具有反复和短暂过程的罗斯恢复

显然，当λ>0时，该方程不存在非零非负解。这是一个矛盾。作者对斯里尼瓦萨·瓦拉丹的例子表示赞赏。定理F.1。（哈纳克不等式）设h:R→ R是a（x）h（x）+b（x）h（x）+c（x）h（x）=0的正解。假设a（x）有界远离零；也就是说，有一个正数l，这样a（x）≥ l>0。假设a（x），|b（x）|和| c（x）|都有一个常数K的界。那么对于任意z>0，存在一个正数M=M（z，K）（取决于z和K，但取决于neithera（·）、b（·）、c（·）或h（·）），使得h（x）h（y）≤ M | x- y|≤ z、 G参考函数在本节中，我们重点讨论函数φ，而不是值β。我们假设我们大致了解φ的行为；例如，我们知道一个函数f，φ-1f的界限在上下或EPξ[（φ-1f）（Xt）]收敛到一个非零常数。知道f意味着我们有关于φ的信息，在客观测度下，这个过程以高概率存在的区域附近。这样的函数f称为φ的参考函数。更一般和更正式地说，我们用以下方式定义参考函数。定义6。正函数f称为φiflimt的参考函数→∞t·log EPξ(φ-1f）（Xt）= 0 .提案G.1。知道一个参考函数等于知道β值。证据假设我们知道φ的参考函数f。FromEQξ[G]-1tf（Xt）]=EPξ(φ-1f）（Xt）φ（ξ）e-βt，通过对参考函数的定义，我们得到了它的极限→∞t·log EQξ[G]-1tf（Xt）]=-β .因此，我们知道β的值。相反，假设我们知道β的值。我们证明了对于Lf的任意容许对（β，f）=-βf，f是一个参考函数。我们有公式ξ[G]-1tf（Xt）]=e-βtf（ξ）和thusEPξ[（φ-1f）（Xt）]=EQξ[G-1tf（Xt）]eβtφ-1(ξ) = (φ-1f）（ξ）。这就完成了证明。参考文献[1]Audrino，F.，R.Huitema和M.Ludwig。

罗斯恢复定理的实证分析。（2014）工作文件。[2] Borovicka，J.，L.P.Hansen和J.A.Scheinkman。错误的恢复。（2014）工作文件。[3] Borovicka，J.，L.P.Hansen，M.Hendricks和J.A.Scheinkman。风险价格动态。（2011）《金融计量经济学杂志》，第9卷，第3-65页。[4] Breeden，D.T.《具有随机消费和投资机会的跨期资产定价模型》（1979年）《金融经济学杂志》，第7卷（3），265-296。[5] Carr，P.和J.Yu。风险、回报和恢复。（2012）《衍生品杂志》，第20卷，第1期，第38-59页。[6] 达维多夫，D.和V.莱恩茨基。基于标量差异的期权定价：特征函数展开法。（2003）运筹学，185-290。[7] Dubynskiy，S和R.Goldstein从金融衍生工具中恢复漂移和偏好参数（2013）[8]Durrett，R.随机演算：实用介绍。（1996）华润出版社。[9] 古德曼、J.和H.帕克：价格决定客观指标吗？（2014）工作文件。[10] 汉森、L.P.和J.A.舍因克曼。长期风险：运营商方法。（2009）计量经济学，第77卷，177-234页。[11] 赫尔、J.C.期权、期货和其他衍生品。（1997）皮尔逊·普伦蒂斯庄园。[12] Karatzas，I.和S.E.Shreve。布朗运动与随机微积分。（1991）斯普林伯格。纽约[13] Karatzas，I.和S.E.Shreve。数学金融学方法。（1998）斯普林格·维拉格。纽约。[14] 卡林、S.和H.泰勒。随机过程的第二门课程。（1981）学术出版社。[15] 马丁，I.和S.罗斯。长期债券。（2013）工作文件。[16] Pinsky，R.G.正谐波增强和衰减。（1995）剑桥大学出版社。纽约[17]秦，L.和V.莱恩茨基。长期风险：鞅方法。（2014a）工作文件。[18] 秦，L.和V.莱恩茨基。

马尔可夫定价算子的正特征函数：HansenScheinkman因子分解和Ross恢复。（2014b）工作文件。[19] 罗默博士，《高级宏观经济学》。（2012）麦格劳·希尔。[20] 罗斯，S.A.恢复定理。（2015）《金融杂志》，第70卷，第2期，615-648。[21]Walden，J.无限扩散过程中的恢复。（2013）工作文件。[22]Zettl，A.Sturm Liouville理论。（2005）美国数学学会，第121卷。