多收益率曲线建模的通用HJM框架

因此，在当前情况下，Sδ（T，T）代表了[T，T+δ]期间伦敦银行同业拆借利率小组（对应于外国经济）信贷和流动性质量的市场估值（时间T）。从这个意义上说，乘数利差是在多收益率曲线框架下建模的自然量。我们的方法包括为OIS债券价格B（t，t）和乘法利差Sδ（t，t）的期限结构制定一个通用HJM框架。而在OIS债券的情况下，情况与经典的HJM设置相似，乘法利差的建模则不那么标准。为此，我们提出了一种受HJM哲学启发的方法，如[40，第2.1节]（与[7]进行比较）。在HJM类型的模型中，通常存在一个规范的基础资产或一个参考过程，它是相关资产的基础。在我们的背景下，感兴趣的资产是OIS零耦合债券和FRA合同。就OIS债券而言，规范的基础资产是（无风险）OIS银行账户。关于FRA合同，选择不那么明显。受上述外汇类比的启发，我们将所有T的数量qδT:=Sδ（T，T）=B（T，T+δ）Bδ（T，T+δ）视为参考过程≥ 0.为了方便地获得术语结构的参数化（“代码本”），HJM类型模型的下一步包括为规范性基础资产/参考过程的演变指定简单模型。在OIS债券的情况下，这是通过假设OIS银行账户（用（Bt）t表示）来实现的≥0，由Bt=exp给出Rtrsds, 何处（rt）t≥0是一个确定的短期利率。这就产生了rT=-TlogB（t，t）. 然而，市场数据并不遵循如此简单的模型，因此，-TlogB（t，t）生成随时间随机变化的参数流形。

这导致瞬时远期利率ft（T）：=-TlogB（t，t）, 对于这种情况，必须指定一种随机演化。债券贴现价格为鞅的要求意味着没有套利，这就产生了众所周知的HJM漂移条件。参考过程的动力学，即短速率（rt）的动力学≥0，通过一致性条件确定，即rt=ft（t）。在FRA合同的情况下，我们保留OIS债券的简单模型，假设确定的短期利率，并另外假设（类似于[40]）以下QδTQδT=exp（ZT）的简单模型，对于所有的T≥ 0，（2.3）式中（Zt）t≥0是一个一维时间非齐次L’evy过程，在给定的定价度量下（因此在所有前瞻性度量下，由于确定性短期利率）。其L’evy指数由ψ（t，u）表示，表示（t，u）∈ R+×R.鉴于等式（2.1）-（2.2）并回顾了最近的一些论文中介绍的关系，例如[9,28,33]。我们想强调的是，这里介绍的人工风险债券价格只是作为一种解释工具，不应在本文的以下章节中考虑。6 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto图3。乘法器在2013年8月8日读取Sδ（T，T），δ=3/12，6/12。图4。8月远期汇率ηT（T）。

对于δ=3/12，6/12.1+δLT（T，T+δ）=1/Bδ（T，T+δ），这导致了Sδ（T，T）的以下表示形式：Sδ（T，T）=B（T，T+δ）B（T，T）EQT+δ1+δLT（T，T+δ）英尺=B（t，t+δ）B（t，t）EQT+δBδ（T，T+δ）英尺= EQTT（T+B，δ）英尺= EQTQδT | Ft= EQT埃兹特|英尺= 经验Zt+ZTtψ（s，1）ds.（2.4）特别是，这意味着以下关系：（2.5）TlogSδ（t，t）= ψ（T，1）。与OIS期限结构的情况一样，由于市场数据不遵循这样一个简单的模型Sδ（t，t）T∈[0，T]随时间随机演化，我们需要使ψ（T，1）“运动”。为此，我们通过（2.5）的左侧定义了一个瞬时正向扩散率，即ηδt（t）：=TlogSδ（t，t）,并指定ηδt（t）的一般随机动力学。曲线T 7的典型形状→ ηδT（T）如图4所示，从T=2013年8月8日的市场数据中获得。从FRArates的定义性质（见方程式（2.1）），这相当于Sδ（t，t）T∈[0，T]，对于所有T≥ 0（见引理3.11），可以推导出HJM漂移条件，从而确保无轨道。此外，参考过程的动力学（Qδt）t≥0，或（Zt）t的等效值≥0（以下假设为一般It^o-半鞅）必须满足适当的一致性条件，类似于OIS项结构的要求ft（t）=RTI。2.2. 通用HJM类型框架的主要功能。综上所述，让我们强调所提出方法的主要特征和新颖贡献：o不同期限{δ，…，δm}的伦敦银行同业拆借利率相关的期限结构通过乘法利差Sδ（t，t）建模，其与可观察的OIS和利率直接相关。

乘法利差，而不是加法利差，在远期汇率溢价方面有一个自然的经济解释（见附录B），并导致高度可处理的模型，尤其是当驱动ft（T）和ηδT（T）的半鞅是一个有效过程时（见第5.3节）乘法利差Sδ（t，t）的建模分为两部分：即时远期利差率ηδt（t）和即期利差率Qδt=Sδ（t，t），这可以从市场数据中直接观察到。特别是，这种分离允许极大的建模灵活性。由于短期利率具有确定性，因此无需区分不同衡量标准的预期，但我们明确指出它们与以下章节的一般设置一致。多曲线建模的通用HJM框架7o通过选择一个公共的Rn值半鞅Y，对应于不同的基调δ，对spot spreads Sδ（t，t）进行建模∈ {δ…，δm}，这样Sδi（t，t）=exp（u>iYt）表示ui∈ Rn，与不同期限相关的利差之间的内在依赖性（如图1所示）可以被接受。此外，通过远期利率ft（T）和利差率ηδT（T）的共同驱动过程，可以在OIS和FRA利率之间建立复杂的相关结构Sδ（t，t）的期望特征≥ 1，全部0≤ T≤ T、 可以很容易地实现完全的通用性。此外，我们可以很容易地描述与不同期限相关的利差之间的顺序关系，即当Sδj（t，t）≥ δj的Sδi（t，t）≥ δ所有0的土地≤ T≤ 正如典型市场情况下的情况一样在考虑有限维因子模型时，我们自然会被引导到一类过程。

在这种情况下，OIS期限结构的模型成为一个由多维有效过程驱动的经典短期利率模型，这也决定了乘法利差的动态。在这种情况下，我们可以获得关于伦敦银行同业拆借利率衍生工具的易于操作的估值公式，如配套文件[11]所示。通用HJM建模框架在本节中，按照上一节介绍的思路，我们将介绍一个通用HJMtype框架，用于多收益率曲线建模。我们从第3.1节开始，定义一个抽象的环境，在这里我们考虑一般的半鞅族。在第3.2节和第3.3节中，我们分别将其应用于OIS零息债券价格和（2.2）中定义的乘法价差的期限结构建模。3.1. 抽象HJM设置。让(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）是一个随机基，具有连续过滤（Ft）t≥0支持本节介绍的流程。我们的目标是对一维正半鞅{（S（t，t））t族建模∈[0，T]，T≥ 0使（S（t，t））t≥0也是（正）半鞅。假设t7的可微性→ log（S（t，t））（a.S.），我们可以用（t，t）=eZt+RTtηt（u）du来表示S（t，t），其中Zt:=log（S（t，t））和ηt（t）：=Tlog（S（t，t））。族{（S（t，t））t的建模∈[0，T]，T≥ 0}isthus等效于建模（Zt）t≥0和{（ηt（t））t∈[0，T]，T≥ 0}. 我们称Z为对数即期汇率，ηt（t）为广义远期汇率。如第2.1节所述，该表述（3.1）受HJM理念的推动。实际上，假设现货过程S（t，t）对应于一个标准的标的资产，并且S（t，t）=E[S（t，t）| Ft]，对于所有0≤ T≤ T如果将S（t，t）建模为指数时间非齐次L′evyprocess exp（Zt），我们得到了S（t，t）（在测度Q下）的表达式（2.4）。

将L’evyexponent“处于运动中”自然会得到（3.1）和一般半鞅Z。我们定义HJM型模型如下（与[40，定义3.1]相比）。定义3.1。正半鞅{（S（t，t））t族的一个五元组（Z，η，α，σ，X）称为HJM型模型∈[0，T]，T≥ 0}如果（i）（X，Z）是一个Rd+1值It^o-半鞅，即其特征相对于勒贝格测度是绝对连续的（参见[36，定义2.1.1]）；（ii）η：R+→ R是可测量的，rt|η（u）|du<∞ Q-a.s.为所有T∈ R+；请注意，对于每个基调δ∈ {δ，…，δm}，过程u>iY扮演过程Z的角色，出现在（2.3）8 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTO（iii）（ω，t，t）7中→ αt（t）（ω）和（ω，t，t）7→ σt（t）（ω）是P B（R+）-可测量的R-和Rd值过程，其中P表示可预测的σ-代数，并满足oRtRT|αs（u）| duds<∞ 所有t，t的Q-a.s∈ R+，oRTkσt（u）kdu<∞ 任何t，t的Q-a.s∈ R+，o（RT |σt，j（u）| du）T≥0∈ L（Xj）代表所有T∈ R+和j∈ {1，…，d}，其中L（Xj）表示关于Xj可积的过程集；（iv）每T∈ R+，广义远期利率（ηt（t））t∈[0，T]由给出，表示所有T≤ T，ηT（T）=η（T）+Ztαs（T）ds+Ztσs（T）dXs；（3.2）（v）{（S（t，t））t∈[0，T]，T≥ 0}满足感≤ T和T∈ R+，S（t，t）=eZt+RTtηt（u）du（3.3），特别是对于所有t≥ 0.通常，（S（t，t））t∈[0，T]对应于到期日为T的贴现资产价格过程，因此，在“没有风险为零的免费午餐”的假设下，在某些等价测度下是一个（局部）鞅。假设Q已经表示一个（局部）鞅测度，（S（t，t））t的（局部）鞅性质∈[0，T]可以用下面的定理3.4来描述（参见第3.5条）。

首先，我们回顾了局部指数的概念（比较[40，定义a.6]）（或者，相当于拉普拉斯累积量过程的导数，参见[41，定义2.22和2.23]）。定义3.2。设X为Rd值It^o-半鞅，β=（βt）t≥0一个Rd值可预测X可积过程（即β∈ L（X））。可预测的实值过程ψXt（βt）T≥0被称为X在βif处的局部指数（或拉普拉斯累积量过程的导数）经验RtβsdXs-RtψXs（βs）dsT≥0是一个局部鞅。我们用ux表示一组过程β，使得ψX（β）存在。换句话说，RtψXs（βs）dsT≥0是指数补偿器（见[41，定义2.14]）RtβsdXsT≥0.以下命题断言局部指数（当它存在时）是L’evy Khintchine形式，其中L’evy三重态被Ite^o-半鞅的不同特征所取代。提议3.3。设X是一个Rd值It^o-半鞅，对于某些截断函数χ具有不同的特征（b，c，K）。让β∈ L（X）。那么以下是等价的：（i）β∈ UX；（二）RtβsdXsT≥0是一个指数特殊的半鞅，也就是eRtβsdXsT≥0是一个特殊的半鞅；（iii）RtRβ>sξ>1eβ>sξKs（dξ）ds<∞ 对所有人来说≥ 0.在这种情况下，在一些dQ之外 dt nullset，它认为ψXt（βt）=β>tbt+β>tctβt+Zeβ>tξ- 1.- β> tχ（ξ）Kt（dξ）。（3.4）证据。关于（i）-（ii）-（iii）等价性的证明，参见[41，引理2.13]。表述（3.4）来自[41，定理2.18，陈述1和6，以及定理2.19]。[40，定义A.6]中对局部指数的定义略有不同，因为它是根据（RtiβSDX）t的指数因子定义的≥这是因为该论文考虑了复值过程。

还要注意的是，由于它^o-半鞅是准左连续的，因此修改的拉普拉斯累积量过程和普通拉普拉斯累积量过程的导数重合（参见[41，第408页的备注]）。多曲线建模的通用HJM框架9使用局部指数的概念并定义Rd值过程（∑t（t））t∈[0，T]通过∑T（T）：=ZTtσT（u）du，对于所有T≤ T和T≥ 0，我们现在可以说明下面的定理，它刻画了半鞅{（S（t，t））t族的鞅性质∈[0，T]，T≥ 0}. 我们用ψZ，X表示R1+d值半鞅（Z，X）的局部指数。定理3.4。对于定义3.1中的HJM型模型，以下条件是等效的：（i）过程（S（t，t））t∈[0，T]是鞅，对于每T≥ 0.（ii）每T≥ 0，就是这样埃兹特|英尺= eZt+RTtηt（u）du，适用于所有t∈ [0，T]，这被称为条件期望假设。（iii）每T≥ 0,1，∑>·（T）>∈ UZ、X和以下条件均满足：o工艺经验Zt+Zt∑s（T）dXs-ZtψZ，Xs1，∑>s（T）>dsT∈[0，T]（3.5）是鞅，每T≥ 0.o稠度条件ψZt（1）=ηt-（t） ，对于所有t>0，（3.6）保持HJM漂移条件zttαt（u）du=ψZt（1）- ψZ，Xt1，∑>t（t）>（3.7）每t∈ [0，T]和T≥ 0.此外，如果满足条件（i）-（ii）-（iii）中的任何一项（以及所有），则认为S（t，t）=E[S（t，t）| Ft]=E埃兹特|英尺= 经验ZTη（u）du+ZT+ZT∑s（T）dXs-Xs，ztzψ1，∑>s（T）>ds.（3.8）对于所有t≤ T和T≥ 0.备注3.5。上述定理允许一个局部鞅版本，即（S（t，t））t∈[0，T]是局部鞅当且仅当1，∑>·（T）>∈ UZ、X和稠度以及HJM漂移条件（3.6）-（3.7）保持不变。备注3.6。

Kallsen和Shiryaev在[41，推论3.10]中建立了（3.5）为真鞅的一般充分条件（在这种情况下，另见最近的论文[49]）。例如，公式中的条件I（0，1）（参见[41，定义3.1]并与[27，命题3.3]进行比较）在我们的例子中读作asZtZ |（1，∑>s（T））ξ|>1e（1，∑>s（T））>ξ1，∑>s（T）>ξKZ，Xs（dξ）ds<∞ Q-a.s.为所有t≥ 0,10克丽斯塔·库奇罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺塔托与苏普特≤特惠Zt1，∑>s（T）>cZ，Xs1，∑>s（T）ds×expZtZE1，∑>s（T）>ξ1，∑>s（T）>ξ - 1.+ 1.KZ，Xs（dξ）ds#< ∞,其中cZ，Xa和KZ，Xdenote是半鞅（Z，X）的第二个和第三个特征。特别要注意的是，上述两种情况中的第一种意味着1，∑>·（T）>∈ 定理3.4的证明。在续集中，让T>0固定。（一）=> （ii）:From（3.3）和（S（t，t））t的鞅性质∈[0，T]，其结果是Ezt+RTtηT（u）du=S（T，T）=E[S（T，T）| Ft]=E埃兹特|英尺, 尽管如此，t∈ [0，T]，从那里（ii）。（二）=> （iii）：让我们定义Rt:=Zt+RTtηt（u）du，对于所有t≤ T然后s（·，T）=exp（R）的鞅性质和定义3.2得到1∈ URandψRt（1）=0。通过应用经典和托卡斯蒂克富比尼定理[59，定理IV.65]，这是由于定义3.1中的α和σ的可积性条件所证明的，我们可以写出Ezttηt（u）du=ZTη（u）du+ZtZTsαs（u）duds+ZT∑s（t）dXs-Ztη（u）+Zuαs（u）ds+Zuσs（u）dXs| {z}=ηu（u）du。因此，我们得到（例如，通过应用[40，引理A.20]）0=ψRt（1）=ψZ，Xt1，∑>t（t）>+ZTtαt（u）du- ηt-（t） 。（3.9）设置T=T，并注意∑T（T）=0产生（3.6），即ηT-（t） =ψZt（1），对于所有t>0，加上（3.9）则意味着（3.7）。

根据漂移和一致性条件，S（·T）是形式（3.8）和自（S（T，T））T∈[0，T]是鞅，鞅性质也适用于（3.5）。（三）=> （i） ：3.5的鞅性质意味着（S（t，t））t的鞅性质∈[0，T]，因为——由于漂移和一致性条件——它又是形式（3.8）。这也清楚地证明了定理的最后一句话。3.2. 对OIS零息票债券价格的期限结构进行建模。在本节中，我们展示了我们用于OIS债券建模的无风险债券价格的经典HJM方法，可以根据上述一般框架来制定（与J.Teichman[60]进行比较）。Westart通过瞬时（OIS）远期利率模型定义（OIS）债券价格模型，并假设（OIS）银行账户B存在，给出Bt=ERTRSD，其中r表示（OIS）短期利率过程。定义3.7。债券价格模型是一个五元组（B，f，eα，eσ，X），其中（i）银行账户B满足Bt=ERTRSD，对于所有≥ 0，短速率（rt）t≥0;（ii）X是Rd值It^o-半鞅；多曲线建模的通用HJM框架11（iii）f:R+→ R是可测量的，rt|f（t）|dt<∞ Q-a.s.为所有T≥ 0;（iv）（ω，t，t）7→ eαt（t）（ω）和（ω，t，t）7→ eσt（t）（ω）是P B（R+）可测量的R和Rd值处理并满足定义3.1-（iii）的可积条件；（v） 每一个T∈ R+，远期汇率（ft（T））T∈[0，T]由（3.10）ft（T）=f（T）+Zteαs（T）ds+Zteσs（T）dXs给出；（vi）债券价格{（B（t，t））t∈[0，T]，T≥ 0}满足B（t，t）=e-RTtft（s）ds，适用于所有t≤ T和T≥ 特别地，对于所有t，B（t，t）=1≥ 0.以下定义的动机是，与往常一样，我们将（OIS）银行账户视为num\'eraire，并假设Q对应于风险中性度量（见备注3.10）。