交易限制下的稳健定价和套期保值

Bayraktar和Zhou[3]采用了Bouchard和Nutz[6]的准肯定分析，其中包含大量交易期权。因此，在这两种情况下，定价对冲二元性都成立，且与离散或连续时间内的金融泡沫建模无关。这两篇论文的重点都是一般凸投资组合约束。本文的组织结构如下。第2节讨论了离散时间的稳健建模框架。第3节和第4节分别专门讨论看涨期权或看跌期权的交易情况。后者特别探讨了二元性差距何时出现。随后，第5节将重点介绍连续时间设置。有几个证据被归入附录。2稳健的定价和合规框架我们考虑一个有两种资产的金融市场：一种是风险资产，另一种是计价（例如货币市场账户）。所有价格均以计价单位计价。特别是，因此，计价单位的价格是标准化的，等于一。我们最初假设S在到期日0=T<T<T<T时离散交易Tn=T。第5节将其扩展到连续时间设置。资产从S=S>0开始，并假定为非负。我们以固定的起点研究正则空间Ohm = {（ω，…，ωn）∈ Rn+1+：ω=s}。协调进程Ohm 表示为S=（Si）ni=0i。e、 Si:Ohm → R+，Si（ω，ω，…，ωn）=ωi，i=0，n、 F=（Fi）ni=1是它的自然过滤，Fi=σ（S，…，Si），对于任何i=0，n、 我们在这里追求一种稳健的方法，并且不假设任何概率度量来指定S的动态性。相反，我们假设存在一组X的市场交易期权，其价格在时间0，P（X），X已知∈ X.交易是无摩擦的，X中的期权可以在时间零点以已知价格买卖。

因此，我们将P扩展为一个线性算子，定义为（X）=（a+mXi=1aiXi:m）∈ N、 a，哎∈ R、 Xi∈ X代表所有i=1，m） 。如上所述，计价单位的固定价格等于1。最后，风险集合S可以在任何Ti，i=0，n、 然而，不允许卖空。我们将考虑两种情况：当X由看涨期权或看跌期权组成时：Xc={（Si- K） +：i=1，n、 K∈ R+}，Xp={（K- Si）+:i=1，n、 K∈ R+}。允许的（半静态）交易策略是一对（X，) X在哪里∈ 林（X）和 = (j） 有界非负可测函数j:Rj+→ R+，j=0，N-1.与（X，) 由ψX给出，（S） ：=X（S）+n-1Xj=0j（S，…，Sj）（Sj+1）- Sj）。遵循这种交易策略的成本等于建立其静态部分的成本，即在时间零点购买期权的成本，并且等于P（X）。我们用AX表示可容许（半静态）交易策略的类别。我们为X=Xc（resp.X=Xp）写Ac（resp.Ap）。请注意，由于不允许卖空，这些交易确实是不同的，正如我们将看到的，将产生非常不同的结果。事实上，请注意，在前一种情况下，允许卖空看涨期权，包括零击，即向前，提供资产S的超级复制，价格可能严格低于S。在处理看跌期权时，此功能不存在。我们对描述和计算超边际价格感兴趣。我们介绍的所有数量都是按路径定义的，而且超边缘属性也需要按路径保持。我们也仅对市场机制做出了温和的假设（如无摩擦），但未对资产的动态做出具体的建模假设。将信念纳入健壮框架的自然方法是指定setP Ohm “可能的路径”，即。

我们认为可行的路径，需要套期保值策略。这可以被认为是指定了可启动模型的最大支持度。通过这种方式，在从所有路径到例如二项式模型中的路径的支持下，稳健的框架可以在模型独立和模型特定设置之间进行插值。集合P可以通过对过去的数据进行时间序列分析，结合建模和给定代理的特殊视图得到，并被称为预测集。请注意，由于没有指定的概率度量，因此真实和风险中性度量之间没有区别，因此将两个信息流结合起来是非常自然的：过去数据的时间序列和前瞻性期权价格。这个想法可以追溯到Mykland[32]，我们参考Nadtochiy和Ob l\'oj[33]了解更多细节和扩展讨论。我们称预测集的三元组（X，P，P），市场交易期权X及其价格为稳健的建模输入。下面定义的基本财务概念，例如，基准价格或超级复制价格，与这些投入有着隐含的关系。定义2.1。具有支付功能的衍生产品的超级复制成本：Ohm → R、 用VX，P，P（G）表示，是为半静态交易策略融资所需的最小初始资本，该策略在P中的每条路径上超级复制G，即VX，P，P（G）：=infnP（X）：（十），) ∈ AXs。tψX，≥ G安波。（2.1）注意，由于ω=sfo对于所有ω∈ Ohm, 这相当于将G视为Ohm 来自Rn+。我们将在这些观点之间进行默认切换，前者在编写G（S）时使用，后者在对G施加条件时使用，参见下面的示例（3.1）。我们的目的是了解定价对冲二元性何时成立，即。

当超级复制价格可以通过一类合适的概率模型上的支付期望的上确界来计算时。定义2.2。市场校准模型是P上的概率度量(Ohm, F） 满足P（P）=1，对于任何（X，) ∈ AXEP[ψX，（S） ]≤ P（X），（2.2）在这里，以及在整个过程中，我们使公约∞-∞ = -∞ 因此，LHSin（2.2）总是很明确的。市场校准模型集表示为M-十、 P，P.备注2.3。根据定义，如果-十、 P，P6= 对于任何Borel函数：Ohm → RPX，P，P（G）：=supP∈M-X，P，PEP[G（S）]≤ VX，P，P（G）。（2.3）我们有时将上述不等式的LHS称为原始值，将RHSA称为对偶值。这种二元性缺口为我们提供了两种不同的资产“价格”概念。历史上，这一直被用作建模某些金融现象的方法，其中可能出现多个价格。文献中出现的一种自然解释是，超边际价格VX，P，P（G）代表G的市场价格，原始面代表模型中最差的模型价格，与市场中观察到的价格相关，可以被认为是G的基本价格。然后（2.3）中的严格不平等的情况被解释为金融泡沫——即市场价格和基本价格之间的差异。我们将在下面进一步考虑这个问题。备注2.4。根据定义，在任何市场校准模型P下，标准过程S=（Si）ni=1是一个超马尔可夫过程。这种测度称为AsPermartingale测度。此外，对于任何X∈ 十、 （2.2）对（X，0）和(-十、 0）因此P被校准为X中的选项，即P满足EP[X]=任何X的P（X）∈ 十、定义2.5。

如果存在套利策略（X，) ∈ 当价格P（X）<0且非负支付时，（s）≥ 0代表所有人∈ P.备注2.6。根据定义，只有当VX，P，P（0）<0时，市场才允许稳健一致强的套利。当P=Ohm ro-bust一致强套利的概念对应于模型独立的arbi悲剧，见Davis and Hobson[14]和Cox andOb l\'oj[11]。在一般稳健的情况下，上述意义上的套利是否存在取决于建模假设，通过P Ohm, 这就是末日学。同样，我们强调套利的结果ω必须是一致的∈ P以区别于Acciaio等人[1]中使用的略弱的策略概念（X，) ∈ AxP（X）≤ 0和正的payoffψX，（s） >0。目前我们不清楚这两个概念是否相等。在我们的设置中，当X=xp或当X=xc和P=Ohm 或下文条件3.1中的财产（iii）。上述评论中提到的三篇论文还表明，通常情况下，不存在完全一致强的套利，不足以保证资产定价的（稳健）基础，并引入了各种较弱的概念或附加假设。这里我们跟随Cox和Ob l\'oj[11]：我们选择不在这里陈述这些论点，因为它们很长，并且偏离了本文的主要重点。取而代之的是，它们将在一个强大的环境中作为关于套利的单独说明的一部分，可根据要求或通过作者的网页提供。定义2.7。

如果存在交易策略（Xk，（k）∈ AXand（X，) ∈ ax使得ψXk，K→ 0在P上，limkP（Xk）与limkP（Xk）<0和ψXk很好地定义，K≥ ψX，.请注意，limkP（Xk）存在的要求是在不丧失通用性的情况下提出的，因为我们总是可以传递到策略的子序列。还请注意，稳健的统一套利定义为WFLVR。在下面给出的情况下，我们的基本假设是：在市场上没有一个Wfemox.2的情况下，Wfemox.2是一个等价的命题。此外，正如Davis和Hobson[14]以及Coxand Ob l\'oj[11]中所述，我们可以通过P的性质来描述WFLVR的缺失。正是这个特征使我们无法考虑，如Acciaio等人[1]中所述，转移支付- P（X）表示交易期权，并将P从讨论中删除。3.稳健定价–买入期权交易时的双重性在本节中，我们考虑买入期权交易的市场，即X=Xc。我们的主要结果表明，当不存在卖空约束时，我们恢复了已知的对偶性。自始至终，我们假设P是Ohm.3.1市场投入和无套利我们首先为我们的设置建立一个稳健的资产定价基本定理，该定理将无套利、买入价格的性质和校准市场模型的存在联系起来。条件3.1。设X=xc和ci（K）：=P（Si）- K） +），i=1，n、 K≥ 那么（i）ci（x）是x在R+，（ii）s上的非负凸递减函数≥ c（0）≥ . . . ≥ cn（0）≥ 0和c′i（0+）≥ -1，（iii）ci（K）→ 0作为K→ ∞ ,（iv）对于任何x∈ R+，ci（0）- ci（x）在i中是不增加的。在我们的设置中，一个稳健的资产定价基本定理如下。提议3.2。

假设P是Ohm X=Xc。然后，当且仅当存在市场校准模型时，才存在NOWLVR，这意味着条件3.1成立。此外，如果P=Ohm 那么，条件3.1意味着不存在WFLVR。提议3.3。假设P=Ohm X=Xc。那么，条件3.1（i）、（ii）和（iv）对于不存在稳健一致强套利是必要且有效的。因此，当这些条件成立，但条件3.1（iii）失败时，不存在稳健的一致强套利，但不存在市场校准模型。我们将命题3.2和3.3的证明推迟到第6.2和6.4节。备注3.4。如果我们假设不存在稳健一致强套利，那么我们可以立即推断ci（0）在i中不增加。事实上，如果存在这样的情况，ci（0）<ci+1（0），那么通过取X=（Si）-0)+-（Si+1）-0)+, i=1和j=0对于j6=i，我们有P（X）=ci（0）- ci+1（0）<0，但ψX，= 0表示（X，) 一种稳健一致强的套利。3.2稳健定价——套期保值对偶性和（超）鞅最优运输我们在本节中的主要定理表明，在买入期权交易时，定价套期保值对偶性在没有卖空限制的情况下保持不变。定理3.5。假设市场输入（Xc，P，P）不允许WFLVR。让G:Rn+→[-∞, ∞) 是一个上半连续函数，例如g（s，…，sn）≤ 对于某些常数K，Rn+上的K（1+s+…+sn）（3.1）。然后定价-对冲对偶成立，即PXc，P，P（G）=VXc，P，P（G）。（3.2）备注3.6。我们对这一结果的证明与Beiglb¨ock等人[4]密切相关，并且是最优运输对偶理论的一个应用，该理论允许我们将对偶问题表示为一个最小-最大变化演算，其中最大值被接管，以响应增量对冲条款和边际约束，以及所有校准市场模型的最高值。

第6.3节和第6.5节将给出证明。备注3.7。从备注2.3中可以看出，（2.3）中的严格不平等情况可能被认为是金融泡沫的自然模型。从（3.2）中我们可以看到，当买入期权交易时，这种情况从未出现过，X=Xc。S>cn（0）=PXc，P，P（Sn）=VXc，P，P（Sn）仍然有可能，因此资产S的市场价格严格高于其基本价格cn（0）。然而，目前尚不清楚这是否会被视为泡沫。在这种情况下，市场不满足默顿的无支配原则[31]：资产S严格受零敲打的看涨期权支配，可以说cn（0）实际上是S的正确市场价格。这种情况类似于Jarrow等人[26]描述的完整市场中的泡沫情况。我们将在下面的4.2节中看到，当买卖看跌期权而非看涨期权时，泡沫会以一种有意义的方式出现。注意，根据命题3.2，缺少WFLVR相当于M-Xc，P，P6= 它包含条件3.1。根据经典论点，回到Breeden和Litzenberger[7]，我们可以定义概率测度μ离子R+乘以μi（[0，K]）=1+c′i（K）来表示K∈ R+。（3.3）自然地，市场价格P或ci（K）通过（ui）以ci（K）=P（（Si）进行唯一编码-K） +）=R（s）-K） +ui（ds）。为了明确与（超）鞅的联系，我们可以将（ui）视为输入。注意，在备注2.4中，校准市场模型M-Xc，P，Pis只是Rn+上的概率测度P的集合，因此s=s，s是一个超鞅，Si根据ui分布。因此，我们使用符号M-Xc，P，P=M-~u，Pand P~u，P（G）：=supP∈M-~u，PEP[G]。同样地，我们写evx，P，P（G）=V~u，P（G）。请注意，我们已经删除了对看涨期权的明确引用。这是合理的，因为事实上，我们可以为交易策略的静态部分允许任何ui-可积函数。

为了说明这一点，我们首先改写了条件3.1中的u，unas如下：假设3.8。概率度量u，u非R+满意度1。s≥RR+xu（dx）≥ . . . ≥RR+xun（dx）；2.对于任何凹非减函数φ：R→ R+，序列（Rφdui）1≤我≤尼森不增加。那么定理3.5可以重述如下。推论3.9。假设，un满足假设3.8和M-~u，P6=. LetG:Rn+→ [-∞, ∞) 是满足（3.1）的上半连续函数。然后P~u，P（G）=infnnXi=0Zui（s）ui（ds）：ui:R+→ 具有线性增长和i:李+→ R+有界s.t.ψ（ui）(（一）≥ Po上的G=V~u，P（G），（3.4），其中u：=δs。此外，如果rxui（dx）=sfor i=1，n然后（3.4）也适用于i:李+→ R.证明。通过在不平等性日益加剧的道路上接受期望∈ M-~u，扩展任何超级边缘策略（ui）(i） 如（3.4）所示，我们有ep[G]≤nXi=1Zui（s）ui（ds），因此是一个不等式“≤” 以下是（3.4）中的第一个等式，另见备注2.3。“不平等”≤” 在第二个例子中，（3.4）中的等式是显而易见的，因为我们将inf作为一组较小的超边缘策略。接下来是定理3.5。最后一句话很清楚，因为在特殊情况下，我的意思是一样的，M-~u，P，S是带边缘的鞅测度集（ui）。备注3.10。（3.4）是Beiglb¨ock等人[4]在预测集P的存在下推论1.1的一般陈述，而P~u，P（G）=V~u，P（G）直接遵循定理3.5。推论3.9的含义是，在一个没有泡沫的市场中，卖空禁令不会对稳健的超边际价格产生任何影响，并且具有预测集P的G的鞅运输成本等于作为对冲工具的G.4看跌期权的稳健（P）-超边际价格。我们现在指定的情况是，当看跌期权交易时，X=Xp。

一套半静态交易策略（X，) 表示为Ap。在这种情况下，这些选项不能用于超级复制资产。正如我们将看到的，这对定价和套期保值具有重要影响。4.1定价——收益有界期权的套期保值性我们首先简要讨论市场投入、无套利和校准市场模型的存在。条件4.1。设X=xp和pi（K）：=P（K）- Si）+），i=1，n、 K≥ 那么（i）pi（x）是x在R+，（ii）s上的非负凸增函数≥ 利克斯→∞（十）-p（x））≥ . . . ≥ 利克斯→∞（十）- pn（x））≥ 0和0≤ p′i（0+）≤ 1，（iii）π（K）→ 0作为K→ 0，（iv）对于任何x∈ R+，pi（x）在i中是非递减的。与Proposition 3.2中的稳健资产定价基本定理类似的陈述也适用于此设置。提议4.2。假设P是Ohm X=Xp。然后，当且仅当存在市场校准模型时，才有无FLVR，这意味着条件4.1。此外，如果P=Ohm 那么，条件4.1意味着不存在WFLVR。与3.3号提案的直接相似之处也适用于这种设置。此外，如果满足条件4.1，类似于（3.3），我们可以定义概率度量μ离子R+乘以μi（[0，K]）=p′i（K）来表示K∈ R+，（4.1）将满足与之前相同的性质，即假设3.8。这套经过校准的市场模型就是M-Xp，P，P=M-~u，Pand仅取决于保证金（ui），而不取决于这些保证金是来自看跌还是看涨。因此我们有PXp，P，P（G）=P~u，P（G）。两面的情况——超边缘问题——是不同的。事实上，我们在推论3.9中看到，在看涨期权的情况下，我们可以将投资组合的静态部分从看涨期权的组合放宽到任何函数的组合，并保持线性增长，而不影响超高的价格。