海斯顿向前微笑的大成熟度

在a=0的情况下，我们无法证明引理，在这种情况下，Υ（0）=1。注意H′（0）>0（<0）当且仅当v/θ<1（>1）且H′（0）=0当且仅当v=θ。Nowlet k=V′（0）和V<θ，考虑方程H′（u）/τ=V′（0）- V′（u）。因为H′是连续的，所以H′在零的某个邻域上是严格正的。为了让右翼积极起来，我们需要我们的解决方案(-δ、 0）对于某些δ>0，因为V是严格凸x，所以让δ∈ (-δ, 0). 右手侧锁定在V′（0）- V′（δ）>0，然后我们相应地调整τ，使th′（δ）/τ=V′（0）- V′（δ）。然后我们设置uτ=δ。很明显，对于τ>τ，这个方程总是存在唯一的解，而且*τ是三次递增的，且在零以上有界。极限必须为零，否则V′和H′的连续性意味着limτ↑∞V′（u）*τ） +H′（u）*τ） /τ=V′（limτ）↑∞U*τ） <V′（0），一种共偏移。类似的分析适用于v>θ，在这种情况下，u*τ从上面收敛到零。当v=θ时，u*τ=0表示所有τ>0（即，它是一个固定点）。类似的论点适用于k=V′（1）：H′（1）>0（<0）当且仅当V/θ>Υ（1）（<Υ（1））和H′（1）=0当且仅当V/θ=Υ（1）。如果v/θ>Υ（1）（<Υ（1）），那么u*τ从下方（上方）收敛到1，当v/θ=Υ（1），u*对于所有τ>0的情况，τ=1。我们现在为美国提供扩展服务*τ和特征函数Φτ，k，1/2。确定以下数量：（7.34）α：=2e-κt（v- θ)κθ((2 κ - ξ)+ 4κξ(1 - ρ） ），α：=2e-κt（κ- ρξ)κθ((2κ - ξ)+ 4κξ(1 - ρ))(θΥ(1) - v） 。这些证明类似于引理7.9和7.10，省略了。注意，a交感子与u的性质是一致的*引理7.16中的τ（k）。赫斯顿前沿引理7.17的大成熟区。让我们∈ {0，1}并假设v6=θΥ（a）。

当k=V′（a）时，随着τ趋于完整（对于某些整数s），下列展开式成立：u*τ（k）=a+αaτ-1+Oτ-2., D（τ，k）=eτV′（a）（1）-（a）1+Oτ-1.,Φτ，k，1/2（u）=e-uV′（a）1 +iαauV′（a）-iuV′（a）+iuH′（a）τ-1/2+max（1，us）O（τ）-1).我们现在从R定义以下功能*×{0，1}到R，然后在（7.8）中提供F的表达式：（7.35）（q，a）：=eqV′（a）/2πh2N（qpV′（a））- 1.- sgn（q）i，（问题a）：=-q2πV′′（a）+eqV′（a）/2πqh1+sgn（q）- 2NqpV′（a）我（问题a）：=√2π（qV′）（a）-1） （V′′（a））3/2- 2πq | q | expqV′（a）N-|q|pV′（a）,（问题a）：=（q） 2π+2π√τ（aV′（a）+H′（a））（q，a）+V′（a）（问题a）.引理7.18。让我们∈ {0，1}并假设v6=θΥ（a）。当τ趋于一致时，下列展开式成立（agiven in（7.34））：F（τ，V′（a），1/2）={a=1}sgn（α）- 11{a=0}sgn（α）-p2πτV′（a）1+sgn（a）V′′（a）6V′（a）- H′（a）1+Oτ.证据考虑a=0的情况。集合P（u）：=iαuV′（0）-iuV′′（0）/6+iuH′（0），注意c（u，τ，1/2）：=(-iu-U*τ√τ)-(-iu-U*τ√τ+√τ). 利用引理7.17和（7.8）中F的定义：（7.36）F（τ，V′（0），1/2）=2πZRe-V′′（0）u/2C（u，τ）（1+P（u）τ）-1/2+O（τ）-1） ）杜。我们现在不能简单地将C（u，τ，1/2）泰勒展开为小τ，并逐项积分，因为在极限中C（u，τ，1/2）不是TL。这就是引入时间相关项u的原因*τ（V′（0）），因此对于任何τ>0的情况，都存在傅里叶变换。事实上，我们很容易看到C（u，τ，1/2）=-i/u+O（τ）-1/2). 因此，当τ趋于一致时，我们直接积分这些项，然后计算渐近性。注意：由于| C（u，τ，1/2）|=O（1），那么C（u，τ，1/2）（1+P（u）τ-1/2+O（τ）-1） ）=C（u，τ，1/2）（1+P（u）τ-1/2）+O（τ）-1). 对于任何q6=0，RRe-V′′（0）u/2-iu-qdu=（q，0），RRe-V′′（0）u/2iu-iu-qdu=（q，0）安德烈-V′′（0）u/2iu-iu-qdu=（q，0）。

现在使用 在（7.35）中交换积分和（7.36）中的渐近性（类似于引理7.15（i）的证明），我们得到f（τ，V′（0），1/2）=U*τ√τ, 0- （u）*τ- 1)√τ, 0+ Oτ-1..利用引理7.17和累积正态分布函数的渐近性，我们计算：U*τ√τ, 0= ατ-1/2+Oτ-3/2, 0= -sgn（α）-6H′（0）V′（0）- V′（0）√2π（V′′（0））3/2√τ+Oτ-1.,（（u）*τ- 1)√τ, 0) = -√τ + ατ-1/2+Oτ-3/2, 0=p2πV′（0）τ+Oτ-1..a=1的情况类似于使用（·，1）引理如下。备注7.19。考虑第7.4节中k=V′（1）的R3R带。这里还有你*τ（k）趋向于1，我们自然想知道为什么我们在极限傅里叶变换中没有遇到与本节相同的问题。这不值得关注的原因是收敛速度（τ-1/2）美国*τ到1与随机变量Zτ，k，1/2的极限值相同。直觉上，限制性的安托万·J·阿奎尔和帕特里克·鲁姆尔姆夫缺乏陡度比限制性傅里叶变换的任何问题都更重要。在本节中，陡度不是一个问题，但在极限情况下，傅里叶变换也没有定义。这成为自美国*τ（k）以τ的速率收敛到1-当重新缩放的随机变量Zτ，k，1/2以τ的速率变化到极限时-1/2.7.6. 正向微笑渐近线：定理4.1。Gao和Lee已经充分开发了将期权价格渐近性转化为隐含波动率渐近性的通用机制[32]。我们在此简单概述主要步骤。确定前向微笑渐近性有两个主要步骤：（i）为零阶项选择正确的根，以便排列定理4.1和推论3.3中的doma in（以及函数形式）；（ii）匹配渐近线。我们用定理4.1中的几个例子来说明这一点。

考虑k>V′（1）的r3带。在定理4.1中，我们得到了k>V′（1）的远期启动看涨期权价格的渐近性。滚动3.3中唯一适用的BSM机制是k∈ (-Σ/2, Σ/2). 现在我们用∑代替我们的渐近线，在前导阶我们有一个要求：k>V′（1）意味着k∈ (-v（k）/2，v（k）/2）。然后我们需要检查，这只适用于定理中正确的根。注意，我们在这里只使用leadingorder条件，因为如果k∈ (-v（k）/2，v（k）/2）则始终存在τ>0，使得k∈(-v（k）/2+o（1），v（k）/2+o（1）），对于τ>τ。假设我们选择的根不是定理4.1中给出的根。然后对于上界，我们得到条件kV（1）>0。既然V（1）<0，我们需要V′（1）<0，那么这只适用于V′（1）<k<0。这已经与k>V′（1）相矛盾，但让我们继续，因为它可能适用于更有限的k范围。下限给出了条件（k）- V（1））k>0。但上界意味着我们需要d V′（1）<k<0，因此k<V′（1）。因此V′（1）<k<V（1），但这永远不可能，因为简单的计算表明V′（1）>V（1）。现在让我们根据定理选择根。对于上界，我们得到了条件-p（V）*- k） +k（V）*（k）- k） <V*（k）- k=-V（1）>0，这是事实。对于下限，我们得到了条件-p（V）*- k） +k（V）*（k）- k） <V*（k） =k- 因为V′（1）>V（1），所以对于k>V′（1）这总是正确的。这表明我们已经为零阶项选择了正确的根，然后简单地匹配高阶项的渐近性。作为第二个例子，考虑Rand k>V′（u*+) 在定理4.1中。

替换ansatzσt，τ（kτ）=v∞（k） +v∞（k，t）τ-1/2+v∞（k，t）τ-1+O（τ）-3/2）进入滚动3.3中的前向启动看涨期权的BSM渐近，我们发现eX（t）τ- ekτ+= 经验-α∞τ + α∞√τ + α∞4v3/2√2πτ（4k）- v）1+Oτ-1/2,α在哪里∞:=k2v∞-k+v∞, 和α∞:= 五、∞4k-v8vandα∞是一个常数，这里的精确值无关紧要。我们现在用定理3.1来表示阶数。在零阶，我们得到两个解，因为V′（u*+) > V（1），我们选择负根，以便匹配推论3.3和定理3.1中关于大τ的域（使用与上述类似的参数）。在第一阶，我们求解v∞. 但是现在在第二阶，由于τu/2项，我们只能解出u=1/2的高阶项-3/4= τ-1/2在OREM 3.1中的正向启动选项渐近。所有其他案例都是类似的。HESTON向前微笑27的大成熟区附录A引理的证明7.6定义了函数Cτ，k，α：R→ 由（A.1）Cτ，k，α（u）：=τα（u+iτα（u*τ- 1） （u+iταu）*τ） ，其共轭物在（7.9）中给出。引理A.1。存在τ*> 0 s uch thatRR|Φτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）|du<∞ 对于所有τ>τ*, K∈ A、 u*τ（k）6∈ {0, 1}.证据我们计算：ZRΦτ，k（u）Cτ，k，α（u）u=124z|≤ταΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du+Z | u |>ταΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）杜≤2τ-α| u*τ（k）（u）*τ（k）- 1） |Z|u|≤τα|Φτ，k，α（u）| du+Z | u |>1duu，（A.2），其中不等式遵循简单界Cτ，k，α（u）≤τ-2α| u*τ（k）（u）*τ（k）- 1） |，对于一个ll | u |≤ τα,Cτ，k，α（u）≤ταuand |Φτ，k，α|≤ 1.最后（A.2）是FINITE s inc e u*τ（k）6=1，u*τ（k）6=0。我们表示两个函数f，h的协解∈ L（R）乘（f）* g） （x）：=RRf（x）- y） g（y）dy，回想一下（f）* g）∈ L（R）。为了f∈ L（R），我们用（Ff）（u）表示它的傅里叶变换：=RReiuxf（x）dx，用（F）表示它的逆傅里叶变换-1h）（x）：=2πRRe-iuxh（u）du。

对于j=1、2、3，定义函数gj:R+→ R+bygj（x，y）：=（十）- y） +，如果j=1，（y- x） +，如果j=2，最小值（x，y），如果j=3。定义egj:R→ R+由egj（z）：=exp(-U*τ（k）zτα）gj（ezτα，1）。回想一下（7.5）中定义的Qk，τ-度量和第16页定义的随机变量Zk，τ，α。现在我们得到了以下结果：引理A.2。存在τ*> 0这样所有的k∈ A和τ>τ*:EQk，τ[egj（Zk，τ，α）]=2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du，如果j=1，u*τ（k）>1,2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du，如果j=2，u*τ（k）<0，-2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du，如果j=3，0<u*τ（k）<1。（A.3）证据。假设（目前）egj∈ L（R），我们为任何u∈ R、 （Fegj）（u）：=RRegj（z）eiuzdz，对于j=1,2,3。对于j=1，我们可以写∞E-U*τzταezτα- 1.Eiuzz=ez（iu）-U*τα+τα（iu）- U*ττα+ τα)∞-ez（iu）-U*τα（iu）- U*ττα)∞= Cτ，k，α（u），这是u的va lid*τ（k）>1，Cτ，k，α在（A.1）中。对于j=2，我们可以写-∞E-U*τzτα1.- ezταEiuzz=ez（iu）-U*τα（iu）- U*ττα)-∞-ez（iu）-U*τα+τα（iu）- U*ττα+ τα)-∞= Cτ，k，α（u），28 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK RoomeU的va lid*τ（k）<0。最后，对于j=3，我们有-U*τzταezτα∧ 1.eiuzdz=Z-∞E-U*τzταezταeiuzdz+z∞E-U*τzταeiuzdz=ez（iu）-U*ττα+τα）（iu- U*ττα+ τα)-∞+ez（iu）-U*τα（iu）- U*ττα)∞= -Cτ，k，α（u），对0<u有效*τ（k）<1。根据（7.5）中的Qk，τ-度量和第16页的随机变量zk，τ，α的定义，我们得到了eqk，τ[egj（Zτ，k，α）]=ZRqj（kτ1-α- y） p（y）dy=（qj* p） （kτ1）-α） ，带qj（z）≡ egj(-z） p表示X（t）τ的密度-α. 在上面导出的正则条上，我们知道存在τ>0，因此qj∈ L（R）表示τ>τ。因为p是密度，p∈ L（R），因此（A.4）F（qj* p） （u）=Fqj（u）Fp（u）。我们注意到Fqj（u）≡ 费吉(-u）≡Fegj（u）因此（A.5）Fqj（u）Fp（u）≡ eiukτ1-αΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）。因此，引理A.1存在τ>0，使得FqjFp∈ L（R）表示τ>τ。

根据反演定理[63，定理9.11]，这意味着对于τ>max（τ，τ）：EQk，ε[egj（Zτ，k，α）]=（qj* p） （kτ1）-α） =F-1（Fqj（u）Fp（u））（kτ1-α） =2πZRe-iukτ1-αFqj（u）Fp（u）du=2πZRΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du。现在我们进入引理7.6的证明。我们使用（7.5）中定义的随时间变化的度量值，为j=1、2、3写下远期启动期权价格gj（eX（t）τ，ekτ）= E-τ[ku*τ（k）-∧（t）τ（u）*τ（k））]ekτEQk，τ[egj（Zτ，k，α）]，第16页定义了Zτ，k，α。我们现在应用引理A.2，然后使用看跌期权平价和赫斯顿模型（eXt）t中的看跌期权平价转换为远期开始看涨期权价格≥0是真鞅[3，命题2.5]。最后是exp的扩展-τk（u）*τ（k）- 1) - ∧（t）τ（u）*τ（k））遵循引理7.2。附录B.尾部估计MMA B.1。存在β>0，因此以下尾部估计适用于所有k∈ A和u*τ（k）6∈ {0，1}因为τ趋于完整：R | u |>ταΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du= O（e）-βτ).证据通过（7.7）中Φτ，k，α的定义，我们得到了|Φτ，k，α（zτα）|=ex pτ(R[λ（t）τ（iz+u*τ)] - ∧（t）τ（u）*τ)). 对于| z |>1，我们有简单的估计Cτ，k，α（zτα）≤ τ-α/z，因此Z | u |>ταΦτ，k，α（u）Cτ，k，α（u）du≤ ταZ | Z |>1 |Φτ（Zτα）|Cτ，k，α（zτα）dz≤Z | Z |>1eτ(R[λ（t）τ（iz+u*τ)]-∧（t）τ（u）*τ） ）dzz，所有τ>0的HESTON向前曲线的大成熟度区域。我们处理z>1的情况。类似的论点也适用于z<-引理B.2（i）意味着存在τ，因此对于τ>τ：Zz>1eτ(R[λ（t）τ（iz+u*τ)]-∧（t）τ（u）*τ） ）dzz≤ eτ(R[V（i+u]*τ)]-V（u）*τ） ）+O（1）Zz>1dzz。使用引理B.2（ii）我们计算R∧（t）τ（i+u）*τ) -∧（t）τ（u）*τ) = RV（i+u）*τ) -V（u）*τ) + (RH（i+u）*τ) -H（u）*τ） ）/τ+O（τ-n） ，对于任何n>0。

现在使用V和H是连续的，假设7.5，我们得到了RV（i+u）*τ)-V（u）*τ) =RV（i+u）∞) - V（u）∞) + o（1）及RH（i+u）*τ) - H（u）*τ) = RH（i+u）∞) - H（u）∞) + o（1），asτ趋于一致。引理B.2（iii）暗示RV（i+u）∞) -V（u）∞) < 0，引理如下。引理B.2。（i） exp∧（t）τ（iz+u）的展开式*τ） ）=exp（V（iz+u）*τ） +H（iz+u）*τ)τ-1） R（τ）保持不变，因为τ在R（τ）=eO（e）中趋于完整-βτ）对于某些β>0且R在z中是一致的。（ii）存在sτ*以至于R∧（t）τ（iz+u）*τ) ≤ R∧（t）τ（isgn（z）+u*τ） 对于所有z>|1 |和τ>τ*.（iii）所有∈ 做∞函数R z 7→ RV（iz+a）在0处有唯一的最大值。证据（i） 展开式的证明遵循假设7.5和类似的步骤，以及引理7.2和引理7.7的证明。余数一致性的证明∧（t）τ（iz+a）- V（iz+a）- H（iz+a）τ-1.在z中，涉及繁琐而直接的c计算，为方便起见，省略了它。请参见图9（a）中的航空示意图。（ii）假设7.5意味着存在τ*以至于你*τ∈ 做∞对于所有τ>τ*. 所以我们只需要证明对于所有τ>0和a∈ 点τ：R∧（t）τ（iz+a）≤ Rλ（t）τ（isgn（z）+a）表示所有z>|1 |。这一结果的证明涉及繁琐而直接的计算，为简洁起见，省略了它。请参见图9（b）中的视觉说明。（iii）对（iii）的证明是严格的，并遵循与[47，附录C]相同的步骤。

为了简洁起见，我们省略了它。aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììì-10-5z0。51.01.5剩余（a）aeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeaeààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààààììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììììì-10-5z-6-5-4-3-2-1RealPartLambda（b）图9。在左边，我们绘制了MAPZ7→经验∧（t）τ（iz+a）- V（iz+a）- H（iz+a）τ-1.在右边我们绘制了地图Z7→ R∧（t）τ（iz+a）。这里a=-3（循环），a=0.5（平方）和a=3（直径），参数与图2相同，t=1，τ=5.30安托万·J·阿奎尔和帕特里克·罗默参考[1]E.阿尔奥斯、J.勒昂和J.维维斯。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11:571-5892007。[2] L.B.G.安德森和A.利普顿。指数L’evy过程的渐近性及其波动性：调查和新结果。《国际理论与应用金融杂志》，16（1）：1-982013。[3] 安徒生和皮特堡。随机波动模型中的矩爆炸。《金融与随机》，11（1）：29-502007。[4] R.Bahadur和R.Rao。样本平均值的偏差。《数理统计年鉴》，31:1015-1027，1960年。[5] P.巴拉德。向前微笑。

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