多收益率曲线建模的通用HJM框架

在下文中，如果没有明确指出衡量标准（例如，在预期中），那么它就是指beQ。定义3.8。如果贴现债券价格B（t，t）/BtT∈[0，T]，T≥ 0是鞅。以下命题表明，债券价格模型可以与HJM型模型相识别。对于其公式，让我们介绍定义为∑·（T）的过程∑T（T）：=RTteσT（u）du，对于所有T≤ T提案3.9。对于贴现债券价格族，债券价格模型可以与HJM型模型（Z，η，α，σ，X）相识别B（t，t）/BtT∈[0，T]，T≥ 0通过设置η=-f、 α=-eα，σ=-eσ（因此ηt（t）=-ft（T））和Zt=- 日志Bt=-Rtrsds。此外，以下是等效的：（i）债券价格模型在定义3.8的意义上是风险中性的；（ii）每T≥ 0，条件期望假设成立：E埃兹特|英尺= eZt+RTtηt（u）du，或等效地，E[Bt/Bt | Ft]=E-RTtft（u）du，适用于所有t∈ [0，T]；（iii）每T≥ 0, -e∑（T）∈ ux且满足以下条件：o工艺经验-中兴∑s（T）dXs-ZtψXs-e∑s（T）dsT∈[0，T]是鞅，对于每T≥ 0.o一致性条件成立，即ψZt（1）=-rt-= -英尺-（t） ，对于所有t>0的情况HJM漂移条件ztteαt（u）du=ψXt-e∑t（t）每一个t都适用∈ [0，T]和T≥ 0.证明。该命题源自定理3.4，通过将S（t，t）与B（t，t）/Bt标识，从而使zt=log（S（t，t））=- 记录（Bt）并注意到ψZ，Xt1.-e∑>t（t）>= -rt-+ ψXt-e∑t（t）,12 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto，例如，从[40，引理A.20]开始。备注3.10。我们想指出，银行账户存在的假设实际上是没有必要的。

事实上，人们也可以考虑到期债券市场（OIS）≤ T*关于键B（·，T）*) 作为num’eraire，其中T*表示一些固定的终端成熟度（在这方面，比较最近的论文[45]）。在这种情况下，通过调整上述参数，可以导出合适的HJM漂移和一致性条件。3.3. 对乘法利差的期限结构进行建模。在本节中，我们将介绍多收益率曲线的建模框架，其中我们将上述theOIS债券的模型扩展为（2.2）中介绍的乘法利差的HJM型模型。3.3.1。对乘法利差的期限结构进行建模。设D={δ，…，δm}表示一个男高音家族，0<δ<δ<…<δm，对于某些m∈ N.正如导言中所述，我们旨在建模标准化FRA利率和简单复合OIS远期利率之间的乘法利差的期限结构，这些利率由sδi（t，t）=1+δiLt（t，t+δi）1+δiLDt（t，t+δi）给出，对于所有i=1，m、 从时间非齐次指数L′evy模型开始，对乘法性现货价差（或“远期外汇溢价”）过程（Qδit）t≥如第2.1节所述，将（2.3）中定义的L’evyexponent（在1处评估）“处于运动状态”，自然会产生HJM型模型，其中δi（t，t）=eZit+RTtηit（u）du。在这个模型中，t=log传播率分别为Tlog（Sδi（t，t））。为了捕捉不同价差（最容易在现货水平上观察到）之间的依赖结构，这一特征很重要，同时保证Sδi（t，t）≥ 1适用于所有到期日。

如果需要，这也允许对所有期限δi的单调性进行简化（见推论3.17）。如第3.2节所述，我们假设有一个OIS银行账户，我们在风险中性度量下工作，根据定义3.8的要求，贴现OIS债券价格B（t，t）/B是鞅。由于FRA费率的定义属性（如（2.1）所述）；另见附录A），我们得到了以下引理，这对于我们的环境中没有套利至关重要。引理3.11。假设（2.1）。然后，对于每一个δi∈ D和T≥ 过程（Sδi（t，t））t∈[0，T]是aQT鞅，其中qt表示T向前度量，其密度过程由dqtdq | Ft=B（T，T）BtB（0，T），T给出∈ [0，T]。证据对于T≥ 0，根据贝叶斯公式，（Sδi（t，t））t∈[0，T]是QT鞅当且仅当ifMit:=Sδi（T，T）B（T，T）BtB（0，T）是Q-鞅。通过定义Sδi（t，t），过程可以重写为asMit=（1+δiLt（t，t+δi））B（t，t+δi）BtB（0，t+δi）B（0，t+δi）B（0，t+δi）B（0，t），也可以用贝叶斯公式表示，这是一个Q鞅，因为（1+δiLt（t，t+δi））t∈[0，T]是由（2.1）和dqt+δidQ | Ft=B（T，T+δi）BtB（0，T+δi）构成的QT+δimartingale，对于所有i=1，M多曲线建模的通用HJM框架13基于上述引理，并参考第2节中已经讨论的论点，现在让我们总结一下{（Sδ（t，t））t的建模要求∈[0，T]，T≥ 0, δ ∈ D} 。要求3.12。扩散{（Sδ（t，t））t族∈[0，T]，T≥ 0, δ ∈ D} 应满足（i）（Sδi（t，t））t∈[0，T]是QT鞅，对于每T≥ 尽管如此，我∈ {1，…，m}；（ii）Sδi（t，t）≥ 1为所有t≤ T，T≥ 0和我∈ {1, . . .

，m}。在典型的市场情况下，还需要根据不同的期限δi，即isSδ（t，t）来安排利差≤ · · · ≤ Sδm（t，t），对于所有t≤ T和T≥ 0.由于与不同的点差δi（比较图1）相关的不同点差之间存在明显的强相关性，我们通过一个常见的低维过程Y=（Yt）t对Zi进行建模≥0以Rn为单位的标记值（带n）≤ m） 这样的话：=u>iYt，在这里，u在Rn中给定向量。例如，Y的维数和向量Ui可以通过主成分分析（PCA）获得。3.3.2。多收益率曲线模型的定义和表征。我们现在可以定义多收益率曲线模型。定义3.13。让不同男高音的数量为m:=|D |。我们称之为一个模型，由一个Rd+n+1值It^o-半鞅（X，Y，B），o向量u，umin Rn，o函数f，η，ηm，o过程eα，α，α和eσ，σ，{（B（t，t））t的σ-man-HJM型多屈服曲线模型∈[0，T]和（Sδ（T，T））T∈[0，T]，T≥ 0, δ ∈ D} 如果（i）（B，f，eα，eσ，X）是债券价格模型（定义3.7）；（ii）（u>iY，ηi，αi，σi，X）是{（Sδi（t，t））t的HJM型模型（定义3.1）∈[0，T]，T≥ 0}，对于每一个i∈ {1，…，m}。和前面一样，我们为所有T写∑it（T）=RTtσit（u）du≤ T，T≥ 0和我∈ {1，…，m}。鉴于表3.11，我们将HJM型多收益率曲线模型的风险中性定义如下。定义3.14。

如果（i）贴现OIS债券价格，HJM型多收益率曲线模型被认为是风险中性的（B（t，t）/Bt）t∈[0，T]，T≥ 0是Q-鞅；（ii）每T≥ 0，{（Sδ（t，t））t∈[0，T]，δ∈ D} 是QT鞅。随后的定理源自定理3.4，描述了上述定义的条件（ii）（回想一下，条件（i）已经在命题3.9中描述）。定理3.15。对于满足定义3.14的条件（i）的HJM型多收益率曲线模型，以下条件是等效的：（i）满足定义3.14的条件（ii）；（ii）每T≥ 每一次我∈ {1，…，m}，以下条件期望假设：EQTheu>iYTFti=eu>iYt+RTtηit（u）du，适用于所有t∈ [0，T]；14克里斯塔·库奇罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托（iii）每T≥ 0和我∈ {1，…，m}，u> i，∑i>-e∑>>∈ 满足以下条件：o流程经验u> iYt+Zt∑is（T）-e∑s（T）dXs-ZtψY，Xsu> i，∑i>s（T）-e∑>s（T）>dsT∈[0，T]（3.11）是一个Q-鞅，对于每T≥ 0和我∈ {1，…，m}；o以下一致性条件适用于每个i∈ {1，…，m}：（3.12）ψYt（ui）=ηit-（t） ，对于所有t>0；o以下HJM漂移条件（3.13）ZTtαit（u）du=ψYt（ui）- ψY，Xtu> i，∑i>t（t）-e∑>t（t）>+ ψXt-e∑t（t）每一个t都适用∈ [0，T]，T≥ 0和我∈ {1，…，m}。证据（i）和（ii）之间的等价性可以在定理3.4的证明中显示出来。关于（iii），注意（i）是——根据贝叶斯定理——等价于δi（t，t）B（t，t）Bt=eu>iYt-Rtrsds+RTt（ηit（u）-ft（u））du（3.14）是Q-鞅，对于每T≥ 0和i=1，m、 定理3.4给出了以下一致性条件ψu>iY-R·rsdst（1）=ηit-（t）- 英尺-（t） ，对于所有t>0。因为ψu>iY-R·rsdst（1）=ψYt（ui）- rt-自从rt-= 英尺-（t） 根据定义3.14的条件（i），条件（3.12）如下。

关于漂移条件（3.13），我们通过定理3.4ZTtαit（u）- eαt（u）du=ψu>iY-R·rsdst（1）- ψu>iY-R·rsds，Xt1，∑i>t（t）-e∑>t（t）>.因为右边等于ψYt（ui）- ψY，Xtu> i，∑i>t（t）-e∑>t（t）>asRTteαt（u））du=ψXt(-e∑t（t））（根据命题3.9），断言的漂移条件如下。根据漂移和一致性条件，（3.14）实际上是形式（3.11）（直到常数termexp（RT）（ηi（u）- f（u））du），这最终意味着（i）和（iii）之间的等价性。备注3.16。（3.11）的鞅性质可以像备注3.6中一样得到保证。此外，如果有人对有序现货价差建模感兴趣1≤ Sδ（t，t）≤ · · · ≤ Sδm（t，t），这可以通过考虑过程Y得到，取值是一些锥C Rnand vectorsui∈ C*使0<u U · · ·  C在哪里*表示C和C的对偶锥 订单在上面。在这种情况下，我们有以下推论。推论3.17。考虑一个风险中性的HJM型多收益率曲线模型，使得Y取C锥中的值 Rnand用户界面∈ C*, 对于i=1，m、 C在哪里*表示C的双锥。满足要求3.12。此外，如果 U · · ·  嗯，在哪里 表示C的偏序*, 然后我们有Sδ（t，t）≤ · · · ≤ 所有t的Sδm（t，t）≤ T和T≥ 0.证明。要求3.12的条件（i）通过定义得到满足，而条件（ii）则遵循条件预期假设，因为Sδi（t，t）=EQT[eu>iYT | Ft]≥ 1为所有t≤ T和T≥ 0，多曲线建模的通用HJM框架15as u>iYT≥ 0，因为Y和ui上的条件。同样，如果用户界面 对于i<j，Sδi（t，t）=EQTheu>iYTFti≤ EQTheu>jYTFti=Sδj（t，t）。备注3.18。注意，在Y不是一维的情况下，如果向量ui，i∈ {1，…，m}不是有序的。

这意味着该模型可以重现与不同期限相关的利差之间的顺序关系随时间随机变化的市场情况。然而，Sδi（t，t）≥ 1为所有t≤ T和T≥ 0和ui一样长∈ C*.备注3.19。指定流程Y的一种可能性是类比银行账户B=exp（R·rsds）。的确，设q为Rn值过程，setY:=Z·qsds。那么，Sδi（t，t）=EQTheRTu>iqsdsFti=eRtu>iqsds+RTtηit（u）du，适用于所有t≤ T和T≥ 0.一致性条件ψR·qsdt（ui）=ηit-（t） 那么等效于tou>iqt吗-= η它-（t） 因为ψR·qsdt（ui）=u>iqt-漂移条件为Tzttαit（u）du=-ψXt∑i>t（t）-e∑>t（t）>+ ψXt-e∑>t（t）.4.构建风险中性的HJM型多收益率曲线模型OREM 3.15为HJM型多收益率曲线模型提供了风险中性的必要条件和充分条件。在本节中，我们提供了一种构建风险中性HJM类型多收益曲线模型的一般方法，从给定的基本构建块元组开始，具体定义如下（见定义4.1）。特别是，我们的目标是构建满足第3.12条要求的模型，并且能够潜在地生成根据期限长度排序的价差。为了达到这个效果，如果这个过程在一些锥C中取值 Rn、要求3.12第（ii）部分和有序价差可以通过依赖推论3.17来实现。因此，关键问题是构建一个满足定理3.15第（iii）部分中三个条件的模型，这尤其意味着定义3.13中的模型成分不能任意选择。我们的构造从给定过滤概率空间上的以下基本构造块开始(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）（与[40，定义4.2]进行比较）。为了简单起见，让我们表示u:=0∈ Rnand∑·（·）：=0∈ 注册护士。定义4.1。一个元组（X，^Y，u。

，嗯，f，η，ηm，eσ，σ，如果（i）（X，^Y）是一个（Rd×C）值的它^o-半鞅，使得^Y是指数特殊的且^Yk=^Y，其中^Yk表示^Y相对于X的依赖部分，则σm）被称为HJM型多收益率曲线模型的构造块（见附录C）；（ii）u，C语言中的umare向量*, 用C*表示C的对偶锥；（iii）f，η，ηmare-Borel可测函数满足定义3.1的条件（ii）；（iv）eσ，σ，σmare P B（R+）-满足定义3.1条件（iii）的可测量过程；（五）u> i，∑i>（T）-e∑>（T）>∈ U^Y，X，每T≥ 0和我∈ {0,1，…，m}；（六）过程经验u> i^Yt+Zt∑is（T）-e∑s（T）dXs-Ztψ^Y，Xsu> i，∑i>s（T）-e∑>s（T）>dsT∈[0，T]（4.1）16 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTOis是一个Q-鞅，对于所有T≥ 0和我∈ {0,1，…，m}。请注意，如果（X，^Y）被选择为一个LKevy过程（如第4.1节中的情况），如果挥发性eσ，σ，…，则上述定义的条件（vi）自动满足，σ是确定性的（更一般地说，条件（vi）的有效性可以类似于备注3.6中的规定）。与经典的HJM框架一样，漂移过程（eα，α，…，αm）将完全由构造块决定（见定义4.2的第（ii）部分）。因此，从定义4.1来看，主要的模型构造问题变成了寻找一个Rn值的It^o-半鞅Y，它与给定的构造块一起，生成一个风险中性的HJM型多重收益率曲线模型，如下所述。特别要注意的是，过程Y需要满足关键的一致性条件（3.12）。定义4.2。C值It^o-半鞅Y被认为与构造块（X，^Y，u，…，um，f，η，…，ηm，eσ，σ，…）相容。

，σm）如果下列条件成立：（i）Yk=^Y，其中Yk表示Y相对于X的依赖部分；（ii）元组（X，Y，exp（R·fs（s）ds），u，呃，f，η，ηm，eα，α，αm，eσ，σ，σm）是风险中性的HJM型多收益率曲线模型，定义为3.13-3.14，其中eαt（t）=TψXt-e∑t（t）,（4.2）αit（T）=-Tψ^Y，Xtu> i，∑i>t（t）-e∑>t（t）>+ TψXt-e∑t（t）,（4.3）对于所有t≤ T，T≥ 0和我∈ {1，…，m}。换句话说，从给定的构造块（X，^Y，u，…，um，f，η，…，ηm，eσ，σ，…，σm）开始，然后搜索一个兼容的It^o-半鞅Y相当于一个模型构造策略，它沿着三个后续步骤进行：（a）通过（4.2）-（4.3）的右侧定义漂移过程（eα，α，…，αm）；（b） 证明了广义远期利率过程（f，η，…，ηm）的存在性和唯一性，给出了（3.2）的初值（f，η，…，ηm）、漂移过程（eα，α，…，αm）和波动过程（eσ，σ，…，σm）的解；（c） 构造一个满足以下三个条件的c-值It^o-半鞅Y：（i）Yk=^Y；（ii）ψYt（ui）=ηit-（t） ，对于所有t>0和i∈ {1，…，m}（一致性条件）；（iii）（3.11）中给出的过程是一个Q-鞅，对于每个T≥ 0和i=1，m、 如果步骤（b）-（c）能够成功求解，则风险中性的HJM型多收益率曲线模型由元组（X，Y，exp（R·fs（s）ds），u，呃，f，η，ηm，eα，α，αm，eσ，σ，σm）。实际上，根据定理3.15，HJM漂移条件（3.13）从步骤（a）开始，指出-Tψ^Y，Xtu> i，∑i>t（t）-e∑>t（t）>= -TψY，Xtu> i，∑i>t（t）-e∑>t（t）>,尽管如此，t≤ T，T≥ 0和我∈ {1，…，m}，因为Yk=^Y，以及定义C.1和引理C.2，暗示了Y的局部独立性⊥:= Y- Ykand（Yk，X）。

（3.11）中过程的一致性条件和可压缩性遵循步骤（c）。最后，要求3.12的第（ii）部分和有序价差可以通过采用第4.2节中考虑的C=R+来实现。从现在开始，我们定义一个给定的构造块元组（x，^Y，u，…，um，f，η，…，ηm，eσ，σ，…，σm）。在4.1节中，我们证明了前向曲线（f，η，…，ηm）的存在性和唯一性，从而解决了上述步骤（b），而在4.2节中，我们给出了构造相容的^o-半鞅Y的一般过程，从而解决了上述步骤（c）。多曲线建模的通用HJM框架174.1。前向扩散曲线的存在性和唯一性。为了解决ηi的存在性和唯一性问题∈ {1，…，m}，以及OIS正向曲线f，我们将依赖于[23]的结果，该结果适用于当前的多曲线设置。为了便于说明，我们用η：=f表示OIS正向曲线，用σt（t）：=eσt（t）和αt（t）：=eαt（t）表示其波动性和漂移。我们对依赖于远期（价差）曲线ηt（·）的波动性结构感兴趣：=ηt（·），ηt（·），ηmt（·）>按以下方式σit（T）=（ζi（θT）（T- t） ，t≤ T、 0，T>T，i∈ {0，1，…，m}，（4.4），其中θt（s）：=ηt（t+s）对应于Musiela参数化和ζi，对于i∈ {0，1，…，m}是前向（扩展）曲线H:R的某个希尔伯特空间Hλm+1的函数+→ Rm+1具体如下。请注意，尽管我∈ {0，1，…，m}，每一条正向曲线ηi的波动率σit（T）允许通过函数ζ离子依赖于整个正向曲线族η=（η，η，…，ηm）>。鉴于第2节中报告的经验事实，这是该模型的一个相关特征。