在融资成本和

RutkowskiDe定义3.4套期保值者与初始捐赠x有关的合同（A，C）的延长套利机会是一对（bx，bа，A）和（ex，eа，- A） 允许的策略，例如x=bx+ex和p（VnetT≥ VT（x））=1和P（VnetT>VT（x））>0，其中净财富Vnet=Vnet（bx，ex，b k，e k，A，C）由Vnet给出：=V（bx，b k，A，C）+V（ex，e k，-A.-C） 。下一个结果给出了套期保值者不存在扩展ar比特率机会的充分条件。建议N3.2假设存在一些G适应过程β使rb满意≤ βi≤ ri，带a概率测度β等于P，这样辅助过程sesi，cld，i=1，2，d、 由desi给出，cldt=dSit+dAit- βitSitdt（3.3）是连续的，平方可积的，（ePβ，G）-m艺术内浇道。那么就任何合约（A，C）和任何初始捐赠x而言，套期保值者不存在延长的套利机会∈ R.证明。

注意，过程bvp:=Vp（bx，b~n，A，C）由dbvpt=dXi=1bξit控制dSit+dAit-dXi=1ri，bt（bξitSit）+dt+dACt+rltbVpt+dXi=1（bξitSit）-+dt- rbtbVpt+dXi=1（bξitSit）--dt。andeVp:=Vp（例如，- A.-C） 满足性devpt=dXi=1eξitdSit+dAit-dXi=1ri，bt（eξitSit）+dt- dACt+rlteVpt+dXi=1（eξitSit）-+dt- rbteVpt+dXi=1（eξitSit）--dt。我们观察到，净财富满足网：=V（bx，bа，A，C）+V（ex，eа，-A.-C） =bVp- C+eVp+C=bVp+eVpand thusdVnett=dXi=1（bξit+eξit）dSit+dAit-dXi=1ri，bt（bξitSit）+dt-dXi=1ri，bt（eξitSit）+dt+rltbVpt+dXi=1（bξitSit）-+dt- rbtbVpt+dXi=1（bξitSit）--dt+rlteVpt+dXi=1（eξitSit）-+dt- rbteVpt+dXi=1（eξitSit）--dt。自从rl≤ rb，我们找到了德夫内特≤dXi=1（bξit+eξit）dSit+dAit-dXi=1ri，bt（bξitSit）+dt-dXi=1ri，bt（eξitSit）+dt+rltbVpt+eVpt+dXi=1（bξitSit）-+dXi=1（eξitSit）-dt（3.4）含融资成本和抵押物的定价13和DVNETT≤dXi=1（bξit+eξit）dSit+dAit-dXi=1ri，bt（bξitSit）+dt-dXi=1ri，bt（eξitSit）+dt+rbtbVpt+eVpt+dXi=1（bξitSit）-+dXi=1（eξitSit）-dt。（3.5）使用（3.4）和等式Vnet=bVp+eVp，我们得到了过程evl，net:=（Bl）-1VnetdeVl，净值=（Blt）-1dVnett- rlt（Blt）-1Vnetdt≤ （Blt）-1.dXi=1bξitdSit+dAit-dXi=1ri，bt（bξitSit）+dt+dXi=1rlt（bξitSit）-dt+ （Blt）-1.dXi=1eξitdSit+dAit-dXi=1ri，bt（eξitSit）+dt+dXi=1rlt（eξitSit）-dt= （Blt）-1.dXi=1bξitdSit+dAit- β-itSitdt-dXi=1ri，bt（bξitSit）+dt+dXi=1rlt（bξitSit）-dt+dXi=1βitbξitSitdt+ （Blt）-1.dXi=1eξitdSit+dAit- β-itSitdt-dXi=1ri，bt（eξitSit）+dt+dXi=1rlt（eξitSit）-dt+dXi=1βiteξitSitdt.类似地，在视图（3.5）中，processeVb，net:=（Bb）-1Vnetsatis fi devb，净值=（Bbt）-1dVnett- rbt（Bbt）-1vnetdt=（Bbt）-1.dXi=1bξitdSit+dAit- β-itSitdt-dXi=1ri，bt（bξitSit）+dt+dXi=1rbt（bξitSit）-dt+dXi=1βitbξitSitdt+ （Blt）-1.dXi=1eξitdSit+dAit- β-itSitdt-dXi=1ri，bt（eξitSit）+dt+dXi=1rbt（eξitSit）-dt+dXi=1βiteξitSitdt.因为这一过程≤ βi≤ 每i=1，2。

我们得到dxi=1βitbξitSit≤dXi=1ri，bt（bξitSit）+-dXi=1rlt（bξitSit）-.在rb≤ βi≤ ri，bis满足每i=1，2，d、 我们还有dxi=1βitbξitSit≤dXi=1ri，bt（bξitSit）+-dXi=1rbt（bξitSit）-.通过假设，存在一个概率度量β等价于P，使得过程sesi，cld，i=1，2，d是连续的、平方可积的（ePβ，G）-鞅，其中对于某些G-适应过程β，esi，cldis-givenby（3.3）是rb≤ βi≤ 李，b.塞纳维尔，奈特-eVl，网络≤dXi=1Z（0，t）（bξiu+eξiu）deSi，cldu（3.6）和vb，净-eVb，网络≤dXi=1Z（0，t）（bξiu+eξiu）deSi，cldu。（3.7）14 T.Nie和M.Rutkowski使用标准参数（见命题3.1的证明），我们推断，对于任何合约（A，C）和任何初始条件，对于套期保值者而言，部分净额结算的市场模型是无套利的∈ R现在，让我们讨论各种不同的本征鞅条件，这些条件被引入到分析当前设置中（扩展）套利机会的不存在性中。首先，很容易看出，提案N3.2提供了充分的条件，确保具有部分净额的市场模型对于具有任意初始捐赠的双方的任何合同是无套利的∈ R.这推动了第5.2节第5.1条和第5.2条的介绍。公平地说，这种情况≤ βi≤ 因此，这个结果并不完全令人满意。

然而，我们在下文中提出，条件是：≤ βi≤ 在抽象设置中，r isky资产没有具体说明，因此它们的价格实际上可以通过有限变量的连续过程来建模。同样值得注意的是，条件rb≤ ri，bin备注3.1并不是因为我们认为当x≤ 0，而是选择BB作为折扣系数。具体来说，我们决定用过程Si，b，cld的鞅测度来寻找无套利资产的充分条件。由于我们没有对风险资产的价格过程做出任何先验假设，因此，例如，S=SBband a=0。当然，过程1，b，cldexists的鞅测度，但是子模型（Bl，Bb，B1，b，S）不是无套利的，除非rb≤ r1，b.实际上，在目前的设置中，利率r1，b（resp.rb）可以被视为借款（resp.lending）利率，因为非r isky回报率rb可以由套期保值者通过购买储蓄产生。这个论点表明，不平等的rb≤ 如果我们没有对r isky a sset做出任何其他假设，除了假设存在martinga le测度foreS1，b，cld（相比之下，如果股票价格由Black and Scholes模型给出，那么就没有必要假设rb≤ 因为任何投资都有风险）。在某种意义上，鞅测度为1，b，cldexists的条件弱于鞅测度为reS1，l，cldexists的条件。事实上，在后一种情况下，当资产价格变化有限时，它等于SBl（而非SBb），因此可以推测条件为rl≤ r1，bis足以排除子模型（Bl、Bb、B1、b、S）中的套利。

当x≥ 0，但当x<0和rl<rb时，仍然存在套利机会，因为套期保值者可以出售股票并减少债务的利息支付。最后，我们可以认为，应选择Bi程序作为风险资产的贴现因子。在这种情况下，为了排除上述相同类型的套利机会，当nx<0时，需要假设ri，b≥ rb。我们认为，鞅测度为i，l，cldexists的条件更为自然，但正如上文所述，如果“风险”资产可能由非风险资产影响，则这不是无套利的有效条件。当然，在一个非平凡模型中，风险资产的价格具有非方差的波动性，在温和的技术假设下，上述鞅条件是等价的，条件为rl≤ rband rl≤ 支持3.1提案的ri，B应确保模型对具有任意初始捐赠的双方都是无年龄限制的。3.3公平且有利的双边价格下一个目标是描述现金流a和抵押品C合同的套利价格范围。从下一个定义中可以清楚地看出，套期保值者的公平价格可能取决于套期保值者的初始禀赋x，并且一般来说，它可能不是唯一的。定义3.5我们说，对于任何自我融资交易策略（x，ν，a，C），实数pA，C=a是套期保值者在时间0时（a，C）的公平价格，这样，贴现财富过程bv（x，~n，A，C）从下方有界，我们就得到了pVT（x，~n，A，C）=VT（x）= 1或PVT（x，~n，A，C）<VT（x）> 0.（3.8）融资成本和担保定价15人们可能会注意到定义3.5a中的两个条件与定义3.3中的条件类似，尽管它们具有不同的财务意义。

所有这些定义3.3都涉及通过无对冲合同设定具有任意市场价格的动态对冲合同（a、C）的可能性(-A.-C） 而定义3.5涉及从套期保值者的角度为（a，C）fr确定单边公平价格。如需更详细的讨论，感兴趣的读者可咨询[2]。让我们重新定义[t，t]合同的所有通用定义（见[2]中的定义5.1]）。定义3.6针对固定t∈ [0，T]，一种自我融资的交易策略（Vt（x）+pA，Ct，а，a- At，C），其中pA，cti是一个Gt可测量的随机变量，当VT（VT（x）+pA，Ct，~n，a时，称为在[t，t]上复制抵押合同（a，C）- At，C）=VT（x）。此后，我们假设套期保值者（对应方）的初始捐赠为x（对应方x），其中x，x∈ R.我们考虑当初始捐赠X时间为0的套期保值者在t时间进入合同A，并且套期保值者可以复制合同时的情况。定义3.7任何Gt可测量的随机变量，如果存在超过[t，t]的复制策略，则称为合同（a，C）在时间t时的套期保值者除息价格，并用Pht（x，a，C）表示，因此对于某些а复制（a，C）VT（VT（x）+Pht（x，a，C），а- At，C）=VT（x）。定义3.8交易对手初始捐赠的任意级别XO和复制策略(-A.- C） 交易对手的除息价格Pct（x，-A.-C） 合同到期时(-A.-C） 由等式Vt（Vt（x）给出- Pct（x，-A.-C） ，~n，-A+在，-C） =VT（x）。很明显，在定义3.7和3.8中，我们分别处理对冲方和交易对手评估的单边价格。注意，如果x=x=x，那么Pht（x，A，C）=pA，cta和pct（x，-A.-C） =-P-A.-计算机断层扫描。

由于这项发明，等式Pht（x，A，c）=Pct（x，-A.-C） 当定义3.7和3.8适用于具有单一现金账户的标准市场模型时，即表示价格独立于初始捐赠x和x。下一定义与本惯例一致。请注意，定义3.9基于价格是唯一定义的隐含假设；我们在前面的章节中讨论了这个重要问题。定义3.9如果Pht（x，a，C），套期保值者愿意出售（或购买）合同（a，C）≥ 0（分别为Pht（x、A、C）≤ 0). 交易对手愿意出售（或购买）合同(-A.-C） ifPct（x，-A.-C）≤ 0（分别为），Pct（x，-A.-C）≥ 0).由于我们将自己置于一个非线性框架中，套期保值者和他的交易对手之间会出现一种自然的不对称，因此价格差异可能会发生在Pht（x，a，C）6=Pct（x，-A.-C） 。然而，这两个价格通常会产生由（较高）卖方价格和（较低）买方价格决定的无套利范围，尽管双方也可能愿意成为给定合同的卖方（或双方都愿意成为买方）。此外，由于一份合同产生的正超额现金可能（部分或全部）由另一份合同产生的负超额现金产生，我们预计两份合同组合的卖方（或买方）价格应低于（或高于）单独合同的卖方（或买方）价格之和。例3.1让我们考虑一个合同（a，C），其中C=0，At=p1[0，T]（T）+X1[T]（T）。如果X=-（坐下-K） +，然后我们处理一个由套期保值者编写的欧式期权。一个自然的猜测是Ph（x，A，C）和Pc（x，-A.-C） 应该是积极的。类似地，如果X=（SiT- K） +，那是16 T.聂和M。

Rutkowski如果交易对手是期权的制定者，自然会期望Ph（x，A，C）和Pc（x，-A.-C） 应该是负面的。此外，如果C=0且At=p1[0，T]（T）-（坐下-K） +[T]（T），那么我们猜测价格Ph（x，A，C）应该独立于x，前提是x≥ 0.事实上，作为（2.8）中最后一个约束的结果，套期保值者不能使用其初始捐赠购买股票进行套期保值。鉴于这种约束，假设模型不包括当ri，b=rb>RL土地交易被假定为不受限制时不同借贷利率的标准情况，因此套期保值者的初始捐赠可用于套期保值。在标准情况下，很自然地，套期保值者的看涨期权价格将取决于套期保值者的初始捐赠x。综上所述，对于每个特定的市场环境，除息价格的性质可能相当不同。尽管如此，我们仍然认为，它们的大多数性质可以使用BSDE的一般结果来分析，这是一种方便的方法。回想一下，X和X分别代表套期保值者和交易对手的初始捐赠。由于合同（a，C）的基因特性，不可能对相对大小和/或价格迹象做出任何合理的优先推测。等式Pht（x，A，C）=Pct（x，-A.-C） 指双方就合同的共同价格达成一致。

否则，也就是说，如果等式ht（x，A，C）=Pct（x，-A.-C） 如果无法保持，则可能出现以下情况：（H.1）0≤ Pct（x，-A.-C） <Pht（x，A，C），（H.2）Pct（x，A，C）≤ 0<Pht（x，-A.-C） ，（H.3）Pct（x，-A.-C） <Pht（x，A，C）≤ 0，对称地，（C.1）0≤ Pht（x，A，C）<Pct（x，-A.-C） ，（C.2）Pht（x，A，C）≤ 0<Pct（x，-A.-C） ，（C.3）Pht（x，A，C）<Pct（x，-A.-C）≤ 0.在分析每种情况之前，让我们回顾一下，合同（a，C）的现金流始终是从套期保值者的角度考虑的，因此观察对方面对(-A.-C） 。因此，在案例（H.1）中，我们可以说套期保值者是（A，C）的卖方，而对手是（A，C）的买方(-A.-C） ，但反对方不愿意支付对冲方要求的金额。在案例（H.2）中，双方都愿意出售合同，这意味着在实践中，套期保值者准备出售（A，C），而交易对手愿意出售(-A.-C） 。最后，案例（H.3）指的是交易对手愿意成为卖方的情况(-A.-C） ，而套期保值者现在可以被视为（a，C）的买家，但他不愿意支付交易对手复制合同所需的价格。假设市场模型在定义3.3中对双方都是无套利的。然后在所有三种情况下，（H.1）-（H.3），一个ny Gt可测量的随机变量PftsatisfyingPft∈Pct（x，-A.-C） ，Pht（x，A，C）（3.9）可以被认为是套期保值者及其交易对手的公平价格，因为以Pftwill价格进行的单边交易不会为双方都产生套利机会。

因此间隔[Pc（x，-A.-C） ，Pht（x，A，C）]从套期保值者的角度（伯格曼[1]将该区间的一个特殊情况称为套利区间）来看，为双方重新呈现了合同（A，C）的公平价格范围。定义3.10燃气轮机可测量区间Rft（x，x）：=Pct（x，-A.-C） ，Pht（x，A，C）被称为套期保值者和缔约方之间OTC合同（A，C）时间t的公平双边价格范围。虽然案例（C.1）-（C.3）的分析可以类似地进行，但财务解释和结论却大相径庭。在案例（C.1）中，套期保值者愿意成为（A，C）的卖方，交易对手愿意成为买方，他准备支付比套期保值者要求的融资成本和抵押物定价更高的价格。在案例（C.2）中，双方都愿意以各自的价格成为买方，这意味着双方都愿意向另一方支付正溢价。最后，在案例（C.3）中，交易对手愿意成为卖方，而套期保值者现在可以被视为（a，C）的买方，他准备支付比交易对手要求的更多的款项。因此，对于任何可测量的随机变量PptsatisfyingPpt∈Pht（x，A，C），Pct（x，-A.-C）（3.10）可被视为双方愿意彼此达成交易的价格。注意，除非Pht（x，A，C）=Pct（x，-A.-C） 在上文解释的情况下，价格Ppt不是一个公平的双边价格，因为当双方之间以Ppt的价格交易合同（a，C）时，至少一方会有仲裁机会。这一简单的观察激发了以下定义。定义3.11假设不平等性Pht（x，A，C）6=Pct（x，-A.-C） 坚持住。