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英文标题：
《Zooming into market states》
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作者：
Desislava Chetalova, Rudi Sch\\\"afer and Thomas Guhr
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We analyze the daily stock data of the Nasdaq Composite index in the 22-year period 1992-2013 and identify market states as clusters of correlation matrices with similar correlation structures. We investigate the stability of the correlation structure of each state by estimating the statistical fluctuations of correlations due to their non-stationarity. Our study is based on a random matrix approach recently introduced to model the non-stationarity of correlations by an ensemble of random matrices. This approach reduces the complexity of the correlated market to a single parameter which characterizes the fluctuations of the correlations and can be determined directly from the empirical return distributions. This parameter provides an insight into the stability of the correlation structure of each market state as well as into the correlation structure dynamics in the whole observation period. The analysis reveals an intriguing relationship between average correlation and correlation fluctuations. The strongest fluctuations occur during periods of high average correlation which is the case particularly in times of crisis.
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中文摘要：
我们分析了纳斯达克综合指数1992-2013年22年期间的每日股票数据，并将市场状态识别为具有类似相关结构的相关矩阵簇。我们通过估计由于非平稳性而产生的相关性的统计波动来研究每个状态的相关性结构的稳定性。我们的研究基于最近引入的一种随机矩阵方法，该方法通过一组随机矩阵来模拟相关性的非平稳性。这种方法将相关市场的复杂性降低为一个单一参数，该参数表征相关性的波动，并可直接从经验收益分布确定。该参数提供了对每个市场状态相关结构稳定性的洞察，以及对整个观察期内相关结构动态的洞察。分析揭示了平均相关性和相关性波动之间的有趣关系。最强的波动发生在平均相关性较高的时期，尤其是在危机时期。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Zooming_into_market_states.pdf (2.28 MB)

2022-5-6 08:23:47 上传

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关键词：Fluctuations correlations stationarity Quantitative Econophysics

进入市场国家德西斯拉瓦·切塔洛娃、鲁迪·舍费尔和托马斯·古尔法库尔特——德国杜伊斯堡埃森大学物理学院——47048德国杜伊斯堡电子邮件：desislava。chetalova@uni-到期。断章取义。我们分析了纳斯达克综合指数1992年22年的每日股票数据- 2013年，将市场状态识别为具有类似相关结构的相关矩阵簇。我们通过估计由于非平稳性而产生的相关性的统计波动来研究每个状态的相关性结构的稳定性。我们的研究基于最近引入的一种随机矩阵方法，该方法通过一组随机矩阵来模拟相关性的非平稳性。这种方法将相关市场的复杂性降低为一个单一参数，该参数表征相关性的波动，并可直接从经验回报分布中确定。该参数提供了对每个市场状态相关结构稳定性的洞察，以及对整个观察期内相关结构动态的洞察。该分析揭示了平均相关性和相关性函数之间的触发关系。最强的波动发生在平均相关性较高的时期，尤其是在危机时期。1.引言金融市场是高度复杂且不断发展的系统。为了了解它们的统计行为和动态，分析市场成分之间的相关性至关重要。thusbeen的许多研究都集中在相关性获得的信息上，例如[1,2]。最近，基于不同时期相关结构的相似性，相关矩阵被用于识别金融市场的状态[3]。

这项研究揭示了几个典型的市场状态的存在，在这些状态之间，市场会随着时间的推移来回跳跃。每个市场状态都有一个特征性的关联结构和时间行为。在这里，我们来仔细看看市场状态的统计数据。特别是，我们研究了它们相应的相关结构的稳定性。我们通过[4,5]中介绍的随机矩阵方法来解决这个问题。它通过一组随机矩阵来模拟相关性的非平稳性。这种方法不仅可以对厚尾收益分布进行定量描述，还可以将波动相关性的影响降低到测量波动强度的单个参数。我们的随机矩阵方法提供了一种估算非平稳性导致的实际相关性影响的方法[6,7,8]。由于时间序列的不同，对时间序列的估计也不同。我们注意到，我们的研究是基于将市场状态定义为相关矩阵集群的基础上进行的，如[3]中首次提出的。然而，对于经济学文献来说，不同市场状态或市场运行区域的概念并不完全陌生，例如[15,16]。论文的结构如下。在第2节中，我们确定了1992年纳斯达克综合股票市场的市场状态-2013年，基于Medoids（PAM）算法[17]进行聚类分析，并研究其动力学。我们在第3节简要总结了随机矩阵模型的主要特征。在第四节中，我们应用其结果研究了各个市场状态的相关结构的稳定性，以及整个观察期内的相关结构动态。我们在第5.2节总结我们的发现。

市场状态：识别和动态我们首先将市场状态识别为相关矩阵的集群。我们认为，从1992年1月到2013年12月[18]的22年间，纳斯达克综合指数的K=258只股票交易，相当于5542个交易日。对于每个股票k，我们计算返回时间序列Sk（t）=Sk（t+（t）- Sk（t）Sk（t），k=1，K，（1）式中，Sk（t）是时间t时第K个股票的价格，且t是返回间隔。我们选择t为1个交易日，并计算每只股票的每日收益。时间序列之间的相关性通常通过Pearsoncorrelation CoefficientCkl=hrk（t）rl（t）i来测量- hrk（t）ihrl（t）iphrk（t）i- hrk（t）iphrl（t）i- hrl（t）i，（2）其中h。i表示尚未指定的时间窗口内的平均值。以下主要关注的对象是K×K相关矩阵C，其中包含所有回归时间序列对之间的相关系数。皮尔逊相关系数通常用于衡量依赖性。然而，有时它可能会有问题，特别是对于非线性依赖或非平稳数据。后者与财务数据极为相关，因为裂痕和波动率[19,20,21]在时间上有很大的影响。因此，相关性系数在时变趋势和波动性上的平均值，导致相关性的估计误差。为了消除这种误差，我们采用了局部归一化的方法[22]。对于每个返回时间序列，我们减去局部平均值，然后除以局部标准偏差^rk（t）=r（t）-hr（t）输入hr（t）输入- hr（t）在，（3）其中h。indenotes表示最近n个采样点的本地平均值。对于日常数据，我们使用[22]中讨论的n=13。

因此，局部归一化消除了局部趋势和变量波动，同时保留了时间序列之间的相关性。另一种方法是使用GARCH fit[23]的残差，这也会产生平稳的时间序列。我们选择localnormalization，因为它不需要任何模型假设。使用局部标准化的日收益率，我们现在获得了一组在22年观察期的不相交两个月间隔上测量的相关矩阵。为了确定市场状态，我们基于PAMalgorithm进行聚类分析，其中聚类数量通过差距统计进行估计[24]。聚类分析根据相关性结构的相似性将相关矩阵分为6类。每个集群都与一个marketstate相关联。图1（上图）显示了市场状态的时间演变。市场在不同的状态之间来回切换：有时它会在一个状态下停留很长时间，有时它会快速跳转到另一个状态，然后返回或进一步发展。在更长的时间尺度上，市场向新的州发展，而以前的州则退出。市场在各州之间切换的频率如何？图1（底部）显示了在一年的滑动窗口中计算的从一个状态跳到另一个状态的次数。经过5年的稳定期后，我们观察到市场开始在各州之间切换。每年跳跃次数最多的时期是2010年左右。在图2中，我们比较了观察期两个半周期内的跳跃次数和频率。在观察期的后半段，每年跳跃的次数增加。同时，生命周期，也就是市场在跳转到另一个状态之前保持在某个状态的时间，会减少。图3显示了观察期两部分的寿命直方图。

前半部分主要是长寿状态。在下半部分，短寿命状态的频率显著增加，而长寿命状态的频率降低。为了说明每个州的不同相关性结构，我们根据其行业对股票进行排序，并计算相应的平均相关性矩阵，见图4。我们确实认识到不同的特征相关性结构。状态1显示出整体的弱相关性。在第二州，我们在技术部门以及技术和资本品之间的相关性最强，而在第三州和第四州，金融部门的相关性最强。我们观察到，平均相关水平在各州之间增加，在州5达到最高值。在状态6中，平均相关水平降低。市场状态跳跃次数图1：顶部：1992年观察期内市场的时间演变- 2013年。每个点代表一个在两个月时间窗口内测量的相关矩阵。底部：根据一年滑动窗口计算的州与州之间的跳跃次数。第一点代表1992年1月期间的跳跃次数-1992年12月，第二点——1992年3月- 2/93等等。跳跃次数频率（a）跳跃次数频率（b）图2:1992年上半年各州之间跳跃次数的直方图（a）- 二○○二年及二○○三年下半年- 2013年为观察期。然而，金融部门仍然存在着强烈的相关性。此外，我们注意到，在几乎所有的州，医疗保健部门与市场的其他部分的相关性都很弱。3.

非平稳相关性的随机矩阵方法在我们仔细研究每个市场状态之前，我们简要总结了随机矩阵方法的主要方面，这为我们估计寿命提供了一个方便的工具月频率（a）寿命月频率（b）图3:1992年上半年生命周期柱状图（a）- 二○○二年及二○○三年下半年- 2012年为观察期。非平稳性导致的相关性波动。在参考文献[5]中，我们介绍了一种随机矩阵方法来建模金融时间序列中的时变相关性。为了方便读者，我们略述了这些显著特征。我们考虑由K个股票组成的相关市场。在每个时间t，我们可以假设K分量返回向量r（t）=（r（t），rK（t））与相关矩阵Ct呈正态分布。我们检查并验证了这个假设[4]。我们通过在每个时间t用随机矩阵xct替换相关矩阵来考虑相关的非平稳性-→ W+，（4）其中匕首表示转置。K×N矩形随机矩阵W的元素是从概率密度函数（pdf）W（W | C，N）=rN2πKN的高斯分布中提取的√德特CNexp-Ntr W+C-1W, （5） 式中，C是在整个观察期内计算的经验平均相关矩阵，不要与上述矩阵C混淆。因此，我们通过随机Wishart矩阵W+的集合对非平稳相关矩阵进行建模，该集合围绕经验相关矩阵C展开。Wishart集合的方差由经验相关矩阵确定，该经验相关矩阵由参数Nvar标度W+吉隆坡=1+CklN，（6）其中Cklis是C的第kl个元素。因此，参数N与相关性的波动强度直接相关。

N越大，C周围的波动越小，最终在极限N内消失→ ∞. 在随机矩阵集合上求平均我们推导出了相关金融市场收益的相关平均多元正态分布。平均收益pdfreadshgi（r∑，N）=√2.-N√NKΓ（N/2）pdet（2π∑）KK-N√Nr+∑-1r√Nr+∑-1rK-N（7）BIGCDCNCSEFHCPUTTR（a）状态1BIGCDCNCSEFHCPUTTR（b）状态2BIGCDCNCSEFHCPUTTR（c）状态3BIGCDCNCSEFHCPUTTR（d）状态4BIGCDCNCSEFHCPUTTR（e）状态5BICCDCNCSEFHCMCMCPUTTR（f）状态6BICCDCDCNCSEFHCPUTTR（d）状态5BICCDCDCDCDCDCNCSEFHCMCMCPUTTR（f）平均相关系数为0.50矩阵图4：（a）-（f）每个市场状态的平均相关矩阵。（g） 平均相关矩阵。行业行业图例：BI：基础行业，CG：资本货物，CD：耐用消费品，CN：非耐用消费品，CS：消费服务，E：能源，F：金融，HC：医疗保健，M：杂项，PU：公用事业，T：技术，TR：运输。其中Kν是第二类ν的修正贝塞尔函数。它仅取决于在整个观测期间评估的经验协方差矩阵∑=σCσ，其中σ是波动率σk的对角矩阵。自由参数可通过拟合数据确定。因此，我们可以直接从经验数据中评估相关性，从而提供有关所考虑观察期内相关性结构稳定性的信息。为了与经验收益进行比较，我们将收益向量r旋转为协方差矩阵的特征基，并用特征值对其分量进行归一化。将旋转向量中除一个分量外的所有分量进行积分，我们称之为r，得到hgi（r | N）=√1.-N√N√πΓ（N/2）√N~rN-1KN-1.√N~r.

（8） 我们在图5中展示了不同N值的pdf。它有指数尾，随着N的减小，它越来越占主导地位。N越小，围绕C的函数越强。对于大N，pdf接近正态分布。该限值对应于C-3-2-10.00.20.40.60.8r附近无波动的固定外壳pdfN=2N=3N=5N=50（a）-6-4-20.0010.010.1rpdfN=2N=3N=5N=50（b）图5：不同N值的平均回报pdf hgi（~r | N）图解，以（a）线性和（b）对数绘制。实线、虚线、虚线和点划线分别对应于N=2、3、5和50。我们注意到，在计算平均回报分布时，我们将波动率σ视为固定值。然而，我们也可以用随机Wishart矩阵的集合来模拟全协方差矩阵，从而得到完全相同的结果（7）。在这种情况下，N也可以解释为平均协方差矩阵∑=σCσ周围的波动强度。在下文中，我们将N解释为C周围的弯曲强度，我们将在下一节对此进行论证。4.相关性结构：稳定性和动态随机矩阵方法提供了一种工具，可以直接从经验收益分布估计给定时间间隔内相关性的波动强度。这使我们能够研究给定市场状态下相关结构的稳定性。我们通过以下方式获得每个市场状态的收益时间序列：我们获取每日收益时间序列r（t），并将其划分为不相交的两个月间隔序列。根据第2节中描述的聚类分析，我们合并了属于给定状态的所有区间。我们注意到，6个市场状态的返回时间序列长度不同。

为了与模型进行比较，我们将每个状态的返回向量旋转为协方差矩阵的特征基，并用特征值对其分量进行归一化。我们将所有成分聚合成一个单一的历史图，并将其与平均回报分布（8）进行比较。图6显示了每个市场状态（a-f）和整个22年观察期（g）的结果。从重尾经验收益分布来看，阿吉文状态的相关性不是平稳的，而是围绕平均相关矩阵波动的。在整个观察期内，我们发现一个小得多的N。在这种情况下，与单一状态相比，波动更大。通过最大似然法估计参数N，并用平均相关系数图7（a）描述每个状态。我们通过对给定状态的平均相关矩阵的有效对角相关系数ckl，k6=l进行平均来获得c。我们观察到，涵盖1992年至2002年期间的状态1和状态2相当稳定。我们发现，高N值的平均相关性较低，即较弱的波动。在状态3和状态4中，波动增加。虽然这两种状态的N值相等，但平均相关性正在上升。在2008年危机期间首次出现的州5，情况进一步恶化。它是最不稳定的状态，具有最小的N值和最高的平均相关性c。在状态6中，波动和平均相关性降低，市场稳定。为了检验平均相关性和波动之间的关系，我们查看了c和N之间的散点图，见图7（b）。我们观察到明显的下降趋势，即负相关。为了进一步研究这种关系，我们现在更仔细地观察相关结构随时间的变化。