高频金融中的半马尔可夫模型

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英文标题：
《Semi-Markov Models in High Frequency Finance: A Review》
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作者：
G. D\'Amico, F. Petroni, F. Prattico
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  In this paper we describe three stochastic models based on a semi-Markov chains approach and its generalizations to study the high frequency price dynamics of traded stocks. The three models are: a simple semi-Markov chain model, an indexed semi-Markov chain model and a weighted indexed semi-Markov chain model. We show, through Monte Carlo simulations, that the models are able to reproduce important stylized facts of financial time series as the persistence of volatility. In particular, we analyzed high frequency data from the Italian stock market from the first of January 2007 until end of December 2010 and we apply to it the semi-Markov chain model and the indexed semi-Markov chain model. The last model, instead, is applied to data from Italian and German stock markets from January 1, 2007 until the end of December 2010.
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中文摘要：
在本文中，我们描述了三个基于半马尔可夫链方法的随机模型及其推广，以研究交易股票的高频价格动态。这三种模型分别是：简单半马尔可夫链模型、指数半马尔可夫链模型和加权指数半马尔可夫链模型。我们通过蒙特卡罗模拟表明，这些模型能够再现金融时间序列中重要的程式化事实，即波动的持续性。特别是，我们分析了意大利股市从2007年1月1日到2010年12月底的高频数据，并应用了半马尔可夫链模型和指数半马尔可夫链模型。最后一个模型应用于2007年1月1日至2010年12月底意大利和德国股市的数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Semi-Markov_Models_in_High_Frequency_Finance:_A_Review.pdf (244.47 KB)

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关键词：马尔可夫 Econophysics Applications Quantitative Statistical

第三章高频金融中的半马尔可夫模型：综述，*, 菲利波·彼得罗尼2+和弗拉维奥·普拉蒂科3，佩斯卡拉、基耶蒂、阿齐达利科学经济研究院、卡利亚里、卡利亚里、英格里亚工业大学、戴尔信息与经济大学、戴尔阿奎拉、拉奎拉、埃奎拉、，本文描述了三种基于半马尔可夫链的随机模型及其推广，以研究交易股票的高频价格动态。这三种模型分别是：简单半马尔可夫链模型、指数半马尔可夫链模型和加权指数半马尔可夫链模型。我们通过蒙特卡罗模拟表明，这些模型能够将金融时间序列的重要类型化事实再现为波动的持续性。特别是，我们分析了2007年1月1日至2010年12月底意大利股市的高频数据，并应用了半马尔可夫链模型和指数半马尔可夫链模型。相反，最后一个模型应用于2007年1月1日至2010年12月底意大利和德国股市的数据。关键词：半马尔可夫；高频金融；蒙特卡罗模拟；自相关函数1。引言半马尔可夫链（SMC）是一类广泛的随机过程，它同时推广了马尔可夫链和更新过程。SMC的主要优点是*电子邮件地址：g。damico@unich.it+电子邮件地址：fpetroni@unica.it——电子邮件地址：FL avio。prattico@univaq.it2Guglielmo D’Amico、Filippo Petroni和Flavio Pratticothat他们允许使用任何类型的等待时间分布来模拟从一种状态到另一种状态的过渡时间。

相反，马尔可夫模型对状态中的等待时间分布有约束，这些约束必须用无记忆分布（连续和离散时间分别为指数分布或几何分布）来表示。这种主要的灵活性需要付出代价：需要估计的参数更多。SMC还推广了基于连续时间随机游走的非马尔可夫模型，该模型在经济物理学界广泛使用，例如[18,20]。SMC已被用于分析财务数据，并描述从信用评级数据建模[4]到期权定价[5,21]的不同问题，以及与财务数据建模类似的风能建模问题，如数据的强持久性，请参见[10,11,12]。随着金融业的全面计算机化，记录的数据量，从每日收盘一直到逐笔交易，都呈爆炸式增长。如今，从业者和研究人员都可以随时获得这种逐点高频数据[13,19]。然后，试图验证高频数据回报率的半马尔可夫假设似乎很自然，见[7]。在[7]中，我们提出了一个半马尔可夫模型，表明它能够产生一些典型的经验事实，例如，回报中没有自相关和收益/损失不对称。在那篇论文中，我们还证明了收益平方的自相关性比马尔可夫模型更高。不幸的是，这种自相关性与经验相关性相比仍然太小。为了克服低自相关的问题，在另一篇论文[8]中，我们提出了一个指数化的半马尔可夫价格收益模型。

更准确地说，我们假设日内收益率（高达一分钟的频率）由离散时间齐次半马尔可夫过程描述，在该过程中，我们引入了一个记忆指数，该指数考虑了市场中不同的可用性周期。众所周知，市场波动是自相关的，因此高（低）波动期可能会持续很长时间。我们假设半马尔可夫过程的核心取决于当时市场的波动水平。值得注意的是，加权记忆指数是一个随机过程，它依赖于与半马尔可夫链相关联的马尔可夫更新链。然后，在我们的模型中，高自相关是在不引入外部或潜在辅助随机过程的情况下内生获得的。为了进一步改进我们之前的结果，在[9]中，我们提出了一个指数加权指数。论文的其余部分组织如下。第2节描述了财务回报的半马尔科夫模型。第3节介绍了三种不同模型应用于实际财务数据的结果。第4节讨论了一些结论。2.财务回报模型在本节中，我们介绍了用于财务回报建模的模型。我们特别展示了SCM、索引半马尔可夫链（ISMC）和加权索引半马尔可夫链（WISMC）。高频金融中的半马尔可夫模型：综述32.1。半马尔可夫链模型我们用有限状态空间E={1,2，…，m}中的值定义SMC，参见示例[16,14]。

让(Ohm, F、 P）是一个概率空间；我们考虑两个随机变量序列：Jn：Ohm → ETn:Ohm → 在（1）中，分别表示系统第n次跃迁的状态和时间。我们假设（Jn，Tn）是状态空间E×IN上的一个马尔可夫更新过程，具有核Qij（t），i，j∈ E、 t∈ 在里面内核有以下概率解释：P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |σ（Jh，Th），h≤ t、 Jn=i]=P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |Jn=i]=Qij（t）（2），结果是pij=limt→ ∞Qij（t）；i、 j∈ E、 t∈ 其中P=（pij）是嵌入马尔可夫链Jn的转移概率矩阵。此外，如果从状态ibij（t）=P[Jn+1=j，Tn+1在时间零点开始，则引入在状态j时刻t发生下一次转变的概率是有用的- Tn=t | Jn=i]=Qij（t）- Qij（t）- 1） 如果t>00，如果t=0（3），我们定义分布函数shi（t）=P[Tn+1- Tn≤ t |Jn=i]=Xj∈EQij（t）（4）表示状态i中的生存函数。Radon-Nikodym定理保证函数Gij（t）的存在，使得Gij（t）=P{Tn+1- Tn≤ t |Jn=i，Jn+1=j}=（Qij（t）pijif pij6=01，如果pij=0（5），它表示状态i中的等待时间分布函数，因为下一次转换过程将处于状态j。逗留时间分布Gij（·）可以是任何分布函数。当Gij（·）都是几何分布时，我们恢复离散时间马尔可夫链。可以定义SMC Z（t）asZ（t）=JN（t），T∈ 式中N（t）=sup{N∈ IN:Tn≤ t} 。然后Z（t）代表每个等待时间的系统状态。我们用φij（t）=P[Z（t）=j | Z（0）=i]表示SMC的跃迁概率。它们满足以下演化方程：φij（t）=δij（1- 嗨（t））+Xk∈EtXτ=1bik（τ）φkj（t- τ ).

（7） 4 Guglielmo D’Amico、Filippo Petroni和Flavio PratticoTo解方程（7）SMC文献[1,14]中有许多著名的算法。在这一点上，我们介绍了离散后向递推时间过程B（t）连接到SMC。每一次∈ 在本文中，我们定义了以下随机过程：B（t）=t- 总氮（t）。（8） 如果半马尔可夫链Z（t）表示系统在时间t的状态，B（t）表示自上次跳转以来的时间。图1。时间向后的SMC轨迹。在图1中，我们展示了SMC的轨迹。在时间t时，过程Z（t）处于状态j-1最后一次转换发生在时间-1当时间t时，反向过程保持sb（t）=t- Th-1.联合随机过程（Z（t），B（t），t∈ IN）的值为E×IN是一个马尔科夫过程，参见示例[16]。也就是说：P[Z（T）=j，B（T）≤v′|σ（Z（h），B（h）），h≤ t、 Z（t）=i，B（t）=v]=P[Z（t）=j，B（t）≤ v′|Z（t）=i，B（t）=v]。[7]提出的SMC价格模型假设研究资产的价值由时变资产价格S（t）描述。时间变量t∈ {0，1，…，n}其中n是所考虑的单位周期数。在长度为1的时间间隔内计算的时间t的收益定义为z（t）=S（t+1）- S（t）S（t）。（9） 我们假设Z（t）是一个具有有限状态空间E={-zmin, . . . , -2., -, 0, , 2., . . . , 求最大值}核Q=（Qij（γ）），i、 j∈ E和γ∈ 在里面高频金融中的半马尔可夫模型：综述52.2。带记忆的半马尔可夫模型在本小节中，我们提出了SMC的一个推广，它能够表示状态变量连续观测之间的高阶依赖关系。增加过程记忆的一种方法是使用[17]中定义的高阶SMC。

在这里，我们提出了一个更为简洁的模型，其目标是定义一个新的模型，以恰当地描述金融时间序列的经验规律。为此，我们扩展了上述模型，允许在股票回报的平方中重现长期依赖性。该模型由[8]提出，可以找到更完整的处理方法。让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，考虑随机过程j-（m+1），J-m、 J-（m）-1), ..., J-1，J，J。。。有限状态空间E={1,2，…，S}。在我们的框架中，随机变量Jn描述了第n次转变时的价格回报过程。让我们考虑一下随机过程-（m+1），T-m、 T-（m）-1), ..., T-1，T，T。。。在IR中有值。随机变量Tn描述价格返回过程第n次转换发生的时间。让我们也考虑一下随机过程-（m+1），U-m、 U-（m）-1), ..., U-1，U，U。。。在IR中有值。随机变量在第次转换时取消描述索引过程的值。参考文献[7]将过程{Un}定义为与马尔可夫更新过程{Jn，Tn}相关的奖励累积过程。在本文中，我们介绍了一种不同的indexprocess Umn，定义如下：Umn=Tn- Tn-（m+1）mXk=0ZTn-kTn-1.-kf（Jn）-1.-k、 s）ds，（10）式中f:E×IR→ IR是一个Borel可测有界函数-（m+1）。。。，这是已知的，非随机的。过程UMNCA可以解释为累积报酬过程的移动平均值，函数f作为单位时间报酬率的度量。函数f取决于系统Jn的状态-1.-作为一个例子，你可以考虑m=1和f（Jn，s）=（Jn）的情况。

在这个简单的例子中，我们得到了：Un=Tn- Tn-2（Jn-1） ·（Tn）- Tn-1） +（Jn）-2） ·（Tn）-1.- Tn-2)!, （11） 它表示在收益平方序列上执行的m+1=2阶移动平均数，权重由fractionsTn给出- Tn-1Tn- Tn-2.Tn-1.- Tn-2Tn- Tn-2.（12）6 Guglielmo D’Amico、Filippo Petroni和Flavio PratticoIt应注意，移动平均线的顺序取决于转换次数。因此，移动平均是在可变长度的时间窗口上执行的。为了构造索引模型，我们必须指定变量之间的依赖结构。为此，我们采用以下假设：P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |σ（Jh，Th，Umh），h=-M0, ..., n、 Jn=i，Umn=v]=P[Jn+1=j，Tn+1- Tn≤ t |Jn=i，Umn=v]：=Qmij（v；t），（13）式中σ（Jh，Th，Umh），h≤ n是三变量过程的自然过滤。函数矩阵Qm（v；t）=（Qmij（v；t））i，j∈EHA在我们将要揭示的理论中起着基础性作用。认识到它的重要性，我们称之为索引半马尔可夫核。嵌入在索引半马尔可夫核中的联合过程（Jn，Tn）依赖于移动平均过程Umn，后者作为一个随机指标。

此外，索引过程通过函数关系（10）依赖于（Jn，Tn）。为了描述模型在任何时候的行为，我们需要定义额外的随机过程。给定三维过程{Jn，Tn，Umn}和索引半马尔可夫核Qm（v；t），我们定义byN（t）=sup{n∈ N:Tn≤ t} )；Z（t）=JN（t）；嗯（t）=t- T（N（T）-θ)-mmXk=0Zt∧T（N（T）-θ)+1-kT（N（t）-θ)-kf（J（N（t）-θ)-k、 s）ds，（14）式中，TN（t）≤ t<TN（t）+1和θ=1{t=TN（t）}。（14）中定义的随机过程分别代表截至时间t的转换次数、系统在时间t的状态（价格回报）和截至时间t的指数过程（价格回报函数的移动平均值）。我们将Z（t）称为一个指数半马尔可夫过程。过程Um（t）是过程Umn的推广，其中时间t可以是一个过渡时间或一个等待时间。很容易意识到如果m、 如果t=tn，我们就有了，嗯（t）=Umn。Letpmij（v）：=P[Jn+1=j | Jn=i，Umn=v]。是嵌入索引马尔可夫链的转移概率。它表示下一个转变处于状态j的概率，假设当前过程进入状态i，索引过程为v。很容易实现PMIj（v）=limt→∞Qmij（v；t）。（15） 设Hmi（v；·）为状态i中的停留时间累积分布∈ E:Hmi（v；t）：=P[Tn+1- Tn≤ t | Jn=i，Umn=v]=Xj∈EQmij（v；t）。（16） 高频金融中的半马尔可夫模型：综述7考虑到指数过程为v，它表示从逗留时间较少或相等的状态i过渡到t的概率。条件等待时间分布函数G表示以下概率：Gmij（v；t）：=P[Tn+1- Tn≤ t | Jn=i，Jn+1=j，Umn=v]。

（17） 如果pmij（v）6=01，如果pmij（v）=0，则很容易确定gmij（v；t）=（Qmij（v；t）pmij（v）。（18） 为了正确评估系统的概率行为，我们引入了转移概率函数：φm（i-（m+1），i-M我j） （t）-（m+1），t-MTt、 V）：=P[Z（t）=j，Um（t）≤ V | J=i。。。，J-（m+1）=i-（m+1），T=T。。。，T-（m+1）=t-（m+1）]。（19） [8]表明ISMC的转移概率函数满足arenewal型方程。2.3. 加权指数半马尔可夫模型在本小节中，我们描述了上述SMC模型的进一步改进，称为加权指数半马尔可夫链（WISMC）模型，该模型允许以非常有效的方式重现股票收益平方的长期依赖性；[9]提出并研究了该模型。假设所研究金融资产的价值由时变资产价格S（t）描述。在时间间隔为1的时间内计算的时间t的回报率定义为（t+1）-S（t）S（t）。返回过程在时间上改变值，然后我们用{Jn}n表示∈在有限状态空间E={1，2，…，s}的随机过程中，描述了第n次跃迁时返回过程的值。让我们考虑随机过程{Tn}n∈在中包含值。随机变量Tn描述价格返回过程第n次转变发生的时间。让我们也考虑随机过程{Uλn}n∈在IR中使用值。随机变量Uλn描述了第n次转变时的指数过程值。参考文献[8]将过程{Un}定义为与马尔可夫更新过程{Jn，Tn}相关的奖励累积过程；在[8]中，过程{Un}被定义为奖励过程的移动平均值。