金融时间序列和几何随机游动的记录统计

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英文标题：
《Record statistics of financial time series and geometric random walks》
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作者：
Behlool Sabir and M. S. Santhanam
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The study of record statistics of correlated series is gaining momentum. In this work, we study the records statistics of the time series of select stock market data and the geometric random walk, primarily through simulations. We show that the distribution of the age of records is a power law with the exponent $\\alpha$ lying in the range $1.5 \\le \\alpha \\le 1.8$. Further, the longest record ages follow the Fr\\\'{e}chet distribution of extreme value theory. The records statistics of geometric random walk series is in good agreement with that from the empirical stock data.
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中文摘要：
对相关序列的记录统计的研究正在取得进展。在这项工作中，我们主要通过模拟来研究精选股票市场数据的时间序列和几何随机游走的记录统计。我们证明了记录年龄的分布是幂律的，指数$\\alpha$在$1.5\\le\\alpha\\le 1.8$范围内。此外，最长的记录年龄遵循极值理论的Fr\\{e}chet分布。几何随机游走序列的记录统计与经验股票数据的记录统计一致。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Record_statistics_of_financial_time_series_and_geometric_random_walks.pdf (303.1 KB)

2022-5-6 11:10:23 上传

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关键词：金融时间序列 随机游动 时间序列 distribution Mathematical

财务时间序列和几何随机行走的记录统计*以及印度浦那411008号霍米·巴巴路M.S.萨恩塔那敏迪亚科学教育和研究所。（日期：2018年7月2日）相关系列的记录统计研究正在取得进展。在这项工作中，我们研究了精选股票市场数据时间序列的记录统计和几何随机游走，主要是粗糙模拟。我们证明了记录年龄的分布是幂律的，指数α在1.5范围内≤ α ≤ 1.8. 此外，最长记录年龄遵循极值理论的赫特分布。几何随机游动序列的记录统计与经验STOCK数据一致。PACS编号：05.40-a、 89.65。Gh，02.50。是的。引言用通俗的说法，记录与打破记录的事件有关。常见的例子包括极端天气事件，如最低或最高气温的发生[1]，奥运会和其他事件中无与伦比的体育表现[2]，重大股市崩盘等金融衰退。近年来，在全球变暖和气候变化[3]、飓风和洪水[4]以及股票市场的背景下，人们对记录统计数据的研究越来越感兴趣。在物理学中，记录统计有助于理解金属铁磁材料中畴壁的随机运动行为[5]，并作为踢转子模型中量子混沌的替代指标[6]。即使破纪录事件继续受到媒体的关注，人们对记录事件的统计研究也越来越感兴趣[7-12]。对于离散采样的随机时间序列xt，t=1,2,3。。。。N，记录事件是指比之前所有事件都大（小）的事件。

如果xT>max（x，x-1).然后，一些相关的有趣问题是记录在任何给定时间出现的可能性、特定时间窗口内的平均记录数和记录时间，即记录预计能存活多久。对于这些问题中的大多数，对于不相关的随机变量[13]，其结果都是未知的。然而，众所周知，大多数物理观测到的时间序列，例如温度、股市波动性、地震震级，都有严格的相关性[14]。此类病例的记录统计开始受到研究关注。最近，研究了相关序列的记录统计，例如随机行走者的位置[7,10,11]。随机游走是物理学中的一个基本模型，在包括股票市场动力学在内的许多领域都有应用。结果表明，如果随机游走器的增量是从连续对称函数φ（ξ）中得出的，那么平均记录数，*目前地址：印度孟买坂中英文宗400072。对于大N，与√N和平均记录hri∝ N[7]。这些结果进一步推广到具有常数漂移的随机游动的情况，并应用于股票市场[15]和多个随机游动者[11]。尽管人们对相关数列的兴趣越来越大，但很少有研究集中在实证数据的记录统计上[11,12,16]。在本文中，我们报告了经验股票数据的记录统计数据，以了解两个早期未研究的兴趣量，即（i）记录年龄的分布和（ii）最长记录年龄的分布。我们在几何随机游走模型的背景下对股票数据进行分析，该模型被认为是股票数据动力学的合适模型之一[17]。

此外，必须指出的是，GRW还有其他应用，包括作为相互作用神经元的模型[18]。在本文中，我们分析了18只股票的最高记录统计数据，其中最长的数据可用于公共领域。附录中描述了这项工作中使用的数据。记录统计的大多数方面，尤其是数量，如平均记录数、记录年龄分布、最长记录年龄等，只取决于破纪录事件在时间轴上的位置，而不取决于其大小。我们使用GeometricCrandom walk作为基准模型来研究这些量。我们发现，对于股票数据和几何随机游走序列中的记录，记录年龄r的分布与P（r）一致~ R-α、 指数为1.5≤ α ≤ 1.8和II型广义极值（Fr’echet）分布类别中最长的r曲线rmaxfall。二、记录年龄的分布几何随机游走（GRW）没有像随机游走模型在金融应用的背景中那样引起如此多的关注[17]。GRW模型由，yi+1=yiexp（ξi），i=1,2,3。N.（1）其中，ξiis高斯分布G（u，σ），平均值为u，标准偏差为σ。这意味着“log01002000 300 400Index025000RIBM0 1 2 3 4ln r-6-4-20ln P（r）HPQxOMIM（a）（b）图1。（彩色在线）（a）根据IBM股票数据计算的记录年龄（以天为单位）。（b） 三支股票的创纪录年龄分布。（b）中的最佳实线具有斜率-1.58 ±0.15.返回值Ri=log（yi+1/yi）也是高斯分布。经验股票数据的对数收益率在很大的时间尺度上近似高斯分布[17]。记录时间是记录两次连续出现之间的持续时间r，即记录存活的时间。

记录年龄分布将提供记录预计能存活多久的信息，在危险评估问题中很有用。虽然在早期的工作[7,15]中已经通过分析确定了随机游走问题的平均记录年龄，但对于记录年龄的分布还没有结果。在图1（a）中，我们展示了从IBM股票数据中获得的记录年龄。在这种情况下，不显示超过500年的记录年龄，因为它们记录了r=1附近的细节。最长的记录年龄（图1（a）中不可见）为2313天，最短为1天。因此，在这种情况下，记录年龄变化超过3个数量级。很明显，它们取决于所考虑的数据长度N，因为最长的记录时间不能超过数据长度。图1（b）显示了根据三只股票（HPQ、XOM和IBM）的股票价格计算出的可利用时间序列最长的记录时间分布。在本图所示的对数-对数图中，大部分分布符合formP（r）的幂律~ A r-α（2）与指数α≈ 1.58和A b是标准化常数，可以用调和数HN，α表示。然而，由于数据的有限大小所产生的影响，计算分布的尾部会变小。为了改进统计数据，我们使用正态分布的ξ-idrawn的GRW模拟（等式1），参数值为u=huempi=0.00031和σ=hσempi=0.015。这些参数值uemp和σemp是通过对每个股票的u和σ的单个值进行平均，从经验股票数据中计算出来的。如图2（a）所示，每个N值的记录a ge分布在10GRW re2 3 45678 9 10-15-10-50ln P（r）15001500050001 2 3 456ln r-8-40ln P（r）（a）（b）图2中是平均的。

（彩色在线）从（a）GRW模拟中获得的记录年龄分布，用于N和（b）除图1（b）所示的t软管以外的股票数据的三个值。有关详细信息，请参阅文本。（a）中的实线有斜率-1.652±0.006 andin（b）具有斜率-1.611 ± 0.051.使具体化。显然，图2（a）中的分布可以表示为等式2中的幂律，指数α=1.652±0.006。值得注意的是，它与N的值无关。与依赖于N[7,12,15]的平均记录数等数量相比，记录年龄的分布是与数据长度无关的破记录事件的特征统计特性。此外，随着N的增加，幂律的有效范围也增加，这意味着尾巴的行为是一种有限尺寸的影响。在与附录中所列股票相关的参数范围内，即0.0001≤ u ≤ 0.0005和0.01≤ σ ≤ 0.05，我们没有发现这些参数与指数α之间存在任何系统关系。根据图1（b）中显示的结果，我们可以预期，所有个体股票将显示几乎相同的α值，即使每个股票的N不同。事实上，世博会的价值在于1.5的范围≤ α ≤ 1.8对于附录中列出的股票。因此，我们将根据Appe ndix中的剩余股票数据（HPQ、XO和IBM除外）计算出的记录年限合并在一起，结果分布显示在下图中。2（b）。幂律形式（方程式2）如图所示，其值为exponentα≈ 1.611 ± 0.051.三、 最长记录年龄鉴于记录年龄是按幂律分布的，了解最长记录年龄的分布很有意义。显然，最短记录时间不能少于unity，unity是数据测量分辨率带来的限制。

同样，任何超过时间序列N长度o的记录时间都无法解析。参考文献[7,12]指出，对于对称随机行走过程，最长记录年龄与N成比例。然而，最长记录年龄的分布在前面没有讨论过。02004060τ00.20.40.60.81C（τ）XOMIBMHPQGRWFIG。3.（彩色在线）从三种不同的股票数据和GRW模拟中获得的记录年龄的自相关函数。对于GRW结果，我们使用了与IBM股票相同的N值，huempi=0.00031和hσempi=0.015。有关详细信息，请参阅文本。0123F（z）020000400060000和12 3z0123F（z）0 40000 800000N010002000300000（a）（b）（c）（d）图4。（在线彩色）从GRW模拟中获得的最长记录的比例分布（a）N=15000和（b）N=85000。实心曲线是形状参数k>0的Fr’echet分布。（c） Fr’echet分布的位置参数和（d）比例参数bn显示为N的函数。（c，d）中的实线是N>30000的对数函数。在本节中，我们展示了II型广义极值分布类中最长的记录，即Fr’echet分布[19]。这一结果的第一个线索来自于不相关的记录年龄，这是一个很好的近似值。图3显示了股票数据的自相关函数C（τ）=hxtxt+τi。它揭示了记录时代之间的关联性很弱。从GRW模拟中获得的记录年龄（参数u=huempi，σ=hσempi与图2（a）中的相似）显示出类似的行为。对于这种相关性的快速衰减，独立变量的极值理论是有效的[20]。因此，我们可以预测最长的记录年龄遵循广义的dextreme值分布。无花果

4（a，b）以缩放变量z=1+k（rmax）表示最长记录agermax的分布-aN）/bN，用于GRW模拟，参数与图2（a）相同。在这种情况下，A和B的位置和比例参数取决于N。此图显示a0。60.8 1.2 1.4z123456F（z）图5。（彩色在线）根据股票数据（实心圆）、GRW模拟（柱状图）计算出的标度长期记录年龄分布，N=1000。实线为Fr’echet分布，参数An和bNcorresp为N=1000。与Fr’echet分布[19]F（z）=bNz一致-1.-1/ke-Z-1/k，（z>0），（3）形状参数k>0。这是与图中所示结果一致的极值分布。1,2，也就是说，记录年龄P（r）的分布有一个较低的截止值，其尾部衰减为幂律。与Fr’echet Distribution达成的协议在N>>1中变得更好。图4（c，d）所示的位置参数An和标度参数bNon N的依赖性表明，Ln N函数为N>30000的数据提供了良好的表示。使用该系数和Fr’echetz分布的平均值hzi=aN+（bN/k）（Γ（1-（k）-1） ，我们得到了最长记录年龄的平均值为hrmaxi∝ln N.这是参考文献[12]中分析得出的结果，未使用极值理论。最后，我们计算了s tock数据中最长记录的分布。为了规避sho rtageof数据，我们将经验股票数据划分为长度为N=1000的窗口。表中列出了每种股票的每个窗口的最长记录年龄。将所有股票的极端记录年龄的所有此类数据组合在一起，以计算图5中显示为实心圆的（标度）分布。图中的柱状图是从10ensemble GRW模拟中获得的，N=1000，以及图2中选择的其他参数。

实线是k>0的Fr’echet分布。根据stockdata计算的分布F（z）与Fr’echet分布具有合理的一致性。这些偏差可能部分归因于股票市场数据不足，无法计算超额收益。我们还必须指出，对于z<1，GRW模拟和股票数据都显示出与Fr’echet分布的明显偏差。四、 总结与讨论总之，我们分析了记录统计研究中两个感兴趣的数据量，即记录年龄的分布和长记录年龄。这些结果是基于对18只股票的分析得出的，这些股票的数据在公共领域是可用的。我们还研究了几何随机游走序列作为股票时间序列背景下合适的参考模型。对于股票数据和GRW模拟，记录年龄以幂律分布，指数在1.5范围内≤ α ≤ 1.8. 记录的年龄是不相关的，非常接近。极值理论的Fr’echets分布很好地描述了最长记录。这项工作中给出的结果也适用于标准随机化步行器位置的记录统计。这是可能的，因为随机游动和GRW通过一个简单的时间无关变换相关联。记录年龄分布P（r）在数值误差范围内与N无关，并不排除平均记录年龄与N相关[12]。记录年龄几乎不相关意味着，即使可以确定平均记录年龄，根据历史数据预测下一个记录事件发生之前的时间长度也不太容易[7]。

对于N>>1，最长的记录时间是Fr\'echet分布，对于较小的N，存在明显的偏差。虽然对更长和更大的股票数据组合进行N分析，将得出幂律指数α以及最长记录时间分布的更好估计，但通过分析获得这些结果将是有趣的。附录：分析中使用的数据在这项工作中，我们使用以下股票的每日收盘价，经拆分和股息修正。这些都可以从财政部公开获取。雅虎。通用域名格式。标准股票符号用于表示股票名称。股票年份数据交换股票IBM 1962-2012 12764 NYSEGIS（通用磨坊公司）1983-2012 7358 NYSEAAPL（苹果公司）1984-2012 7067 NASDAQXOM（埃克森美孚公司）1970-2012 10777 NYSEFP。宾夕法尼亚州（道达尔股份有限公司）2000-2012年3435巴黎通用动力公司1977-2012年8600纽约通用电气公司1962-2012 12764纽约通用电气公司1962-2012 12747纽约新通电报公司1994-2013 4656 NYSESNP（中国石油天然气集团公司）2000-2013 3124 NYSETM（丰田汽车公司）1993-2013 5021 NYS EVOW。DE（大众汽车公司）2000-2013 3423 XETRACVX（雪佛龙公司）1970-2013 10910 NYSEWMT（沃尔玛商店公司）1972-2013 10238 NYSEF（福特汽车公司）1977-2013 9141 NYSECOP（康菲石油公司）1982-2013 7878 NYSEBRK。A（伯克希尔哈撒韦）1990-2013 5825纽约证券交易所（英国石油公司）1988-2013 6445纽约证券交易所[1]克里斯蒂娜·德科奇尼和C.F.汤普金斯，世界资源研究所概况介绍（2013）。www.wri。org/publication/fact-sheet-2012-year-recordbreaking-extreme-weather-and-climate[2]J.J.Hernandez Gmez，V.Markina和R.W.Gomez，欧洲。J.Phys。34, 1227 (2013); 另请参见。有线。com/playbook/2012/08/physics跳远线性回归；D.Gembris，J.G.Taylor和D.Suter，J.Appl。《统计》第34529页（2007年）。[3] S.拉姆斯托夫和D.库莫，PNAS 10817905（2011）。[4] T.C.彼得森、M.P.霍林、P.A.斯托特和S。