多收益率曲线建模的通用HJM框架

第6节给出了关于我们通用HJM框架实际适用性的进一步考虑，我们将在文献[11]和[5.1]中讨论与特定多曲线模型的关系。模型实施和校准的一般方面。现在，假设我们能观察到以下数据，我们给出了实施HJM型多收益率曲线模型的一些一般指南：（i）线性利率衍生品的市场报价，如隔夜指数掉期、利率掉期和基础掉期（见下文第5.2.1节）；（ii）非线性欧洲利率衍生工具的市场报价，如上限/下限或期权（见下文第5.2.2节）。给出（i）中线性利率衍生品的一组市场报价，模型校准的初步步骤包括引导市场数据隐含的OIS债券和Liborrate的期限结构（例如，按照[25]的思路进行）。第一步的输出是最初观察到的术语结构{BM（0，T），T≥ 0}和{LM（T，T+δ），T≥ 0, δ ∈ D} ，由此展开{Sδ，M（0，T），T≥ 0, δ ∈ D} 可以直接获得（上标M的意思是强调这些数量是由市场数据暗示的）。请注意，校准程序的第一部分显然与模型无关，因为它只依赖于下文第5.2.1节给出的线性利率衍生品的通用定价公式。实施HJM型多屈服曲线模型的下一步当然需要指定具体模型。特别是，根据标准的HJM建模方法，驱动半鞅（X，Y）和波动率eσ，σ。

为了确保令人满意的分析可处理性以及第3.3.1节中介绍的乘法读数要求，必须仔细选择σM。为此，第4节提供了一般模型构建程序，其中风险中性HJM型多收益率曲线模型从给定的一组构建块开始构建（见定义4.1）。更具体地说，这需要指定驱动半鞅X、过程Yk（Y相对于X的依赖部分）以及波动过程eσ，σ，σm.尤其是，如果选择一个时间不均匀的L’evy过程作为驱动过程（如第6.1节所述），那么该模型可以通过使用L’evy驱动的HJM模型的标准实现和校准技术来实现，该模型是24 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA、，ALESSANDRO Gnoatto在文献中有很好的记录（参见[46，第2.6节]，[47，第4章]，[19]，[18]以及[15]，关于布朗运动驱动的一般HJM模型）。我们还请读者参考[8，第4节]，以获取关于具有Vasiˇcek型波动函数的L’evy驱动多曲线HJM模型的swaption数据的详细校准（有关该模型规范的快速概述，请参见第6.1节）。然而，经典HJM规范和校准技术的多条曲线延伸并不是实际实施HJM型多产量曲线模型的唯一可行方法。事实上，如下文第5.3节所示（详细信息请参考配套文件[11]），基于明确流程的模型规范代表了一种特别灵活且易于处理的解决方案。除了能够自动拟合根据市场数据校准的术语结构（参见。

定义5.8），一个明确的规范可以很容易地确保利差大于1，并根据期限长度排序。此外，由于有效过程固有的分析可处理性，傅立叶技术可以为上限和互换期权提供有效的定价公式/近似值。在某种情况下，有效定价公式的存在允许进行标准校准程序，包括搜索参数向量，以最小化市场隐含波动率和模型隐含波动率之间的距离。校准可在上限或期权市场报价上进行（目前，对这两种衍生品的联合校准似乎是一个公开的挑战）。在前一种情况下，由于市场只提供上限波动率，而不提供上限波动率，校准程序可以通过首先从观察到的上限波动率表面引导一个上限波动率表面来简化，如[50]所示。最后，正如我们在[11]中所展示的，[30]提出的伦敦银行同业拆借利率模型的多业务扩展可以被视为我们的规范的离散期版本，因此本文中介绍的校准技术（关于caplet数据）也可以在我们的上下文中使用。5.2. 一般定价公式。Sδ（t，t）的数量在酯产品的估价中起着关键作用。我们在这里根据附录A的精神推导出了干净的估值公式，前提是假设完全抵押和抵押利率等于OIS利率。5.2.1. 线性产品。线性利率产品的价格（即，没有可选性特征）可以直接用基本量B（t，t）和Sδ（t，t）表示。远期利率协议。

远期利率协议（FRA）从T开始，到期日为T+δ，到期日为K，名义利率为N，是指在T+δ时支付以下金额的合同∏F RA（T+δ；T，T+δ，K，N）=NδLT（T，T+δ）- K.该索赔在时间t的价值≤ T是∏F RA（T；T，T+δ，K，N）=NB（T，T+δ）δEQT+δ[LT（T，T+δ）- K | Ft]=NB（t，t）Sδ（t，t）- B（t，t+δ）（1+δK）.（5.1）隔夜指数掉期。隔夜指数掉期（OIS）是一种合同，其中两个交易对手交换两个付款流：第一个根据固定利率K计算，第二个根据隔夜利率（EONIA）进行指数化。让我们用T表示，t付款日期，Ti+1- 对于所有i=1，…，Ti=δ，N- 1.交换在时间T开始∈ [0，T）。时间T时OIS的值≤ T、 对于概念N，可以表示为（参见[24，第2.5节]）OIS（T；T，Tn，K，N）=NB（T，T）- B（t，Tn）- KδnXi=1B（t，Ti）！。多曲线建模的一般HJM框架25因此，OIS比率KOIS由KOIS（T，Tn）=B（T，T）给出，KOIS是通过定义K的值，使得OIS合同在开始时为零值- B（t，Tn）δPnk=1B（t，Tk）。利率互换。在利率互换（IRS）中，两个交易对手之间交换两个支付流：第一个现金流根据固定利率K计算，而第二个现金流根据现行伦敦银行同业拆借利率进行指数化。时间t时IRS的值≤ T、 式中，Tdenotest起始时间由∏IRS（T；T，Tn，K，N）=NnXi=1给出B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）（1+δK）.（5.2）互换率KIRS（T，Tn，δ）=Pni=1，通过定义K的价值，使合同具有零价值，给出了互换率KIRSB（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）δPni=1B（t，Ti）=Pni=1B（t，Ti）Lt（Ti）-1，Ti）Pni=1B（t，Ti）。基差互换。

基差掉期是一种特殊类型的利率掉期，两个交易对手之间交换与不同期限的IBOR利率相关的两种现金流。例如，典型的基差互换可能涉及300万欧元兑600万欧元的伦敦银行同业拆借利率。按照欧元市场的标准惯例（见[1]），基差互换相当于两个不同IRS的多头/空头头寸，它们共享同一固定分支。让我们=T、 田纳西州, T=T、 ·Tn和T=T、 田纳西州, Tn=Tn=Tn，T T、 n<和相应的榫长δ>δ（和任意δ）。一侧的前两个基音结构和另一侧的第三个基音结构分别与两个基音和单个固定支腿相关。和往常一样，我们用互换的概念来表示（在T=T=T时开始）。时间t的值≤ 由∏BSW（t；t，t，t，N）=NnXi=1给出B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）-nXj=1B（t，Tj）-1） Sδ（t，Tj）-1) - B（t，Tj）- KnX`=1δB（t，t`）！。当KBSW（T，T，T）=Pni=1时，初始合同价值为零的价值KBSW（称为基差掉期价差）B（t，Ti）-1） Sδ（t，Ti）-1) - B（t，Ti）-Pnj=1B（t，Tj）-1） Sδ（t，Tj）-1) - B（t，Tj）δPn`=1B（t，t`）。有趣的是，在金融危机之前，KBW的价值曾经（大约）为零。5.2.2. 具有可选功能的产品。在本节中，我们报告了普通利率产品（如欧洲Caplet和掉期期权）的一般估值公式。卡普莱特。履约价格为K，到期日为t，在t+δ时拖欠结算的caplet在t时的价格由∏CP LT（t；t，t+δ，K，N）=NBtδE给出BT+δLT（T，T+δ）- K+英尺.26 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO Gnoatto上述估值公式允许以下Sδ（t，t）表示。πCP LT（t；t，t+δ，K，N）=NEBtBTSδ（T，T）- （1+δK）B（T，T+δ）+英尺（5.3）备注5.1。

请注意，经典单曲线设定中的估值公式（5.3）（即，假设Sδ（T，T）等同于1）的情况下）简化为行使1/（1+δK）的零息票债券上的期权与看跌期权之间的经典关系。Swaption。我们考虑一个标准的欧洲付款人互换期权，到期日为T，在（付款人）利率互换上，从T=T开始，支付日期为T。。。，Tn，含Ti+1- 对于所有i=1，…，Ti=δ，N- 1，名义N。由于公式（5.2），在时间t，此类索赔的价值由∏SW P t N（t；t，Tn，K，N）=NE“BtBTnXi=1B（t，Ti）给出-1） Sδ（T，Ti）-1) - （1+δK）B（T，Ti）+5.3英尺。基于有效流程的模型。在本节中，我们基于一个有效的流程，对第3.3节的总体框架提出了一个灵活且易于处理的规范。关于不同状态空间上马尔可夫过程的分析性质和完整特征，我们参考[17]、[10]和[42]。在本节中，T表示固定的时间范围，我们在过滤概率空间中工作(Ohm, F、 （英尺）0≤T≤T、 Q），其中Q是风险中性度量，根据该度量，OIS债券和FRA合同与OIS银行账户贴现时为鞅。为了确定多个收益率曲线模型，我们考虑一个随机过程X=（Xt，Yt，Zt）0≤T≤t状态空间用D=DX×Rn+1表示，这意味着X取DX上的值，DX被假定为实欧几里德向量空间V的闭凸子集，其标量积h·，·i和（Y，Z）为Rn+1值。过程X将代表一般的驱动过程，过程Y与第3.3节中的对数spotspread完全相关，过程Z通过B=exp与OIS银行账户相关(-Z） 。

为了确定一个有效的多收益率曲线模型，过程X=（X，Y，Z）必须满足以下意义上的“有效性”：A1）X是一个状态空间为D的随机连续时间齐次马尔可夫过程；A2）Xt=（Xt，Yt，Zt）的傅里叶-拉普拉斯变换对初始状态（x，y，z）具有指数依赖性，即存在函数（t，v，u，w）7→ φ（t，v，u，w）和（t，v，u，w）7→ψ（t，v，u，w）使得超高压，Xti+u>Yt+wZti=eφ（t，v，u，w）+hψ（t，v，u，w），xi+u>y+wz，对于所有（x，y，z）∈ D、 （v、u、w）∈ U和t∈ [0，T]，其中集合U由U定义：=ζ ∈ （V+iV）×Cn+1E呃ζ，Xti< ∞, T∈ [0，T].备注5.2。请注意，上述形式的傅里叶-拉普拉斯变换意味着（Y，Z）的特征仅取决于X，因此我们不考虑D上所有可能的过程。我们现在通过以下定义引入一个有效的多收益率曲线模型（另见[11]）。定义5.3。通过（i）过程X=（X，Y，Z）满足A1）和A2），X和（Y，Z）分别取dx和Rn+1中的值，向量u=0，u，…，定义一个有效的多收益率曲线模型，嗯∈ RNP（0，ui，1）∈ U、 对于alli=0，1，M（ii）Bt=e提供的（无风险）OIS银行账户-Zt=所有t的ERTRSD≥ 0，其中短速率（确定过程Z）满足率=l+hλ，Xti，t∈ [0，T]，一个通用的HJM框架，用于为一些l∈ R和λ∈ Rn；（iii）一系列（乘性）现货价差Sδi（t，t）T∈[0，T]，i∈ {1，…，m}模拟的asSδi（t，t）=eu>iYt，t∈ [0，T]，i∈ {1，…，m}，对于向量u，嗯∈ 注册护士。备注5.4。单一多收益率曲线模型代表了传统单一短期利率模型对多曲线环境的自然延伸，因为后者通常通过上述定义中的（i）和（ii）进行规定。提议5.5。

在一个有效的多重收益率曲线模型中，OIS债券B（t，t）T∈[0，T]，T≤ T以及乘法传播Sδi（t，t）T∈[0，T]，T≤ T、 我∈ {1，…，m}是指数级的。更准确地说，我们有（5.4）B（t，t）=E[Bt/Bt | Ft]=E埃兹特-Zt |英尺= eφ（T）-t、 0,0,1）+hψ（t）-t、 0,0,1），Xti和（5.5）Sδi（t，t）=EheZT+u>iYTFtiE[eZT | Ft]=eu>iYt+φ（T-t、 0，用户界面，1）-φ（T）-t、 0,0,1）+hψ（t）-t、 0，用户界面，1）-ψ（T）-t、 0,0,1），其中φ和ψ表示有效过程X=（X，Y，Z）的特征指数，如A2）所示。证据债券价格的形式只是X的一个有效性质的结果（在风险中性度量Q下）。关于价差的形式，需要注意的是Sδi（t，t）=EQT[Sδi（t，t）| Ft]=EQT[eu>iYT | Ft]=EQ[eu>iYT/BT | Ft]B（t，t）BT=EheZT+u>iYTFtiE[eZT | Ft]。然后（5.5）的右侧再次从a ffine属性开始。注意，如果Y位于某个圆锥体C中 而你。如果满足推论3.17的要求，则乘法价差大于1，且按期限长度排序。除了由有效流程确保的建模灵活性和可处理性外，这代表了spread Specification（5.5）的主要优势之一。备注5.6。让我们简略地评论一下过程（X，y，Z）的可能规格，特别是为了遵守顺序关系。一种选择是取锥中有值的X，例如instanceRd+或正半无限矩阵集S+d，并通过Y=g（X）+L指定Y，其中g是取Rn+中值的一个有效函数，L表示Rn+值的L’evy过程。只有一个排列的一个具体的简单规定是将X指定为S+值Wishart过程（见[6]），设置andY=X和Z=-R·X22，sds。根据备注3.19，与银行账户类似，Y也可以指定为Y=R·q（Xs）ds，其中q:DX→ 此处表示一个函数。

后续文件[11]考虑了上述引入的有效多重收益曲线设置中的具体模型规格和利息衍生品定价。上述有效多重收益曲线模型的定义可以通过以下命题直接映射到第3.3节中HJM型多重收益曲线模型的一般设置中，这也表明风险中性属性（见定义3.14）可以通过构造得到满足。提议5.7。每个有效的多重收益曲线模型都是风险中性的HJM型多重收益曲线模型，其中28 CHRISTA CUCHIERO、CLAUDIO FONTANA和ALESSANDRO GNOATTO（i）驱动过程为X；（ii）银行账户由Bt=e给出-Zt，尽管如此≥ 0;（iii）对数点扩展由对数Sδi（t，t）=u>iYt给出，对于所有i=1，m和t≥ 0;（iv）远期利率ft（T）和远期利差率ηit（T）由ft（T）=-Fψ（T）- t、 0,0,1），0,1-Rψ（T）- t、 0,0,1），0,1, Xt,（5.6）ηit（T）=Fψ（T）- t、 0，ui，1），ui，1- Fψ（T）- t、 0,0,1），0,1+Rψ（T）- t、 0，用户界面，1），用户界面，1- Rψ（T）- t、 0,0,1），0,1, Xt,（5.7）对于所有t≤ T、 T≥ 0和i=1，m、 其中F（ψ（t，v，u，w），u，w）=tφ（t，v，u，w）和r（ψ（t，v，u，w），u，w）=tψ（t，v，u，w）。证据前三项索赔是在直接检查定义之后提出的。ft（T）和ηit（T）的表达式可从（5.4）和（5.5）中获得，只需注意：-ZTFT（s）ds=φ（T- t、 0,0,1）+hψ（t- t、 0,0,1），Xti，ZTtηt（s）ds=φ（t- t、 0，用户界面，1）- φ（T）- t、 0,0,1）+hψ（t- t、 0，用户界面，1）- ψ（T）- t、 0,0,1），并通过区分两边，这是可能的，因为一个有效过程的规律性（见[13]）。风险中性属性来源于Q是风险中性度量的事实。确定性移位扩展。

考虑到实际的实施，一个相关的问题是，模型能够为最初观察到的术语结构{BM（0，t），t≤ T} 和{Sδi，M（0，T），T≤ T、 δi∈ D} 无风险债券和利差（t=0时）。本着[5]的精神，我们可以通过以下定义扩展我们的规范，以确保对最初观察到的期限结构的准确定义。定义5.8。通过引入OIS债券和乘法利差的以下规范（与定义5.3相比），定义了一个移位的一元多收益率曲线模型：B（t，t）=BM（0，t）BM（0，t）eφ（t，0,0,1）+hψ（t，0,0,1），Xieφ（t，0,0,1）+hψ（t，0,0,1），Xieφ（t-t、 0,0,1）+hψ（t）-t、 0,0,1），XtiSδi（t，t）=Sδi，M（0，t）eu>iYt+φ（t-t、 0，用户界面，1）-φ（T）-t、 0,0,1）+hψ（t）-t、 0，用户界面，1）-ψ（T）-t、 0,0,1），Xtieu>iY+φ（t，0，ui，1）-φ（T，0,0,1）+hψ（T，0，ui，1）-ψ（T，0,0,1），Xi。根据上述规定，通过自举市场数据获得的期限结构可以被视为模型的输入，而模型参数则被校准为衍生工具（如Caplet或掉期期权）的波动率表面。让我们注意到，对于上述移位扩展，不能先验地保证Sδ（t，t）>1。这种推广与Hull-White扩展fora ffne模型有关，因为基础a ffne过程的状态无关特性变成了依赖于时间的确定性函数。[28]中最近也采用了确定性移位扩展。与其他多产量曲线建模方法的关系在本节中，我们简要讨论了我们的HJM类型框架与文献中最近提出的几个多领域曲线模型之间的关系。特别是，它将显示大多数现有的建模方法可以从我们的常规设置中恢复。