在融资成本和

，dgiven bydeSi，cldt=dSit+dAit- β-itSitdt（5.4）对于某些G适应过程β-Isatizing rb≤ βi≤ ri，b是连续的平方可积（ePβ，G）鞅，且其PRP对ePβ下的过滤G有响应，（ii）存在一个Rd×d值，G-适应过程m，使得Hescldit=Ztmum*udu，（5.5）24 T.Nie和M.Rutkowskim（M）*是可逆的，存在一个常数Km>0，这样，对于所有t∈ [0，T]，| | | | | | | | |+| | | |（mt）*)-|||| ≤ Km，（5.6）（iii）价格过程Si，i=1，2，风险资产的数量是有限的。假设5.2我们假设：（i）存在一个与P等价的概率度量，使得过程sesi，cld，i=1，2，由（5.4）决定的是（ePβ，G）-c连续的平方可积鞅，并且在ePβ下过滤G的PRP，（ii）条件（5.5）与G-适应过程m保持一致，使得*是可逆的，由mm给出*= Sγγ*其中G适应过程的d维方阵γ满足椭圆度条件（4.3）。备注5。回忆一下-1.dSit- rltSitdt+dAit, deSi，b，cldt=（Bbt）-1.dSit- rbtSitdt+dAit.因为RLI是非负且有界的，所以我们得到C<（Bl）-对于某些常数C，1<1。然后假设5.1，βi=rli相当于假设3.1。类似的评论也适用于其他假设。我们在提案N3.2和rb中提到了这一点≤ βi≤ ri，b，我们知道，在假设5.1或假设5.2下，我们的部分净额结算模型是无套利的，考虑到套期保值者和反向交易方与x，x的任何合约∈ R.评论5。

2与备注4.1中的假设类似，上述假设很容易满足扩散型市场模型；细节留给读者。定义5.1我们认为，当AC∈班德法案∈失误β。对于（5.3）给出的g，让我们定义（t，x，y，z）：=dXi=1zitβitSit+(-xrltBlt+g（t，y+xBlt，z））1{x≥0}+ (-xrbtBbt+g（t，y+xBbt，z））1{x≤0}和gc（t，x，y，z）：=dXi=1zitβitSit+（xrltBlt-g（t，-y+xBlt，-z） ）1{x≥0}+（xrbtBbt）-g（t，-y+xBbt，-z） ）1{x≤0}.下一个结果是命题4.1和命题4.2的对比。鉴于本小节开头的讨论，命题5.3是[14]中定理4.1的一个相当直接的结果，因此省略了它的证明。建议5.3假设5.1或假设5.2有效。考虑一个在EPβ下可容许的任意合同（A，C）。那么Ph（x，A，C）=eYh，x-C和Pc（x，-A.-C） =eYc，x-其中（eYh，x，eZh，x）是BSDE的唯一解（deYh，xt=eZh，x，*tdeScldt+gh（t，x，eYh，xt，eZh，xt）dt+dACt，eYh，xt=0，（5.7）和（eYc，x，eZc，x）是BSDE（deYc，xt=eZc，x，*tdeScldt+gc（t，x，eYc，xt，eZc，xt）dt+dACt，eYc，xt=0，（5.8）带有融资成本和抵押的定价25此外，套期保值者的独特复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl每个t在哪里∈ [0，T]和i=1，2，dξit=eZh，x，it，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C+t，ηlt=（Bc，lt）-1C-t、 ψlt=（Blt）-1.呃，xt+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.呃，xt+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）--.联合国对交易对手的复制策略等于=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl每个t在哪里∈ [0，T]和i=1，2。

，dξit=-eZc，x，it，ψi，bt=-（英国广播公司Bi）-1（ξitSit）+，ηbt=-（不列颠哥伦比亚省，英国电信）-1C-t、 ηlt=（Bc，lt）-1C+t.和ψlt=（Blt）-1.-eYc，xt+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）-+,ψbt=-（Bbt）-1.-eYc，xt+xBlt{x≥0}+xBbt{x≤0}+Pdi=1（ξitSit）--.对于一个ll x，可以检查gh（t，x，0，0）=gc（t，x，0，0）=0∈ R.认为任何合同（A，C）在EPβ下都是可接受的。此外，如果ACI是一个递减过程，那么对于任何x，x∈ R、 哦，x≥ 0andeYc，x≥ 0，其中（eYh，x，eZh，x）是BSDE（5.7）的唯一解，（eYc，x，eZc，x）是BSDE（5.8）的唯一解。因此，Ph（x，A，C）≥ -C和Pc（x，-A.-C）≥ -C.如果过程ACI增加，那么对于任何x，x∈ 我们有≤ 0安第依克，x≤ 0，所以ph（x，A，C）≤ -C和Pc（x，-A.-C）≤ -C.例5.1在例3.1中，我们考虑了At=P1[0，T]（T）+X1[T]（T）和C=0的合同（a，C）。首先假设X≤ 0; 例如，对于欧洲看涨期权X=-（坐下- K） +对于欧洲看跌期权X=-（K）- 坐）+。然后，很明显，这个过程- A=A- 人工智能在下降。那么，对于任何x∈ R、 Pht（x，A，C）和Pct（x，-A.-C） 是积极的，这意味着交易对手是卖方，交易对手是买方。类似地，如果X≥ 例如，对于欧洲看涨期权X=（SiT- K） +对于欧式看跌期权X=（K- 然后，对于任何x∈ R、 Pht（x，A，C）和Pct（x，-A.-C） 是负面的，意味着交易对手是卖方，套期保值者是买方。我不得不说，单边期权价格的这种性质是意料之中的。5.2.1总承包合同i，cld，i=1，2，在假设5.1下，我们可以将比较定理应用于BSDE（5.7）和（5.8），以建立以下命题（证明见第6节）。建议5.4假设5.1或假设5.2有效。假设x≥ 0，x≤0和rb≤ i=1，2，D

那么下面的陈述是有效的。（i） 如果xx=0，则对于任意契约（A，C），在epβ和所有t下可容许∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。（ii）让rland rbt具有确定性，并满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。然后不等式（5.9）适用于所有合同（A，C）的容许uβ和所有t∈ [0，T]当且仅当xx=0.26时，Nie和M.Rutkowskine注意到，如果xx=0，那么从命题5.1和命题5.2中，我们知道期望的不等式在各自的假设下成立。然而，在当前的命题中，我们是在假设5.1下工作的，因此不确定定价不平等是否仍然存在。最后，对于案例x≤ 0，x≥ 0，可以显示以下结果是有效的。赞成立场5.5的主张与主张5.4相似，因此被省略。假设假设5.1或假设5.2有效。假设x≤ 0，x≥0和rb≤ i=1，2，d、 那么以下陈述是有效的。（i） 如果xx=0，则对于任意契约（A，C），在epβ和所有t下可容许∈ [0，T]Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。（ii）让rland rbt具有确定性，并满足所有t的rlt<rbt∈ [0，T]。然后不等式（5.10）适用于所有合同（A，C）的容许uβ和所有t∈ [0，T]当且仅当xx=0。备注5。3在命题5.4的假设下，可以证明命题5.1和命题5。2在EPβ下保持，即如果xx≥ 0，那么对于任何t∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 美国。

（5.11）事实上，使用与命题5.4的证明类似的论点，我们可以证明gh（t，x，y，z）- gc（t，x，y，z）≤Pdi=1 | ziSit|（rlt）- ri，bt）1{x≥0，x≥0}+（rbt）- ri，bt）1{x≤0，x≤0}≤ 因此，利用命题5.3和BSDE的比较定理，我们得到了期望的等式（5.11）。5.2.2单音现金流的合同如果xx<0，那么从命题5.4的证明中，我们知道对于一些合同（A，C），我们有Pcbt（x，-A.-C）≥ Phbt（x，A，C）表示某些bt∈ [0，T]。下一个定理表明，对于一些特殊的e s类合同（A，C），不等式Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x、A、C）适用于所有∈ [0，T]。定理5.1假设5.1或假设5.2有效。如果x≥ 0，x≤ 0，那么对于任意契约（A，C），在epβ下是可容许的，这样过程aci在（0，T）上减少，对于每T∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。证据来自命题5.3和不等式x≥ 0，x≤ 0，我们知道对于EPβ下可容许的任何契约（A，C），我们有Ph（x，A，C）=eYh，l，x- C和Pc（x，-A.-C） =eYc，b，x- Cwhere（eYh，l，x，eZh，l，x）是BSDE（6.2）的唯一解决方案，（eYc，b，x，eZc，b，x）是BSDE（6.3）的唯一解决方案。由于l（t，x，0，0）=gc，b（t，x，0，0）=0，ACis是一个递减过程，那么，从BSDE的比较定理来看，我们得到了h，l，x≥ 0andeYc，b，x≥ 0

自从x≥ 0，BSDE（5.7）为零（deYh，l，xt=eZh，l，x，*tdeScldt+egh，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）dt+dACt，eYh，l，xt=0，（5.12）带有融资成本和抵押的定价27，其中，所有者egh，l（t，x，y，z）不依赖于x，由（回想一下，\'zit=ziSit）egh，l（t，x，y，z）：=Pdi=1βit\'zit给出-Pdi=1ri，bt（\'zit）++rlty+rltPdi=1（\'zit）-.自那时起，b（t，x，y，z）=Pdi=1βit¨zit+Pdi=1ri，bt(-\'zit）++xrbtBbt-rlt- y+xBbt+Pdi=1(-“‘青春痘’-++ rbt- y+xBbt+Pdi=1(-“‘青春痘’--≥Pdi=1βit-zit+Pdi=1ri，bt(-\'zit）++xrbtBbt- rbt- y+xBbt+Pdi=1(-“‘青春痘’-=Pdi=1βit-zit+Pdi=1ri，bt(-\'\'青春痘）+rbty- rbtPdi=1(-“‘青春痘’-,我们得到了g，l（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）- gc，b（t，x，eYh，l，xt，eZh，l，xt）≤ （rlt）- 是的，我是-Pdi=1ri，bt | eZh，l，x，itSit |+rltPdi=1（eZh，l，x，itSit）-+ rbtPdi=1(-以斯，l，x，itSit）-= （rlt）- rbt）eYh，l，xt+Pdi=1（rlt- （以斯，以斯，以斯，以斯，以斯）-+Pdi=1（rbt- 国际广播电台（英国电信）(-以斯，l，x，itSit）-≤ 0.BSDEs giveseYh，l，xt的比较定理≥eYc，b，Xt和Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），每t∈ [0，T]。定理5.2假设5.1或假设5.2有效。如果x≤ 0，x≥ 0，那么对于一个任意合约（A，C），在epβ下是可容许的，这样过程aci在（0，T）上增加，对于每T∈ [0，T]，Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C），ePβ- a、 因此，公平双边价格Rft（x，x）的范围几乎肯定是非空的。证据

来自命题5.3和x≤ 0，x≥ 我们知道Ph（x，A，C）=eYh，b，x- C和PC（x，-A.-C） =eYc，l，x- 其中（eYh，b，x，eZh，b，x）是以下BSDE的唯一解（deYh，b，xt=eZh，b，x，*tdeScldt+gh，b（t，x，eYh，b，xt，eZh，b，xt）dt+dACt，eYh，b，xt=0，（5.13），其中gh，b（t，x，y，z）：=Pdi=1zitβitSit- xrbtBbt+g（t，y+xBbt，z）。（eYc，l，x，eZc，l，x）是以下BSDE的唯一解决方案（deYc，l，xt=eZc，l，x，*tdeScldt+gc，l（t，x，eYc，l，xt，eZc，l，xt）dt+dACt，eYc，l，xt=0，（5.14），其中gc，l（t，x，y，z）：=Pdi=1zitβitSit+xrltBlt- g（t，-y+xBlt，-z） 。由于b（t，x，0，0）=gc，l（t，x，0，0）=0，并且假设过程是递增的，从[14]中的定理3.3，我们得到了h，b，x≤ 0andeYc，l，x≤ 0.因此，自从x≥ 0，我们看到gc，l（t，x，y，z）不依赖于x和gc，l（t，x，y，z）=egc，l（t，x，y，z）：=Pdi=1βit′zit+Pdi=1ri，bt(-“青春痘）+rlty- rltPdi=1(-“‘青春痘’-28 T.Nie和M.Rutkowski，其中我们通常表示“zit=ziSit”。此外，函数gh，b（t，x，y，z）满足sgh，b（t，x，y，z）=Pdi=1βit¨zit-Pdi=1ri，bt（\'zit）+- XRBTBT+rlty+xBbt+Pdi=1（\'zit）-+- rbty+xBbt+Pdi=1（\'zit）--≤Pdi=1zitβitSit-Pdi=1ri，bt（\'zit）+- xrbtBbt+rbty+xBbt+Pdi=1（\'zit）-=Pdi=1βit’zit-Pdi=1ri，bt（\'zit）++rbty+rbtPdi=1(-“‘青春痘’-和thusgh，b（t，x，eYh，b，xt，eZh，b，xt）- （下，下，下，下，下，下）≤ （加拿大皇家银行）- 是的，b，xt-Pdi=1ri，bt | eZh，b，x，itSit |+rltPdi=1(-（以斯，b，x，it）-+ rbtPdi=1（eZh，b，x，itSit）-= （加拿大皇家银行）- rlt）eYh，b，xt+Pdi=1（rlt）- 国际广播电台（英国电信）(-（以斯，b，x，it）-+Pdi=1（rbt- （以斯，b，x，itSit）-≤ 0.BSDE s giveseYh，b，x的比较定理≥eYc，l，x和Pct（x，-A.-C）≤ Pht（x，A，C）ePβ-A.s.，每t∈ [0，T]。备注5。4.考虑一个契约（a，C），使得ACI是（0，T）上的一个递减过程≥ 然后，从命题的证明中，我们看到Ph（x，A，C）不依赖于初始财富x，也就是说，对于每个x，y∈ R+我们有Ph（x，A，C）=Ph（y，A，C）。

这取决于Ph（x，A，C）=eYh，l，x- C、 其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是B SDE（5.12）的唯一解，它独立于x。请注意，上述关系取决于条件x≥ 确实，当x≤ 0，则Ph（x，A，C）不具有独立性。此外，对于anyx∈ R、 价格Pc（x，-A.-C） 没有这样的财产。最后，对于合约（a，C），比如在（0，T）上的递增过程，如果x≥ 0，然后是Pc（x，-A.-C） 不依赖于初始财富x，但Ph（x，A，C）不具备这种特性。从其财务解释来看，上述财产直观地清晰可见。本质上，套期保值者非负正财富价格的独立性是等式（2.8）中最后一个约束的结果，该约束规定套期保值者不能将其初始捐赠用于套期保值。当然，当他出售股票来复制期权时，就像看跌期权一样，那么，很明显，他的初始捐赠是正的这一事实也是相关的。备注5。5假设x>0且x<0。我们声称，如果rland RBA是确定性的，并且满足所有t的rlt<RBT∈ [0，T]，然后我们就可以找到一个数据库∈ [0，T]和一个合同（a，C），该合同具有一个递增的过程，例如PCBT（x，-A.-C） >Phbt（x，A，C），ePβ- a、 为此，必须考虑一个合同（a，C），其中C=0，At=p1[0，T]（T）+α1[T，T]（T），其中∈ （0，T），rt∈ （rlt，rbt）每t∈ [0，T]和α满意度0<α≤ 闵xBlt，-xBbt.我们设定x=x-α（Blt）-1.≥ 0，我们定义了策略=ξ, . . . , ξd，ψl，ψb，ψ1，b，ψd，b，ηb，ηl其中ξi=ψi，b=ψb=ηb=ηl=0，对于所有i=1，2。

，d和ψlt=x1[0，t）+（Blt）-1.xBlt+α[t，t]。那么我们就有vt（x，ν，A，C）=xBlT+αeRTtrludu=十、- α（Blt）-1.BlT+αeRTtrludu=x（BlT）=VT（x）。以融资成本和抵押物定价。因此，套期保值者的自我融资策略（x，~n，A，C）复制了[0，T]上的合同（A，C），事实上，这是唯一的复制策略。根据定义3.7，Ph（x，A，C）=x-x=-α（Blt）-1.现在让我们从对方的角度来考虑合同。外汇=x+α（Bbt）-1.≤ 0，我们定义了战略=eξ，eξd，eψl，eψb，eψ1，b，eψd，b，eηb，eηl其中eξi=eψi，b=eψl=eηb=eηl=0，对于所有i=1，2，d和ψbt=ex1[0，t）+（Bbt）-1.exBbt+α[t，t]。然后我们有VT（ex，e~n，A，C）=exBbT+αeRTtrbudu=xBbT=VT（x）。因此，自我融资策略（例如，-A.- C） 是合同的独特复制策略(-A.-C） 在[0，T]上，从定义3.8来看，Pc（x，-A.-C） =x- 前任=-α（Bbt）-1.此外，由于rl<rbandα>0，我们得到thatPh（x，A，C）=-α（Blt）-1< -α（Bbt）-1=Pc（x，-A.-C） 。因此，在rl<rb的假设下，我们找到了一个合同（a，C）和一个日期bt=0，这样Pc（x，-A.-C） >Ph（x，A，C）。这意味着（A，C）的双边优惠pric esRp（x，x）范围不为空。5.3价格的单调性关于初始捐赠，如前一小节所示，初始捐赠在价格平等中起着重要作用。在下文中，我们将更详细地研究初始捐赠对股息价格的影响。鉴于备注5.3，我们只需要在假设5.1下工作。建议5.6假设假设5.1或假设5.2有效，并假设合同（a，C）在EPβ下可接受。

然后套期保值者的价格满足：（i）如果≥ 十、≥ 0，然后是（\'x，A，C）≤ Pht（x，A，C），（5.15）（ii）如果0≥ \'x≥ x、 然后（\'x，A，C）≥ Pht（x，A，C），（5.16）和交易对手的价格满意度：（i）如果≥ 十、≥ 0，然后是Pct（\'x，-A.-C）≥ Pct（x，-A.-C） ，（5.17）（ii）如果0≥ \'x≥ x、 然后是Pct（`x，-A.-C）≤ Pct（x，-A.-C） 。（5.18）证据。让我们表示gl，h（x）：=-xrltBlt+g（t，y+xBlt，z），gb，h（x）：=-xrbtBbt+g（t，y+xBbt，z）和gl，c（x）：=xrltBlt- g（t，-y+xBlt，-z） ，gb，c（x）：=xrbtBbt- g（t，-y+xBbt，-z） 式中，t（y，z）=-Pdi=1ri，bt（ziSit）+rlty+Pdi=1（ziSit）-+- rbty+Pdi=1（ziSit）--.如果我们表示K:=y+Pdi=1（ziSit）-安德克：=-y+Pdi=1(-（齐西特）-, 然后，h（x）=-xrltBlt+rlt（xBlt+K）+- rbt（xBlt+K）-= -rlt（xBlt+K）+rlt（xBlt+K）+- rbt（xBlt+K）-+ rltK=rlt（xBlt+K）-- rbt（xBlt+K）-+ rltK=（rlt）- rbt）（xBlt+K）-+ rltK30 T.Nie和M.Rutkowskiandgb，h（x）=-xrbtBlt+rlt（xBbt+K）+- rbt（xBbt+K）-= -rbt（xBbt+K）+rlt（xBbt+K）+- rbt（xBbt+K）-+ rbtK=（rlt）- rbt）（xBlt+K）+rbtK。类似地，gl，c（x）=（rbt- rlt（xBlt+eK）-- rlteKandgb，c（x）=（rbt- rlt）（xBlt+K）+- rbtK。因此，函数egl，h（x）和egb，c（x）相对于x增加，而函数segb，h（x）和egl，c（x）相对于x减少。因此，根据BSDE的比较理论，如果≥ 十、≥ 0，然后是neyh，l，x≤其中（eYh，l，x，eZh，l，x）是BSDE（6.2）的唯一解决方案。此外，eYc，l，x≥其中（eYc，l，x，eZc，l，x）是BSDE（5.14）的唯一解决方案。然后从备注5.3中，我们推断（5.15）和（5.17）成立。为了0≥ \'x≥ 我们可以用类似的参数证明（5.16）和（5.18）是有效的。通过结合命题5.2–5.6，我们得到以下结果，总结了unilatera l价格的性质。定理5.3假设5.1或假设5.2有效。