海斯顿向前微笑的大成熟度

然而，这种对符号的轻微滥用不应影响理解。备注3.2。（i） 在R下，大成熟向前微笑的渐近性（对于k∈ R \\{V′（0），V′（1）}）已在[47，命题3.8]中推导。（ii）对于t=0，在[28]中，在Rand下导出了大成熟度渐近解，在[45]中，在R下部分导出了大成熟度渐近解。（iii）所有渐近展开式均以闭合形式给出，原则上可推广到任意阶。（iv）当H±和Hare有效时，则V*（k）- k在k中是线性的，而在H.（v）中是严格凸的，如果ρ≤ κ/ξ然后V*（k）-K≥ 当且仅当k=V′（1）时，等于0。如果ρ>κ/ξ，那么V*（k）-K≥ -V（1）>0。自从γ∈ [0,1]，前导顺序dec-ay项由e给出-τ（V）*（k）-k） 。（vi）在H下（仅当ρ>κ/ξf r r log严格大于V′（1）时才会发生），对于沃德-开始看涨期权价格，随着τ趋于完整，衰减为1。这与其他制度和BSM模式l中的大规模罢工行为根本不同，后者的看涨期权价格衰减为零。这种显著的非对称行为解释如下：随着到期日的增加，期权时间价值的增加对价格产生正面影响，而远期启动看涨期权的行使增加对价格产生负面影响。在标准制度下，对于足够大的罢工，罢工的影响比大到期期限内的时间价值影响更为显著。在这里，由于存在较大的相关性，这种影响是相反的：随着资产价格的上涨，波动性倾向于将资产价格提高到可能更高的水平。这个伽马或时间价值的影响超过了期权打击的增量。（vii）在R中，衰变率V*（k）-k有一个非常不同的行为：在V′（1）处达到的最小值不是零和V*（k）-k是k的常数≥ V′（1）。

前导阶行为中的信息有限，因此重要的区别必须以高阶术语出现。这在图5和图6中得到了说明，其中一阶对称性远远优于领先阶。（viii）需要注意的是*±和V*取决于提前开始日期t至（2.4）和地区机制。然而，在不相关的情况下ρ=0，Ralways适用，V*不依赖于t。向前微笑的非平稳性（在前导顺序）取决于相关性离零的距离。为了将这些结果转化为正向微笑渐近（在下一节中），我们需要对Bla-ck-Scholes模型进行类似的扩展，其中对数股价过程满足dXt=-∑dt+∑dWt，其中∑>0。定义功能V*BS:R×R*+→ R和φBS:R×R*+×R→ R比V*BS（k，a）：=（k+a/2）/（2a）和φBS（k，a，b）≡4a3/2（4k）- （a）√2πexpBk2a-{k6=±a/2}+b- 2.√2aπ{k=±a/2}，因此以下情况成立（见[47，推论2.11]）：HESTON向前微笑引理的大成熟度区域3.3。让a>0，b∈ R并设置∑：=a+b/τ，τ足够大，以至于a+b/τ>0。在BSM模型中，以下扩展适用于任何k∈ R asτ趋于一致（函数I在（3.9）中定义）：EeX（t）τ- ekτ+= 我k、 τ，-a、 a，0+φBS（k，a，b）τ1/2e-τ（V）*BS（k，a）-（k）1+O（τ）-1).3.1. 与大偏差的连接。虽然从定理3.1中可以清楚地看到，但到目前为止，我们根本没有提到大型开发的概念。

随着期限趋于成熟，期权价格的前导阶衰减，在很大的时间概率下，期权价格上升到估计值；更准确地说，通过就原木走向正式区分双方，可以证明，在[48，推论3.3]的完全类似证明之后- limτ↑∞τ-1log PX（t）τ∈ B= infz∈BV*（z） ，对于实线的任何Bo-rel子集B，即（X（t）τ/τ）τ>0满足P下的大偏差原则，速度τ和良好的速率函数V*asτ趋于一致。关于大偏差的更多细节，我们参考了e Excellent专著[20]。该定理实际上在这里说明了一个更强大的结果，因为它提供了更高阶的估计，在[11]中创造了“急剧大偏差”（另见[10，定义1.1]）。现在，当矩母函数已知时，克服大偏差的经典方法依赖于伽特纳-埃利斯定理。在数学金融领域，人们可以参考[26]、[27]或[46]来了解随机波动率模型的小时间和大时间行为，以及[62]来获得有见地的概述。尤其是，G–artner-Ellis定理要求极限对数矩生成函数V在其有效域的边界处陡峭。在R政权中确实如此，但在其他政权中却未能成立。该定理的标准证明（详见[20，第2章，定理2.3.6]）明确地适用于实线的开放区间，其中函数V是严格凸的，基本上包含H的所有出现*变为线性，转向点V′（0）和V′（1），但必须使用car e进行处理，并逐个解决。

证明剧烈的大偏差基本上依赖于找到一个新的概率测度，在这个概率测度下，原始过程的重新缩放版本弱收敛到某个随机变量（通常是高斯的，但并不总是）；在外行术语中，在这种新的概率度量下，标度变量的罕见事件/大偏差不再是随机的。更准确地说，fix一些log moneyness k∈ R我们确定一个过程（Zτ，k）τ>0:=（（X（t）τ，k）- kτ）/τα）τ>0，概率测度Qk，τ，αviadQk，τ，αdP:=expU*τ（k）X（t）τ- τ∧（t）τ（u）*τ（k））,你在哪里*τ（k）是方程的唯一解u∧（t）τ（u）*τ（k））=k，其中∧（t）τ表示X（t）τ的（重标度）对数矩母函数（见第7.1节）。特征函数Φτ，k，α（u）：=EQk，τ，α（eiuZτ，k）随着τ趋于完整，具有一定的扩展性。一旦找到了这一对，证明的最后一部分是将买入价格（或概率）表示为特征函数乘以某个核的四个ie r逆变换，并对Φτ，k，α（u）进行展开以确定所需的渐近性。主要的技术问题，以及不同的机制在哪里发挥作用，出现在Φτ，k，α（u）和u的渐近行为的性质中*τ（k）随着τ趋于一致（必须选择α值）。第7节开头和第7.3节提供了有关证明主要步骤的详细信息。急剧的大偏差，或更普遍的峰值概率渐近展开式，`a la Bahadur Rao[4]，也可以通过其他途径证明。特别是，Benarous[8]开发的框架（并在[22,23]中应用于金融环境）是处理维纳空间和热核展开的拉普拉斯方法的一个极其强大的工具。

然而，8 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK ROOMEorigin的平方根差异（在SDE（2.1）中表示方差）的奇异性超出了该理论的范围。顺便说一句，Conforti、Deuschel和De Marco[18]最近证明了平方根偏差的大偏差原理，为我们提供了另一种证明方法。如[48,49]所述，耦合（Xτ，Vτ）τ上的前向启动框架≥0，解（2.1），从（0，v）开始，可以看作是一个标准的期权定价问题≥0，同一个随机微分方程（2.1）的解，尽管从点（0，Vt）开始，即随机初始方差。在随机起点启动SDE所产生的额外复杂性，使得Benarous框架以及Conforti Deuschel De Marco结果的应用成为一个值得考虑的迷人的挑战。4.远期微笑渐近我们现在将上述获得的远期启动期权渐近转化为远期隐含波动率英里的渐近。让我们首先定义函数v∞: R×R+→ R乘以（4.1）v∞（k，t）：=22V*（k）- k+2Z（k）pV*（k） （五）*（k）- （k）, 尽管如此，k∈ R、 t∈ R+和Z:R→ {-1，1}由Z（k）定义≡ 11{k∈[V′（0），V′（1）]}+sgn（ρξ）- κ） 11{k>V′（1）}- 11{k<V′（0）}和V*见附录2.1。确定以下组合：P:χ≡ χ, η ≡ 1，λ=1，R（τ，λ）=O（τ）-2λ），eP±：χ≡ ec±，η≡ 1，λ=，R（τ，λ）=o（τ）-λ） ，P±：χ≡ c±，η≡ 1，λ=，R（τ，λ）=（oτ-λ, 如果u6=1/2，Oτ-2λ, 如果u=1/2，P:χ≡ 0, η ≡ 0，λ=0，R（τ，λ）=o（1）。（3.4）和（3.5）以及χ：R\\{V′（0），V′（1）中给出了c±和ec±→ R由（4.2）χ（k，t）定义≡ H（u）*（k） ）+log4k- 五、∞（k，t）4（u）*（k）- 1） u*（k） 五∞（k，t）3/2pV′（u）*（k） ）！，V和H在（2.6）和u中给出*在（2.7）中。

我们现在陈述这一部分的主要结果，即在所有政权中向前微笑的扩展和（原木）实线打击。第7.6节给出了证明。定理4.1。当τ趋于完整时，以下展开式适用于正向微笑：σt，τ（kτ）=v∞（k，t）+v∞（k，t）τ-λ+R（τ，λ），对于任何k∈ R、 v在哪里∞: R×R+→ R由V定义∞（k，t）：=8v∞（k，t）4k- 五、∞（k，t）χ（k，t），如果k∈ R\\{V′（0），V′（1）}，2η（k）“1-sv∞（k，t）V′（u）*（k） )1+sgn（k）V′（u）*（k） 6V′（u）*（k） )- H′（u）*（k） )#, 如果k∈ {V′（0），V′（1）}，其中函数χ，η，余数R和常数λ由以下组合给出：oR:Pfor k∈ R、 oR:Pfor k∈ (-∞, V′（u）*+));k=V′（u）时的eP+*+); P+代表k∈ （V′（u）*+), +∞);o R3a:P-为了k∈ (-∞, V′（u）*-));eP-对于k=V′（u*-); P或k∈ （V′（u）*-), +∞);当Pis生效时，如果V=θΥ（a），则k=V′（a）的情况不包括在（7.33）中定义的a中∈ {0, 1}.赫斯顿向前微笑9oR3b:P的大成熟度制度-为了k∈ (-∞, V′（u）*-));eP-对于k=V′（u*-); P或k∈ （V′（u）*-), V′（1））；P或k∈ [V′（1）+∞);o R:Pfor k∈ (-∞, V′（1））；P或k∈ [V′（1）+∞).备注4.2。（i） 在s标准现货情况下，t=0，Ronly的隐含波动率微笑的大成熟度渐近在[29]中推导（即假设κ>ρξ）。在互补的情况下，R，大罢工的微笑行为变得更加退化，并且不能指定k的高阶渐近性≥ V′（1）。（ii）零阶项v∞在R上是连续的（另见第4.1节），这对于高阶项不一定成立。在R，r3a和R3b，v中∞在临界打击V′（u）时趋于完整或零*+)和V′（u*-) （这将在第6节中进一步讨论）。

在R，v∞在整个实线上是连续的。（iii）直接计算表明，0<v∞（k） <2 | k |代表k∈ R\\[V′（0），V′（1）]，和V∞（k） >2 | k |代表k∈ （V′（0），V′（1）），所以∞在R\\{V′（0），V′（1）上有很好的定义。在(-∞, V′（u）*-)) ∪ （V′（u）*+), ∞),c±>0，所以在区域Ron（V′（u*+), ∞) 在R3b中，R3bon(-∞, V′（u）*-)), 五、∞对零阶项v总是一个正的调整吗∞; 有关这种“凸性效应”的示例，请参见图1。定理4.1显示了高阶正向微笑渐近的不同程度的退化。在Rone-canin原理中，获得任意高阶渐近解。在R中，如果u=1/2，则R3a和R3bone只能将前向微笑设定为任意顺序。如果不是这样，那么我们只能指定第一个订单的正向微笑。现在，Hesto n波动率σt的动态：=√vt由dσt给出=2u-18σtξ-κσtdt+ξdWt，带σ=√v、 如果u=1/2，则波动率为高斯分布，这与Sch–obel随机波动率模型的特定情况相对应。因此，Heston波动率动力学偏离了高斯波动率动力学，出现了某种简并，因此无法指定高阶前向微笑渐近。有趣的是，在[48]和[23]研究股票价格的尾部概率时，在[48]和[23]中都出现了类似的简并。如[23]所证明的，方差过程的平方根行为会导致一些奇异性，因此当u6=1/2时，会产生根本不同的行为。在R中，r3a和R3bat是边界点V′（u*±）对于任何参数配置，都不能指定超出第一顺序的正向微笑。这可能是因为这些渐近机制是极端的，因为它们是标准行为和退化行为之间的过渡点，因此很难与BSM正向波动相匹配。

最后，在R3R波段中，对于k>V′（1），我们获得了最大的行为，从某种意义上说，我们不能指定超过零阶的正向微笑。然而，这并不令人惊讶，因为大相关性机制的行为与BSM模型有根本不同（另见备注3.2（iii））。4.1。SVI类型限制。[33]中提出了所谓的“随机波动性激励”（SVI）参数化，即spot隐含的波动性微笑。正如[36]中所证明的，在假设κ>ρξ的情况下，SVI参数化结果是Heston（spot）微笑的真正成熟极限。现在，我们将这些结果推广到大期限远期隐含波动率。定义以下扩展SVI参数化σSVI（k，a，b，r，m，s，i，i，i）：=a+br（k）- m） +ipi（k）- m） +i（k）-m） +是,尽管如此，k∈ R和常数ω:=2u1 - ρq（2κ+ξ）- ρξ)+ ξ(1 - ρ) -2κ + ξ- ρξ, ω：=ξκθ，a±：=κθU*±- 1.U*±βt，b±=4qU*±- 1.U*±，r±：=2（2u*±- 1） b±，m±：=U*±-a±，ea:=-2 em，eb:=4√-呃，嗯：=√-em，em:=u（κ）- ρξ），10 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK RoomeU*±定义在（2.4）和β锡（7.3）中。定义以下组合：（4.3）S:a=ω（1）-ρ） ，b=ω，r=ρ，m=-ρω，s=√1.-ρω，i=1，i=1，i=0，S±：a=a±，b=b±，r=r±，m=m±，S=a±，i=-1，i=1，i=0，S:a=ea，b=eb，r=er，m=em，S=0，i=1，i=0，i=1。以下结果的证明来自定理4.1中使用V的特征对z-eroth阶正向微笑的简单操作*引理2.1。推论4.3。

点态连续极限limτ↑∞σt，τ（kτ）=σSVI（k，a，b，r，m，s，i，i，i）存在于k中∈ r具有常数a、b、r、m、s、i、i和igiven by:or:Sfor k∈ R、 oR:稳定部队k∈ (-∞, V′（u）*+)); S+代表k∈ [V′（u）*+), +∞);o R3a:S-为了k∈ (-∞, V′（u）*-)]; 稳定部队k∈ （V′（u）*-), +∞);o R3b:S-为了k∈ (-∞, V′（u）*-)]; 稳定部队k∈ （V′（u）*-), V′（1））；稳定部队k∈ [V′（1）+∞);o R:稳定部队k∈ (-∞, V′（1））；稳定部队k∈ [V′（1）+∞).5.大到期区的财务解释（2.3）中的大到期区与极限远期对数矩生成函数的特定属性相一致。每种机制都揭示了大成熟向前微笑的基本属性，其中一些已经被从业者实证观察到。这些机制不仅仅是数学上的高深莫测，他们的研究揭示了模型的特定行为和古怪之处。一个直观的问题是，大幅度的向前微笑和大幅度的成熟点微笑有多大区别。这是一个商人应该了解的指标，可以使用历史数据进行分析。由于方差过程的遍历性，在第一个信号处，似乎可以自然地推测，大成熟点和向前微笑在前导顺序上应该是相同的。更具体地说，如果σ（t）τ（k）表示在时间t观察到的Black-Scholes隐含波动率，即方程e的唯一正解（eXt+τ）-Xt- ek）+英尺= CBS（τ，k，σ（t）τ（k）），然后通过定义远期隐含波动率，解出方程CBS（τ，k，σt，τ（k））=E[CBS（τ，k，σ（t）τ（k））]。如果我们提高limτ↑∞σ（t）τ（τk）=σ∞（k） ，函数σ∞独立于t（赫斯顿的情况是这样的——它不依赖于Vt），那么假设CBS（τ，k，σt，τ（kτ））似乎是合理的≈ CBS（τ，k，σ）∞（k） 因此σt，τ（kτ）≈ σ∞（k）≈ στ（kτ）。

因此，很自然地可以推测（参见示例[5]）限制前向微笑limτ↑∞σt，τ（kτ）与极限点limτ相同↑∞στ（kτ）。orem 4.1表明，这仅适用于良好的相关制度R，即“接近”零的相关性。因此，相关性与零的偏差会影响大成熟点微笑与大成熟点微笑之间的差异。现在考虑一下（在股票市场上）大负相关（R）的实际相关情况。在图1中，当ρ<ρ时，我们使用协滚动4.3中的零阶渐近曲线比较了两个极限微笑-. 在临界击V′（u*+), 向前的微笑比相应的点微笑更凸。有趣的是，从业者[13]在经验上观察到了这种不对称特征，这是模型的一个基本特征，不仅适用于大型到期日。引用Bergomi[13]的一项实证分析：“。。。相对于今天的英里数，k>0时（向前微笑的）增加的凸度比k<0时大。。。这是赫斯顿模型的特例。”当Sis生效时，如果V=θΥ（a），则排除k=V′（a）的情况，对于a，定义见（7.33）∈ {0, 1}.3月23日日日日日日日日日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方1.01.52.02.53.0删除。10.20.30.4FWDSMILE图1。这里t=0.5，τ=2，v=θ=0.1，κ=2，ξ=1，ρ=-0.9，所以拉普拉斯。Circlescorres池塘到现场微笑K 7→ στ（对数K）与前方微笑k7的平方→ σt，τ（logk）使用推论4.3中的零阶渐近性。这里是ρ-≈ -0.63和e2V′（u*+)≈ 1.41.人们自然会怀疑这种影响的起因。考虑一个标准的欧洲选项，其大罢工>0。