基于外部风险不完全市场的均值-方差套期保值

衍生品b（y）伊兰（σ（y）σ（y）′）-1.尽管如此∈ {1，…，h}在y中是连续的，并且满足，对于每个y∈ Rhc，b（y）易≤“Ab+”Bbkyk（2.7）（σ（y）σ（y）′）-1.易≤\'Aσ+\'Bσkyk，（2.8），其中\'Ab，\'Aσ，\'bb和\'Bσ是一些非负常数。现在我们用Lii介绍每个从属项的条件∈ {1，…，h}，wh ich可以表示为（例如，Kallenberg[32]中的定理13.4和推论13.7]）Li（t）=Z（0，t]Zzi>0ziNi（ds，dzi），t≥ 0.（2.9）在这里和续集中，Ni（（0，t]×A）≡P0<s≤tIA(李)- 李（s）-)) 表示具有确定性时间均匀强度度量νi（dzi）ds的泊松随机度量。IA（·）是集合A上的指数函数。νi是满足Zzi>0的L’evy测度埃齐- 1.νi（dzi）<∞（2.10）取C为足够大的正常数，以保证本文中所有相关积分都有意义。注意，（2.10）中的条件是关于列维测度尾部的可积性（读者参考Dai（[10,11,12,13,14]），以证明其合理性）。2.2可容许策略首先，我们使用D（t）=（D（t）。。。，Dd（t））′表示相关的d维折扣价格过程，即每m∈ {1，…，d}，Dm（t）=Sm（t）S（t）=e-rtSm（t）。（2.11）此外，我们还定义了[0，T]，Rd，P是所有Rd值可测随机过程Z（t）的集合，适用于{Ft，t∈ [0，T]}使得EhRTkZ（T）kdti<∞. 因此，根据引理5.1，D（·）是一个连续的{Ft}-半鞅。此外，D（·）在LF（[0，T]，Rd，P）中是局部的，也就是说，有一个停止时间{σn}与n的局部序列∈ N≡{0, 1, 2, ...} 这样，对于任何n∈ N，sup{ED（τ）: 所有停止τ时间满足τ≤ σn}<∞.（2.12）其次，让L（D）表示J acod和Shiryaev[30]第207页定义6.17中的D-可积和可预测过程集。

此外，让ui（t）表示投资于股票i的股份数量∈ 时间t和定义u（t）时的{1，…，d}≡ （u（t）。。。，ud（t））。然后，我们有以下关于可接受策略的定义。定义2.1如果Rd值交易策略y u是策略ZI（τ，τ）的线性组合，其中τ≤ τ是由σn控制的停止时间∈ Nand Z是一个有界Fτ可测随机变量。此外，所有这些简单阅读策略的集合用Θ（D）表示。定义2.2交易策略∈ 如果存在序列{un，n，则称L（D）为可容许序列∈ N}简单的策略，例如：（un·D）（t）→ 概率为n的（u·D）（t）→ ∞无论如何∈ [0，T]和（un·D）（T）→ （u·D）（T）在L（P）中作为n→ ∞ . 此外，所有这类可容许策略的集合用Θ（D）表示。3主要理论首先，对于每个y∈ Rhc，德涅布（y）≡ （b（y）- R屋宇署（y）- r） ′，（3.1）ρ（y）≡ B（y）\'σ（y）σ（y）′-1B（y），（3.2）P（t，y）≡ 艾特，他-RTtρ（Y（s））dsi>0，（3.3）O（t）≡ P（t，Y（t）），（3.4）a（t）≡ （diag（D（t）））-1.σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′-1B（t，Y（t-)),（3.5）^Z（t）≡O（t）E(-a·D）（t）O，O=O（0）。（3.6）注意，（3.5）中的过程a（·）与Cerny和Kallsen[7]引理3.7中定义的调整过程一致。此外，在（3.6）中提出的过程^Z（·）与Cerny和Kallsen[7]的命题3.13中定义的密度过程有关。

此外，在这里和续集中，E（N）={E（N）（t），t∈ [0，T]}表示单变量连续半鞅N={N（T），T的随机指数∈ [0，T]}（例如，Protter[41]的第84-85页），其中e（N）（T）=expN（t）-[N，N]（t）（3.7）式中，[·，·]表示N的二次变化过程。设LF，p（[0，T]，Rd，p）表示所有Rd值可预测过程的集合（例如，参见池田和渡边[28]第21页的定义5.2），并设Lp（[0，T]，Rh，p）为所有Rh值可预测过程的集合Z（T，Z）=（Z（T，Z）。。。，~Zh（t，z））\'satisfyingE“hXi=1ZTZzi>0~Zi（t，z）νi（dzi）dt#<∞.进一步，让Z（t）≡^Z（t）-)^Z（t），（3.8）Bi（Y（t）-)) ≡dXj=1B（Y（t）-))′σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′-1.jσji（Y（t）-)),（3.9）F（t，zi）≡P（t，Y（t）-) + （齐伊）- P（t，Y（t）-))P（t，Y（t）-)),（3.10）式中，Ei是h维单位向量，其第i个分量为1。

然后，我们定义t、 V（t）-),V（t），V（t，·），Y（t-)(3.11)≡ -dXi=1’Vi（t）’Bi（Y（t）-))+hXi=1Zzi>0~Vi（t，zi）F（t，zi）~Z（t）+V（t）-)F（t，zi）Z（t）λiνi（dzi）。定义3.1对于给定的随机变量H，一个三元组（V，`V，`V）被称为BSDEV（t）=H的{Ft}自适应强解-ZTtg（s，V（s）-),V（s），~V（s，·），Y（s）-))ds（3.12）-ZTtdXi=1’Vi（s）dWi（s）-ZTthXi=1Zzi>0＠Vi（s，zi）~Ni（λids，dzi）如果V∈ LF（[0，T]，R，P）是一个c\'adl\'ag过程，\'V=（\'V，\'Vd）∈ LF，p（[0，T]，Rd，p），~V=（~V，~Vh）∈ Lp（[0，T]、Rh，P）和（3.12）持有a.s.，其中Ni（λidt，dzi）≡ Ni（λidzi，dt）- 每个i的λiνi（dzi）dt∈ {1，…，h}。（3.13）为了对选项H施加适当的条件，我们使用LγFT(Ohm, 对于正整数γ，表示所有Rd值、FT可测和om变量ξ的集合∈ Rd满足[kξkγ]<∞.假设3.1小时∈ LFT(Ohm, R、 P）存在一系列随机变量Hτn∈LFT∧τn(Ohm, R、 P）满足Hτn→ 拉斯n的H→ ∞ 对于所有ω，Hτn（ω）=H（ω）∈{ω，τn（ω）≥ T}，其中{τn}是满足τn的非减量{Ft}停止时间序列→ ∞ a、 s.as n→ ∞.正如Dai[12]所指出的，在条件C1、C2和（2.10）下，贴现欧式看涨期权和看跌期权满足假设3.1。现在，我们可以陈述本文的主要定理如下。定理3.1在条件C1，C2，（2.10）和假设3.1下，设（V，`V，`V）为（3.12）中BSDE的唯一{Ft}适应强解。

然后，给出了最优套期保值策略φ∈（1.1）的Θ（D）由φ（t）=ξ（t）给出- （v+ψ（t）-) - V（t）-))a（t），（3.14），其中，纯对冲系数ξ由ξ（t）给出=~cD*（t）-1.■cDV*（t）,（3.15）~cD*（t） =diag（D（t））σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′diag（D（t）），（3.16）~cDV*（t） =dXi=1D（t）σ1i（Y（t-))\'Vi（t）。。。，dXi=1Dd（t）σdi（Y（t-))“Vi（t）！”。（3.17）此外，ψ是SDEψ（t）=（ξ）的唯一解- （五）- 五、-)a） ·D）（t）- (Ψ-· （a·D））（t）。（3.18）备注3.1定理3.1中出现的过程V（·）实际上是条件均值过程，V（t）=EQ*[H | Ft]带dQ*≡^Z（T）dP。（3.19）由于不容易直接计算为基于马尔可夫的条件过程o（t，Y（t）），我们转而使用（3.12）中的BSDE对其进行评估，这便于我们设计最优套期保值政策，如本文导言所述。定理3.1的证明将在第5.4节性能比较中提供。本节中的部分内容将在当前论文的简短会议版本中报告（见Dai[12]）。为了方便读者，我们在这里重新定义。请注意，（2.1）中的利率r为零。此外，金融市场被认为是自我融资，这意味着X（t）=v+（u·D）（t）。此外，终端选项H被视为常数p，即H=p。在这种情况下，可以通过Dai[10]研究的反馈控制方法和本文提出的鞅方法明确地获得最优策略。在后一种方法中，相关的BSDE是退化的BSDE，从备注3.1的（3.19）中可以很容易地观察到。

然而，从这个恒等式H=p，我们可以构造两个有见地的例子来提供这两种方法之间的有效比较。更准确地说，通过Dai[10]定理3.1中的（18），我们知道Dai[10]定理3.1中的（15）所述的最优策略下的终端方差由v ar（X）给出*（T））=P（0，y）1- P（0，y）（P- v） 。（4.1）此外，通过使用本文中的定理3.1和Cern\'y和Kallsen[7]中的定理4.12，我们知道（3.14）中最优策略下的套期保值误差由Herr=P（0，y）（P）给出- v） 。（4.2）为了进行性能比较，我们计算（4.1）中的最佳终端方差和（4.2）中的最佳h边缘误差之间的差异，即误差=V ar（X*（T）- 她的r（4.3）=（P（0，y））1- P（0，y）（P- v） >0。上一个不等式（4.3）中显示的结果直观上是正确的，因为定义2.2中给出的一般决策集采用了最优策略（3.14），Dai[10]中3.1中的（15）采用了特殊方法。然而，正如下面的数值例子所示，误差非常小。示例4.1在此，我们假设金融市场由Black-Scholes模型DD（t）=D（t）（αdt+βdB（t）），（4.4）给出，其中α和β是giv en常数。由于第273-274页的定义2.1.4（b）ksendal[39]，选项H=p（一个正常数）是不可实现的，因此，如果初始捐赠v 6=p，则相关的Hedging误差不能为零。然而，根据图1和图2中显示的模拟结果，我们看到，随着终端时间的增加，基于Dai[10]定理3.1中（15）的策略的最优方差与基于（3.14）中策略的最优套期保值误差之间的绝对误差接近于零。收敛速度在很大程度上取决于波动率β。

如果β相对较大，差异需要更多时间才能达到零。然而，如果用毫秒来表示基于超级计算机的交易系统中的时间单位，那么收敛所需的时间在实践中是有意义的。示例4.2在此，我们假设金融市场由BNS模型DD（t）=D（t）（（α+βY（t））表示-))dt+pY（t-)dB（t）），（4.5），其中α和β为常数。此外，根据（2.10）中对条件的说明以及Dai[11]中的讨论，我们假设（2.3）中λ=1的驱动从属函数（λ·）是一个复合泊松过程。过程的到达间隔时间以平均1/u的指数分布，过程的跳跃大小也以平均1/u的指数分布。

通过图3中显示的模拟结果，我们可以看到示例4.1中显示的类似图示对当前示例也有意义，其中图3中出现的δ是等分子区间的长度[0，T]。此外，通过模拟结果，我们还发现，在一个完全市场中，由于完美套期保值是不可能的，在许多情况下，随着时间的增加，均值-方差套期保值误差可能非常小。3.5 4x 1040100020003000时间方差中的最优方差曲线3.5 4x 1040100020003000时间误差中的最优套期保值误差曲线3.5 4x 10400.0050.010.0150.02绝对误差时间误差1.5 2.5 3x 1040204600平均终端平均误差中的最优套期保值误差曲线图1：使用r=0，v=10000，p=30000，T=40000，α=2，β=100.5定理3.1的证明由以下四个部分组成：与折扣价格过程相关的命题的证明，与VOMM相关的命题的证明，一类带跳跃的BSD解的唯一存在性的说明，定理3.1.5.1关于折扣价格过程命题5.1的剩余证明，在条件C1、C2和（2.10）下，我们得到D（·）是一个连续的{Ft}-半鞅，即D（·）=D+MD（·）+BD（·），（5.1），其中MD（·）和BD（·）分别是一个{Ft}-鞅和一个有限变量的可预测过程。此外，D（·）在LF（[0，T]，Rd，P）中的局部意义如（2.12）所述。我们把命题的证明分为两部分。

首先，我们有下面的引理。引理5.1在（2.10）下，对于每一个^t>t，i，uniqu e将溶液调整到（2.3）中的SDE∈ {1，…，h}，和y∈ (0, ∞)他给的是一（^t）=一-λi（^t）-t） +Z^tte-λs（i）-t） dLi（λis）≥ 易-λi^t，Yi（t）=Yi。（5.2）300 350 4000100020003000时间方差中的最优方差曲线300 350 4000100020003000时间误差中的最优套期保值误差曲线300 350 40000.0050.010.015绝对误差时间误差1 1.5 2 2.5 3x 1040204600平均终端平均值中的最优套期保值误差曲线图2：使用y=10，r=0，v=1000 0，p=30000，T=400，α=2，β=10的Black-Scholes模型的误差。此外，在条件C1，C2和（2.10）下，（2.2）-（2.3）有一个唯一解（S（t），S（t′），它是一个{Ft}适应的连续半鞅，带（·）∈ 如果[0，T]，Rd，P.（5.3）此外，每米∈ {1，…，d}，Sm（t）=Sm（0）exp（Zt）bm（Y（s-)) -dXn=1σmn（Y（s-))#ds（5.4）+ZtdXn=1σmn（Y（s-))dWn（s））。证据关于（5.2）的权利要求直接来自Applebaum[1]第316-317页。此外，由于条件C1和C2，我们知道（2.2）（2.3）给出的市场满足Dai[10]中引理4.1所要求的条件。因此，我们的市场有一个独特的解决方案，它是{Ft}适应的、连续的、均方可积的，如EMMA 5.1所述。

为了证明（5.4），letXm（t）=Ztαm（Y（s-))ds+Ztβm（Y（s-))′dW（s），（5.5）其中，对于任何∈ [0，T]，αm（Y（s-)) = bm（Y（s）-)) -dXn=1σmn（Y（s-)),βm（Y）s-)) = (σm1)(Y)-)), ..., σmd（Y（s）-)))′.1.5 2x 10400.511.5最佳曲线偏差1.5 2x 10400.511.5最佳曲线对冲误差1.5 2x 1040246x 10-9绝对错误时间错误1.5 2.5 3x 10402468x 10-8均值终端均值最优套期保值误差曲线图3：使用BNS模型的误差，y=10，r=0，v=10000，p=30000，T=200，δ=0.01，α=0.5，β=0.02，u=10，u=8。然后，根据条件C1，存在一些非负常数D，比如ZTαm（Y（s）-))ds≤ DT+Bb+BσT ePhi=1yi0hYi=1heli（λiT））i（5.6）<∞,在这里，我们使用了L（λt）在t中非负且不减损的事实，即Li（λi·）对i的独立性假设∈ {1，…，h}，anda+bkL（λt）k≤∨ A.任何a的ebkL（λt）kF≥ 0，b≥ 0，>0，（5.7）Yt，yii（^t）≤ yi+Li（λi^t）- 任何^t的Li（λit）≥ t、 （5.8）EheCLi（λit）i=expλi>0埃齐- 1.νi（dzi）< ∞.（5.9）同样，我们可以证明ZTβm（Y）s-))ds< ∞.（5.10）注意，W（·）和Li（λi·）表示i∈ {1，…，h}是独立的；W是{Ft，t∈ [0，T]}-鞅；αm（Y（t）-)) 和βm（Y（t-)) 都是英国《金融时报》改编的。