在融资成本和

那么，对于EPβ下可接受的任何合同（A，C），以下声明有效：（i）如果≥ 十、≥ 0，那么就算是t∈ [0，T]Pct（x，-A.-C）≤ Pct（`x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）≤ Pht（x，A，C）。（5.19）（ii）如果0≥ \'x≥ x、 那么不管怎样∈ [0，T]Pht（\'x，A，C）≥ Pht（x，A，C）≥ Pct（x，-A.-C）≥ Pct（`x，-A.-C） 。（5.20）此外，如果rland rba是确定性的，并且满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]，那么对于\'x>0>x，存在（bt，A，C）这样的pcbt（x，-A.-C） >Phbt（`x，A，C）≥ 多氯联苯，-A.-C） 还有（bt，A，C）这样的phbt（\'x，A，C）≥ 多氯联苯，-A.-C） >Phbt（x，A，C）。推论5.1在命题5.6的假设下，对于任何合同（A，C）和任何日期∈ [0，T]Pct（0，-A.-C）≤ Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）≤ Pht（0，A，C），（5.21），因此Rft（x，x） Rft（0,0）。上述推论表明，与初始财富为零的投资者相比，初始捐赠为正或负的投资者在任何时间t签订任何合同（a，C）都具有潜在优势。这一结论是合理的，因为借贷利率高于借贷利率。事实上，对于相同的策略，当初始捐赠为零的投资者需要在合同中借款或进行套期保值时，初始捐赠为正的投资者可以将其初始财富中的资金用于相同的目的。类似地，当初始捐赠为零的投资者需要借钱或贷款以实施其对冲策略时，初始捐赠为负的投资者可以使用ca sh的附加值来偿还其债务。这些特点创造了一个比较优势。利用推论5.1和命题5.6，我们可以检验Pht（x，A，C）和Pct（x，-A.-C） 当初始捐赠x趋于∞ 或-∞.提案n 5.7中包含融资成本和担保的定价使提案5.6中的假设有效。

对于任何合同（A、C）和任何日期t∈ [0，T]，存在G-适应过程，用Ph，A，C，+T，Ph，A，C表示，-t、 个人电脑，-A.-C、 +tandPc，-A.-C-t、 例如，thatPh，A，C，+t，Ph，A，C，-t、 个人电脑，-A.-C、 +t，Pc，-A.-C-T∈ [Pct（0，-A.-C） ，Pht（0，A，C）]=Rf（0，0）和LimX→+∞Pht（x，A，C）=Ph，A，C，+t≥ 个人计算机-A.-C、 +t=limx→+∞Pct（x，-A.-C） ，limx→-∞Pht（x，A，C）=Ph，A，C，-T≥ 个人计算机-A.-C-t=limx→-∞Pct（x，-A.-C） 。证据这句话很容易从命题5.6和推论5.1中得出。我们只能有Ph，A，C，+t≥ Pc，A，C，+和Ph，A，C，-T≥ Pc，A，C，-t、 这四个过程之间的其他比较结果尚不清楚。事实上，如果rland是确定性的，并且对于每个t∈ [0，T]，然后存在（bt，A，C），比如ph，A，C，+bt≥ Pc，A，C，+bt>Ph，A，C，-英国电信≥ Pc，A，C，-bt，以及存在的（bt，A，C），例如，-英国电信≥ Pc，A，C，-bt>Ph，A，C，+bt≥ 现在，我们考虑一个合同（A，C）和t的特殊情况∈ [0，T]这样，Ph，A，Ct:=minnPh，A，C，+T，Ph，A，C，-到≥ maxnPc，-A.-C、 +t，Pc，-A.-C-to=：Pc，-A.-计算机断层扫描。然后个人计算机-A.-Ct，Ph，A，Ct对于初始捐赠相同但随意的所有投资者，双边公平定价范围是否意味着个人计算机-A.-Ct，Ph，A，Ct=\\十、∈R[Pct（x，-A.-C） ，Pht（x，A，C）]=\\x∈RRft（x，x）。使用[14]中的Proposition 3.1，也可以确定以下关于初始捐赠的单边除息价格的稳定性。为了方便读者，我们回顾了[14]中使用的两种Lipschitz条件的替代版本（参见[14]中的定义2.1和3.1）。

让h：Ohm ×[0，T]×R×Rd→ R是一个G B（[0，T]） B（R） B（Rd）-可测量函数，使得h（·，·，y，z）是适用于任何固定（y，z）的G-适应过程∈ R×Rd，设m为假设5.1或假设5.2中引入的过程。定义5.2我们认为，如果存在一个常数，那么对于所有t∈ [0，T]和y，y∈ R、 z，z∈ Rd，| h（t，y，z）- h（t，y，z）|≤ L（| y）- y |+kz- zk），P- a、 s.（5.22）我们说，如果存在两个严格正的和G-适应的过程ρ和θ，那么h满足m-Lipschitz条件∈ [0，T]和y，y∈ R、 z，z∈ Rd，| h（t，y，z）- h（t，y，z）|≤ ρt|y- y |+θtkm*t（z）- z） k.（5.23）定理5.4让假设5.1或假设5.2有效。那么对于在epβ下可容许的任何契约（A，C），都存在一个常数k，如ep“supt”∈[0，T]| Pht（x，A，C）- Pht（x，A，C）|+支持∈[0，T]| Pct（x，-A.-C）- Pct（x，-A.-C）|#≤ K | x-x | 32 T.Nie和M.RutkowskiProof。

从备注5.3中，我们得到了Pht（xi，A，C）=eYh，xit-每一个t∈ [0，T），其中（eYh，xi，eZh，xi）是以下BSDE的解（deYh，xit=eZh，xi，*tdeScldt+gh（t，xi，eYh，xit，eZh，xi，*t） dt+dACt，eYh，xiT=0，（5.24），其中gh（t，x，y，z）：=Pdi=1βitzitSit+g（t，y+xBlt，z）- xrltBlt{x≥0}+g（t，y+xBbt，z）- xrbtBbt{x≤0}.不难检查，如果xx≥ 0，则存在常数K，它只取决于rland rb的界，因此| gh（t，x，y，z）- gh（t，x，y，z）|≤ K | x- x |。因此，如果xx<0，那么| gh（t，x，y，z）- gh（t，x，y，z）|≤ |gh（t，x，y，z）- gh（t，0，y，z）|+|gh（t，0，y，z）- gh（t，x，y，z）|≤ K | x |+K |x |=K |x- x |。我们得出结论，存在一个常数K，它只取决于rland rb的界，例如| gh（t，x，y，z）- gh（t，x，y，z）|≤ K | x- x |，对于所有x，x∈ R.根据假设5.1（分别为假设5.2），对于固定的x∈ R、 gh（t，x，y，z）满足（5.23），ρ=θ=bL，其中常数取决于rl，rb，ri，带Sifor i=1，2，d、 以及| m |的下界（分别，常数取决于下界rl，rband ri，b）。因此，始终存在一个常数，使得驾驶员通过ρ=θ=bL的过程满足L ipschitz条件（5.23）。因此，如[14]中的第3.2节所述，我们推断空间sbHλ和bh（分别是空间sblλ和bL）可以识别，因为相关规范是等效的。此外，可以检查α-1gh（t，x，0，0）∈波黑。通过应用[14]中的命题3.2，存在一个常数K，如thatEP监督∈[0，T]| Pht（x，A，C）- Pht（x，A，C）|= EP监督∈[0，T]|耶，xt-哦，xt|≤ Kα-1gh（t，x，eYh，xt- （表演，以斯，下）- α-1gh（t，x，eYh，xt- （表演，以斯，下）伯克希尔哈撒韦≤ K | x- x |。类似地，我们可以检查对方的价格是否存在同样的不平等。

5.4初始捐赠的价格独立性我们现在将证明，对于特定类别的合同，价格独立于初始捐赠。值得注意的是，在[15]中研究的伯格曼模型中，模拟ous结果并不成立。提议n 5.8让x≥ 0且假设5.1或假设5.2均有效。考虑EPβ下可容许的任意契约（A，C）。如果这个过程- ACis递减，那么价格Pht（x，A，C）与x，s无关，对于所有x，Pht（x，A，C）=Pht（0，A，C）≥ 0.证明。自从x≥ 根据命题5.3，套期保值者在EPβ满足Pht（x，A，C）=eYh，l，xt下的任何合约（A，C）的价格可容许-其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是以下BSDE（deYh，l，xt=eZh，l，x，*tdeScldt+gh，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）dt+dACt，eYh，l，xt=0，（5.25）带有融资成本和抵押的定价33，其中gh，l（t，x，y，z）：=Pdi=1βitzist- xrltBlt-Pdi=1ri，bt（ziSit）+rlty+xBlt+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+xBlt+Pdi=1（ziSit）--.因为gh，l（t，x，0，0）=0，过程AC- 当ACI减小时，我们从BSDE的比较定理（例如，参见[14]中的定理3.3，其中U=AC）中推断- A和U=0）即H，l，x≥ 0.从x开始≥ 因此，BSDE（5.25）可以表示为（deYh，l，xt=eZh，l，x，*tdeScldt+egh，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）dt+dACt，eYh，l，xt=0，（5.26），其中egh，l（t，x，y，z）的属独立于x和等于（回想一下，\'zit=ziSit）egh，l（t，x，y，z）：=Pdi=1βit\'zit-Pdi=1ri，bt（\'zit）++rlty+rltPdi=1（\'zit）-.显然，BSDE（5.26）的唯一解决方案独立于x，因此价格Pht（x，A，C）=eYh，l，xt- CTC也享有同样的优势。5.5套期保值者价格的正同质性我们再次考虑套期保值者的价格，并证明其与合同规模和非负初始收益正同质。

请注意，如果只有合同的规模（但不是初始捐赠）由非负的计数λ来衡量（当然，除非价格独立于初始捐赠，如提案5.8所示），则该地产不再有效。提议n 5.9让x≥ 0且假设5.1或假设5.2均有效。考虑EPβ下可容许的任意契约（A，C）。如果过程是C∈那么对于所有λ∈ R+Pht（λx，λA，λC）=λPht（x，A，C）。（5.27）证据。很明显，对于λ=0，（5.27）成立。假设λ>0。一次是从命题中获得的。我们知道Ph（x，A，C）=eYh，l，x-其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是（5.25）的唯一解。此外，Ph（λx，λA，λC）=eYh，l，λx- λC，其中（eYh，l，λx，eZh，l，λx）是以下BSDE（deYh，l，λxt=eZh，l，λx，*tdeScldt+gh，l（t，λx，eYh，l，λxt，eZh，l，λxt）dt+λdACt，eYh，l，λxt=0。回想一下AC=A+C+FCt，其中FCt:=-RtrcuCudu。那么Ph（x，A，C）=Y这里（Y，Z）是下列BSDE的唯一解（因为（A，C）是可容许的，而C∈bH，该BSDE的位置易于检查）（dYt=Z1，*tdeScldt+gh，l（t，x，Yt+Ct，Zt）dt+d（At+FCt），Yt=0。类似地，Ph（λx，λA，λC）=Ywhere（Y，Z）是以下BSDE（dYt=Z2，*tdeScldt+gh，l（t，λx，Yt+λCt，Zt）dt+λd（At+FCt），Yt=0。（5.28）34 T.Nie和M.Rutkowski对于Y:=λYand Z=λZ，我们有（dYt=Z）*tdeScldt+λgh，l（t，x，λ-1Yt+Ct，λ-1Zt）dt+λd（At+FCt），YT=0。（5.29）因此，为了完成程序，必须观察等式λgh，l（t，x，λ-1y+Ct，λ-1z）=gh，l（t，λx，y+λCt，z）满足所有λ>0。5.6欧洲索赔和相关定价PDEs为简化陈述，我们假设d=1，因此只有一项风险资产S=S。然而，很明显，本小节中获得的结果可以轻松扩展到多资产情况。

此外，我们假设利率和利率是决定性的。我们研究从固定时间开始的未定权益的未合并欧元的评估和套期保值∈ [0，T]，也就是说，我们设置C=0。在到期日T>0时，欧元风格的通用路径独立声明支付单一现金流H（ST），因此- A=-H（ST）1[T，T]（T）。对于任何固定的t<t，风险资产S在P下具有除息价格动态，由以下表达式给出，即u∈ [t，t]，dSu=u（u，Su）du+σ（u，Su）dWu，St=s∈ O，（5.30），其中W是一维布朗运动，O是通过扩散过程S（通常为O=R+）获得的真实值的doma in。此外，系数u和σa re使得SDE（5.30）具有独特的强溶液。我们还假设波动系数σ有界且远离零。最后，红利过程等于At=Rtκ（u，Su）du。我们的第一个目标是推导套期保值者对路径独立的欧洲索赔的定价PDE。我们观察到Descldu=dSu+dAu- β（u，Su）du=u（u，Su）+κ（u，Su）- β（u，Su）du+σ（u，Su）dWu。根据Girsanov定理，如果我们表示au:=（σ（u，Su））-1.u（u，Su）+κ（u，Su）- β（u，Su）并定义概率测量值asdePdP=exp-ZTtaudWu-ZTt | au | du,其中Wu等于Wu，Wu等于Wu。很容易看出Descldu=σ（u，Su）dfwu，因此我们得出了teScldis a（eP，G）-鞅和heScldiu=Rut |σ（v，Sv）| dv的结论。因此，假设5.1或假设5.2成立，前提是我们假设布朗运动fw具有（G，eP）下的PRP。

当然，后一种假设在目前的情况下并不具有限制性。考虑融资成本和抵押的定价35A由于在时间T和C=0时只有一笔现金流，我们从命题5.3中推断，对于任何初始捐赠x∈ R、 套期保值者的价格满足Ph（x，A，C）=eYh，x，其中（eYh，x，eZh，x）是遵循布朗运动驱动的BSDE的唯一解决方案fw（deYh，xu=eZh，xuσ（u，Su）dfWu+gh（u，x，Su，eYh，xu，eZh），du，eYh，xT=H（ST），（5.31）其中对于x≥ 0gh（u，x，s，y，z）：=zβ（u，s）- xrluBlt- r1，bu（zs）+rluy+xBlu+（zs）-+- rbuy+xBlu+（zs）--对于x呢≤ 0gh（u，x，s，y，z）：=zβ（u，s）- XRUBBU-r1，bu（zs）+rluy+xBbu+（zs）-+-rbuy+xBbu+（zs）--.BSDE（5.31）的适定性在温和的假设下是众所周知的，因为我们假设FW在（G，eP）下具有PRP。套期保值者的独特复制策略等于=ξ、 ψl，ψb，ψ1，b式中ξu=eZh，xu，ψ1，bu=-（B1，bu）-1（ξuSu）+和ψlu=（Blu）-1.啊，徐+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+（ξuSu）-+,ψbu=-（Bbu）-1.啊，徐+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+（ξuSu）--.在下一步中，我们将确定日期t∈ [0，T）我们假设Ss，tt=s∈ O.请注意，对于所有美国∈ [t，t]，dSs，tu=（β（u，Ss，tu）- κ（u，Ss，tu））du+σ（u，Ss，tu）dfWu。很明显，解决方案（eYh，x，eZh，x）现在将取决于股票价格t时的初始值s；为了强调这一点，我们写了（eYh，x，s，eZh，x，s）。

此外，如果我们设置（Yh，x，su，Zh，x，su）：=（eYh，x，su，eZh，x，suσ（u，Ss，tu））和gh（u，x，s，y，z）=gh（u，x，s，y，zσ-1（u，s）），然后BSDE（5.31）产生（dYh，x，su=Zh，x，sudfWu+gh（u，x，Ss，tu，Yh，x，su，Zh，x，su）du，Yh，x，sT=H（Ss，tT）。（5.32）利用非n-线性费曼-卡克公式（见[17,18]），我们认为在系数u、σ、κ和β施加适当的光滑条件下，套期保值者的定价函数v（t，s）：=Yh，x，st属于C1,2类（[0，t]×O），并解出以下定价PDE(五、t（t，s）+Lv（t，s）=ght、 x，s，v（t，s），σ（t，s）五、s, （t，s）∈ [0，T]×O，v（T，s）=H（s），s∈ O、 （5.33）其中微分算子L由以下表达式给出：=σ（t，s）s+（β- κ） （t，s）s、 36 T.Nie和M.Rutkowski鉴于gh的定义，显然PDE（5.3）反过来相当于五、t（t，s）+σ（t，s）五、s（t，s）=κ（t，s）五、s（t，s）- xrltBlt{x≥0}- xrbtBbt{x≤0}- r1，英国电信s五、s（t，s）++ rltv（t，s）+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+s五、s（t，s）-+- rbtv（t，s）+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+s五、s（t，s）--, （t，s）∈ [0，T]×O，v（T，s）=H（s），s∈ O.（5.34）备注5。6值得强调的是，系数β并未出现在定价PDE中（5.34）。因此，为了推导偏微分方程，β可以任意选择，除了约束，因为模型是无套利的（见命题3.2）。因此，在不改变概率测量的情况下（即，对于所有t∈ [0，T]），我们仍然可以推导出偏微分方程（5.34）。相反，如果v∈ C1,2（[0，T]×O）解PDE（5.34），然后求对（v（u，Su），σ（u，Su）五、s（u，Su））解决BSDE（5.32）o n u∈ [t，t]其中，为了简洁起见，我们写S=Ss，t。根据上述讨论，（v（u，Su），五、s（u，Su））是BSDE（5.31）在美国的lso解决方案∈ [t，t]对于任意初始股价st=s。

因此，套期保值者的独特重复策略等于=ξ、 ψl，ψb，ψ1，b在哪里，为了你∈ [t，t]，ξu=五、s（u，Su），ψ1，bt=-（B1，bu）-1.苏五、s（u，苏）+,ψlu=（Blu）-1.v（u，Su）+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+苏五、s（u，苏）-+,ψbu=-（Bbu）-1.v（u，Su）+xBlu{x≥0}+xBbu{x≤0}+苏五、s（u，苏）--.（5.35）现在让我们关注交易对手的定价PDE。