海斯顿向前微笑的大成熟度

股票价格接近ek的大量样本路径，但由于负相关，相应的方差往往较低（所谓的“杠杆效应”）。对于三角洲对冲多头头寸，这正是我们希望方差最高的地方（最大ga mma和织女星）。因此，（即期）隐含波动率在高冲击时有向下倾斜的趋势。另一方面，考虑大前锋k>0的向前启动选项。假设在远期开始日期t的方差较大。由于负相关，这里的股价将趋于较低。但这是无关紧要的，因为此时股票价格总是被重新标准化为1。因此，将有更多的路径存在标准化库存Su/STT≤ U≤ t+τ接近EK，且相对于上述（现场）情况，方差较高。这种效应的相对性质导致了这种“凸性效应”。当存在较大的正相关系数ρ>ρ+>0（R）时，对于低打击，大成熟度向前微笑比大成熟度点微笑更凸，k<0。这是兰德的“镜像”效应，其直觉与上述类似。当ρ>κ/ξ（R3波段R）时，在微笑向上倾斜且可能为凹形的大打击中存在一个过渡点（见图5和图6）。重要的是要注意，这种影响对大到期点和远期微笑都是重要的，这是因为股票价格高的路径往往伴随着非常高的变化期，因为正相关。上述关于每种制度的直观论据并不适用于赫斯顿。一个自然的猜想是，方差过程具有平稳分布的所有随机波动率模型都会表现出类似的大成熟度状态。

然而，过渡点的位置和“凸度校正”的大小可能会有很大的不同，且模型具体。数值计算我们首先比较了真实的赫斯顿向前微笑和论文中发展的渐近线。我们使用[54，定理5.1]中的逆傅里叶变换表示和全局自适应高斯-克朗罗德四元格式计算向前启动期权价格。然后，我们使用简单的寻根算法计算正向微笑σt，τ。在图2中，我们比较了使用傅里叶逆变换的真实向前微笑和[47]中推导的良好相关制度的渐近性Theo-rem 4.1（i）。在图3中，我们比较了非对称负相关区域中使用傅里叶反演的真实正向微笑和定理4.1（ii）中的渐近微笑。利用上述理论结果计算高阶项；这些可以在原则12、安托托万J、阿阿托万J、阿阿奎尔和帕特里克9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7这些可以在原则12、安托万J、阿托万J、阿托万J、阿阿托万J、阿托万J、阿托托万J、阿托托万J、阿托托托维维维维10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 20.01.81.01。2500.2550.2600.2650.2700.2750.280FwdSmile（a）渐近与傅里叶反演。23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方ìììììì0.81.01.21.41.61.82.0Strike-0.006-0.004-0.002Error（b）错误图2。良好的相关性区域R。在（a）循环中，正方形和菱形分别代表零阶、一阶和二阶渐近性，三角形代表真实的前向微笑。在（b）中，我们描绘了真正的前脸微笑和有符号微笑之间的区别。其中t=1，τ=5，v=0.07，θ=0.07，κ=1.5，ξ=0.34，ρ=-0.25.可以扩展到更高的阶，但公式变得相当繁琐；从数值上看，这些高阶计算似乎对精度几乎没有任何价值。

在图4中，我们比较了图4.1（ii）中过渡走向k=V′（u）的渐近解*+). 结果都符合预期。在大相关性区域R中，我们发现使用定理3.1，然后对价格进行数值反转，得到相应的正向微笑（图5和图6），比使用正向微笑渐近定理4.1更准确。如备注3.2（iv）所述，该制度中期权价格的领先顺序准确性是指优先顺序和更高顺序的条款包含了需要排除的重要区别。这也解释了定理4.1中关于大相关区域的正向微笑渐近的较低精度。如证明（第7.6节）所示，期权价格的前序行为用于在BSM和Heston模型中排列罢工域，然后在模型之间匹配前向微笑渐近。如果le adingorder的行为很差，那么不管前向微笑是一种交感的，渐近形式和前向微笑的渐近形式之间总会有不匹配。使用上述方法可以绕过这种影响，并且在一开始就非常准确（图5和图6）。在除R外的所有情况下，随着s trike接近临界值（V′（u）），高阶项可能接近零或完整*+) 或V′（1）），将a共形区域和前向微笑（和前向启动期权价格）渐近a分离，并在那里不连续（除零阶项外），另见备注4.2（i）。这意味着渐近公式可能会在临界打击附近的区域内破裂。[48]中也观察到了类似的特征，当我们推导出爆炸式微笑的退化渐近线时。7.

定理3.1和4.1的证明本节致力于定理3.1和4.1中期权价格和隐含波动率扩展的证明。我们首先（第7.1节）给出一些关于正向过程（X（t）τ）τ>0的矩生成函数行为的初步结果，证明将依赖这些结果。本节的其余部分将针对不同的情况，如下所示：o第7.2节是简单的情况，即当函数V*in（2.8）是严格凸的，对应于行为H，除了在点V′（0）和V′（1）处。3月23日日日日日日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方3.03.54.04.55.0罢工。140.160.180.20FwdSmile（a）渐近与傅立叶反演。本周三方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方3.54.04.55.0Strike-0.010-0.0050.0050.0100.0150.020错误。图3。不对称相关区R。这里t=1，τ=5，v=θ=0.07，ρ=-0.8，ξ=0.65，κ=1.5，这意味着eV′（u*+)τ≈ 2.39. 在（a）圆圈中，s方形、菱形和三角形分别代表零阶、一阶、二阶和三阶渐近线，向后三角形代表真正的向前微笑。在（b）中，我们绘制了错误。到期日。140.160.180.20FwdVol（a）渐近与傅立叶反演。到期日。0020.0040.0060.0080.0100.012错误（b）错误。图4。不对称相关区R。此处t=1，赫斯顿参数与图3相同。圆圈和正方形代表零阶和一阶渐近性，三角形代表真实的沃德微笑。横轴是成熟度，打击等于eV′（u*+)τ.

在（b）中，我们绘制了错误。23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方2.02.53.03.54.04.55.0罢工。（fwile.30）渐近傅里叶反演。23日方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方方（b）错误。图5。大相关区R。这里t=0，τ=10，v=θ=0.07，ρ=0.5，ξ=0.6，κ=0.1。圆圈和正方形代表零阶和一阶渐近，三角形代表真正的向前微笑。进一步的eV′（1）τ≈ 1.06.14.1.14安托万·安托万·阿阿维维·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万和阿托万·安托万·安托万·安托万·阿维维和阿托万·安托万·安托万·安托万·阿托万和帕特里克·阿托万·安托万·安托万·安托万·安托托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托托万·维维维维维维维维维维维维·安安托万·安安安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安托万·安安托万·2.02.53.03.54.04.55.0罢工。050.100.150.200.250.30FwdSmile（a）渐近与傅里叶反演。04年2月5日。020.040.060.08错误（b）错误。图6。大相关区R。此处t=0，τ=20，赫斯顿参数与图5中相同。圆圈和正方形代表第零阶渐近曲线，三角形代表真正的向前微笑在第7.3节中，我们概述了我们将在所有其他情况下使用的一般方法：–第7.4节讨论了与函数V相对应的情况H±、eH±和H*线性；——第7.5节专门分析了V′（0）和V′（1）点。第7.6节将期权价格的扩展转化为隐含波动率的扩展。7.1. 正对数矩母函数（lmgf）展开和极限域。

对于任何t≥ 0，τ>0，通过（7.1）∧（t）τ（u）：=τ定义X（t）τ及其有效域Dt的重新归一化lmgf-1日志EeuX（t）τ, 为了所有的你∈ Dt，τ：={u∈ R:|∧（t）τ（u）|<∞}.塔特性对期望值的直接应用产生了：（7.2）τ∧（t）τ（u）=A（u，τ）+B（u，τ）ve-κt1- 2βtB（u，τ）- ulog（1- 2βtB（u，τ）），对于所有u∈ Dt，τ，式中（u，τ）：=u(κ - ρξu- d（u））τ- 2原木1.- γ（u）exp(-d（u）τ）1- γ（u）,B（u，τ）：=κ- ρξu- d（u）ξ1- 经验(-d（u）τ）1- γ（u）exp(-d（u）τ），d（u）：=(κ -ρξu）+u（1）- u） ξ1/2，γ（u）：=κ- ρξu- d（u）κ- ρξu+d（u），βt:=ξ4κ1.- E-κt.（7.3）第一步是描述固定t的有效域Dt，τ的特征≥ 0，因为τ趋于完整。回想一下，在（2.3）中定义了大到期制度，其中有u±和u*（2.4）中给出的±1。引理7.1。固定时间≥ 0，Dt，τ（在集合意义上）收敛到D∞如表2所示，τ趋于完整。证据回想一下[47，引理5.11和命题5.12]和[45，命题2.3]中的下列事实，按照美国*±= ±∞ 当t=0时：（i）[0,1] [u]-, u+]∩ (-∞, U*+)  如果ρ<0，则所有τ>0的Dt，τ；（ii）[0,1] [u]-, u+]∩ （u）*-, ∞)  如果0<ρ，则所有τ>0的Dt，τ≤ κ/ξ;（iii）[0,1] [u]-, u+] 如果ρ=0，则所有τ>0的Dt，τ；（iv）[0,1] [u]-, 1] ∩ （u）*-, ∞)  如果ρ>κ/ξ，则所有τ>0的Dt，τ；HESTON向前微笑15（v）1<u的大成熟区*+< u+当且仅当ρ∈ (-1, ρ-) 你呢-< U*-< 0当且仅当ρ∈ (ρ+, 1). 我们总是有ρ-∈ (-1,0）和ρ+>1/2。在后一种情况下，ρ+≥ 1在这种情况下，你*-≤ U-.然后固定的≥ 0，引理直接从（i）-（iv）与性质（v）结合而来。以下引理提供了∧（t）τ在τ趋于一致时的渐近行为。证明遵循与[47，引理5.13]相同的步骤，使用资产价格过程（eXt）t>0是真鞅[3，命题2.5]这一事实，并且在前面被省略。引理7.2。

以下展开式适用于（7.1）中定义的正向lmgf∧（t）τ（2.6）中给出的V和H）∧（t）τ（u）=V（u）+τ-1H（u）1+OE-d（u）τ, 为了所有的你∈ 做∞\\ {1} ，当τt结束时，u=1且所有τ均大于0时，为0。备注7.3。（i） 当ρ>κ/ξ（r3r）时，我们有limu↑1∧（t）τ（u）=V（1）6=0，因此极限在右边界u=1处不是连续的。对于ρ≤ κ/ξ我们总是有V（1）=H（1）=0和1∈ 做∞.（二）为所有美国公民∈ 做∞, d（u）>0，因此余数在τ趋于完整时以指数速度变为零。7.2. 严格凸的情况。Letk:=supa∈D∞V′（a）和k:=infa∈D∞V′（a）。当k∈ （k，k）{V′（0），V′（1）}，对[47，定理2.4，命题2.12和3.5]的一个类似分析，基本上基于V在（k，k）上的严格凸性，我们可以进行，并立即得到关于远期启动期权价格和远期隐含波动率的以下结果（因此当Hholds时证明定理3.1和4.1）：引理7.4。以下扩展适用于所有k∈ （k，k）\\{V′（0），V′（1）}asτ趋于完整：EeX（t）τ- ekτ+= I（k，τ，V′（0），V′（1），0）+φ（k，t）τ1/2e-τ（V）*（k）-（k）1+Oτ-1.,σt，τ（kτ）=v∞（k，t）+8v∞（k，t）4k- 五、∞（k，t）χ（k，t）τ-1+O（τ）-2） ，带V*引理2.1给出了（3.9）和（3.6）中的I和φ，v∞在（4.1），χ在（4.2）和（7.4）（k，k）=R、 在R(-∞, V′（u）*+)), 在R中，（V′（u）*-), +∞), 在R3a中，（V′（u*-), V′（1）），在R3b中(-∞, V′（1）），在R.证明中。我们在这里简要介绍一下证据。为了一个纽约k∈ （k，k），方程V′（u*（k） ）=k有唯一的解决方案u*（k） 通过严格的凸性论证。

定义随机数m变量Zk，τ：=（X（t）τ-kτ）/√τ; 使用类似于[47，定理2.4，命题2.12]的Fourier变换方法，期权价格读取足够大的τ，EheX（t）τ- ekτi+=i（k，τ，V′（0），V′（1），0）+e-τ（k（u）*（k）-1)-V（u）*（k） ）呃*（k） ）2πZRΦτ，k（u）√τdu[u- 我√τ（u）*（k）- 1） [u]- 我√τu*（k） ]式中，Φτ，k（u）≡ EeQk，τ（eiuZk，τ）是新测量下Zk，τ的特征函数EeQk，τ由Deqk定义，τdP:=expU*（k） X（t）τ- τ∧（t）τ（u）*（k）. 使用引理7.2，期权价格和远期SmileExpansion的证明类似于[47，定理2.4和命题2.12]和[47，命题3.5]的证明。集合（k，k）的精确表示源自D的定义∞表2和V的性质。16安托万·J·阿奎尔和帕特里克·罗梅7。3.其他情况：一般方法。假设k（在第7.2节中定义）与V′（u）=k是有限的。我们不能通过简单地重新放置u来定义度量的变化（如引理7.4的证明）*（k）≡u代表k≥ k由于正向lmgf∧（t）τ在这些点上爆炸，τ趋于完整（见图7）。其中一个目标是有一个目标的一方的目标，其中一方的目标是一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的一方的目标，方方的一方的一方的一方的一方的一方的一方方的目标是方的方方方的方方方方方方的方方方方方方的方方方方方方的方方方方方方方的方方方方方的方方方方方方方的方方方方的方方方方方方方方的方方的方方方方方方方方方方方的方的方方方的方方方方方方方方方方方方的方的方方方方方方方方的方方方方方方方方方的方的方方的方方方方方方方方方方方方方方方方的方方方方方方方方方方方方òòòòòòòòòòòòòu0。51.01.52.02.53.0mgf图7。政权R：圆图u 7→ V（u）。正方形、菱形和三角形绘制u 7→V（u）+H（u）/τ，t=1，τ=2,5,10。Hes-ton模型参数为v=0.07，θ=0.07，ρ=-0.8，ξ=0.65，κ=1.5。也ρ-≈ -0.56美元*+≈ 9.72和美国+≈ 14.12.分析的目的是了解在这些基准点前向lmgf的爆炸率。关键的观察结果是，就在确定之前，正向lmgf∧（t）τ在点τ上仍然陡峭，并且可以构建一个与上述测量值变化的分析。

因此，我们引入了测度（7.5）dQk，τdP:=exp的随时间变化U*τ（k）X（t）τ- τ∧（t）τ（u）*τ（k））,你在哪里*τ（k）是方程的唯一解u∧（t）τ（u）*τ（k））=k代表k≥k、 我们还将要求τ>0的存在使得u*τ（k）∈ 做∞对于所有τ>τ和u*τ↑U因此引理7.2成立，我们可以忽略所有u的指数re mainder（d（u）>0∈ 做∞) 所以方程u∧（t）τ（u）*τ（k））=k降低到（7.6）V′（u*τ（k））+τ-1H′（u）*τ（k））=k。在下面的分析中，我们还需要u*τ（k）解（7.6）a并收敛到域中的其他点（不仅仅是边界点）。在打击V′（0）和V′（1）的情况下，这将被要求作为符号推导，其中不存在瞬间爆炸问题，而是存在极限Fourier变换不存在的问题（详情见第7.5节）。因此，我们做出以下假设：假设7.5。存在τ>0和一个集合a R使得对于所有τ>τ和k∈ A、 方程（7.6）允许一个唯一的解u*Do上的τ（k）∞满足limτ↑∞U*τ（k）=u*∞∈D∞∩ （u）-, u+。在这个假设下∧（t）τ（u）*τ（k））|是τ>τ和D的定义∞= limτ↑∞{u∈ R:|∧（t）τ（u）|<∞}. AlsodQk，τ/dP几乎肯定是严格正的，根据定义E[dQk，τ/dP]=1。因此（7.5）对于足够大的τ和所有k是有效的测量变化∈ A.我们的下一个目标是证明在这个新测度下，远期价格过程（X（t）τ）τ>0的重标度版本的弱收敛性。

为此，定义随机变量Zτ，k，α：=（X（t）τ- kτ）/τα∈ A和meα>0，特征函数为Φτ，k，α：R→ C在Qk下，τ：（7.7）Φτ，k，α（u）：=EQk，τeiuZτ，k，α.即使美国*τ（k）最终不在极限域的内部，但需要使用（7.6）中的完整lmgf（不仅仅是扩展）。HESTON FORWARD SMILE 17的大型成熟机制现在定义了功能D:R*+×A→ R和F:R*+×A×R*+→ R乘以（7.8）D（τ，k）：=exph-τk（u）*τ（k）- 1) - V（u）*τ（k））+ H（u）*τ（k））i，F（τ，k，α）：=2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du，其中Cτ，k，α（u）表示Cτ，k，α在（A.1）中的复共轭，即：（7.9）Cτ，k，α（u）=τα（u）- iτα（u）*τ- 1） （u）- 我爱你*τ).这里的主要结果（见附录A）是远期启动期权价格的渐近表示：引理7.6。在假设7.5下，存在β>0，因此对于所有k∈ A、 asτ↑ ∞:EeX（t）τ- ekτ+=D（τ，k）F（τ，k，α）1+O（e）-βτ), 如果你*τ（k）>1，（1- ekτ）+D（τ，k）F（τ，k，α）1+O（e）-βτ), 如果你*τ（k）<0,1+D（τ，k）F（τ，k，α）1+O（e）-βτ), 如果0<u*τ（k）<1。（7.10）我们还需要关于Zτ，k，α引理7.7的特征函数行为的以下结果。在假设7.5下，存在β>0，因此对于任何k∈ A asτ↑ ∞:Φτ，k，α（u）=exp- iukτ1-α+ τ五、iuτ-α+u*τ- V（u）*τ)+ Hiuτ-α+u*τ- H（u）*τ)1+O（e）-βτ),剩余部分在u.Proof中是一致的。修理k∈ A.类比引理B.2（iii）得出Rd（iuτ）-α+a）>d（a）对于任何a∈ 做∞.假设7.5意味着对于所有τ>τ，Rd（iuτ）-α+u*τ（k））>d（u*τ（k））。这也意味着美国*∞< u+，因此存在δ>0和τ>0，使得u*τ（k）<u+- δ表示所有τ>τ。现在，由于d在（u）上是严格位置且凹的-, u+）和d（u-) = d（u+）=0，我们得到d（u*τ（k））>d（u+- δ) > 0.