基于外部风险不完全市场的均值-方差套期保值

然后，它来自于中的定义4.1.1ksendal[39]和相关的It^o公式（例如，中的定理4.1.2）ksendal[39]）认为Sm（t）给出的每一个m的（5.4）是（2.2）的唯一解。现在，我们展示了每个m的Sm（·）∈ {1，…，d}是平方可积的{Ft}-半鞅。为此，我们重写（2.2）的积分形式Sm（t）=Sm（0）+ZtSm（s）bm（Y（s）-))ds+ZtSm（s）dXn=1σmn（Y（s）-))dWn（s）。（5.11）那么，（5.11）右边的第三项是一个squ可积{Ft}-鞅。事实上，从（5.2）中可以看出∈ {1，…，h}和^t>t，λiZ^ttY（t，yi）i（s）ds=yi+Li（λi^t）- Li（λit）- Y（t，yi）i（^t）（5.12）≤ yi+Li（λi^t）- Li（λit）=yi+Li（λi（^t）- t） ），其中（5.12）中的最后一个等式适用于分配。因此，它遵循引理5.1中的条件c1和（5.4）ZTSm（s）dXn=1σmn（Y（s-))!ds≤ dsmCTEheCkL（λT）ki(5.13)< ∞,其中C是一个正常数，我们使用了Protter[41]第138页中的定理39和条件（2.10）。因此，根据Jacod and Shiryaev[30]第48页的定理4.40（b），我们知道（5.11）中的第三项是平方可积{Ft}-鞅。此外，通过同样的方法，我们可以证明（5.11）右侧的第二项是有限变量a.s.，并且在[0，T]上是平方可积的。因此，我们得出结论，对于每一个m∈ {1，…，d}是平方可积的{Ft}-半鞅。因此，我们完成了引理5.1的p屋顶。命题5.1的证明根据引理5.1和伊藤公式，每∈ {1，…，d}，BDm（t）=ZtDm（s）（bm（Y）（s-)) - r） ds，（5.14）MDm（t）=ZtDm（s）dXn=1σmn（Y（s-))dWn（s）。（5.15）注意，通过与（5.13）类似的计算，我们得到ZtDm（s）dXn=1σmn（Y（s-))!ds< ∞（5.16）对于所有t∈ [0，T]。因此，遵循Jacod and d Shiryaev[30]第48页中的fr om定理4.40（b），MDI是一个{Ft}鞅。

此外，它来自于一个类似的解释，即BD5.1引理的证明是一个有限变化和平方可积的可预测过程。因此，我们现在知道D是一个连续的{Ft}-半鞅。此外，由于我们可以取σn，它在L（P）中是局部的≡ inf{τ：D（τ）≥ n} 作为本地化时间的顺序。因此，我们完成命题5.1的证明。5.2一个与Vomm有关的命题首先，我们用PD（\'Θ）（D）来表示Q(Ohm) = 1和Q<< P与dqdp∈ L（P）和EdQdP（u·D）（T）= 0表示上的签名度量值Q(Ohm, F） 所有你∈Θ（D）。那么，我们有下面的命题。命题5.2在条件C1、C2和（2.10）下，以下主张成立：1。^Z是{Ft}-鞅，其中^Z（·）在（3.6）中给出；2.量度Q*（3.19）中定义的是等价鞅测度（EMM），Q*∈ （1.2）中定义的Ue（D）；3.量度Q*VOMM是指dQ*数据处理= 明克∈PD（Θ）V ardQdP.我们将命题的证明分为以下六个引理。引理5.2在条件C1、C2和（2.10）下，（3.3）中定义的P（t，y）是以下IPDE的解tP（t，y）=ρ（y）P（t，y）+φ=1λiyi叶（t，y）-φ=1λiRzi>0（P（t，y+ziei）- P（t，y））νi（dzi，P（t，y）=1。（5.17）对于y∈ Rhc。此外，我们有p（t，y）∈ C1,1（[0，T）×Rhc，R），（5.18）EZT | P（t，Y（t-))|dt< ∞,（5.19）hXi=1EZTZzi>0 | P（t，Y（t-) + （齐伊）- P（t，Y（t）-))|ν（dzi）dt< ∞.（5.20）证据。根据条件C1、C2和（5.2），对于每个∈ {1，…，h}，kρ（Y（t））k≤ Aρ+BρkY（t）k，（5.21）ρ（Y（t））易≤“A+”AkY（t）k+“AkY（t）k+”AkY（t）k，（5.22）其中“Aifor i”∈ {1,2,3,4}是一些非负常数，Aρ和Bρ由Aρ=2（Ab+r）Bbbσ+（Ab+r）BσK，Bρ=BσBσ和K=min{yi0e给出-λiT，i=1。。。，h} 。然后，基于Benth at al中使用的一个想法。

[4] ，我们可以通过以下四个步骤证明引理5.2。首先，通过直接计算，我们知道P（t，y）对于任何（t，y）都是有限的∈ [0，T]×Rhc，即P（T，y）≤ expK（T）- t） +BρhXi=1yiλi！<∞,（5.23）其中非负常数Kis由k=Aρ+hXi=1λiZzi>0给出eBρziλi- 1.νi（dzi）。其次，我们证明了P∈ C0,1[0，T]×Rhc，R和映射（t，y）→Pyi（t，y）foreach i∈ {1，…，h}是连续的。。每个y的P（·，y）的连续性∈ RHCC可显示如下。由于条件（2.4）和事实（5.12），我们知道expZTtρ（Yt，y（s））ds≤ expAρT+hXi=1Bρλi（yi+Li（λiT））！。（5.24）通过（2.10）和（5.9），我们知道（5.24）右侧的函数对于每个固定y是可积的∈ Rhc。然后，根据勒贝格的支配收敛定理，每个y的P（t，y）在t方面是连续的∈ [0，T]。接下来，我们展示P易（t，·）和我∈ {1，…，h}对于所有t∈ [0，T]存在并且是连续的。事实上，考虑一个任意但固定的点y，然后取一个紧集U Rhcsuch thaty位于U的内部。请注意，U中的所有点都可以假定为以某个正常数M为界。因此，在（5.22），（5.2），（5.8）和（5.7）中，我们得到了≥ Tyiρ（Yt，y（s））≤Xi=1’Ai！e3hM+3Phi=1Li（λiT），（5.25），其中Yt，y（s）表示在时间t具有初始值y的过程。由于（2.10）和（5.9），位于（5.25）右侧的函数是可积的。因此，它来自定理2。27（b）在Folland[19]中，根据Yi，部分地激发了Rttρ（Yt，y（s））ds∈ {1，…，h}存在。因此，我们有易eRTtρ（Yt，y（s））ds≤ TXi=1’Ai！EAρT+3hM+Bρφ=1λi+φ=13+BρλiLi（λiT）！。（5.26）同样，通过（2.10）和（5.9），我们知道（5.26）右侧sid e上的函数是可集成的。因此，根据Folland[19]中的定理2.27（b），我们可以得出P（T，y）相对于y是可微的∈ Rhc。

此外，通过（5.2）、（5.26）和Lebesgue的支配收敛定理，我们得到了m ap ping（t，y）→Pyi（t，y）代表每个人∈ {1，…，h}是连续的。因此，P（t，y）∈ C0,1[0，T]×Rhc，R.第三，我们证明了平方可积性（5.20）是真的。事实上，从条件（2.10）可以看出∈ {1，…，h}）是一个σ-有限度量，因为νi（[，∞ )) < ∞ 对于任何>0的情况。另外，很容易看出非负函数| P（t，Y（t-)+（齐伊）-P（t，Y（t）-))|是产品空间[0，T]×Rhc×上可测的Ohm. 因此，通过中值定理（5.25），（5.26），詹森不等式，以及P（t，y）在y中的可微性，我们得到了ZTZzi>0 | P（t，Y（t-) + （齐伊）- P（t，Y（t）-))|νi（dzi）dt(5.27)≤ KKe（6+2Bρλi）Z0<zi<1ziνi（dzi）+Zzi≥1.e（8+2Bρλi）zi- 1.νi（dzi）+Zzi≥1νi（dzi）< ∞,其中Kand Kare是一些正常数。此外，从（5.23）、（5.8）和（2.10）可以看出（5.19）是正确的。第四，我们证明P（t，y）满足IPDE（5.17）。事实上，对于每个t∈ [0，T），它是由Y thatg（T）的时间均匀性得出的- t、 y）≡ E0，yhe-RT-tρ（Y（s））dsi=Et，yhe-RTtρ（Y（s））dsi=P（t，Y）。（5.28）自P（t，y）∈ C0,1[0，T]×Rhc, 它遵循it^o的公式（例如，参见第6-9页的定理1.14和定理1.16）ksendal和Sulem[38]）认为，对于每个固定的t，g（t- t、 Y0，y（l））（5.29）=g（t- t、 y）-hXi=1λiZlY0，yii（s-)G易（T）- t、 Y0，y（s）-))ds+hXi=1ZlZzi>0（g（T- t、 Y0，y（s）-) + （齐伊）- g（T）- t、 Y0，y（s）-)))Ni（λids，dzi）。进一步，设^g（t，zi，ω）≡ g（T）- t、 Y0，y（s）-, ω） +ziei）- g（T）- t、 Y0，y（s）-), ω） ）给每个人∈ (0, ∞), 我∈ {1，…，h}和ω∈ Ohm. 那么，^g是{Ft}可预测的。因此，由于（5.20）（这里我们需要将任意但固定的y替换为y），从定理4.2.3 inApplebaum[1]（或池田和渡边[28]第61-62页中的解释）可以看出（5.29）中的最后一项是半鞅。

因此，考虑到对（5.29）的两个sid的期望，我们得到[g（T- t、 Y0，y（l））]- g（T）- t、 y）l=hXi=1λilZlEY0，Yi（s）-)G易（T）- t、 Y0，y（s）-))ds-hXi=1λilZlZzi>0E[g（T- t、 Y0，y（s）-) + （齐伊）- g（T）- t、 Y0，y（s）-))]νi（dzi）ds。然后，让我↓ 我们知道P（t，·）在y的极小生成元的域中，它由A表示，即Ag（t）- t、 y）=hXi=1λiyiyig（T）- t、 y）（5.30）-hXi=1λiZzi>0（g（T- t、 y+ziei）- g（T）- t、 y））νi（dzi）。现在，到（5.23），我们看到g（T- t、 y）=P（t，Y0，y（l））∈ L(Ohm, P）对于每个t∈ [0，T）和在一个0的邻域中的all，使得T- L≤ T因此，我们有e0，y[g（T- t、 Y（l））]=E0，yhE0，Y（l）he-RT-tρ（Y（s））dsii（5.31）=E0，yhE0，yhe-RT-tρ（Y（s+l））dsFlii=E0，yhe-RT-t+llρ（Y（s））ds）i=E0，yhe-RT-t+lρ（Y（s））dseRlρ（Y（s））ds）i，其中（5.31）中的第二个等式遵循Y的马尔可夫性质（例如，Kallenberg[32]中的命题7.9）。然后，我们得到0，y[g（T）- t、 Y（l））]- g（T）- t、 y）l（5.32）=lE0，yhe-RT-t+lρ（Y（s））dseRlρ（Y（s））ds- 1.i+g（T）- t+l，y）- g（T）- t、 现在，根据微积分的基本定理↓ 0和a.s.，我们有-RT-t+lρ（Y0，y（s））dsLeRlρ（Y0，y（s））ds- 1.→ ρ（y）e-RT-tρ（Y0，y（s））ds。（5.33）此外，根据中值定理，我们有eRlρ（Y0，y（s））ds- 1.≤ 苏普勒∈[0，T]ρ（Y0，y（l））eRlρ（Y0，y（s））ds.（5.34）由于（5.33）左侧的函数一致有界于一个可积函数，因此根据支配收敛定理，G（T）的右导数- ·, y） 在t时存在并满足（t- t、 y）=ρ（y）g（t- （t）+Gt（t- t、 y）。（5.35）因此，通过（5.28）和（5.35），我们知道P（t，y）满足（5.17）。此外，我们还有| P（t，y+ziδij）- P（t，y）|≤ KE“ePhj=1（2Lj（λjT）+ziδij）ePhj=1Bρλj（2Lj（λjT）+ziδij）!#子。其中Kis是一个正常数。

因此，根据勒贝格的支配收敛定理，我们可以得出ZZI>0 | P（t，y+ziei）- P（t，y）|νi（dzi）在t中是连续的。因此，从（5.17）可以得出：Pt（t，y）在t中是连续的∈ [0，T），这意味着P∈ C1,1[0，T）×Rhc，R. 因此，我们完成了Lemm a 5.2的证明。引理5.3设O（t）≡ （3.4）中定义的P（t，Y（t））。然后，在条件C1、C2和（2.10）下，O是O（T）=1的（0，1）值半鞅。此外，德涅克≡ L（O）≡O-· O与K（0）=0和O-（t）≡ O（t）-).（5.36）那么，K是一个{Ft}-半鞅，并且具有以下正则分解dk（t）≡ dL（O）（t）=ρ（Y）（t-))dt+hXi=1Zzi>0F（t，zi）~Ni（λidt，dzi），（5.37），其中，F（t，zi，ω）在（3.10）中定义。证据首先，我们证明了O是一个{Ft}-半鞅。事实上，它源自伊藤公式（参见，例如，第6-9页的定理1.14和定理1.16）ksendal和Sulem[38]）和引理5.2 thatO（t）=P（0，y）+Ztρ（y（s-))P（s，Y（s）-))ds（5.38）+hXi=1ZtZzi>0（P（s），Y（s-) + （齐伊）- P（s，Y（s）-)))~Ni（λids，dzi）。然后，通过引理5.2和池田和Watanable[28]第61-62页的声明，我们知道（5.38）右边的第三项是{Ft}鞅。此外，通过（5.21）和引理5.1的类似证明，我们知道（5.38）右边的第二项是有限变量a.s。因此，我们得到O是一个{Ft}-半鞅。因此，从（5.38）和K（t）的定义可以看出（5.37）是正确的。其次，定义如下的MK是一个{Ft}-鞅，MK（t）=hXi=1ZtZzi>0F（s，zi）~Ni（λids，dzi）。（5.39）事实上，根据中值定理，（5.21），（5.2）（2.10），以及∈ {1，…，h}）是一个σ-有限度量，因为νi（[，∞ )) < ∞ 对于任何大于0的，我们都有ZTZzi>0 | F（t，zi）|ν（dzi）dt< ∞.（5.40）因此，从（5.40）以及池田和Watanable[28]第61-62页中的声明可以看出，Mk是一个{Ft}鞅。

因此，我们可以得出结论，K是一个{Ft}-半鞅。因此，艾玛5.3是正确的。引理5.4设Bd和Cd为漂移，与D相关的协方差矩阵过程，Bk为与K相关的漂移过程。然后，在条件C1、C2和（2.10）下，我们得到了Bk=屋宇署′光盘-1bD。（5.41）此外，（3.5）中定义的过程满足以下关系：≡光盘-1bD。（5.42）证据。首先，从引理5.1和引理5.3得出bd（t）=（D（t）（b（Y）（t-)) - r） 。。。，Dd（t）（bd（Y）t-)) - r） ）\'（5.43）cD（t）=diag（D（t））σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′diag（D（t）），（5.44）bK（t）=O-1（t）bO（t）=ρ（Y（t）-)).（5.45）然后，通过简单的计算，我们知道（5.41）和（5.42）是正确的。因此，我们完成了L emma 5.4的证明。为了方便起见，我们将使用CDij≡ [Di，Dj]用i，j表示共二次变化过程∈ {1，…，d}用于进程d，并可交换地写入cDiDj≡ Cdij和cDi=cDii。此外，类似的符号也用于以下讨论中涉及的其他过程。引理5.5在条件C1、C2和（2.10）下，^Z是{Ft}和P-鞅。证据首先，我们展示了∈ L（D）。事实上，根据条件C1，（5.2）和（5.1），kY（t-))K≥ min{yi0e-λiT，i=1。。。，h} 任何t都大于0∈ [0，T]。然后，表格n∈ {1，…，d}，我们有ρ（Y（t）-)) ≡dXm=1B（Y（t）-))′σ（Y（t）-))σ（Y（t）-))′-1.mdXn=1σmn（Y（t-))(5.46)≤ C′ρ+BbBσbσkY（t-)k、 其中C′ρ是某个正常数。

因此，从Kunita Watanable不等式（如Protter[41]第69页的定理25）可以得出“dXm=1dXn=1ZTam（t）和（t）dMDm，MDn（t）#≤ 判定元件ZT′ρ（Y（t-))dt(5.47)< ∞,阿曼德在哪里∈ {1，…，d}分别是a和md的mth分量。此外，从（5.1）可知，dXm=1ZTam（t）Dm（t）Bm（Y（t-))dt#=EZTρ（Y（t）-))dt< ∞.（5.48）然后，根据（5.47）-（5.48），第207页定义6.17，第180页定义4.3，定义6。Jacod和Shiryaev[30]中第206页第12节和第76页第2.6节的定义，我们知道∈ L（D）。因此，（a·D）（T）是明确的。此外，它遵循Jacod和Shiryaev[30]第180页的fr-om定理4.5（a），即∈ L（D），我们有（u·D）（t）=limk→∞dXi=1Ztui（s）I{ku（s）k≤k} dMDi（s）+dXi=1Ztui（s）dBDi（s），（5.49），其中（5.49）右侧第一项中的极限对应于[0，T]的每个紧集上的概率一致收敛。因此，通过（5.1）、（2.10）、（5.14）-（5.15）、（5.49）和勒贝格主导收敛定理，我们知道（a·D）（T）=dXm=1ZTam（T）dDm（T）。（5.50）根据引理5.3，O是半鞅。因此，从条件C1、C2和（5.50）可以看出（a·D）也是半鞅。然后，根据推论8。7（b）和方程式8.19在J acod和Shiryaev[30]第135-138页中，我们得到了^Z（t）=E（K）- （a·D）- [K，（a·D）]（t）（5.51）=E迈克科尔斯- （a·MD）+（bK）- a′bD）·a（t） =E（G）（t），其中第二个等式来自A（t）=t，K（0）=0以及驱动布朗运动和L’evy过程之间的相关性。第三个等式来自引理5.4。此外，mk和md由（5.39）和（5.15）给出，它们是{Ft}鞅。因此，G≡ 迈克科尔斯-医学博士（5.52）也是一个{Ft}鞅。

因此，根据Jacod and Shiryaev[30]第59页的定理4.61，^Z是一个{Ft}局部鞅。其次，我们证明了^Z属于（D）类，即随机变量集{^Z（τ），τ是有限值{Ft}- 停止时间}是一致可积的（例如，Jacod和Shiryaev[30]第11页中的定义1.46）。事实上，考虑任意有限值{Ft}-停止时间τ≤ T和任意常数γ>0。那么，我们有了^Z（τ）I{|^Z（τ）|≥γ} 我≤P（0，y）呃(E)(-a·D）（τ）i1/2P{|^Z（τ）|≥ γ}1/2，（5.53），其中我们使用了0<O（·）≤ 1和D是连续的。此外，letU（t）=Ztρ（Y（s-))ds，（5.54）U（t）=dXn=1Zt？Bn（Y（s）-))dWn（s），（5.55）式中-)) 定义见（3.8）。因此，U（t）是一个连续的{Ft}鞅。所以呢(E)(-a·D）（τ））i=Ehe(-2（U（τ）+U（τ））-[U+U，U+U]（τ））i（5.56）≤ Ehe-2U（τ）i≤Ehe8[U，U]（T）i< ∞,其中第三个不等式来自可选抽样定理-2U（t）是Jensen等式定理和Protter[41]第138页定理39给出的一个子鞅。最后一个不等式来自条件C1-C2。因此，可以从（5.56）得出supτEh^Z（τ）我≤ K、 其中Kis是一个正常数。因此，通过马尔可夫不等式，我们得到了p{124;^Z（τ）|≥ γ} ≤Kγ→ 0为γ→ ∞（5.57）对于所有停车时间τ≤ T在此之前，从（5.53）-（5.57）可以看出，^Z属于（D）类。因此，从Jacod和Shiryaev[30]第12页的（5.51）d命题1.47（c）可以看出，^Z是一致可积的{Ft}和P-鞅。引理5.6在条件C1，C2和（2.10），Q下*是一个等价的鞅测度。证据首先，我们使用PTT来说明每个t的P到FTT的限制∈ [0，T]。然后，我们定义dQ*T≡^Z（t）dp和dQ*≡^Z（T）dP。由于（3.3）-（3.6），我们知道每个t的^Z（t）>0∈ [0，T]。此外，注意^Z是{Ft}和P-鞅。

因此，根据Jacod和S hiryaev[30]第166页的讨论，Q*与密度过程^Z中的P等价。接下来，我们证明D是Q*-鞅。事实上，由于D是一个P-半鞅，其分解如（5.1）所示，因此根据Girsanov-Meyer定理（如Protter[41]第132页的定理35），D也是一个Q*-分解为D=~D+-D的半鞅。过程D是一个Q*-有限变化过程。每m∈ {1，…，d}，~Dm（t）=MDm（t）-Zt^Z（s）dh^Z，MDmi（s）（5.58）=MDm（t）-dXn=1ZtDm（s）σmn（Y（s-))^Z（s）Od[OE(-a·D），Wn]c（s）=MDm（t）-dXn=1ZtDm（s）σmn（Y（s-))^Z（s）OE(-a·D（s））（D[O，Wn]c（s）+O（s）D[U，Wn]c（s）+D[[O，U]c，Wn]c（s）= MDm（t）-dXn=1ZtDm（s）σmn（Y（s-))d[U，Wn]c（s）=MDm（t）+dXr=1dXn=1ZtDm（s）σmn（Y（s-))ar（s）d[Dr，Wn]c（s）=MDm（t）+ZtdXn=1Dm（s）σmn（Y（s）-))\'Bn（Y（s）-))ds，其中Bn（Y（s）-)) 定义见（3.9）。（5.58）中的第二个等式源自Protter[41]第75页的定理29、Protter[41]第83页的推论证明、W是连续的事实、Jacod和Shiryaev[30]第55页的定理4.52，以及Protter[41]第70页的解释。（5.58）中的第三个等式源自伊藤关于多维半鞅的公式（例如，Protter[41]第81-82页中的定理33），关联函数f被认为是f（O，U）=OeU。此外，aris是a的第四个组成部分，U由U（t）定义≡ -a·D（t）-[a·D，a·D]（t）。因此，我们有D（t）=D（t）-~D（t）=s≡ （s，…，sd′或D（t）=D（t）+s，（5.59），其中每个i∈ {1，…，d}是（2.2）中给出的初始价格。因此，为了证明D是Q*-鞅，必须证明D是Q*鞅。