} 具体来说，从（6.13）可以看出N-1（s，…，sn）-1) ≥ lim supx→∞, 十、∈P（~sn）-1，n）G（s，…，sn-1，x）x.这个，连同N-1.≥ 0，收益率N-1（s，…，sn）-1) ≥ lim supx→∞nG（s，…，sn）-1，x）xP（s，…，序列号-1，x）o∨ 0=βn-1（s，…，sn）-1).现在假设j=i+1和i的说法成立≤ N-2.修复~sn-1:=（s，…，si，si+2，…，sn）并表示P（~sn）-1，i+1）：={x:（s，…，si，x，si+2，…，sn）∈ P} 。如果P（~sn）-1，i+1）是无界的，然后取x∈ P（~sn）-1，i+1）到完整性，（6.13）意味着i（s，…，si）≥ lim supx→∞, 十、∈P（~sn）-1，i+1）i+1（s，…，si，x）+G（s，…，si，x，si+2，…，sn）x.如果右侧为非负，则为LIM supx→∞, 十、∈P（~sn）-1，i+1）i+1（s，…，si，x）+G（s，…，si，x，si+2，…，sn）x= lim supx→∞i+1（s，…，si，x）+G（s，…，si，x，si+2，…，sn）xP（s，…，si，x，si+2。