多收益率曲线建模的通用HJM框架

因此，我们切换到Musiela参数化和视图（θt）t≥0作为一个单Hλm+1值随机过程。在第4.1节结束之前，为了应用[23]的结果，我们假设（X，^Y）是一个L′evymartingale，取值于Rd+n。在不丧失一般性的情况下，驱动半鞅（Xt）t≥0isthen of the formXt=βt+ZtZRdξu（dt，dξ）- F（dξ）dt,式中（βt）t≥0是一个Rd值标准布朗运动，u是R+×Rd上的齐次泊松随机测度，带有补偿器F（dξ）dt。ηi的SDE，对于i∈ {0，1，…，m}，因此变成ηit（T）=ηi（T）+Ztαis（T）ds+Ztσis（T）dXs=ηi（T）+Ztαis（T）ds+Ztσis（T）dβs+ZtZRdσis（T）>ξu（ds，dξ）- F（dξ）ds.（4.5）注意，[23]中的过程σ（t，t）和γ（t，ξ，t）对应于σit（t）和σit（T）>ξ、 分别为我∈ {0,1，…，m}。假设t7是连续的→ ηt（t），我们可以将（4.5）转化为θi的积分方程：θit（x）=Stηi（x）+ZtSt-sα是（s+x）ds+ZSt-sσ为（s+x）dβs+ZtZRdSt-sσ为（s+x）>ξu（ds，dξ）- F（dξ）ds, 我∈ {6}，（t）1≥0表示移位半群，即Sth=h（t+·）。为了证明这类方程解的存在性，让我们引入以下符合[23]的正向曲线空间（但推广到多元情况）。固定一个任意常数λ>0，让Hλkbe为所有绝对连续函数H:R的空间+→ Rkuch thatkhkλ，k：=kh（0）kk+ZR+ksh（s）kkeλsds,其中k·kk表示Rk中的范数，带k∈ 18 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto如上所述，我们将考虑漂移和波动结构，它们是普遍的正向（扩散）曲线的函数，即αit（T）=（κi（θT）（T）- t） ，t≤ T、 0，T>T，，σit（T）=（ζi（θT）（T）- t） ，t≤ T、 0，T>T，，就我所知∈ {0,1，…，m}。

特别是，我们需要κi:Hλm+1→ Hλ和ζi:Hλm+1→ Hλd.让我们用c^Y，X和K^Y，X表示（Y，X）的L′evy三元组的第二项和第三项，因此c^Y，X∈ Rn×dand K^Y，Xis是Rn×d上的一个L′evy测度，X-边际用F（dξ）表示。然后将条件（4.2）-（4.3）读取为αit（T）=-u> ic^Y，Xσit（T）- σt（t）-σit（T）- σt（t）>∑it（T）- ∑t（t）-Zσit（T）- σt（t）>ξeu>i^ξ+（∑it（T）-∑t（t））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ）+σt（t）>∑t（t）-Zσt（t）>ξE-（∑t（t））>ξ- 1.F（dξ），i∈ {0，1，…，m}，只要zsupt≥Tσit（T）- σt（t）>ξeu>i^ξ+（∑it（T）-∑t（t））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ）<∞,ZsupT≥Tσt（t）>ξE-（∑t（t））>ξ- 1.F（dξ）<∞,所以我们可以在积分符号下微分。这转化为κias，如下所示∈ Hλm+1，κi（H）（s）=-u> ic^Y，Xζi（h）（s）- ζ（h）（s）-ζi（h）（s）- ζ（h）（s）>(八)(s)- Z（h）（s）-Zζi（h）（s）- ζ（h）（s）>ξ（eu>i^ξ+（Zi（h）（s）-Z（h）（s））>ξ- 1） K^Y，X（d^ξ，dξ）+ζ（h）（s）>Z（h）（s）-Zζ（h）（s）>ξ（e）-（Z（h）（s））>ξ- 1） F（dξ），i∈ {0，1，…，m}，（4.7）其中Zi（h）（s）：=Rsζi（h）（u）du。在续集中，对于函数g:Hλm+1→ Hλ和a向量z∈ 对于Pdj=1zjgj（h），我们应该写出g（h）>z。上述规定导致（4.6）中的远期（利差）率为（4.8）θit=Stηi+ZtSt的解-sκi（θs）ds+ZSt-sζi（θs）dβs+ZtZRdSt-sζi（θs）-)>ξu（ds，dξ）- F（dξ）ds,因为我∈ {0,1，…，m}其中κ在（4.7）中有规定。满足（4.8）的Hλm+1值过程θ被认为是随机偏微分方程（对于∈ {0，1，…，m}）dθit=ddsθit+κi（θt）dt+ζi（θt）dβt+ZRdζi（θt）-)>ξu（dt，dξ）- F（dξ）dt, θi=ηi.（4.9）因此我们关心（4.9）的温和解的存在性问题。

在[23]之后，此类SDE可以理解为具有有限维状态空间的时间相关SDE的时间相关变换（有关更多详细信息，请参见[23，等式1.11]）。为了便于记法，我们表示ζi0（h）：=ζi（h）- ζ（h）和Zi0（h）：=Zi（h）- Z（h），代表艾莉∈ {1，…，m}和h∈ Hλm+1，分解κi（H）=κi（H）+κi（H）+κi（H）+κi（H）+κ（H），其中κi（H）=-u> ic^Y，Xζi（h）- ζ（h）= -u> ic^Y，Xζi0（h）,多曲线建模的通用HJM框架19κi（h）=-ζi（h）- ζ（h）>（Zi（h）- Z（h））=-ζi0（h）>Zi0（h），κi（h）=-Zζi（h）- ζ（h）>ξeu>i^ξ+（Zi（h）-Z（h））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ）=-Zζi0（h）>ξeu>i^ξ+（Zi0（h））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ），κ（h）=ζ（h）>Z（h），κ（h）=-Zζ（h）>ξE-（Z（h））>ξ- 1.F（dξ）。为了证明（4.9）的温和解的存在唯一性，让我们在波动函数ζi上引入适当的增长和Lipschitz连续性条件，对于所有i=0，1，m、 如以下假设所述（与[23，假设3.1]进行比较）。假设4.3。ζi:Hλm+1→ Hλ，0d，对于所有i=0，1，m、 其中Hλ，0k:={H∈ Hλk | kh(∞)kk=0}，表示k∈ {1，d}。此外，我∈ {0，1，…，m}，存在正常数Ci，Li，Misuch-thatkZi（h）（s）kd≤ Ci，为了所有的h∈ Hλm+1，s∈ R+，kζi（h）- ζi（h）kλ，d≤ 比如- hkλ，m+1，对于所有h，h∈ Hλm+1，kζi（H）kλ，d≤ 小米，尽管如此∈ Hλm+1，常数K>0和Ki>0，使得zeckξkdkξkd∨ kξkdF（dξ）≤ K、 （4.10）Zekuiknk^ξkn+（C+Ci）Kξkdk^ξkn+（kξkd∨ kξkd）K^Y，X（d^ξ，dξ）≤ 基，我∈ {1, . . .

，m}。（4.11）此外，我们认为∈ Hλm+1，映射κi（H）和κ（H）是绝对连续的，具有弱导数ddsκi（H）=-Z（ζi0（h））>ξeu>i^ξ+（Zi0（h））>ξK^Y，X（d^ξ，dξ）（4.12）-Zddsζi0（h）>ξeu>i^ξ+（Zi0（h））>ξ- 1.K^Y，X（d^ξ，dξ），ddsκ（h）=Z（ζ（h））>ξE-（Z（h））>ξF（dξ）-Zddsζ（h）>ξE-（Z（h））>ξ- 1.F（dξ）。（4.13）如下一个命题（相当技术性的证明推迟到附录D）所示，假设4.3意味着漂移函数κi，对于所有i=0，1，m、 也是Lipschitz连续的。这个性质对于证明（4.9）的温和解的存在性和唯一性至关重要。提案4.4。假设假设假设4.3是满足的。那么∈ {0，1，…，m}，它包含κi（Hλm+1） Hλ，0存在常数Qi>0，使得kκi（H）- κi（h）kλ，1≤ 奇克- 对于所有h，h，hkλ，m+1（4.14）∈ Hλm+1。我们现在可以陈述以下定理，该定理断言（4.9）的温和解的存在性和唯一性，并将[23，定理3.2]扩展到当前的多重曲线设置。20 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto定理4.5。假设满足假设4.3。然后，对于每个初始曲线θ∈ Hλm+1，存在唯一的自适应c`adl`ag，均方连续弱Hλm+1值解（θt）t≥令人满意的监督∈[0，T]kθtkλ，m+1< ∞, 尽管如此，T∈ R+。证据根据[23，定理2.1]，假设4.3和命题4.4，[22，推论10.9]应用并得出所声称的存在性和唯一性结果。备注4.6。考虑到应用，人们通常有兴趣构建多个收益率曲线模型，产生正的OIS远期利率f以及正的远期利差率ηi，例如∈ {1，…，m}。与定理4.5的情况类似，正性off和ηi的必要和充分条件∈ {1, . . .

，m}，可以通过将[23，第4节]的结果调整到当前上下文中来获得。Y型结构⊥. 在本节结束之前，我们将假设正向曲线（f，η，…，ηm）的存在性和唯一性，但我们不一定假设（X，^Y）是aL′evy鞅。现在，我们给出了一个一般的过程来构造一个与构造块（X，^Y，u，…，um，f，η，…，ηm，eσ，σ，…，σm）相容的It^o-半鞅Y，在定义4.2的意义上，或者，等价地，满足第4节开头描述的模型构造过程的步骤（c）中的三个要求。作为初步观察，请注意，通过定义局部独立性（参见定义C.1和引理C.2），构造C值过程Y，从而通过构造C值过程Y可以实现Yk=^Y（步骤（C）的要求（i））⊥它是局部独立于（X，^Y）的，然后让Y:=^Y+Y⊥. 根据局部独立性，局部指数ψY⊥然后必须满足以下条件，即一致性条件（步骤（c）的要求（ii））：（4.15）ψY⊥t（ui）=ηit-（t）- ψ^Yt（ui），对于所有t>0和i∈ {1，…，m}。在特殊情况下n=m，可以任意选择特性cY⊥还有基尼⊥然后，对于所有i=1，n、 通过以下方式指定漂移特性：⊥,ias通过⊥,it=ηit-（t）-ψ^Yt（ui）-赛⊥,iit-Reξi- 1.- χ（ξ）i基尼⊥t（dξ），其中向量{u，…，un}是基向量inRN，因此（4.15）通过构造保持不变。然而，m=n的情况是相当不现实的，因为我们需要通过低维过程Y来模拟不同时期的对数点分布，以便捕捉它们的相互依赖性。在后一种情况下（即，当m>n时），对漂移特性的研究不再有效。

还要注意，即使在n=m的情况下，也必须施加进一步的条件，以确保Y⊥位于C中。为了表示的简单性，我们考虑Y是一个一维过程的情况，取C=R+和0<u<u<…<嗯。我们的目标是构建一个流程⊥, 局部独立于（X，^Y），从而满足一致性条件（4.15），等式（3.11）中给出的过程是鞅（步骤（c）中的要求（iii））。我们将构建流程Y⊥作为一个有限活动，在适当扩展的概率空间上进行纯跳跃过程（见备注4.13）。注意，因为我们想要Y⊥要获取R+中的值，我们需要限制其跳转大小，以便Y⊥≥ -Y⊥-a、 因此，结构问题相当于确定Y的补偿跳线⊥, 我们称之为Ktω、 Y⊥T-（ω） ，dξdt，以明确跳跃大小对Y的依赖性⊥-.多曲线建模的通用HJM框架21如果核Kt（ω，y，dξ）满足所有ω，则关键一致性条件（4.15）将得到满足∈ Ohm, Y∈ R+和t>0，（4.16）Z（euiξ）- 1） Kt（ω，y，dξ）=ηit-（t） （ω）- ψ^Yt（ui）（ω）=:pit（ω），对于i=1，m、 请注意，右侧完全由模型构造的前面步骤确定。尤其是，（4.16）意味着，对于每一个ω∈ Ohm, Y∈ R+和t>0，Kt（ω，y，dξ）需要被测量R、 B（R）支持[-Y∞). 此外，为了保证（3.11）的鞅性质，对于所有ω，我们还要求Kt（ω，y，dξ）满足以下可积条件∈ Ohm, Y∈ R+andt≥ 0:（4.17）Z|1.∨ ξ|eumξ+Kt（ω，y，dξ）=pm+1t（ω，y），关于某些族pm+1t（·，y）T≥0 | y∈ R+关于可预测过程，可测量y并满足pm+1t（ω，y）≤“H Q-a.s。

尽管如此∈ R+和t≥ 0，对于某些常数H>0。对于固定ω∈ Ohm, Y∈ R+和t≥ 0，这样一个测度Kt（ω，y，·）是否存在的问题是对Krein和Nudelman[48]所考虑的广义矩问题以及对pt（ω），pmt（ω），pm+1t（ω，y）.让我们简要回顾一下广义矩问题的公式。让[a，b] R（可能带b）∞) 设一个区间，考虑一组线性无关的连续函数fi:[a，b]→ R、 i=1，m+1。让c∈ Rm+1。然后，广义矩问题在于找到一个正度量[a，b]，b（[a，b]）使得zbafi（ξ）u（dξ）=ci，对于所有i=1，m+1。在函数h是fi，i=1，…，的线性组合的条件下，m+1在[a，b]上严格为正，Krein和Nudelman[48，定理I.3.4，定理III1.1和p.175]的结果表明，广义矩问题允许解的当且仅当c是U的闭圆锥壳K（U）的一个元素=f（ξ），fm+1（ξ）| ξ ∈ 【a、b】.在我们的上下文中，这直接暗示了以下引理。首先，让我们定义函数族gi（ξ）：=euiξ- 1，对于i=1，m、 和gm+1（ξ）：=|ξ| ∨ 1.e（嗯）∨1)|ξ|.引理4.7。设0<u<…<嗯。那么，对于每一个ω∈ Ohm, Y∈ R+和t≥ 0上存在一个非负测度Kt（ω，y，dξ）[-Y∞), B([-Y∞))满足（4.16）-（4.17）当且仅当（4.18）pt（ω，y）：=pt（ω），pmt（ω），pm+1t（ω，y）∈ Kg（ξ），gm（ξ），gm+1（ξ）| ξ ∈ [-Y∞).证据对于每一个固定ω∈ Ohm, Y∈ R+和t≥ 0，该主张直接源自[48，定理I.3.4，定理III 1.1和第175页]，注意到函数gi，I=1，m+1是连续的和线性相关的，函数gm+1是严格正的。

正如我们将在本节剩余部分展示的，流程Y的构造⊥只要广义矩问题存在解，满足所有期望的性质都是可能的。更准确地说，根据引理4.7，让我们建立以下假设。假设4.8。有一个家庭pm+1t（·，y）T≥0 | y∈ R+对于可预测过程，可相对于y测量，满足pm+1t（ω，y）≤“H Q-a.s.为所有y∈ R+和t≥ 0，对于某些常数H>0，使得所有ω满足条件（4.18）∈ Ohm, Y∈ R+和t≥ 0.22克丽斯塔·库奇耶罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺塔4.9。如果m=1，那么对于任何给定的pt（ω）和y>0，我们总是可以找到一些pt（ω，y），这样（pt（ω），pt（ω，y））∈ K（{（g（ξ），g（ξ））|ξ∈ [-Y∞)}). 如果y=0，那么pt（ω）必须是非负的。特别是，如果ω7→ pt（ω）是有界且非负的，很容易看出假设4.8总是成立的。同样，对于m=2，条件pt（ω）≥ 0和pt（ω）≥uupt（ω）和有界性（ω）对于假设4.8的有效性是有效的。下一个命题建立了过程Y的存在性⊥带跳跃测量Ktω、 Y⊥T-（ω） ，dξ关于原概率空间的扩张(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）。o我们还根据附录c确定了一个建设性的证据Ohm, G、 （Gt）t≥0）是一个过滤空间，带有Ohm := Ohm × Ohm, Gt:=Ts>tFs hsg=F H.这里(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）是迄今为止我们研究的概率空间(Ohm, H、 Ht）的定义如下。请注意，我们不假设对（e）有度量Ohm, G） 就目前而言。通用样本元素由eω表示：=（ω，ω）∈EOhm.o (Ohm, H） 是实值标记点过程的正则空间（参见。

[35]），意思是Ohm由所有c`adl`ag分段常数函数ω组成：0，T∞(ω)→ R与ω（0）=0和T∞（ω） =林→∞Tn（ω）≤ ∞, 式中，Tn（ω），定义为T=0和Tn（ω）：=inft>Tn-1（ω）|ω（t）6=ω（t）-)∧ ∞, 为了n≥ 1是ω的连续跳跃时间。我们表示为byJt（eω）：=Jt（ω）：=ω（t）0，T∞(ω)规范跳跃过程，以及let（Ht）t≥自然过滤，即Ht=σ（Js | s≤ t） ，H=H∞. 注意{Tn}n∈如果解释为Tn（eω）=Tn（ω），则Nare（Ht）-和（Gt）-停止时间。引入更大过滤（Gt）也很有用≥0由Gt定义：=F∞ 嗯，尽管如此≥ 0.特别是，观察Gt Gt，尽管如此≥ 0，G=F∞ {, Ohm}. 以下结果的证明是相当技术性的，因此推迟到附录D提案4.10。假设假设4.8成立，让（eOhm, G、 （Gt）t≥0）和（Gt）t≥0定义如上所述。（e）上存在一个概率测度Ohm, G） 满足eq | F=Q和c`adl`ag（Gt）适应R+值的有限活动纯跳跃过程Y⊥带跳跃测量Ktω、 Y⊥T-（ω，ω），dξ关于两种过滤（Gt）的DTT≥0和（Gt）t≥0和Kt（ω，y，dξ）满足（4.16）-（4.17）。下一个引理表明，当在扩展的过滤概率空间上考虑时，（X，^Y）的半鞅性质以及半鞅特征没有改变(Ohm, G、 （Gt）t≥0，eQ）。此外，除了满足一致性条件（4.15）外，过程Y⊥在扩展的过滤概率空间中与（X，^Y）局部无关。引理4.11。假设假设假设4.8成立，并让过程Y⊥按照命题4.10进行构造。然后，在扩展的过滤概率空间上(Ohm, G、 （Gt）t≥（i）（X，^Y）是一个Rd+1值半鞅，具有与原始过滤概率空间相同的特征(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）；（ii）Y⊥局部独立于（X，^Y）。

此外，这个过程经验（uiY）⊥T-RtψY⊥s（用户界面）dsT≥0是一个eQ，（Gt）t≥0-鞅和eQ，（Gt）t≥0-鞅，对于所有i=1，m、 我们现在可以证明，在扩展的过滤概率空间上(Ohm, G、 （Gt）t≥0，eQ），第4节开头描述的模型构建程序的步骤（c）可以成功实现，因此，满足定理3.15第（iii）部分的三个要求。多曲线建模的一般HJM框架23定理4.12。假设假设假设4.8成立，并让过程Y⊥按照第4.10节的要求建造。然后，在扩展的过滤概率空间上(Ohm, G、 （Gt）t≥0，eQ），过程Y:=^Y+Y⊥与定义4.2中的构造块（X，^Y，u，…，um，f，η，…，ηm，eσ，σ，…，σm）兼容。备注4.13。我们想指出，目前的结构可以很容易地扩展，以便在过程Y中包括非零漂移和扩散成分⊥, 根据[10，定理A.4]的精神，在关于微分分量的适当假设下，对命题4.10的证明进行调整，以确保局部独立性和鞅性质。同样地，要求流程⊥自由活动也可以轻松放松。5.模型实施、校准和易处理规范本节专门讨论与HJM型多屈服曲线模型实际实施相关的几个方面。我们从第5.1节开始，提供一些关于模型实现和校准的一般指南。在第5.2节中，我们介绍了典型利率衍生品的无模型估值公式，而在第5.3节中，我们介绍了一种基于有效流程的易于处理的规范。