基于外部风险不完全市场的均值-方差套期保值

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英文标题：
《Mean-variance hedging based on an incomplete market with external risk
  factors of non-Gaussian OU processes》
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作者：
Wanyang Dai
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we prove the global risk optimality of the hedging strategy of contingent claim, which is explicitly (or called semi-explicitly) constructed for an incomplete financial market with external risk factors of non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck (NGOU) processes. Analytical and numerical examples are both presented to illustrate the effectiveness of our optimal strategy. Our study establishes the connection between our financial system and existing general semimartingale based discussions by justifying required conditions. More precisely, there are three steps involved. First, we firmly prove the no-arbitrage condition to be true for our financial market, which is used as an assumption in existing discussions. In doing so, we explicitly construct the square-integrable density process of the variance-optimal martingale measure (VOMM). Second, we derive a backward stochastic differential equation (BSDE) with jumps for the mean-value process of a given contingent claim. The unique existence of adapted strong solution to the BSDE is proved under suitable terminal conditions including both European call and put options as special cases. Third, by combining the solution of the BSDE and the VOMM, we reach the justification of the global risk optimality for our hedging strategy.
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中文摘要：
在本文中，我们证明了对于具有非高斯Ornstein-Uhlenbeck（NGOU）过程外部风险因素的不完备金融市场，显式（或半显式）构造的未定权益套期保值策略的全局风险最优性。通过分析和数值算例说明了优化策略的有效性。我们的研究通过证明必要条件，建立了我们的金融体系和现有基于一般半鞅的讨论之间的联系。更准确地说，这涉及三个步骤。首先，我们坚定地证明了无套利条件对我们的金融市场是正确的，这在现有的讨论中被用作一个假设。在此过程中，我们明确地构造了方差最优鞅测度（VOMM）的平方可积密度过程。其次，我们推导了一个具有跳跃的倒向随机微分方程（BSDE），用于给定未定权益的均值过程。在适当的终端条件下，证明了BSDE的自适应强解的唯一存在性，包括欧式看涨期权和看跌期权作为特例。第三，通过结合BSDE和VOMM的解，我们得出了套期保值策略的全局风险最优性的合理性。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--

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PDF下载：
--> Mean-variance_hedging_based_on_an_incomplete_market_with_external_risk_factors_o.pdf (444.28 KB)

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关键词：不完全市场 套期保值 Differential Quantitative Applications

基于非高斯OU过程外部风险因素不完全市场的均值-方差套期保值南京大学新软件技术国家重点实验室数学系Daiwang，南京210093，中国电子邮件：nan5lu8@netra.nju.edu.cnSubmitted：2014年9月29日修订：2015年3月11日摘要本文证明了未定权益套期保值策略的全局风险最优性，该策略是针对外部风险因子为非高斯Ornstein-Uhlenbeck（NGOU）过程的不完备金融市场显式（或半显式）构造的。通过分析和数值算例说明了优化策略的有效性。我们的研究通过证明必要条件，建立了我们的金融体系与现有基于一般半鞅的讨论之间的联系。更准确地说，这涉及三个步骤。首先，我们确凿地证明，对于我们的金融市场，无套利条件是真实的，这在现有的讨论中被用作一个假设。在此过程中，我们明确地构造了方差最优鞅测度（VOMM）的平方可积密度过程。其次，我们对给定未定权益的均值过程进行了带跳的倒向随机微分方程（BSDE）推导。在适当的终端条件下，包括欧式看涨期权和Puta期权的特例，证明了BSDE的自适应强解的唯一存在性。

第三，通过结合BSDE和VOMM的解决方案，我们研究了套期保值策略的全局风险优化的合理性。关键词：均值-方差套期保值，全局风险最小化，非高斯OrnsteinUhlenbeck过程，广义Black-Scholes模型，方差-最优鞅测度，带跳跃的倒向随机微分方程，积分-偏微分方程1引言本文证明了未定权益套期保值策略的全局风险最优性，这是为不完全市场明确构建的，该市场定义在一些过滤概率空间上(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）。金融市场有d+1原始资产：一种固定利率债券和d-r风险资产。部分结果描述了资产的价格过程，并在2012年春季世界工程与技术大会上简要总结和报告了图表。这是一份简短会议报告的期刊版，附有扩展和完整的结果证明。国家自然科学基金项目10971249、11371010资助。广义Black-Scholes模型，其系数由杠杆效应等引起的市场机制驱动。金融市场模型包括Barndor ff-Nielsen和Shephard[3]提出的Barndor ff-Nielsen&Shephard（BNS）波动模型，以及Benth等人[4]、Benth和Meyer Brandis[5]、Lindberg[36]等的进一步研究。我们的模型与德隆和克鲁佩尔伯格[17]中考虑的模型密切相关。正如巴恩多夫-尼尔森和谢泼德[3]所指出的，这些模型非常符合真实市场数据。然而，此类模型也会导致金融市场的不完全性，这意味着不可能完全复制基于债券和预期风险资产的未定权益。

设计一个好的套期保值策略的一个规则是，在所有合理的交易策略过程的集合中，最小化均方套期保值误差∈ΘE（v+（u·D）（T）- H）,（1.1）其中H是代表索赔贴现支付的随机变量，D是D风险资产的贴现价格过程，v是初始捐赠，T是时间范围。从数学上讲，我们试图计算H的正交投影- 冯：随机积分的空间。为了解决均值-方差套期保值问题（1.1），我们明确构建了金融市场的交易策略，并通过使用以下程序证明其为全球风险最小化套期保值策略。首先，我们明确地构造了方差最优鞅测度（VOMM）q的s q uare可积密度过程*. 因此，具有平方可积密度的等价（局部）鞅测度集，即Ue（D）≡Q~ P:dQdP∈ L（P），D是Q-局部鞅（1.2）是非空的。因此，我们的市场是无套利的（例如，Delbaen和Schachermayer[16]）。其次，我们为期权H的均值过程（即EQ*[H|Ft]）。在适当的终端条件下，将欧式看涨期权和看跌期权作为特例，证明了BSDE自适应解的唯一存在性。

第三，通过结合BSDE和VOMM的解决方案，我们得到了我们市场的最优套期保值策略。基于BSDE和VOMM的程序是解决均值-方差套期保值问题的两种典型方法的混合方法：源自Harrison和Kreps[24]的鞅方法，以及将问题视为线性二次控制问题并使用BSDE描述解决方案的随机控制方法（例如，见Yong和Zhou）。这个过程是为Cerny和Kallsen[7]中的一般半鞅构造的，并在Dai[12]中明确（或半明确）地介绍了当前市场。Jeanblanc等人[31]也进行了一些相关和独立的研究。更准确地说，我们有以下文献综述和技术比较。Follmerand Sondermann[20]在完全信息下首次提出了一个密切相关的（局部）风险最小化问题，他还通过扩展Harr ison和Kreps[24]的鞅方法，提出了一种在不完全市场中计算最小化策略的方法。该方法的基本思想是根据条件均方误差过程引入风险度量，其中折扣价格过程是平方可积鞅。此外，Hedging问题的答案由索赔的Galtchouk Kunita Watanabe分解提供。然后，f¨ollmer和Schweizer[21]和Schweizer[45,46]将局部风险最小化的概念进一步推广到半鞅情形，其中最小鞅测度e和f¨ollmer-Schweizer（f-S）分解起着核心作用。

感兴趣的读者可参考F¨ollmer and Schweizer[22]，Schweizer[48]了解关于（局部）风险最小化和均值方差对冲的最新调查。由于人们关心的是总套期保值误差，而不是每日利润损失率，因此考虑了（1.1）中所述的无条件预期平方套期保值误差的全局风险最小化解决方案（例如，Pham[40]和Schweizer[48]中的调查）。因此，Cernyand Kallsen[7]进一步发展了关于全球风险最小化的研究，他表明套期保值模型（1.1）在一类非常普遍的无套利半鞅市场中允许一个解决方案，其中局部风险最小化可能无法很好地定义。他们方法的关键点是引入机会中性测度P*这使得动态资产配置问题变成了一个短视的问题。此外，还讨论了与P有关的最小鞅测度*与相对于原始概率测度P的方差最优鞅测度一致。最近，为了克服Cerny和Kallsen[7]中出现的困难（即定义3.12中出现的过程N非常难找到，VOMM Q*在第3.13项中，众所周知，很难确定），Jeanblanc等人[31]的作者通过随机控制和后向随机微分方程（BSDE）开发了一种方法，来处理一般半鞅的均值-方差对冲问题。此外，Kallsen和Vierthauer[33]的作者通过应用一般结构结果和拉普拉斯变换技术，导出了最优套期保值策略和最小套期保值误差的半显式公式。除了这些工作之外，关于均值-方差套期保值问题的一般理论和具体设置的一些相关研究可以在Arai[2]，Chan等人中找到。

[9] ，杜菲安和理查森[18]，古列鲁等人[23]，希思等人[25]，洛朗和范[37]，以及其中的参考文献。与上述研究相比，我们目前的研究贡献是三倍的。首先，我们确凿地证明了我们的金融市场的无套利条件是正确的，即（1.2）中定义的集合是非空的。该条件被用作现有讨论中VOMM存在的假设（例如Arai[2]，Cern\'y and Kallsen[7]，Chan等人[9]，Jeanblanc等人[31]，Kallsen and Vierthauer[33]）。在这样做时，我们通过Cerny和d Kallsen[7]中给出的一般结构来确定其显式密度，从而显式（或半显式）构造了一个度量。然后，通过证明Cerny和Kallsen[8]中给出的等价条件，我们证明它是我们市场模型的VOMM。第二，在应用ourVOMM获得最优套期保值策略时，我们推导了期权H的均值过程的带跳BSDE。这里，我们取消了未定权益有界的要求（例如Heath and Schweizer[26]，Cern\'y and Kallsen[8]）或满足Lipschitz条件（例如Roch[42]，C han等人[9]），以保证相应的积分偏微分方程（IPDE）具有经典解或粘性解。此外，Jeanblanc等人[31]最近的研究证实，在某些条件下，我们导出的BSDE的适配解的唯一存在性，而对于构造的BSDE，适配解的存在性仅作为保证非最优策略存在的等价条件。更重要的是，我们的BSDE可以通过给定的终端选项H（参见，例如Dai[15]）开发相关的数值算法来解决。

第三，从易于应用的角度来看，我们的讨论基于多元金融市场模型，这与现有研究（如Cern\'y和Kallsen[7]、C han等人[9]、Jeanblanc等人[31]、Kallsen和Vierthauer[33]）形成对比。因此，与Hubalek等人[27]和Kallsand Vierthauer[33]的研究不同，我们的选项H通常与多元终端函数有关，因此采用了BSDE相关的方法。实际上，能否将Hubalek et al.（27）和Kallsen and Vierthauer（33）开发的单变量终端函数的Laplacetransform相关方法推广到我们的一般多变量情况仍然是一个悬而未决的问题。请注意，我们在本文中的研究建立了金融系统与Cern\'y和Kallsen[7]中现有的基于一般半鞅的研究之间的联系，因为我们可以通过显式构造过程N和VOMM Q来克服Cern\'y和Kallsen[7]中的困难*如前所述。此外，我们在本文中的目标和讨论与Jeanblanc等人[31]最近的研究不同，因为Jeanblanc等人的研究是在。[31]的目的不是推导出任何具体的表达式。然而，感兴趣的读者可能会尝试扩展Jeanblanc等人[31]的研究，并将其应用于我们的金融市场模型，以构建相应的明确结果。最后，当（1.1）中的随机变量H被视为常数（例如，规定的预期收益）时，相关的套期保值问题通过一种替代的反馈控制方法简化为一个均值-方差组合选择问题。在这种情况下，可以通过Dai[10]中的反馈控制方法和本文中提出的鞅方法显式地获得最优策略。在后一种方法中，相关的BSDE是退化的。

从这个常数选项的例子中，我们可以构造两个有见地的例子来提供两种方法之间的有效比较。更准确地说，我们新构建的对冲策略可以略优于基于反馈控制的策略。然而，这两种方法的性能在一定意义上是一致的。论文的其余部分组织如下。我们在第2节阐述了我们的金融市场模型，并在第3节介绍了我们的主要定理。第4节给出了分析和数值样本。第5节证明了我们的主要定理。最后，在第6章，我们对本文进行了总结。金融市场。1.我们使用的模型(Ohm, F、 P）表示一个固定的完全概率空间，其上定义了一个标准的多维布朗运动W≡ {W（t），t∈ [0，T]}其中W（T）=（W（T）。。。，Wd（t）′与h维次从子L≡ {L（t），t∈ [0，T]}带L（T）≡ （L（t）。。。，Lh（t））\'和c`adl`AGA某些fix ed t的样本路径∈ [0, ∞ ) （例如，Applebaum[1]、Bertoin[6]和Sato[44]提供了关于从属关系和列维过程的更多细节）。素数表示矩阵或向量的相应传输。此外，矿石、W、L和它们的成分被认为是相互独立的。对于每个给定的λ=（λ，…λh）′>0，我们让L（λs）=（L（λs）。。。，Lh（λhs））′。然后，我们假设有一个过滤{Ft}T≥0与概率空间相关，其中Ft≡ σ{W（s），L（λs）：0≤ s≤ t} 每个t∈ [0，T]。考虑中的金融市场是一个多变量L’evy-d riven-OU型随机波动率模型，由d+1资产组成。

d+1资产中有一项是无风险的，而S（t）服从常利率的普通微分方程（ODE）≥ 0，dS（t）=rS（t）dt，S（0）=S>0。（2.1）其他d资产是向量价格过程S（t）=（S（t）。。。，Sd（t））满足以下每个t的随机微分方程（SDE）∈ [0，T]，（dS（T）=diag（S（T-)){b（Y（t）-))dt+σ（Y（t-))dW（t）}，S（0）=S>0。（2.2）在这里和续集中，diag（v）表示d×d对角矩阵，其主对角线中的条目是vii∈ 对于d维向量v=（v，…，vd）′，所有其他项都为零。Y（t）是一个L′evy驱动的OU-type p过程，由以下公式描述（dY（t）=-∧Y（t）-)dt+dL（λt），Y（0）=Y，（2.3），其中∧=diag（λ）和Y=（Y，…，yh0）′。现在，德涅布（y）≡ （b（y）。。。，屋宇署（y）：Rhc→ [0, ∞)d、 σ（y）≡ （σmn（y））d×d:Rhc→ (0, ∞)dd，Rhc在哪里≡ （c），∞) × ... ×（ch，∞) 使用ci=yi0e-λ它。因此，我们可以对（2.2）-（2.3）中的系数施加以下条件：C1。函数b（y）和σ（y）在y中是连续的，并且满足，对于每个y∈ Rhc，kb（y）k≤ Ab+Bbkyk，（2.4）kσ（y）σ（y）′k≤ Aσ+Bσkyk，（2.5）σ（y）σ（y）′-1.≤bσkyk，（2.6），其中范数kAk取向量a的所有分量的最大绝对值或矩阵a的等熵，以及Ab≥ 0，Aσ≥ 0，Bb≥ 0，Bσ≥ 0，bσ>0是常数。C2。