海斯顿向前微笑的大成熟度

这意味着经验-Diuτα+u*τ（k）)τ还有E-d（u）*τ（k））τ都等于OE-d（u）+-δ)τ尽管如此，k∈ A.利用Zτ，k，α的定义，测量值的变化（7.5）和引理7.2和B.2，我们可以写出gΦτ，k，α（u）=log EQk，τeiuZτ，k，α= 日志E经验U*τXτ- τ∧（t）τ（u）*τ） +iuτα（Xτ）- kτ）= -iukτ1-α+ τ∧（t）τ（iu/τα+u）*τ) -∧（t）τ（u）*τ)= -iukτα-1+ τ五、iuτα+u*τ- V（u）*τ)+ Hiuτα+u*τ- H（u）*τ） +Ohe-d（iuτ）-α+u*τ） τi- OE-d（u）*τ)τ= -iukτ1-α+τ（V（iu/τα+u）*τ) -V（u）*τ） ）+H（iu/τα+u*τ) - H（u）*τ） +OE-d（u）+-δ)τ.自从d（u）+- δ） 大于0时，余数趋向于以指数的速度ze ro，就像τ趋向于完整性一样。余数的一致性来自繁琐但非技术性的联合计算，计算结果表明，对数Φτ，k，α（u）与其近似值之间的差值的绝对值受一个独立于u的常数的限制，因为τ趋于一致。7.4. 极限力矩爆炸情况下的渐近性。我们现在考虑情况H±、eH±和H，对应于极限lmgf V为线性。引理7.8。假设7.5在以下情况下得到验证：（i）R的A=[V′（u*+), ∞) 你呢*∞= U*+;（ii）R3a和R3B，其中A=(-∞, V′（u）*-)] 你呢*∞= U*-.18 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK Room（iii）R3band R，其中A=（V′（1），∞] 你呢*∞= 1.证据。考虑案例（i）并将（7.6）改写为H′（u*τ（k））/τ=k-V′（u）*τ（k））。让k≥ V′（u）*+); 因为V严格意义上是x（u）-, u+，我们有H′（u*τ（k））/τ=k- V′（u）*τ（k））≥ V′（u）*+) - V′（u）*τ（k））>0。现在我们证明了H′具有证明引理的必要性质。

以下陈述可以在冗长的yetstraightforward手册中得到证实（图8提供了视觉帮助）：（i）关于（0，u）*+) 存在一个独特的“u”∈ （0，1）使得H′（\'u）=0；（ii）H′：（\'u，u*+) → R严格地递增，并且在u处趋于一致*+.因此（i）和（ii）意味着（7.6）存在满足引理条件的唯一解*τ（k）∈ （\'u，u*+). 函数H′在（\'u，u）上是严格正的*+), 因此对于足够大的τ，u*τ（k）严格递增，并以u为界*+, 从而收敛到极限L∈ [u，u*+]. 如果我∈ [u，u*+), 那么V′和H′的连续性以及V的严格凸性意味着limτ↑∞V′（u）*τ（k））+H′（u*τ（k））/τ=V′（L）<V′（u）*+) ≤ k、 这是一个矛盾。因此L=u*+, 这证明了案例（一）。案例（ii）和（iii）是相互关联的，引理如下。23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ì236ìì。20.40.60.60.81.01.20.20.20.20.20.20.20.81.01.10.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.01.20.01.01.01.01.01.01.01.01.20.20.20.20.20.20.01.20.01.01.20.20.01.01.20.01.20.20 00.00150.0020Hprime（b）图8。u 7的情节→ 不同τ值的H′（u）/τ。圆、正方形和钻石呈现τ=2,5,10。在（a）u中∈ (-1.05,9.72）和in（b）u∈ (0, 1). 赫斯顿参数v=0.07，θ=0.07，ρ=-0.8，ξ=0.65，κ=1.5。t=1，ρ-= -0.56美元*+= 9.72美元-= -1.05.在下面的引理中，我们导出了u的渐近展开式*τ（k）。这一关键结果将使我们能够推导出特征函数Φτ，k，α以及分析中所需的其他辅助量的同态。引理7.9。

以下例子适用于美国*τ（k）随着τ趋于一致：（i）在R、R3a和R3b状态下，（a）在H±：u下*τ（k）=u*±+a±（k）τ-1/2+a±（k）τ-1+Oτ-3/2;（b） undereH±：u*τ（k）=u*±+ea±-1/3+ea±τ-2/3+Oτ-1.;（ii）在R带中，（a）对于k>V′（1）：u*τ（k）=1-u（k）-V′（1））τ-1+O（τ）-2);（b） 对于k=V′（1）：u*τ（k）=1- τ-1/2quV′（1）+Oτ-1.,在（3.1）和u中定义了±、a±和a±*±in（2.4）。赫斯顿的大型成熟制度证明了这一点。考虑H+生效时的制度R，即k>V′（u*+), 在引理7.8中证明了这样一个k的存在性和唯一性，因此我们假设结果为ansatz。当τ趋于一致时，这意味着以下渐近性：（7.11）V（u）*τ（k））=V（u*+) +aV′（u）*+)√τ+aV′（u）*+)+ aV′（u）*+)τ+Oτ3/2,V′（u）*τ（k））=V′（u*+) +aV′（u）*+)√τ+aV′（u）*+)+ aV′（u）*+)τ+Oτ3/2,γ（u）*τ（k））=γ（u*+) +aγ′（u）*+)√τ+aγ′（u）*+)+ aγ′（u）*+)τ+Oτ3/2,γ′（u）*τ（k））=γ′（u*+) +aγ′（u）*+)√τ+aγ′′（u）*+)+ aγ′（u）*+)τ+Oτ3/2.我们将其代入（7.6）并在每个订单上求解。在τ-1/2我们得到a+（k）=±e的顺序-κt/22βtqκθvV′（u*+)（k）-V′（u）*+)),自k- V′（u）*+) > 0和V′（u）*+) > 0.我们选择负根，因为我们需要*τ∈ （0，u）*+)  做∞对于足够大的τ。我们以一种单调而直接的方式继续这个过程，并在每个阶上迭代求解（下一个方程在a中是线性的），以导出该方程的渐近展开式。其他案例来自类似的论证。现在我们推导出Φτ，k，α的渐近展开式。下一节将使用展开式推导（7.8）中函数F的通感。引理7.10。

当τ趋于完整时，以下展开式成立：（i）在R、R3a和R3b状态下，（a）在H±：Φτ，k，3/4（u）=e下-ζ±（k）u/21+最大值（1，美国）Oτ-1/4;（b） 在eh±：Φτ，k，1/2（u）=e下-3V′（u）*±）u/21+最大值（1，美国）Oτ-1/6;（ii）在R带中，（a）对于k>V′（1）：Φτ，k，1（u）=exp-iu（k）- V′（1））-uV′′（1）2τ1.- iu（k）-V′（1））u-u（1+max（1，us）O（τ）-1));（b） 对于k=V′（1）：Φτ，k，1/2（u）=exp-iupuV′（1）-uV′（1）1.- iuqV′（1）u-u（1+max（1，us）O（τ）-1/2），对于一些不同于一行的整数。回想一下，（7.7）和（3.2）中定义了Φτ，k，α。此外，由于τ趋于一致，对于|u |<τ1/6，（i）和（ii）（b）中的余数在u中是一致的，而对于|u |<τ2/3，（ii）（a）中的余数在u中是一致的。备注7.11。（i） 在（i）（a）的情况下，当H±保持不变时，Zτ，k，3/4弱地收敛到中心高斯n，方差ζ±k。（ii）在第（i）（b）种情况下，Zτ，k，1/2压缩为弱中心高斯分布，方差为3V′（u+），当h±成立时。（iii）在情况（ii）（a）中，Zτ，k，1弱地与零均值随机变量Ξ有关-γ、 式中γ：=k-V′（1）和Ξ是一个伽马随机数m变量，形状参数u和比例参数β：=（k-V′（1））/u。限制功能意味着esR满足∞-∞(1 - iuβ）-ue-对于任意j，V′′（1）u/（2τ）ujdu=O（1）∈ N∪{0}.（iv）在第（ii）（b）种情况下，Zτ，k，1/2弱地与零均值随机变量ψ+Ξ有关，其中ψ是具有均值的高斯分布-puV′（1）和方差V′（1）和Ξ是伽马分布的形状eu和sca lepV′（1）/u。20安托万·J·阿奎尔和帕特里克·罗姆韦现在证明了区域R中的Cas e（i）（a），因为所有其他情况下的概率都是相似的。在forthcominganalysis中，我们将对由（7.12）eτ（k）定义的函数eτ的渐近性感兴趣≡√τ (κθ - 2β电视（u*τ（k）））。在R下，如果（i）（a），（κθ- 2β电视（u*τ） ）趋向于零，因为τ趋向于完整，所以对于大τ，eτ发生的变化并不直接相关。

但是V（u）的渐近行为*τ） 在（7.11）和定义（7.12）中得出以下结果：引理7.12。假设兰德H+。然后展开式eτ（k）=e+（k）+e+（k）τ-1/2+Oτ-1.当τ趋于一致时保持不变，在（3.3）和u中定义了EAN和ede*±in（2.4）。引理7.10的证明。考虑H+生效时的制度R，即k>V′（u*+), 加上这样一个k，为了便于记谱，去掉上标和k相关。引理7.7收益率（7.13）对数Φτ，k（u）=-iukτ1/4+τ五、iuτ3/4+u*τ- V（u）*τ)+ Hiuτ3/4+u*τ- H（u）*τ） +O（τ）-1/4).利用引理7.9，我们得到了泰勒展开式（类似于（7.11））VU*τ+iu/τ3/4=κθ2βt+aV′√τ+iuV′τ3/4+V′a+V′aτ+iuaV′τ5/4+Oτ3/2,（7.14）随着τ趋于一致，其中V、V′和V′在u处进行评估*+. 使用（7.11）我们进一步U*τ+iu/τ3/4- V（u）*τ） =iuV′（u）*+)τ3/4+iuaV′（u*+)τ5/4+Oτ3/2,(7.15)γU*τ+iu/τ3/4= γ（u）*+) +aγ′（u）*+)√τ+iuγ′（u*+)τ3/4+Oτ.（7.16）我们现在研究H的行为iu/τ3/4+u*τ, 其中6.2（定义为H）。使用引理7.12和大τ的展开式（7.15），我们首先注意到Eτ- 2βt√τV（u）*τ+iuτ3/4）- V（u）*τ)= E-2βtiuV′τ1/4+e√τ-2βtiuaV′τ3/4+Oτ,（7.17）中定义了eτ。加上（7.14），这意味着-κ电视（u）*τ+iu/τ3/4）κθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）=√τve-κ电视（u）*τ+iu/τ3/4）eτ- 2βt√τV（u）*τ+iu/τ3/4）-V（u）*τ)=κθve-κt√τ2eβt+iκθuve-κtV′τ1/4e+ve-κtaV\'e-eκθ2eβt-ζ+u+Oτ1/4,（7.18），其中ζ+定义见（3.2）。将ein（3.3）代入（7.18）中的第二项，我们发现（7.19）iκθuve-κtV′e=iu（k- V′）。按照使用eτ的类似程序，我们建立了大τthatve-κ电视（u）*τ)κθ - 2β电视（u*τ） =κθve-κt√τ2eβt+ve-κtaV\'e-eκθ2eβt+ O√τ,（7.20）并结合（7.18）、（7.19）和（7.20），我们发现（7.21）V（u*τ+iu/τ3/4）ve-κtκθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）-V（u）*τ） ve-κtκθ- 2β电视（u*τ） =iu（k）- V′）τ1/4-ζ+u+Oτ1/4.赫斯顿正演方程的大成熟度区我们现在分析exp（H（iu/τ3/4+u）的第二项*τ) - H（u）*τ)).

本学期我们将重新编写-ulogκθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）κθ1.- γU*τ+iu/τ3/4!+ ulogκθ - 2β电视（u*τ)κθ (1 - γ（u）*τ))!(7.22)=κθ - 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）κθ- 2β电视（u*τ)1.- γU*τ+iu/τ3/41.- γ（u）*τ)!-1.-u，并分别处理每个乘法项。对于第一项，我们将其称为κθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）κθ- 2β电视（u*τ） =eτ- 2βt√τV（u）*τ+iu/τ3/4）- V（u）*τ)eτ，（7.23），然后我们使用7.12中eτ的渐近性和方程（7.17）来发现，随着τ趋于一致，κθ- 2β电视（u*τ+iu/τ3/4）κθ- 2β电视（u*τ） =1+Oτ1/4.（7.24）对于第二项，我们使用（7.11）和（7.16）中的渐近性来确定大τ1的渐近性- γU*τ+iu/τ3/41.- γ（u）*τ)!-1=1 -γ+aγ′/√τ+iuγ′/τ3/4+O（1/τ）1.- （γ+aγ′）/√τ+O（1/τ））！-1=1+O（1/τ3/4）。然后，对于第二项exp（H）（iu/τ3/4+u*τ) -H（u）*τ） 对于大τ，我们有（7.25）exp-ulogκθ - 2β电视（u*τ+iu/ψτ）κθ（1）- γ（u）*τ+iu/ψτ）+ ulogκθ - 2β电视（u*τ)κθ (1 - γ（u）*τ))= 1+Oτ1/4.此外，由于τ趋于一致，等式（7.15）表示τV（u）*τ+iu/τ3/4）- V（u）*τ)= iuV′（u*)τ1/4+O（τ-1/4).（7.26）将（7.21）、（7.25）和（7.26）组合成（7.13）完成证明。余数的一致性和整数s的存在性的证明与[1，Le mmas 7.1，7.2]的证明是一样的。为了得到完整的渐近展开式，我们仍然需要导出（7.8）中D和F的展开式。这就是本节的目的。我们必须对D进行一个扩展，它给出了货币期权的大到期日的前导阶衰减：引理7.13。

当τ趋于完整时，以下展开式成立：（i）在R、R3a和R3b状态下，（a）在H±：D（τ，k）=exp-τ（V）*（k）- （k）+√τc±（k）+c±（k）τu/2c±（k）（1+O（τ）-1/2));（b） undereH±：D（τ，k）=exp-τ（V）*（k）- k） +τ1/3c±+c±τu/3c±（1+O）τ-1/3));（ii）在R带中，（a）对于k>V′（1）：D（τ，k）=exp(-τ（V）*（k）- k） +u+g）2（k）-V′（1））（κ-ρξ)(κθ-2V（1）βt）μτu（1+O（τ）-1));（b） 对于k=V′（1）：D（τ，k）=exp(-τ（V）*（k）- k） +u/2+g）2(κ-ρξ)√V′′（1）u（κθ）-2V（1）βt）μτu/2（1+O（τ-1/2)).其中c、c和c（3.4）、杜松子酒（3.5）和V*在引理2.1.22安托万J阿奎尔和帕特里克ROOMEProof中有明确的特征。考虑情况（i）（a）（即当H+保持不变时），为了便于记谱，再次删除up-erscript和k-dependence。我们现在使用引理7.9和（7.11）来写大τ：e-τ（ku）*τ-V（u）*τ） ）=exph-τ（ku）*+- V（u）*+)) -√τa（k）- V′+r- ak+O（τ）-1/2）i（7.27）=e-τV*（k）-√τa（k）-V′+r-akh1+O（τ）-1/2）i，其中r:=V′\'a+V′a，其中我们使用了V的字符化*引理2.1给出。我们现在研究H（u）的渐近性*τ). 利用（7.12）中eτ的定义，我们写出（7.28）eH（u）*τ） =expV（u）*τ） ve-κtκθ- 2β电视（u*τ)κθ - 2β电视（u*τ)κθ (1 - γ（u）*τ))-u=τuexpV（u）*τ） ve-κtκθ- 2β电视（u*τ)eτκθ（1）- γ（u）*τ))-u，然后依次处理这些术语。现在到（7.20）时，正如τ趋于完整，我们有了ve-κ电视（u）*τ)κθ - 2β电视（u*τ） =κθve-κt√τ2eβt+ve-κtaV\'e-eκθ2eβt+ O√τ.（7.29）利用引理7.12中给出的eτ的渐近性和（7.11）中给出的γ的渐近性，我们发现eτκθ（1）- γ（u）*τ))-u=e+e/√τ+O（1/τ）κθ（1）- γ） +κθaγ′/√τ+O（1/τ）-u=κθ (1 - γ） eu1+O√τ.（7.30）使用ein（3.3）的定义，注意简化-a（k）- V′）+κθve-κt2eβt=-2a（k）- V′）。结合（7.27），（7.28），（7.29）和（7.30），我们发现d（τ，k）：=e-τ（k（u）*τ-1)-∧（t）τ（u）*τ） ）=exp-τ（V）*（k）- （k）+√τc++c+τu/2c+（1+O（τ-1/2），其中c+、c+和c+在（3.4）中。

所有其他情况都以类似的方式出现，这就完成了证明。在下面的引理7.15中，我们给出了（7.8）中函数F的渐近展开式。然而，我们首先需要以下技术结果，其证明可在[11，L emma 7.3]中找到。设p表示形状为λ、标度为ν的伽马随机变量的密度，bp表示相应的特征函数：（7.31）p（x）≡Γ（λ）νλxλ-1e-x/ν{x>0}，bp（u）≡ (1 - iνu）-λ.引理7.14。随着τ趋于完整，以下展开式成立：ZRexp-我爱你-σu2τuβbp（γu）du=qXr=02πσ2riβγ2r+β+1rr！τrp（2r+β）（1）+Oτq+1,带γ，ν，λ∈ R*+, β ∈ N∪ {0}，q∈ N和p（N）表示伽马密度p引理7.15的第N阶导数。随着τ趋于一致（ζ±in（3.2）和u*±in（2.4））：（i）在R、r3a和R3b状态下，（a）在H±：F（τ，k，3/4）=τ下-3/4ζ±（k）u*+（u）*±-1)√2π（1+O）τ-1/2));（b） 在eh±：F（τ，k，1/2）=τ-1/2u*±（u）*±-1)√6πV′（u）*±）（1+O（τ）-1/3));（ii）在R带中，（a）对于k>V′（1）：F（τ，k，1）=-E-Γ（1+u）（1+O（τ）-1));（b） 对于k=V′（1）：F（τ，k，1/2）=-E-u/2（u/2）u/22Γ（1+u/2）（1+O（τ）-1/2)).赫斯顿的大成熟制度证明了这一点。同样，我们在这里只考虑在（i）（a）情况下的制度Runder H+。利用u的渐近性*在引理7.9中，我们可以对大的τ进行泰勒展开，得到c（τ，k，3/4）=τ-3/4（美国）*+-1） u*+（1+O（τ）-1/2），其中余数O（τ-只要u=O（τ3/4），1/2）在u中是均匀的。结合引理7.10中的特征函数渐近性，我们发现对于大τ，F（τ，k，3/4）=τ3/4（u*+-1） u*+RRexp-ζ+（k）u（1+O（τ）-1/4）杜。

使用引理B.1，存在β>0，因此当τ趋于完整时，我们可以将该积分写成asZ∞-∞经验-ζ+（k）u1+O（τ）-1/4)du=Zτ3/4-τ3/4exp-ζ+（k）u1+O（τ）-1/4)du+O（e）-βτ）=Zτ3/4-τ3/4exp-ζ+（k）u杜1+O（τ）-1/4)+ O（e）-βτ）=ZRexp-ζ+（k）u杜1+O（τ）-1/4)=√2π|ζ（k）|1+O（τ）-1/4).第二行来自引理7.10，在第三行中，我们使用高斯积分的尾部估计是指数小的，并将其吸收到余数O（τ）中-1/4). 通过将分析扩展到高阶O（τ-1/4）项实际上是零，下一个非永久项是O（τ）-1/2). 为简洁起见，我们省略了分析，并将r=表示为O（τ）-1/2）在引理中。案例（i）（b）从类似的论点发展到上文，我们现在进入案例（ii）（a）。利用u的渐近性*引理7.9中的τwehaveC（τ，k，1）=-ν（k）- iu-1+O（τ）-1) =-ν（k）u1.-iuν（k）u-1+O（τ）-1） ，我们在这里设置ν（k）：=k-V′（1）和余数O（τ）-1） 只要u=O（τ），在u中是均匀的。利用引理7.10和引理B.1中的特征函数渐近性，存在β>0，例如τ趋于完整：F（τ，k，1）=-ν2πuZτ-τexp-iuν-uV′′（1）2τ1.-iuνu-u\"1.-iuνu-1+Oτ-1.#du+O（e）-βτ)=-ν2πuZτ-τexp-iuν-uV′′（1）2τ1.-iuνu-1.-udu1+Oτ-1.+ O（e）-βτ).（7.32）第二行来自引理7.10和备注7.11（iii）。此外，我们注意到Z | u |>τexp-iuν-uV′′（1）2τ1.-iuνu-1.-udu≤ τZ | Z |>1e-τzV′（1）1+zτνu-1.-udz≤ τZ | Z |>1e-τzV′（1）dz=OE-τ,对一些人来说 > 0，因为τ趋于完整。结合（7.32）我们可以写出（τ，k，1）=-ν2πuZ∞-∞经验-iuν-uV′′（1）2τ1.-iuνu-1.-udu1+Oτ-1.,=-E-Γ（1+u）+Oτ-1.1+Oτ-1.,这里我们将指数余数吸收到O（τ）中-1） 第二行接引理7.14。我们现在证明（ii）（b）。

用u的a-交感子*对于引理7.9中的大τ，我们得到c（τ，k，1/2）=a（1+iu/a）+O（τ）-1/2），其中a=-quV′（1），其中余数O（τ-当u=O（τ1/2）时，1/2）在u中是均匀的。利用L e mma 7.10中的特征函数渐近性和上述类似参数，我们对大τ进行了如下展开：F（τ，k，1/2）=2πaZRexpiuaV′（1）-uV′（1）（1+iu/a）1+udu1+Oτ-1/2.24 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK ROOMELet n和bn表示均值和方差为零的高斯密度和特征函数V′（1）。使用（7.31），我们得到了-iωubn（u）bp（u）du=2πF-1（bn（u）bp（u））（ω）=2πF-1（F（n）* p） ）=2πZ∞n（ω）- y） p（y）dy，所以2πaZRexpiuaV′（1）-uV′（1）（1+iu/a）1+udu=aZ∞n(-aV′（1）- y） p（y）dy。现在可以用闭合形式计算该积分，并使用A的定义和伽马函数的复制公式简化后得出结果。7.5. 极限傅里叶变换不存在时的渐近性。在本节中，我们感兴趣的是k∈ {V′（0），V′（1）}当His有效时，它对应于除V′（1）之外的所有机制。在这些情况下，极限傅里叶变换在这些点是不确定的。然而，我们在这里表明，第7.3节的方法仍然可以应用，我们通过验证假设7.5开始t。以下数量将是最重要的：（7.33）Υ（a）：=1+aρξκ- ρξeκt，对于a∈ {0，1}，只要他有效，就可以直接检查Υ是否定义良好。引理7.16。让我们∈ {0，1}并假设v6=θΥ（a）。然后，无论何时，假设7.5满足A={V′（A）}和u*∞= a、 此外，如果v<θΥ（a），则存在τ*> 0使你*τ（k）<0 ifa=0和u*如果所有τ>τ的a=1，τ（k）>1*, 如果v>θΥ（a），则存在τ*> 0使你*τ（k）∈ （0,1）对于所有τ>τ*;证据回想一下，函数H在（2.6）中定义。