金融时间序列的带截尾的超统计

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英文标题：
《Superstatistics with cut-off tails for financial time series》
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作者：
Yusuke Uchiyama and Takanori Kadoya
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Financial time series have been investigated to follow fat-tailed distributions. Further, an empirical probability distribution sometimes shows cut-off shapes on its tails. To describe this stylized fact, we incorporate the cut-off effect in superstatistics. Then we confirm that the presented stochastic model is capable of describing the statistical properties of real financial time series. In addition, we present an option pricing formula with respect to superstatistics.
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中文摘要：
金融时间序列的研究遵循厚尾分布。此外，经验概率分布有时在尾部显示截止形状。为了描述这个程式化的事实，我们在超级统计学中加入了截止效应。然后，我们确认所提出的随机模型能够描述真实金融时间序列的统计特性。此外，我们还提出了一个关于超统计的期权定价公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Superstatistics_with_cut-off_tails_for_financial_time_series.pdf (163.71 KB)

2022-6-10 17:38:26 上传

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关键词：金融时间序列 时间序列 distribution Quantitative Multivariate

具有金融时间序列截尾的超级统计IC Yusuke Uchiyamaa，b，Takanori KadoyaaaMAZIN Inc.，Toshima ku，170-0005 Tokyo，JapanbFaculty of Engineering，Information and Systems，University of Tsukuba，Tsukuba，Ibaraki，305-8573 JapanAbstractFinancial time series已被调查，以遵循厚尾分布。此外，经验概率分布有时会显示其尾部的切割形状。为了描述这一风格化的事实，我们将切割效应纳入了超级统计学。然后，我们确认所提出的随机模型能够描述真实金融时间序列的统计特性。此外，我们还提出了一个关于超统计的期权定价公式。关键词：金融时间序列、随机模型、超统计、期权定价1。介绍在股票、债券、商品和外汇等金融市场中，价格会随机波动。捕捉金融时间序列波动的本质对于工业和私人投资者设计交易策略都很有意义。因此，许多人试图对金融时间序列进行精确建模。布朗运动作为一种随机模型被引入金融领域，因为人们认为，时间序列也遵循高斯统计定律[1，2]。然而，实际的金融时间序列显示出概率密度函数（PDF）的厚尾特征【3】。厚尾PDF被认为是异常的，通常在复杂系统中观察到。这种异常现象是复杂系统中参与者多体相互作用的结果。金融市场也可以被认为是交易者的多主体互动。事实上，受交易策略、交易员情绪、提交给2018年9月14日arXiv新闻的宏观经济预印本等因素的影响，资产价格会发生变化。

金融时间序列也显示出巨大的波动，被称为程式化事实[8]。基于这一想法，超统计学被发展为快速和慢速随机变量的叠加。非扩展统计力学的动力学基础可以用超统计学来描述。随后，通过超统计方法识别了各种系统中的异常波动【6，7】。就金融而言，由于超统计的结果，回报的波动性会发生分歧[9]。然而，回报的经验波动率被估计为一个确定值。在本文中，我们在超级统计学中加入了一个切割效应来描述金融市场中的程式化事实。所提出的随机模型显示了带有切割效应的尾部，然后试图拟合股票指数的波动。此外，我们还利用所提出的资产价格回报率随机模型推导了期权定价公式。2、随机模型2.1。复杂系统中的超统计涨落由多尺度动力学组成。基于这一想法，贝克引入了SuperStatistics，这是统计学Superposition的缩写。超统计学的关键概念是局部均衡，其中缓慢的随机变量被视为常数，而快速的随机变量则被视为常数。在这种情况下，随机微分方程（SDE）表示快速随机变量的动力学，其中慢速随机变量作为SDE的参数。奥恩斯坦-乌伦贝克（OU）过程因其平衡分布为高斯分布，常被用作超统计的SDE。高斯分布的统计结果很容易扩展为非高斯统计。随机变量X的OU过程是表示为dx=-γXdt+σdW（1），其中γ和σ为正实参数[10]。

公式（1）中OU过程的福克-普朗克方程给出了高斯分布作为局部平衡[11]：p（x |β）=rβπexp(-βx），（2），其中β是一个缓慢的随机变量，称为逆温度。请注意。（2） 是关于β的条件高斯分布。当β的PDF为f（β）时，Bayes定理提供了X byp（X）=Z的边际分布∞p（x |β）f（β）dβ。（3） f（β）的具体形式由经验数据a确定【9，12】。伽马、逆伽马和对数正态分布通常用作f（β）的PDF，f（β）由低振幅累积量分类【13】。对于金融时间序列，逆温度的缓慢变化与伽马分布一致【9、12、18、19】。在公式（2）中插入条件高斯分布，伽马分布f（β）=baΓ（a）βa-1exp(-bβ）（4）转化为等式（3），得到边际PDF asp（x）=ba√2πΓ（a+）Γ（a）（b+x）a+，（5），其中a和b是正实参数，而Γ（·）是伽马函数【17】。请注意，式（5）中PDF的方差为最终价值ifa≥但对于经验数据，有时会观察到a<1的情况。2.2. 切割效应为了解决有限方差的问题，我们将切割效应引入超级统计学。假设逆温度分解为常数和随机部分，则等式（2）中的条件高斯分布为comesp（x |β）=rβ+βπexp-（β+β）x（6） β和β分别为常数和随机参数。对βgivesp（x）实现叠加=√πexp-βxZ∞pβ+βexp-βxf（β）dβ。（7） 这里可以看到，带β的高斯项保持等式（7）中的thePDF方差为有限，即使被积函数有代数阶项。常数参数β表示自β以来切割效应的大小→0导致等式中的普通超统计。

(3) .如果r和om参数β遵循式（4）中的伽马分布，则式（7）中的边际PDF是具体获得的asp（x）=ba√πΓ（a）Γg一-; β（x+b）经验值(-βx）（x+b）a+（8），广义伽马函数由Γg（z，λ；v）=z定义∞（ξ+v）-λξz-1e级-ξdξ，（9），其中Re（z）>0[14]。事实上，公式（8）中PDF的方差计算为Ashxi=bΓ（a）Γg（a，-1.bβ），（10），然后是一个确定值（见附录a）。因此，本文提出的模型inEq。（8） 适用于描述复杂系统中没有有限方差问题的波动。3、实证数据分析为了验证具有切效应的超统计学，我们对金融时间序列标准普尔500指数进行了实证数据分析。与之前针对金融时间序列的工作一样，我们使用价格数据的对数回归来消除趋势成分，然后估计经验PDF。在图1中，黑圈是标准普尔500指数从1992年到1994年每分钟的经验平均值和方差归一化的经验PDF，实线是公式（8）中的PDF，虚线是高斯分布，虚线是公式（5）中的PD F。图1中每个PDF的参数通过最大似然法估计。经证实，经验PD F是一种脂肪尾，具有其他切割效果。式（5）中的PDF很好地识别了顶部和ta IL上的经验PD F的形状，而其他PDF则无法精确捕捉分布的整体形状。因此，所提议的随机模型抓住了标准普尔500指数波动的本质-20-15-10-5 0 5 10 15 20 x1010101010-6-5-4-3-2-10P（x）图1:1994年至1999年标准普尔500指数的对数回归PDF黑色圆圈表示经验PDF。实线是公式（8）中的PDF，带有。a=0.904，b=0.571，β=0.0252虚线为高斯分布。

虚线是式（5）中的PDF。在这种情况下，我们采用伽马分布作为f（β）。另一方面，其他PDF也适用于描述金融时间序列的波动。据报道，巴西股票指数Ibovespa指数的对数回报率的经验PDF显示出与切分效应呈指数相关的尾部【15】。在方程中，可以使用反gammadistribution作为f（β）。（3） o r（7）用于识别故障。期权定价模型金融时间序列的一个有用应用是期权定价，由Black和Scholes[16]建立。在他们的工作中，几何布朗运动被用作资产价格模型。然后将到期日按执行价购买资产的欧洲看涨期权的价格作为Black-Scholese方程的闭式解导出。然而，在前一节中观察到，经验对数回归过程不符合高斯分布。在此，我们将当前的随机模型应用于欧式看涨期权的定价。假设资产价格由St=eYtS给出，其中Yt是由Yt=lnSt+t定义的资产价格的对数返回值- lnSt公司。假设由布朗运动asdY=udt来模拟Ytisas的演化+√2βdW，（11），其中u为常数参数，β为慢Random参数。由于β的波动速度慢于Yt，因此我们可以获得无风险资产Pt=e（r+2β），无风险利率为r，而β似乎是常数。然后我们在0中构造aportfolio V（Yt，t）≤t型≤T asV=φSt+ψPt，（12），其中φ（T）和ψ（T）是加权系数。由于假设投资组合的组成部分在很短的时间段内保持不变，因此等式（12）满足以下不同形式：dV=φdSt+ψdPt。（13） 同时，公式（12）的It^o公式提供了dV=u -2β五、Y+2β五、Y型+五、t型dt公司+√β五、YdW。

（14） 比较等式。（12） 带（13），设置φ=SeY五、Y、 （15）我们获得投资组合的以下偏微分方程：五、t+r五、Y-2β五、Y-r+4βV=0，（16），这是关于对数返回Yt的Black-Scholes方程。期权定价问题被形式化为等式（16）的边值问题。这里我们考虑具有以下边界条件的欧式看涨期权：limY→-∞V（Y，t）=0，（17）石灰→∞V（Y，t）=SeY，（18）V（YT，t）=max{SeYT- K、 0}，（19），其中K是执行价。在设置中，方程（16）的解为v（Y，t）=e-r（T-t） Z∞-∞e-4β（T-t） G（Y- YT，T- t） V（YT，t）dYT（20），其中G（Y，t）是附录B中导出的格林函数。这是关于β的一个传统随机变量，因此重写为V（Y，t |β）。给定β为f（β）的PDF，Bayes定理提供v（Y，t）=Z∞V（Y，t |β）f（β）dβ（21）=e-r（T-t） Z∞-∞F（Y- YT，T- t） V（YT，t）dYT，（22），其中F（Y，t）是由F（Y，t）=Z定义的整数核∞e-4β（T-t） G（Y，t- t |β）f（β）dβ。（23）当f（β）是伽马分布或伽马逆分布时，可获得式（23）的闭合形式，如附录C所示。此外，将式（23）中的β替换为β+β，我们可以利用式（7）中引入的对数回归模型。结论我们将超统计学中的切割效应作为一个随机模型，解决了有限方差问题。在伽马分布后的随机参数情况下，给出了模型的解析表示。经证实，高斯项将PDF的方差保持为有限，这与真实世界的经验统计结果一致。

事实上，该模型被证实能够密切识别标准普尔500指数的井况。此外，欧式看涨期权的公式是从Black-Scholes方程和所提出的资产价格模型推导出来的，这是普通期权定价模型的自然扩展。如果随机参数遵循伽马分布或反伽马分布，则可以获得闭合形式，而数值积分应使用其他PDF实现。本文提出的方法可以应用于具有适当数学技术的奇异选项，这将是我们的下一个挑战。众所周知，超级统计学在自然科学、社会科学和工程等各个领域都显示出了强大的力量。因此，所提出的模型也可用于对其他系统中的随机现象进行统计分析。附录A.公式（8）中PDF的方差由于公式（3）中的PDF是对称的，方差为第二个力矩hXi=Z∞-∞xp（x）dx（A.1）=Z∞-∞xZ公司∞p（x |β）f（β）dβdx=Z∞Z∞-∞xp（x |β）dxf（β）dβ=Z∞hXiβf（β）dβ，其中hXiβ是X相对于β的条件方差。公式（6）中的高斯分布的条件方差计算为ashXiβ=（β+β）-1，（A.2）式（4）中的伽马分布和条件方差给出式（10）中p（x）的方差。为了证明公式（10）中的方差是有限的，我们估计了广义伽马函数，该函数用Γg表示一-; β（x+b）=Z∞（η+bβ）-1ηa-1e级-ηdη，（A.3），其中x转换为√η. 当a>1时，我们对概率测度e使用Schwartz不等式-ηasZ∞（η+bβ）-1ηa-1e级-ηdη≤Z∞（η+bβ）-2e类-ηdηZ∞η2（a-1） e类-ηdη.（A.4）右手侧的积分分别按z计算∞（η+bβ）-2e类-ηdη≤Z∞（η+bβ）-2dη（A.5）=（bβ）-3和Z∞η2（a-1） e类-ηdη=Γ（2a- 1) . （A.6）因此，我们得到∞（η+bβ）-1ηa-1e级-ηdη<∞.

（A.7）另一方面，当0<A<1时，积分的计算值为z∞（η+bβ）-1ηa-1e级-ηdη≤Z∞（η+bβ）-1ηa-1dη（A.8）=（bβ）A-1B（a，1- a） ，其中B（·，·）是β函数[17]。附录B.公式（16）中变量变化的格林函数，s=T- t、 （B.1）X=Y+rs，（B.2）U（X，s）=e（r+4β）（t-t） V（Y，t），（B.3）式（16）导出了扩散方程，Us=4βU十、 （B.4）因此，式（B.4）的G（X，s）函数由高斯函数给出。式（16）的格林函数的具体形式可通过asG（Y，T）得到- t） =sβπ（t- t） 经验值-β（Y+r（T- t） ）t- t型. （B.5）附录C.式（23）中F（Y，t）的闭合形式，伽马分布或伽马逆分布式（B.5）式（23）中的积分核F（Y，t）重写为F（Y，t）=Z∞sβπ（T- t） 经验值-（Y+r（T- t） ）βt- t型-T- t4βf（β）dβ。（C.1）为了实现式（C.1）中的积分，我们利用修改后的贝塞尔函数asKν（z）的积分表示=zνZ∞t型-（ν+1）经验-t型-z4t型dt（C.2），条件是| argz |<π[17]。在β服从伽玛分布的情况下，f（β）=baΓ（a）βa-1exp(-bβ），（C.3）式（C.1）为f（Y，t）=Γ（a）rπb（T- t）aζaK-一-（ζ） ，（C.4），其中ζ由ζ（Y，t）=[Y+r（t- t） ]+b（t- t） 。（C.5）同样，当β遵循逆伽马分布时，f（β）=baΓ（a）β-一-1exp-bβ, （C.6）式（C.1）为asF（Y，t）=（2b）aΓ（a）sπ（t- t） ξ-一-灵魂-（η） ，（C.7），其中ξ和η分别由ξ（Y，t）=[Y+r（t- t） ]（t- t） （t- t+b），（C.8）η（Y，t）=rT- t+bT- t | Y+r（t- t） |。（C.9）参考文献【1】L.Bachelier，Th’rie de la sp'eculation，Ann。Sci。标准列。啜饮。17(1900), 21-86.[2] P.A.Samuelson，国家税务定价理论，印度管理。修订版。10 (1965), 13-31.[3] B.Mandelbrot，《某些投机价格的变化》，J.Bus。36(1963), 394-419.[4] C.Beck和E.G.D.Cohen，《超级统计学》，Phsyica A 322（2003），267-275。[5] C。

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