状态相关极限序书的泛函极限定理

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A Functional Limit Theorem for Limit Order Books with State Dependent
  Price Dynamics》
---
作者：
Christian Bayer and Ulrich Horst and Jinniao Qiu
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
  We consider a stochastic model for the dynamics of the two-sided limit order book (LOB). Our model is flexible enough to allow for a dependence of the price dynamics on volumes. For the joint dynamics of best bid and ask prices and the standing buy and sell volume densities, we derive a functional limit theorem, which states that our LOB model converges in distribution to a fully coupled SDE-SPDE system when the order arrival rates tend to infinity and the impact of an individual order arrival on the book as well as the tick size tends to zero. The SDE describes the bid/ask price dynamics while the SPDE describes the volume dynamics.
---
中文摘要：
我们考虑一个随机模型的动态双边限制订单簿（LOB）。我们的模型足够灵活，可以考虑价格动态对数量的依赖。对于最佳买入价和卖出价以及常备买入和卖出量密度的联合动力学，我们推导了一个函数极限定理，该定理表明，当订单到达率趋于无穷大，单个订单到达对账面的影响以及刻度大小趋于零时，我们的LOB模型在分布上收敛到一个完全耦合的SDE-SPDE系统。SDE描述了买入/卖出价格动态，而SPDE描述了成交量动态。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
--

---
PDF下载：
--> A_Functional_Limit_Theorem_for_Limit_Order_Books_with_State_Dependent_Price_Dynamics.pdf (490.57 KB)

2022-5-6 06:02:14 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Mathematical Quantitative distribution QUANTITATIV mathematica

具有状态相关价格动态的极限订单簿的函数极限定理+CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Quabstract。我们考虑一个随机模型的动态双边限制订单簿（LOB）。我们的模型足够灵活，可以考虑价格动态对数量的依赖。对于最佳买入价和卖出价以及常备买入和卖出量密度的联合动力学，我们推导出了一个函数极限定理，该定理表明，当订单到达率趋于完整，单个订单到达对账面的影响以及勾号大小趋于零时，我们的LOB模型在分布上收敛到一个完全耦合的DE SPDE系统。SDE描述了买入/卖出价格动态，而SPDE描述了成交量动态。关键词：极限指令簿，函数极限定理，随机偏微分方程主题分类：60B11，90B22，91B701。简介在现代金融市场中，几乎所有交易都是通过限额订单簿（LOB）结算的。LOB是由交易所或专家维护的等待执行的未执行订单的记录。根据一系列优先规则，未执行的（长期）订单针对进入的市场订单执行。大多数交易所以更好的价格水平下的订单优先于以竞争力较低的价格水平提交的订单（“价格优先”），而具有相同价格优先权的订单通常（尽管并非总是）以先进先出的方式执行（“时间优先”），从数学角度来看，LOB因此可以被视为高维复杂优先级排队系统。在本文中，我们提出了一个概率框架，在这个框架内，从单个订单到达动力学推导LOB的函数缩放限制。我们假设订单到达和取消符合泊松动力学，与最佳出价和要价相关。

通过选择标度，价格遵循一个扩散过程，而体积密度函数可以通过一个与价格过程耦合的有限维SDE来描述。作为特例，我们得到了绝对连续（时间）体积密度函数的大数型标度定律。+感谢SFB 649“经济风险”的财务支持。我们感谢各个机构的研讨会和会议参与者提供的有用意见和建议。这篇论文是在霍斯特访问比勒菲尔德大学跨学科研究中心时完成的。感谢您的盛情款待。本文的早期版本名为《极限序书的泛函极限定理》。我们注意到，一些交易所也使用基于按比例分配的匹配算法。2克里斯蒂安·拜耳、乌尔里奇·霍斯特和金鸟丘1。1.文献综述。有大量关于LOB的经济和计量经济学文献[2、4、12、8、10、29]，其中非常强调LOB工作的现实建模。同时，只有少数作者从更概率的角度分析了LOB动态。Kruk[22]研究了一个具有多个价格水平的排队论LOB模型。对于两个价格水平的特殊情况，在他的模型中，书的顶部的长期买卖订单的标度数弱收敛于第一象限的半鞅反映的二维布朗运动。Cont、Stoikov和Talreja[6]提出了一个LOB模型，其中LOB动态遵循一个遍历马尔可夫过程，包含许多次级价格水平。Cont和Delarard[5]为马尔科夫限价指令市场建立了一个比例限制，在该市场中，账簿的状态由最佳买入价和卖出价以及这些价格下的流动性（“账簿顶部”）表示。

在重交易条件下，他们的买卖队列长度由第一象限的二维布朗运动给出，并在边界处反映到内部，类似于[22]中两个价格水平的扩散极限。当研究选定价格水平[5,22]下金融价格波动或联合价格和交易量波动的标度极限时，该极限自然可以通过普通微分方程或有限维扩散过程来描述，具体取决于标度的选择。考虑到整本书的动态性，数学分析更具挑战性。据我们所知，Osterrieder[28]是第一个将LOB建模为度量值差异的人。Horst和Paulsen[14]是第一个证明完整订单的缩放限制的人。随着规模的选择，产量和价格的联合动态收敛到一个耦合系统，该系统由两个描述限制产量动态的偏微分方程和两个描述限制价格动态的常微分方程组成。[11]中分析了一个相关模型，该模型在近似序列中具有依赖于状态的价格，但在极限中具有恒定的价格，其中还根据实际LOB数据对缩放极限进行了经验测试。Lakner等人[15]推导了单边限价指令簿模型的缩放极限，假设平均投资者将其限价指令置于当前最佳卖出价之上。[16]分析了相反的情况，即订单以更高的概率排列在排列中，作者使用简单的单边极限订单簿模型和分支随机游走之间的耦合来描述扩散极限。Lasry和Lions[25]从平均场博弈的角度出发，也通过一个耦合的PDE模型和价格给出的界面来描述LOB；另见[26]。

Keller Ressel and M¨uller[21]将LOB描述为一个由随机界面（随机斯特凡问题）分隔的SPD耦合系统，该界面可以再次解释为价格。尽管大量经验证据表明，订单簿的状态，尤其是订单簿顶部的订单不平衡，对订单动态有着显著的影响（见[2,4,12]和其中的参考文献），但大多数限价订单簿模型中的订单流要么遵循独立的泊松动态，要么仅取决于价格过程，如[11,14,15,16]所示。值得注意的例外是papersby Abergel和Jeddi[1]，其中使用了Hawkes型动力学，Huang等人[17]和Huang andRosenbaum[18]研究了一般马尔可夫订单模型的遍历性，并推导出了该一般框架中重新标度的价格过程的影响，Horst和Kreher[13]获得了具有完全状态相关事件动力学的LOB的确定性标度极限。在本文中，我们考虑了全LOB动态的差异极限，包括价格和交易量，其中价格动态取决于常备交易量。1.2. 我们的贡献。正如[14]中所述，我们的限价结果需要两个时间尺度：一个用于在价差外取消和限价下单的快速时间尺度，另一个相对缓慢的时间尺度，用于具有状态相关价格动态+市场订单到达和价差内限价下单的功能性限价定理。不同的时间尺度说明了一个有据可查的事实，即安置和取消的发生频率远高于价格变化。例如，Horst和Paulsen[14]使用2014年1月2日的龙虾数据计算了苹果（0.016）、Ebay（0.02）、Facebook（0.02）和微软（0.002）收到订单触发价格变化的经验概率。

[11]中报告了美国股票银行的类似顺序估计。在我们的模型中，价差中的市场订单和限价订单会触发价格变化。我们将这些订单类型称为活动订单。活跃订单成为市场订单或在账簿的买入或卖出端下单的概率取决于常备量。限价定单除了差价和取消常备量不会导致价格变化。我们将这些订单类型称为被动订单。被动订单分别根据与随机金额（放置）和提议（取消）的最佳出价和要价之间的独立泊松-阿兰多姆距离到达。在这个框架中，经过适当的缩放后，价格过程遵循扩散过程，其系数取决于固定体积，体积密度函数（在绝对坐标中）是价格过程的确定性和绝对连续（在时间上）函数。特别是，常备量中的所有波动都源于价格过程中的波动。虽然这种比例已经导致了现实的LOB限制动态，但我们似乎希望考虑到不源自价格波动的常备量的额外波动。我们的框架足够灵活，可以考虑这种情况。在一个既有正位置又有负位置的模型中（加性取消），我们可以允许位置与一个公共因子相关，该公共因子转化为驱动体积动力学的加性鞅部分。虽然“公共因子扩展”应该被视为一种主要是数学扩展，但它确实进一步阐明了时间尺度在我们的模型中的重要性。

我们的分析表明，即使是相关加性量波动的简单情况，也需要某种形式的“共同因素”，以此来调节量波动，其变化的时间尺度比单个订单到达动态和取消慢得多。当然，许多其他的体积波动建模方法都是可以感知的。我们的主要结果表明，当主动订单到达率按因子n缩放时，被动订单到达率按因子n缩放，蜱虫大小按因子1缩放/√n、 未来订单（取消的数量）的规模（比例）按系数1/n缩放，公共因素规模的影响按系数1/n缩放，然后价格过程收敛到SDE，绝对坐标中的体积密度函数收敛到有限维SDE（相对坐标中的SPDE）asn→ ∞. 我们使用的收敛概念是样本路径为R×（H）的c`adl`ag随机过程类的弱收敛-1） H在哪里-1分解Sobolev有序空间-1.主要挑战是证明H-1.-有价值的体积过程。为了证明紧密性，我们将成交量过程分解为三个组成部分，分别描述了总配售、取消比例以及公共因素在不同价格水平下的影响。我们为这些过程中的每一个建立范数界限，然后从中我们推断体积过程作为一个整体满足标准的紧密性标准。为了刻画极限，我们首先证明了价格和成交量过程的鞅部分的联合收敛。

随后，我们确定了集合放置和取消的极限，并使用价格和鞅部分的C-紧性（即连续极限过程的紧性）来证明所有过程联合收敛到所需极限。4 CHRISTIAN BAYER、ULRICH HORST和JINNIAO Qiuth主要观察结果是，在价格过程的温和假设下，保证了批量过程的紧密性；它不要求价格对数量有任何特定的依赖性。特别是，它不要求价格过程独立于数量。限制成交量动态的表征要求成交量和价格沿子序列联合收敛。如果价格过程是C紧的，这是可以保证的，这一条件也不需要对价格和数量之间的相互作用进行任何特别的估算。如果限价过程是已知的，因为近似价格过程与[14]中的量无关，或者限价过程与[11]中的状态无关，然后，存在限价交易过程，价格和交易量的联合动态是完全特定的。在状态依赖下增加的困难是确定限价/交易量过程。为此，我们首先将限制量动态描述为价格过程中未知但存在的薄弱累积点的函数。在此部分特征化结果的基础上，我们充分刻画了价格和体积的联合演化。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们根据缩放参数定义了一系列limitorder书籍，陈述了主要结果，并给出了证明的概要。第3节专门分析体积动力学。第4节描述了价格/数量过程的联合限制。

随机过程极限表征的一般结果、一般性结果和一些技术证明收集在附录中。符号惯例。对于任何（确定性或随机）函数u:[0，∞) ×R→ 我们表示byu（t）：R→ R函数x7→ u（t，x）代表t∈ [0, ∞). 除非另有说明，（Lp，k·kLp）（p∈ [1, ∞])指空间Lp（R，B（R），dx）。对于σ-代数，Lis配备了通常的内积h·，·i 我们要写。此外，所有随机变量都定义在公共概率空间上(Ohm, F、 P）。我们可以用X（t）或X来表示一个随机过程X在t时刻的值≥ 0.2. 模型和主要结果2。1.离散模型。在本节中，我们将介绍一系列具有状态相关价格动态的连续时间订单模型。第n个模型中可提交订单的价格水平集为{xnj}j∈Z.我们把xnj:=j·xj∈ Z在哪里xnis是指刻度大小，即连续两个价格水平之间的最小差异。时间t时订单簿的状态≥ 0由一对给定Bnt，蚂蚁与Bnt≤ 在不同的价格水平上，最好的出价和最低的价格，以及买入和卖出限制订单数量。

使用步骤函数vb/a:[0，∞) → R、 vnb（t，x）：=Xj∈Zvn，jb，t[xnj，xnj+1）（x），vna（t，x）：=Xj∈Zvn，ja，t[xnj，xnj+1）（x）（x）∈ R） 解释为可用于出售j∈ N低于当时的最佳出价≥ 0由zbNT+（j+1）给出xnBnt+jxnvnb（x）dx=xn·vn，Bnt/xn+jb，一个函数极限定理，用于具有状态相关价格动态的极限订单+而可用于购买j的流动性∈ N比当时的最佳要价高出一点的是拜占庭+（j+1）xnAnt+jxnvna（x）dx=xn·vn，蚂蚁/xn+ja。我们选择的符号允许对称地处理书籍的两面，因此简化了结果的呈现。我们主要感兴趣的是相对坐标下的体积密度函数，分别表示为dunb（t，x）：=vnb（t，Bnt+x）和ua（t，x）：=vna（t，Ant+x）。也就是说，unb（t，j·xn）表示低于最佳出价和una（t，j）的流动性持续j个刻度·xn）表示流动性高于最佳要求。我们称{unb/a（t，x）：x≥ 0}时间t的可见书和{unb/a（t，x）：x<0}影子书≥ 投标书（b）的第0页，分别为本书的（a）页。可见的书收集等待执行的命令。皮影书规定了如果下一次发生这样的事件，将放入展区的卷数。由于可能会发生几次连续的排列，影子簿在整个负半线上定义。它将经历类似于可视书的随机波动，是描述排列位置的方便工具。其精确工作将在下文第2.1.1节中进一步说明。关于皮影书的讨论，请参见[13,14]。自始至终，指数b和a分别指的是买卖双方的交易量。我们经常使用索引rto来指代书的任何一面。