财富分配模型研究

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英文标题：
《Study of a model for the distribution of wealth》
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作者：
Yves Pomeau and Ricardo Lopez-Ruiz
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  An equation for the evolution of the distribution of wealth in a population of economic agents making binary transactions with a constant total amount of \"money\" has recently been proposed by one of us (RLR). This equation takes the form of an iterated nonlinear map of the distribution of wealth. The equilibrium distribution is known and takes a rather simple form. If this distribution is such that, at some time, the higher momenta of the distribution exist, one can find exactly their law of evolution. A seemingly simple extension of the laws of exchange yields also explicit iteration formulae for the higher momenta, but with a major difference with the original iteration because high order momenta grow indefinitely. This provides a quantitative model where the spreading of wealth, namely the difference between the rich and the poor, tends to increase with time.
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中文摘要：
最近，我们中的一位（RLR）提出了一个公式，用于描述以恒定的“货币”总量进行二元交易的经济主体群体中财富分配的演变。这个方程的形式是财富分布的迭代非线性映射。平衡分布是已知的，形式相当简单。如果这种分布是这样的，在某个时候，分布的动量越大，人们就可以准确地找到它们的进化规律。交换定律的一个看似简单的扩展也会产生更高动量的显式迭代公式，但与原始迭代有很大区别，因为高阶动量无限增长。这提供了一个量化模型，其中财富的扩散，即贫富差距，往往会随着时间的推移而增加。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Adaptation and Self-Organizing Systems        自适应和自组织系统
分类描述：Adaptation, self-organizing systems, statistical physics, fluctuating systems, stochastic processes, interacting particle systems, machine learning
自适应，自组织系统，统计物理，波动系统，随机过程，相互作用粒子系统，机器学习
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Study_of_a_model_for_the_distribution_of_wealth.pdf (150.44 KB)

2022-5-6 12:24:01 上传

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关键词：财富分配 distribution Quantitative Applications Transactions

财富分配模型的研究我们中的一位（RLR）最近提出了一个关于在进行“货币”总量恒定的二元交易的经济主体群体中财富分配演化的方程。该方程采用财富分布的迭代非线性映射形式。平衡分布是已知的，形式相当简单。如果这种分布是这样的，在某个时候，分布的动量越大，人们就可以准确地找到进化的规律。对交换定律的一个看似简单的扩展也得到了更高动量的明确迭代公式，但与原始迭代有很大区别，因为高阶动量不确定地增长。这提供了一个量化模型，其中财富的扩散，即富人和穷人之间的差异，往往会随着时间的推移而增加。1简介本次交流是在2013年9月的Noma-13会议之后进行的，这是一次愉快而富有成果的会议，我们中的一位（YP）有机会听到下面考虑的模型[1]。该模型描述了成对做生意的个人群体中财富分配的演变。每一次变革之后，两个人之间都会进行资金再分配，不会出现完全的损失或收益。这个模型的一个特点是“Z模型”（Z代表萨拉戈萨），它是一个简单的平衡解（写在下面）。

根据其演化规律，该平衡解是稳定的，因此吸引了大多数（如果不是所有）初始条件满足的Yves Pomaud美国亚利桑那大学图森分校数学系电子邮件：pomeau@lps.ens.frRicardo西班牙萨拉戈萨萨拉戈萨大学L’opez Ruizdi计算机科学与BIFI系电子邮件：rilopez@unizar.es2Yves Pomeau和Ricardo L’opez-Ruizconvergence条件（有限总概率和有限总财富）[2]。此外，H-定理对该模型有效[3]。我们在下面展示，财富的高动量（均方值、平均立方值等）的演化可以精确计算，显然是在这些动量存在的条件下。我们还考虑动量不收敛于给定顺序的情况。一位匿名裁判指出，一种叫做“q模型”的东西的等式与Z模型相似。这些q模型旨在描述与相邻固体颗粒接触的随机固体颗粒中的应力分布，其方式是，颗粒重量和其上方颗粒重量的向下推力在其下方相邻固体颗粒之间或多或少随机分布。在该理论中，Z模型的时间等效于垂直方向，时间迭代将沿着桩向下移动，以确定颗粒上的应力分布。尽管这个q模型的方程看起来像Z模型的方程，但它们的物理意义却大不相同。感兴趣的读者可以在[4]中发表的课堂讲稿参考列表中获得关于该主题的论文列表。

此外，为了得到一个类似Z模型的逐行迭代方程，Q模型必须假设同一水平行上的珠子上的垂直力在统计上是独立的，这可能需要在最后得到类似于超双曲系统的东西，尽管正则弹性的柯西-泊松方程是椭圆的。由于其简单的数学结构，有必要通过保持动量精确解的可能性来扩展Zmodel。这可以通过一个简单的扩展来实现，保持总概率和总财富守恒的基本性质。尽管这种改进的Z模型看起来与原始模型非常相似，并且随着参数的变化而不断缩小，但它具有完全不同的特性。特别是，它显示了财富随时间的推移而增加，这是一个在原始模型中没有的相当意外的属性。这就是第三节的问题。在这方面，正如下文所研究的，财富的不平等性只是这个大课题的一小部分，但至少可以尝试定量描述它。出于对动量的考虑，我们在第4节中研究了当动量不收敛时Z模型中会发生什么，特别是当财富分布在代数上衰减为大值时，使得动量不存在，至少在最初，超过一定的幂次（这可能与所谓的帕累托定律有关，帕累托[5]预测了财富的自然分布在大值时会以代数方式衰减，这是下面研究的mZ模型的一个特性）。该分析的一个有趣结果是，经过一定次数的迭代（即经过一定时间后），较高的动量会收敛，尽管它们最初会发散。

不知何故，在不涉足政治学领域的情况下，这看起来与有时预测的情况完全相反（我们可以说，不依赖客观模型化）：越来越少的人变得富有，而其他人随着时间的推移变得越来越穷。当然，这可能还有其他解释，比如现代经济中的税收制度所称的财富再分配。财富分布模型研究3我们将首先解释如何“精确地”解决矩问题，因为概率分布在实际中衰减足够快，然后看看如果一开始，概率分布在大值上以代数方式衰减会发生什么。在第5节中，我们给出了“最富有的人”财富的概率分布，即给定数量的代理人的最大财富，以及在人口中随机抽取代理人的财富的概率分布。给出了财富最大值概率分布的一个显式表达式，以及在大量代理人情况下的极限。最后一部分是总结和结论部分。2 Z模型在这个模型中，人们认为一个正变量，有各种名称，x，u等，代表个人拥有的钱的数量。这个数量会随着时间的推移而变化，因为个体之间的随机交换是在系统中以同步方式在离散时间进行的。基本量是pt（x），即在总体中随机抽取的个体在t时的数量为x的概率。

在下一个时间步（t+1），由于二进制交换，pt（x）根据参考文献[1]中发现的迭代定律发生了变化：pt+1（x）=Z ZS（x）dudvpt（u）pt（v）u+v，（1）方程（1）中的积分域由s（x）={（u，v），u，v>0，u+v>x）定义。这个积分方程是x的函数，正变量。因为p（.）是概率分布，它必须为正或为零。此外，它以一种∞dupt（u）=1，t是表示时间的离散指数。财富演化的这条定律是由以下公式推导出来的。假设两个人，每个人拥有相同的财富概率，比如p（u），把他们的钱放在同一个篮子里。然后篮子里的东西的概率分布（数量w）是q（w）=Z∞dvp（v）p（w）-v） H（w）-v） ，其中H（.）是Heaviside函数，负参数为零，否则为一。假设我们通过随机抽取[0，w]中的avalue，在两个人之间共享w，将其分配给第一个人，其余的分配给另一个人。这些个体的概率分布isr（s）=χw（s）w，4 Yves Pomeau和Ricardo L\'opez Ruiz，其中χw（s）是区间[0，w]的特征函数。通过将这个简单公式推广到上文推导的w值的概率分布q（w），我们可以得到：r（s）=Z∞dwwH（w-s） Z∞dvp（v）p（w）-v） H（w）-v） ，在重新排列积分后，1 findsr（s）=Z∞dv′Z∞s-v′>0p（v′）p（u′）du′u′+v′，这是等式（1）右侧的一种形式。至少在某种意义上，方程（1）可以显式积分。让我们定义pt（x）asmk（t）=Zduukpt（u）的动量。（2） 我们首先考虑所有动量收敛的情况。

在第4节中，我们讨论了某些动量在给定时间不存在的情况，因为积分（2）在k大处发散，这是很有可能的，因为p（u）上的“物理”约束要求有明确的（而不是发散的）mand monly值。从方程式（1）中，我们推导出pt+1（.）动量的下列方程式作为pt（.）动量的函数：mk（t+1）=k+1∑0≤L≤kClkmk-l（t）ml（t），（3）其中Clk=k！（k）-l） !！L是二项系数。这表明，如果已知时间t的较小功率动量，则可以找到时间t+1处k阶动量。这个公式也与m在任何时候都=1这一事实相一致，这是一个守恒的正常数（后来称为m）。让我们看看方程的形式。它的读数是：m（t+1）=（m（t）+m），（4），因为这个方程相对于mit是线性的，可以立即与结果积分（假设给定m（0））：m（t）=tm（0）+2m1.-T=t（m（0）-2 m）+2 m，（5）高阶动量也可以明确地作为低阶动量的初始数据的函数来计算，随着阶数的增加，结果变得越来越麻烦。第三级是：m（t+1）=（m（t）+3m（t）m，（6）财富分配模型的研究5let（t）=m（t）m=thm（0）+∑0≤θ≤tθS（θ）-1） 是m（t）作为m，m（0）和m（0）函数的解。这些和可以显式为一，因为它们涉及几何级数。如果采用非整数指数的动量，则刚才解释的积分方法不起作用，因为对于这种非整数幂，动量不是二项式公式的唯一等价物。3广义Z模型的定义和求解Z模型可按以下方式进行广义化。在最初的公式中，交易中的两个合伙人都有一个随机的u和v。

在交易过程中，他们首先将全部金额（u+v）放入一个篮子中，然后随机分享其内容。描述这一点的Z模型满足了总概率为1且总资金也守恒的约束。该模型还具有平衡解（即财富分布，如pt（u）=pt+1（u））明确已知且ispeq（u）=me的性质-下面，我们提出了一个修正的递归关系，类似于给定的不等式（1），但即使质量和第一动量不守恒，也找不到平衡分布的简单表达式（我们在mZ模型中保留了与Z模型相同的符号mk（t），定义如下）。该模型显示：Pt+1（x）=zzsa（x）dudvPt（u）Pt（v）au+（2-a） v，（7）在这个方程中，a是一个实参数，介于0和2之间，Sa（x）由条件x<au+（2）定义-a） v.在这个模型中，在两个人进行交易时，一个人将（au）放入篮子中（而不是Z模型中的u），另一个人将（2）放入篮子中-a） v在篮子里，而不是v。虽然这个模型显然并不保守，但事实并非如此。如果我们考虑这对代理（v，u）的对称性，在这种情况下，第一个代理将（av）放入篮中，第二个代理将（2）放入篮中-a） u.对于这两种交易，即对（u，v）和（v，u）的交易，篮子中的总货币为2（u+v），那么总财富是守恒的。可以解释为，其中一个交易中的超额资金是为了弥补另一个交易中的缺钱。这只是银行系统的功能之一。

因此，也许这不是一个不切实际的模式6伊夫·波梅奥和里卡多·欧佩兹·鲁伊斯，因为现在（很可能以前），银行甚至州ZF都在租赁他们并不真正拥有的资金，并在基于其实际财富的乘性因素的约束下这样做。与Z模型一样，通过迭代（7）确定的修正Z模型（或mZ模型）满足了mand mif m=1守恒的约束条件。从SimpleAgebra中，我们发现：m（t+1）=m（t），和m（t+1）=m（t）m（t）。因此，如果m=1，如果mconverge，前两个动量是恒定的，正如我们所假设的。与Z模型的情况相反，不存在简单的平衡解。然而，从力矩方程中可以导出这种平衡的许多性质。这是因为迭代公式中的分母是u和v的线性函数，就像在Z模型中一样。第二个矩的递归关系为：m（t+1）=(4 -4a+2a）m（t）+2（2）-a） 是的, （8） 可以很容易地检查到，在a=1的情况下，这将简化为对Z模型有效的公式，即方程式（4）。然而，在这个迭代定律中出现了一个非常有趣的差异（同样，一个从概率分布的迭代中导出的迭代，除了第二个矩的存在没有其他假设）。实际上，这个迭代可能会导致一个指数级增长的二阶矩。如果等式（8）中m（t）的系数大于1，则会发生这种情况。如果a超出间隔[1]，就会发生这种情况-√,1 +√] 这与0<a<2的条件一致。因此，第二时刻的不稳定性可能导致财富分配宽度的不确定性增加。在不夸大这一点的情况下，我们可以说，这是一些社会经济理论所预测的不断加剧的不平等的一个模型。此外，对于任何一个不同的1，高动量的迭代变得不稳定。

为了说明这一点，让我们定义b=1-a、 第k阶矩的迭代读数为：mk（t+1）=k+1h(1 -b） k+（1+b）kmk（t）+l.o.t（t）i，（9）在这个方程中，l.o.t（t）是最低阶项，取决于小于k的阶动量。让我们考虑最小的k，对于给定的a，这一时刻有指数增长。因此，l.o.t（t）作为时间的函数保持有界，因此，如果存在不稳定性，则在指数增长的(1 -b） k+（1+b）kmk（t）。一个小代数表明，方程（9）右边的mk（t）的系数大于1，且力矩呈指数增长，如果n（1+| b |）>ln（k+1）k，研究财富分配模型7如果| b |很小，这相当于条件k>ln（1/|b |+1）|b |。结果表明，尽管| b |很小但不为零，但大阶动量在迭代过程中是不稳定的。回想一下| b | small相当于一个mZ模型与原始的Z模型形成气旋。这也表明，无论| b |多么小（但非零），迭代定律给出的稳定分布（如果存在）都应该在其参数的大值下随幂律衰减，从而使动量以较大的幂发散。计划在未来的出版物中回到这个数学上有趣的问题。4发散时刻在时间零点在本节中，我们回到Z模型的原始形式，并考虑以下问题：如果初始动量发散超过一定的幂，迭代会发生什么？事实上，由于初始条件在原则上是相当自由的，只要m=1和mconverges，人们总是可以想象一个初始条件，即财富分布在大的幂次代数上递减。在这种情况下，动量不存在于一定的幂之外。我们在下面考虑在这种情况下会发生什么。