用期权对冲条件风险价值

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Hedging Conditional Value at Risk with Options》
---
作者：
Maciej J. Capi\\\'nski
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
  We present a method of hedging Conditional Value at Risk of a position in stock using put options. The result leads to a linear programming problem that can be solved to optimise risk hedging.
---
中文摘要：
我们提出了一种利用看跌期权对冲股票头寸条件风险价值的方法。结果导致了一个线性规划问题，可以解决该问题以优化风险对冲。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

---
PDF下载：
--> Hedging_Conditional_Value_at_Risk_with_Options.pdf (128.85 KB)

2022-5-6 19:02:32 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：风险价值 Optimization Applications Quantitative conditional

使用期权对冲条件风险价值Maciej J.Capi\'nskiAGH科技大学，Al.Mickiewicza 30，30-059 Krak\'ow，Polandabstract我们提出了一种使用看跌期权对冲股票头寸条件风险价值的方法。结果导致了一个线性规划问题，可以解决这个问题来选择限制风险对冲。关键词：条件风险价值、预期缺口、风险度量、风险管理1。引言降低股票仓位风险的自然方法之一是购买看跌期权。通过这样做，一个人可以减少不受欢迎的情况，同时让自己接受积极的结果。选择看跌期权的高执行价确实会减少更多不利状态，但同时会产生更高的对冲成本。Ahn、Boudoukh、Richardson和Whitelaw[2]研究了如何平衡这两种趋势，以使风险价值（VaR）衡量的风险水平最小化的问题。风险价值（Value at Risk）是一项投资在给定信心水平下可能遭受损失的最坏情况，已确立其作为标准风险衡量标准之一的地位，并被广泛应用于整个金融风险管理领域。它的缺点之一是忽略了不太可能发生的事件的整体严重性。另一个原因是，它不是次加性的，因此不是一致的风险度量[3]。为了实现这些目标，最常见的修正是条件风险价值（CVaR）（也称为“预期缺口”），它考虑了平均损失：+48 505429347，传真：+48 126173165，电子邮件：maciej。capinski@agh.edu.plPreprint2015年4月14日提交给《欧洲运筹学杂志》。

CVaR是一个连贯的风险度量（证据可以在Acerbi和Tasche[1]的工作中找到）。在本文中，我们展示了一个镜像结果To[2]，使用CVaR代替VaR。结果表明，在这种设置下，我们可以实现用看跌期权对冲的股票CVaR的封闭式公式。这些可以通过解决线性规划问题来优化位置。我们将注意力限制在布莱克-斯科尔斯模型上，并考虑股票和看跌期权的投资。CVaR的优化可以在更一般的假设下进行，使用lso其他证券（例如见Rockafellar和Uryasev[6,7]）。人们还可以动态对冲CVa R（如梅尔尼科夫和斯米尔诺夫[5]的工作），这提供了略好的结果。然而，动态战略需要不断地重新平衡，这在实践中可能代价高昂。我们的方法的优点如下：简单；CVaR的闭式解析公式；风险防护与使用动态策略可以实现的防护非常相似。本文的组织结构如下。第2节回顾了Ahn、Boudoukh、Richardson和Whitelaw[2]利用看跌期权对冲VaR的结果。本节也是本文的预备部分。在第3节中，我们将结果归纳为使用CVaR代替VaR。定理4给出了本文的主要结果。本节以一个应用示例结束。在第4节中，我们将我们的方法与使用动态策略得出的结果进行比较。结果他们很接近。我们在第5.2节中用一个简短的结论来完成本文。

套期保值风险价值在本节中，我们设置了符号，并回顾了Ahn、Boudoukh、Richardson和Whitelaw[2]的结果。设X是一个随机变量，代表一项投资的收益。对于（0,1）中的α，我们定义了置信水平为1的X风险值- α、 作为VaRα（X）=-qα（X），其中qα（X）是X的上α-分位数。我们考虑Black-Scholes模型，其中股票价格根据dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t）演变，货币市场账户da（t）=rA（t）dt。执行价为K且到期日为T的欧式看跌期权的收益P（T）=（K- S（T））+和costsP（0）=P（r，T，K，S（0），σ）=Ke-rTN(-D-) -S（0）N(-其中d+=d+（r，T，K，S（0），σ）=lnS（0）K+r+σTσ√T、 （2）d-= D-（r，T，K，S（0），σ）=d+- σ√T，N是标准正态累积分布函数。假设我们购买x股股票和ziput期权，价格为i=1，n和t=0，t。设z，1和P（t）为向量，定义为z=Z锌, 1 =..., P（t）=P（t）。。。Pn（t）.我们在t时的投资价值为V（x，z）（t）=xS（t）+zTP（t）。以下t heorem可用于计算贴现收益x（x，z）=e的VaR-rTV（x，z）（T）- V（x，z）（0）。定理1。[2] 如果子≥ 0，对于i=1，n、 和zT1≤ x、 thenVaRαX（X，z）= V（x，z）（0）- E-rTxqα（S（T））- zTqα(-P（T））, （3） 其中qα(-P（T））=-（K）- qα（S（T））+。。。（千牛）- qα（S（T）））+. (4)3. VaR的缺点之一是它忽略了损失分布的尾部。这方面的一个改进是条件值atRisk，定义为asCVaRα（X）=αZαVaRβ（X）dβ=-αZαqβ（X）dβ，具有众所周知的等效形式CVarα（X）=-αE（X1{X≤qα（X）}）+qα（X）（α- P（X）≤ qα（X））. （5） CVaR还有一个优势，即它是一个连贯的风险度量[1,3]。我们的目标是给出定理1的一个mirr或结果，使用CVaR作为风险度量。

我们从一个简单的引理开始。引理2。任何问题∈ R、 ES（T）| W（T）≤ Q√T=N（q）S（0）euTNQ- σ√T.证据设Z=W（T）/√T自P（Z）≤ q） =N（q）>0，E（S（T）|Z≤ q） =P（Z）≤ q） Zq-∞S（0）eu-σT+σ√T x√2πe-xdx=N（q）S（0）euTZq-∞√2πe-（十）-σ√T） dx=N（q）S（0）euTNQ- σ√T,按要求。设Z为标准正态分布N（0，1）的随机变量。为了计算CVaRα（X（X，z）），我们引入了符号SDu-= D-（u，T，K，S（0），σ），du+=du-+ σ√T，du，α-= 最大（du）-, -qα（Z）），du，α+=du，α-+ σ√T，Pα（K）=Ke-uTN(-αd，ud-) - S（0）N(-du，α+。（6） 我们首先考虑的情况是，当我们投资于单次行使K=K的看跌期权时。建议3。如果z=z，对于z=z∈ [0，x]，大鱼际αX（X，z）= V（x，z）（0）-αe（u）-r） ThxS（0）Nqα（Z）- σ√T+ zPα（K）i.证明。我们首先观察到x（x，z）=e-rTxS（T）+z（K）- S（T））+- V（x，z）（0）。（7） 自从z≤ x、 我们看到了→ E-rTxs+z（K）- （s）+- V（x，z）（0）（8）是s的无n递减函数，也是ξ→ S（0）exp(u - σ/2）T+σ√Tξ越来越多。结合这两个事实，取Z=W（T）/√TX（X，z）≤ qα（X（X，z））= {S（T）≤ qα（S（T））}={Z≤ qα（Z）}。（9） 我们首先证明z<x的索赔。然后（8）严格增加，因此（x（x，z）≤ qα（X（X，z））=P（S（T）≤ qα（S（T））=α，cvarα（X（X，z））=-EX（X，z）|X（X，z）≤ qα（X（X，z））= -EX（X，z）|z≤ qα（Z）（见（9））=V（x，z）（0）- E-rTxE（S（T）|Z≤ qα（Z））（见（7））- E-rTzE（K）- S（T））+|Z≤ qα（Z）. （10） 现在我们计算（10）中的最后一项。自{S（T）≤ K} ={Z≤ -du-},E（K）- S（T））+|Z≤ qα（Z）=αZmin（qα（Z），-du-)-∞K- S（0）eu-σT+σ√T x√2πe-xdx=αZ-du，α--∞K√2πe-xdx-αZ-du，α--∞S（0）eu-σT+σ√T x√2πe-xdx=αKN(-du，α-) -αP（Z）≤ -du，α-)E（S（T）| Z≤ -du，α-)=αKN(-du，α-) -αS（0）euTN-du，α-- σ√T（通过引理2）=αeuT柯-uTN(-du，α-) - S（0）N(-du，α+）.将上述内容代入（10）并应用引理2给出了权利要求。现在我们需要考虑z=x的情况。

从那以后∈ （0，1），limzxqβ（X（X，z））=qβ（X（X，X）），我们得到了limzxCVaRαX（X，z）= limzx-1αZαqβ（X（X，Z））dβ=-1αZαqβ（X（X，X））dβ=CVaRαX（X，X）.因此，结果来自于这样一个事实，即权利要求中的CVaRα（X（X，z））的公式相对于z是连续的。我们现在可以表述我们的主要结果。定理4。如果子≥ 0表示i=1，n和z+…+锌≤ x、 thenCVaRα（x（x，z））=V（x，z）（0）-αe（u）-r） ThxS（0）Nqα（Z）- σ√T+ zTPαi，（11），其中Pα=（Pα（K），Pα（Kn））。证据这个证明遵循了命题3的镜像论证。我们展示了定理4是如何应用的。假设x是固定的。我们研究如何最大限度地降低CVaRαX（X，z）通过选择z。假设weinvest Vand花费c=V- 看跌期权上的xS（0）。通过（11），最小化CVaRαX（X，z）相当于问题：min-zTPα受制于：zTP（0）=c，zT1≤ x、 z，锌≥ 这是一个线性规划问题，很容易用数值方法求解。结果可以通过计算E来补充X（X，z）进行风险/回报类型分析。给出了一种直接计算方法X（X，z）= E-rTxS（0）euT+zTE（P（T））- V（x，z）（0），其中e（P（T））=euTP（u，T，K，S（0），σ）。。。P（u，T，Kn，S（0），σ）.例5。考虑S（0）=100，u=10%，σ=0.2和r=3%。假设我们花费V=1000，投资于行使价格为SK=80、K=90、K=100、K=110、K=120和到期日T=1的股票和看跌期权。考虑到c，对于α=0.05，Weshall so l ve（12）∈ [0, 160 ].由于x（0）+c=V，所以x（d）的选择取决于c。我们计算向量：P（0）=0.8602.7696.45812.04219.220, Pα=0.3660.8191.2711.7242.176, E（P（T））=0.4201.5744.1488.52714.686.问题（12）的解决方案是：Cx ZZZZZ CV aRαE0 10 0 0 0 0 0 0 302.24 72.5120 9.8 3.74 6.06 0 0 180.35 61.8440 9.6 0 5.96 3.64 0 126.24 53.3560 9.40 0 0.19 9.21 0 89.64 45.5280 9.20 0 5.51 3.69 0 71.42 39 39 39.41100 0 0 0 0 0 1.50 7.50 0 53.82 33.35120 8。

8 0 0 0 6.85 1.95 41.64 28. 31140 8. 6 0 0 0 3.52 5.08 32.70 23. 86160 8. 4 0 0 0 0.20 8.20 23.75 19. 42从表中我们观察到，对于较大的c，我们可以选择购买执行价格较高的期权，这提供了更好的保护，但同时也更昂贵。4.与动态hedging相比，使用看跌期权进行套期保值的另一种选择是采用能够降低风险的自我融资策略。在本节中，我们将探讨这种方法与我们的方法之间的差异。F¨ollmer和Leucert[4]开发了一种动态优化fVaR的方法。在[5]中，梅尔尼科夫和斯米尔诺夫（通过结合[4]和[6,7]中的技术）将该方法扩展到CVaR的动态优化设置。他们考虑了一个带有时间T的未定权益，并解决了以下问题：minξCVaRα（e-rT（Vξ（T）-H） 根据（ξ）≤ 五、 （13）式中，Vξ（t）是自我融资策略ξ的时间t值，V≤ E*（H） 。（这里是E*代表对风险中性指标的预期。）换言之，问题（13）是如何最大限度地降低在一项持续索赔H中持仓的风险，该索赔H具有可用的套期保值风险，该风险小于索赔复制策略的成本。在我们的环境中，我们对冲x股股票的头寸。我们可以打电话- xS（T）。（14） 对H的这种选择的解释如下。我们借Vand buyx的股票。剩余的c=V- xS（0）用于自我融资策略ξ，涉及股票和货币市场账户的持续时间交易。时间T的组合位置为-erTV+xS（T）+Vξ（T）。打折后，这是-V+e-rTxS（T）+e-rTVξ（T）=e-rT（Vξ（T）- H） ，这符合问题（13）的定义。下面的定理为问题（13）的支付（14）提供了解决方案。这是对[5]中的理论2.4的重新表述（适用于我们的特殊设置和符号）。定理6。

[5] 让K*∈ R是一个令人满意的数字C=xE*E-rT（K）*- S（T））+.设b（K）为C=xE隐式定义的函数*E-rT（K）- S（T））+{ST>b（K）}, （15） 和letc（K）=五、- xe-rTK+xe-rTαE（（K- S（T））+{ST≤b（K）}）表示K>K*五、- xe-rTK换K≤ K*.（16） 设H由（14）定义。问题（13）isCV aRα（e）的解-rT（Vξ（T）- H） ）=minKc（K），（17），最优策略是用支付（K）复制未定权益- S（T））+{ST>b（K）}。（18） 自（K）- S（T））+{ST≤b} =（b）- S（T））++（K- b） 1{S（T）≤b} ，在（16）isE（（K）中涉及期望的术语- S（T））+{ST≤b} ）==euTEE-uT（b）- S（T））++ （K）- b） E{S（T）≤b}= euTP（u，T，b，S（0），σ）+（K- b） N(-D-（u，T，b，S（0），σ）。同样，因为（K- S（T））+{ST>b}=（K- S（T））+- （b）- S（T））+- （K）- b） 1{S（T）≤b} ，约束（15）isc=xP（r，T，K，S（0），σ）- xP（r，T，b，S（0），σ）- x（K）- b） e-rTN(-D-（r，T，b，S（0），σ）。这意味着我们对定理的所有成分都有一个解析式，因此问题（17）可以相对容易地用数值方法解决。例7。如例5所示，考虑S（0）=100，u=10%，σ=0.2，r=3%，套期保值成本c=20,40,60，160.K解（17）和得到的最优CV aRαE-rT（Vξ（T）-H) 如下所示：Cx K CV aRα20 9.8 87.06 172.0640 9.6 94.43 120.2360 9.4 99.84 89.2580 9.2 104.4 1 67.85100 9 108.53 52.1 0120 8。8 112.40 40.12140 8. 6 116.12 30.84160 8. 4 119.78 23.59通过比较例5和例7中数据的值，我们发现动态套期保值的最优CVaRα接近于带看跌期权的静态套期保值的CVaRα。由于差异很小，投资者可能更愿意为静态对冲头寸购买看跌期权和GO组合，而不是参与动态对冲策略。5.结论我们提供了一个分析解决方案，用于通过看跌期权进行套期保值的股票头寸的CVaR。

我们已经证明，最小化CVAR问题可以简化为一个线性规划问题，在实际中很容易解决。我们已经证明，这样得到的结果接近于使用动态套期保值可以获得的结果。参考文献[1]C.Acerbi，D.Tasche，关于预期短缺的一致性，J.银行与金融，第26（7）、（2002）卷，第1487-1503页[2]D.-H.Ahn，J.Boudoukh，M.Richardson，R.F.Whitelaw，使用g期权的最佳风险管理，J.金融，第54（1）、（1999）卷，第359-375页。[3] P.Art zner，F.Delbaen，J.-M.Eber，D.Heath，风险的一致性度量，数学。鳍9（3），（1999），第203-228页。[4] H.F¨ollmer，P.Leuert，《有效对冲：成本与短缺风险，金融与随机4（2），（2000）第117–146页。[5] A.Melnikov，I.Smirnov风险保险条件价值动态对冲：数学与经济学51（2012），第182-190页[6]R.T.Rockafellar，S.Uryasev，条件风险价值优化，J.risk 2（3），（2000），21-41。[7] R.T.Rockafellar，S.Uryasev，一般损失分配的条件风险，J.银行与金融26（7），（2002），第1443-1471页