基于外部风险不完全市场的均值-方差套期保值

更准确地说，根据Protter[41]第132-133页定理35证明中的最后一个等式，我们得到了Dm（t）=MDm（t）-^Z（t）h^Z，MDmi（t）+MDmi Zth^Z（s）-)D^Z（s） 。（5.60）然后，我们可以证明（5.60）右边的两个项都是Q*-鞅。对于（5.60）右侧的第一项，它源自Protter[41]第132页中的部分积分（例如等式（*）和（**）、伊藤公式（例如，第6-9页中的定理1.14和定理1.16）ksendal and Sulem[38]），以及引理5.2 tha*****m（t）-^Z（t）h^Z，MDmi（t）！^Z（t）（5.61）=Zt^Z（s）-)dMDm（s）+Z*****m（s）d^Z（s）=Zt^Z（s）-)dMDm（s）-dXn=1Z*****m（s）^Z（s）-)\'Bn（Y（s）-))dWn（s）+hXi=1ZtZzi>0MDm（s）E((-a·D（s））O（P（s，Y（s）-) + （齐伊）- P（s，Y（s）-)))△Ni（λids，dzi），其中△Bn（Y（s-)) 定义见（3.9）。第二个等式由（5.39）-（5.15）和d^Z（t）=^Z（t）组成-)dG（t）（5.62），因为（5.51）-（5.52），多尔-戴德指数的定义，以及Protter[41]第84-85页中的定理37。然后，我们可以证明（5.61）右边的每一项都是anQ*-鞅。声称（5.61）右侧的第一项是Q*-鞅可以证明如下。首先，根据（5.64）中使用的类似论点，MDI是平方可积P-鞅。其次，根据托内利定理（例如，Royden[43]第309页中的Th eorem 20）和H¨older不等式，我们得到了^Z（s）dMDm，MDm（s）(5.63)≤\'\'KZTEO(s)1/2呃(E)(-a·D（s））i1/4EDm（s）1/4ds<∞,其中K是某个正常数。（5.63）中的最后一个等式来自（5.56）和（5.13）中的类似参数。因此，从Jaco d和Shiryaev[30]第48页的定理4.40（b）可以看出，（5.61）右边的第一项是{Ft}和P-鞅。（5.61）右边的第二项是Q*-鞅可以证明如下。

它遵循Karatzas and Shreve[34]第163页的f rom（5.13）和练习3.25Z*****m（s）ds< ∞.（5.64）然后，通过（5.64）、霍尔德不等式和（5.63）中使用的类似方法，我们知道（5.61）右边的第二项是{Ft}和P-鞅。（5.61）右边的第三项是Q*-鞅可以证明如下。它源于托内利定理（例如，罗登[43]第309页的T heorem 20）ZTZzi>0 | MDm（t）| O（P（t，Y（t）-) + （齐伊）- P（t，Y（t）-)))E((-a·D）（t）νi（dzi）dt(5.65)≤ KE“ZTZzi>0supξ（Y（t-))∈[0，zi]P（t，Y（t）-) + ξ（Y（t）-))ei）易ziνi（dzi）dt#！<∞,其中Kis是一个正常数。（5.65）中的不等式来源于（5.56），（5.64）中使用的类似证明，H¨older不等式，（5.27）的结果，以及zzi>0ziν（dzi）的事实≤Z0<zi<1ziνi（dzi）+Zzi≥1ziνi（dzi）<∞.=Z0<zi<1ziνi（dzi）+Zzi≥1（ezi）- 1） +Zzi≥1νi（dzi）<∞.然后，从（5.65）和Ikeda和Watanable[28]第61-62页的论点出发，（5.61）右边的第三项也是{Ft}和P-鞅。因此，通过总结（5.61）右侧sid e上的thr ee项的讨论，我们知道（5.61）给出的过程是一个{Ft}和P-鞅。此外，通过应用Jacod和Shiryaev[30]第168页中的命题3.8（a），我们可以得出结论，（5.60）右侧的第一项是Q*-鞅。对于（5.60）右边的第二项，我们可以证明它也是一个{Ft}和Q*-鞅。实际上，因为^Z是Q的密度过程*在P和^Z^Z=1（即P-鞅），根据Jacodand Shiryaev[30]第168页的命题3.8（a），^Zis是Q*-鞅。

此外，它遵循伊藤公式（例如，Protter[41]第78页中的定理32），（5.62）和（5.61）中最后一个等式中的d^Z（t）的计算，即d^Z（t）=^Z（t）-)dXn=1\'Bn（Y（t）-))dt-^Z（t）-)dXn=1’Bn（Y（t-))dWn（t）（5.66）-hXi=1Zzi>0F（t，zi）^Z（t）~Ni（λidzi，dt），其中-)) 定义见（3.9）。因此，从（5.66）可以看出，^Zis在Q下是平方可积的*, i、 e.情商*^Z（t）！≤ 情商*“好≤s≤T^Z（s）#（5.67）≤ 4EQ*“^Z（T）#≤ 4.Eh^Z（T）iE“^Z（T）#！=OE（E）((-a·D）（T）E（E）((-a·D）（T）< ∞,其中（5.67）中的第二个不等式源自杜布鞅不等式（例如，Applebaum[1]第74页的定理2.1.5），因为^Zis an Q*-鞅。（5.67）的最后一个不等式来自（5.56）中类似的论证。因此，为了证明（5.60）右边的第二项是Q*鞅，它必须证明在Q下*根据Jacod和Shiryaev[30]第48页中的（5.67）和定理4.40（b）确定*ZT哈兹，MDmi（s）-)D^Z，^Z（s）（5.68）=等式*MDmic ZTh^Z（s）-)^Z（s）-)!dXn=1\'Bn（Y（s）-))ds+hXi=1EQ*ZTZzi>0h^Z，MDmic（s）-)F（s，zi）^Z（s）！λiνi（dzi）ds.第68-5项在第一手*“ZT^Z（s-)哈兹，MDmic（s）-)ρ（Y）s-))ds#（5.69）≤ “克”E(-a·D）（T）#!呃(E)(-a·D）（T）i中兴通讯Dm（s）ds< ∞,其中Kis是一个正常数。（5.69）中的第一个不等式源自Doob\'smartingale不等式（例如，Applebaum[1]第74页）。（5.69）中的第二个不等式源自（5.53）和（5.13）中类似的论点。同样，（5.68）右侧的第二项也是有限的，这可以通过（5.69）中的讨论得到证明。因此，从（5.68）的完整性可以看出，（5.60）右侧sid e的第二项是Q*-鞅。

因此，通过将这一事实与（5.60）和（5.61）相结合，我们知道（5.59）中显示的D=~D+\'s是一个Q*-鞅（即Q*是一个等价的鞅测度）。最后，通过使用（5.63）中使用的类似讨论，我们得出以下结论：*数据处理∈ L（P），这意味着Q*∈ Ue（D）。引理5.7在条件C1，C2和（2.10），Q下*这就是VOMM。证据证明Cern\'y和Kallsen[7]的定理3.25中的所有条件都是满足的是很有必要的。首先，对于任何停止时间τ，我们可以证明uτ（t）≡ a（t）I（τ，t]（t）E(-aI（τ，T]）·D（t）-) ∈Θ（D）。（5.70）事实上，根据引理5.6的证明，Ue（D）是非空的。此外，由于这是一个连续的P-半鞅，证明Cerny和Kallsen[8]的定理2.1中的三个等价条件满足（5.70）是很有效的，这可以通过类似于之前的繁琐计算来完成。此外，我们可以证明OE((-aI（τ，T]）·D）属于（D）类。因此，通过将这个断言与引理5.4、（5.70）和定理3结合起来。25在Cern'y和Kallsen[7]中，我们知道O和a是[7]第3节定义的机会和调整过程。因此，根据Cern’yand Kallsen[7]中的命题3.13，Q*这就是VOMM。因此，我们完成了命题5.2的证明。

5.3一类BSDE解的唯一存在性考虑以下q维带跳BSDE和终端条件HV（t）=H-ZTtgs、 V（s）-),V（s），~V（s，·），Y（s）-)ds-ZTtdXi=1’Vi（s）dWi（s）（5.71）-ZTthXi=1Zzi>0Vi（s，zi）~Ni（λids，dzi），其中H∈ LFT(Ohm, Rq，P），V=V。。。，\'Vd∈ Rq×d，~V=■V。。。，~Vh∈ Rq×h，g是一个随机函数：[0，T]×Rq×Rq×d×Lν（Rh+，Rq×h）×Rh×Ohm → RhandLν（Rh+，Rq×h）≡（~v:Rh）+→ Rq×h，hXi=1Zzi>0 |vi（zi）|νi（dzi）<∞).（5.72）对于任何∈ Lν（Rh+，Rq×h），相关的范数由kvkν定义≡hXi=1Zzi>0 |vi（zi）|λiνi（dzi）！。（5.73）提案5.3替换H∈ LFT(Ohm, R、 P）由H∈ LFT(Ohm, R、 P）在假设3.1中。假设g（t，v，\'v，~v，Y（t-)) 是{Ft}适合于任何给定的（v，\'v，~v）∈ Rq×Rq×d×Lν（Rh+，Rq×h）与g（·0,0,0,Y）(·-)) ∈ LF（[0，T]，Rq）（5.74）使得Gt、 v，v，v，Y（t）-)- Gt、 u，\'u，~u，Y（t-)I{t≤τn}(5.75)≤ 千牛（库）- vk+k\'u- u+vk- 对于任何（u，\'u，~u）和（v，\'v，~v）∈ Rq×Rq×d×Lν（Rh+，Rq×h），其中n上的Kndepending是正常数。然后，（5.71）中的BSDE有一个独特的解决方案（V，`V，~V）∈ LF（[0，T]，Rq，P）×LF，P（[0，T]，Rq×d，P）×Lp（[0，T]，Rq×h，P），（5.76），其中V是一个c`adl`ag过程。唯一性在于：如果存在另一个所需的解决方案（U，\'U，~U），则EZTkU（t）- V（t）k+k\'U（t）-\'V（t）k+k＠U（t，·）-~V（t，·）kνdt= 0.（5.77）证据。首先，每n∈ {1, 2, ...}, 我们定义τn≡ inf{t>0，kL（λt）k>n}。（5.78）然后，从普洛特[41]第4页的定理3和条件（2.10）得出，{τn}是一个非减量的{Ft}停止时间序列和s函数τn→ ∞ a、 美国。

作为n→ ∞ sinceP{τn≤ t} =P{kL（λt）k>n}≤EkL（λt）kN→ 0as n→ ∞ 对于任何给定的t∈ [0, ∞), 其中我们使用了（2.10），（5.9），（5.7），以及L（λt）是一个h维非负且非减损的c`adl`ag过程这一事实。其次，对于每个n，考虑以下具有随机终端时间σn的BSDE≡ T∧τ与一项最终条件Hτn，V（t）=Hτn-Zσnt∧σngs、 V（s）-),V（s），~V（s，·），Y（s）-)ds（5.79）-Zσnt∧σndXi=1’Vi（s）dWi（s）-Zσnt∧σnhXi=1Zzi>0Vi（s，zi）~Ni（λids，dzi）。在[51]和[53]的讨论中，我们对[51]和[53]进行了调整，如图[5]所示[1]和[53]中的[1]和[5]中的[1]和[5]中的[1]进行了相应的概括[1]和[5]中的[1]和[5]中的[1]和[5]中的[1]和[5]中的[1]和[5]中的[1]的[1]和[5。第三，每n∈ {1, 2, ...}, 允许Ohmn={ω∈ Ohm : σn（ω）=T}。因为σ是一系列不增加的停止时间和dσn→ T a.s.as n→ ∞, 我们有Ohm = ∪∞n=1OhmnandOhmL Ohm恩维尔≤ n、 现在，我们使用∏n（t，z）≡ （Vn（t），\'Vn（t），~Vn（t，z））代表t≤ σnandz∈ Rh+表示每个n的（5.79）的唯一解。因为Hτn（ω）=H（ω）f或所有ω∈ {ω：τn（ω）≥ T}，我们知道∏n（T，z）=n-1（t，z）=所有t的∏l（t，z）≤ σl（ω），a.s.ω∈ Ohm降落任何z∈ Rh+。通过概率的连续性，我们知道，对于任何给定的>0，存在一个足够大的n>0，使得P{Ohmn} >1- 因此，对于任何给定的δ>0，对于所有的n，l>n，我们有p（sup0）≤T≤T、 z∈右+πn（t）∧ σn，z）- πl（t）∧ σl，z）> δ） 也就是说，{n（·∧ σn，·），n∈ {1, 2, ...}} 概率一致柯西。因此，它在概率上统一收敛于一个过程∏={∏（t，z），t∈ [0，T]，z∈ Rh+}。因此，我们可以从{n∏中提取一个子序列∧ σn，·），n∈ {1, 2, ...}} 因此，我们可以得出结论∏是（5.71）的解，并且具有命题中所陈述的所有性质。

此外，假设∏′={∏′（t，z），t∈ [0，T]，z∈ Rh+}是（5.71）的另一种溶液。然后，我们可以得出结论，对于所有n≥ l、 π′（t，z，ω）=所有t的∏l（t，z，ω）∈ [0，T]，z∈ Rh+，几乎所有ω∈ Ohml、 在f法中，如果某个人的主张不成立≥ l、 定义∏′n（t，z，ω）=ω的∏′（t，z，ω）∈ Ohmland∏′n（t，z，ω）=ω的∏n（t，z，ω）∈ Ohmcl.然后，在相同的终端条件Hτn下，∏′和∏是（5.79）的不同解，这与（5.79）解的唯一性相矛盾。那么，对于所有的t，P{∏（t，z）=∏′（t，z）∈[0，T]，z∈ Rh+}=1来自一个简单的限制参数，如上所述。此外，通过应用Ikeda和watanabe[28]第57页定义2.4所用的类似论点及其相关注释，我们知道∏是（5.71）的唯一解决方案（感兴趣的读者也可参考Applebaum[1]第309-310页进行相关讨论）。因此，我们完成了命题5.3的p屋顶。5.4定理3.1的剩余证明首先，通过H¨older不等式和（5.56）的类似计算，我们得到了(-a·D）（T）i≤EH呃(E)(-a·D）（T）i(5.80)< ∞.因此，根据詹森不等式，过程X={X（t），t∈ [0，T]}带x（T）≡ 他(-a·D）（T）|Ft]（5.81）是平方可积鞅。因此，通过鞅表示定理（例如，Tang和Li[51]中的引理2.3），我们有X（t）=X（0）+dXj=1Zt\'-Xj（s）dWj（s）+hXi=1ZtZzi>0Xi（s，zi）~Ni（λids，dzi）（5.82）和\'X=（\'X，\'Xd，\'Xd\'）∈ LF，p（[0，T]、Rd，p）和![X=（![X，，![Xh]）”∈ Lp（[0，T]，Rh，P）。此外，它遵循贝叶斯规则（例如，第160页的引理8.6.2）ksendal[39]）和命题5.2，即x（t）=oeh^Z（t）|Fti=O^Z（t）V（t），（5.83），其中V（t）在（3.19）中定义。

因此，通过分部积分公式（例如，Protter[41]第68页的推论2）和（5.82）-（5.83），我们得到了dV（t）（5.84）=OX（t）-)d^Z（t）+^Z（t）-)dX（t）+d十、 ^Z（t） ！=g（t，V（t）-),V（t），V（t，·），Y（t-)))dt+dXi=1’Vi（t）dWi（t）+hXi=1Zzi>0’Vi（t，zi）~Ni（λidzi，dt），其中g定义在（3.11）和‘Vi（t）=-V（t）-)\'Bi（Y（t）-)) +\'Xi（t）O^Z（t-), 对于i=1。。。，d、 ~Vi（t，zi）=-V（t）-)F（t，zi）\'Z（t）+Xi（t，zi）O^Z（t）-), 对于i=1。。。，H，其Z由（3.8）给出。因此，通过（5.84），我们知道V满足BSDE（3.12）。接下来，我们检查g（t，v，\'v，~v，Y（t-)) （3.11）中的定义满足提案5.3中规定的条件。事实上，从（3.11）中，我们可以看到g（t，v，\'v，~v，Y（t-)) Ft是否适用于任何给定的（v，\'v，~v）∈ R×R1×d×Lν（Rh+，R1×h）与g（t，0，0，Y（t-)) ≡ 0∈ LF（[0，T]，R，P），进一步，对于非减量停止时间序列{τn，n=1，2，…}根据定义（5.78），我们有\'Z（t）I{t≤τn}≤\'KnePhi=12BρλikL（λt）kI{t≤τn}≤~Kn，其中，~Kn和~kna是正常数，取决于n。此外，它来自于第（5.40）位的上限Zzi>0（F（t，zi））νi（dzi）I{t≤τn}≤\'LePhi=1（6+4Bρλi）kL（λt）kI{t≤σn}≤其中，L是一个正常数，Ln是一个正常数，取决于n。因此，对于任何（u，\'u，u），（v，\'v，~v）∈ R×R1×d×Lν（Rh+，R1×h），我们有（g（t，u，\'u，~u，Y（t-)) - g（t，v，\'v，~v，Y（t-)))I{t≤τn}≤ hKnLnku- vk+k\'u- “vk（ρ（Y（t）-)) + d）I{t≤τn}+hλi~Kn~Lnku- ~vkν≤ 千牛（库）- vk+k\'u- u+vk- 其中Knis是一个依赖于n的正常数，在上一个不等式中，我们使用了（5.21）。因此，命题5.3中所述的所有条件都是满足的，这意味着（3.12）有一个独特的适应解决方案。现在，每个t∈ [0，T]和BK（T）=Rtρ（Y（s-))ds，我们定义了密度过程zp*（t）≡O（t）OE（BK）（t）。（5.85）那么，相应的概率P*~ P

因此，在Cerny和Kallsen[7]的定义3.16中，它是机会中立的概率度量。毛皮thermore，由推论8。7（b）和方程式（8.19）在Jacod和Shiryaev[30]第135-138页中，我们可以重写ZP*在（5.85）asZP中*（t） =E（K）（t）E-BK（t） =E迈克科尔斯（t） （5.86）每t∈ [0，T]，其中K在（5.36）中定义，mk在（5.39）中定义。然后，通过命题5.2（2）中p屋顶中使用的类似方法，我们知道ZP*是一个有界正鞅。因此，对于每一对i，j∈ {1，…，d}和t∈ [0，T]，我们有HDI，DjiP*（t） =[Di，Dj]P*（t） =[Di，Dj]（t）=Zt~cD*ij（s）ds，（5.87）其中（5.87）中的第一个等式是由于D的连续性，雅科德和Shiryaev[30]第55页的定理5.52，雅科德和Shiryaev[30]第52页的定理4.47（c），P*和P，以及Protter[41]第132页中的Girsanov-Meyer定理。第二个等式来自Jacod和Shiryaev[30]自Cezp以来第52页的定理4.47（a）*P rotter[41]第132页中的有界和Girsanov-Meyer定理。此外，cD*最后一个等式在（3.16）中定义。现在，注意D是连续的。然后，根据Jacod and Shiryaev[30]第55页的定理4.52（或Protter[41]第83页的推论证明），我们现在知道[Di，V]（t）和[Di，V]c（t）对于每一个∈ P或P下的{1，…，d}*用同样的补偿器。因此，wehavehDi，V iP*（t） =（hDi，V ic）P*（t） =（[Di，V]c）P*（t） =[Di，V]c（t）=Zt~cDV*i（s）ds，（5.88）其中cDV*第（3.17）节定义了iis。

（5.88）的最后一个等式来源于Jacod和Shiryaev[30]第52页中的第4.47（a）条，以及V（t）=V（0）+Ztg（s，V（s）这一事实-),V（s），~V（s，·），Y（s）-))ds+ZtdXi=1’Vi（s）dWi（s）+ZthXi=1Zzi>0’Vi（s，zi）~Ni（λidzi，ds）。然后，从Cerny和Kallsen[7]中的（5.87）-（5.88）、定义4.6和方程（4.8）可以看出，（3.15）是真的。最后，（3.18）解的唯一存在性是由于Jacod[29]中的定理6.8，以及Cerny和Kallsen[7]中引理4.9和定理4.10的结果。因此，根据理论4。10在Cern\'y和Kallsen[7]中，我们知道均值-方差对冲策略由（3.14）给出。因此，我们完成了定理3.1的证明。6结论在本文中，我们证明了针对不完全金融市场明确构建的套期保值策略的全局风险最优性。由于Pigorsch和Stelzer[50]中的讨论和其中的引用，我们在本文中的讨论可以扩展到（2.3）中的外部风险因素以某种方式相关的情况。为了便于记谱，我们保持论文的呈现方式。此外，我们在本文中的研究建立了我们的金融系统与Cern\'y和Kallsen[7]中现有的基于一般半鞅的研究之间的联系，因为我们可以通过显式构造过程N和VOMM Q来克服Cern\'y和Kallsen[7]中的困难*. 此外，本文的目的和讨论与Jeanblanc等人最近的研究不同。[31]因为Jeanblanc e t al[31]中的作者并不想得出任何具体的表达。尽管如此，感兴趣的读者可能会尝试在Jeanblanc等人中扩展这项研究。[31]并将其应用于我们的金融市场模型，以构建相应的明确结果。最后，与Hubalek等人的研究不同。