海斯顿向前微笑的大成熟度

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英文标题：
《Large-Maturity Regimes of the Heston Forward Smile》
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作者：
Antoine Jacquier and Patrick Roome
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We provide a full characterisation of the large-maturity forward implied volatility smile in the Heston model. Although the leading decay is provided by a fairly classical large deviations behaviour, the algebraic expansion providing the higher-order terms highly depends on the parameters, and different powers of the maturity come into play. As a by-product of the analysis we provide new implied volatility asymptotics, both in the forward case and in the spot case, as well as extended SVI-type formulae. The proofs are based on extensions and refinements of sharp large deviations theory, in particular in cases where standard convexity arguments fail.
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中文摘要：
我们提供了赫斯顿模型中大到期远期隐含波动率微笑的完整特征。虽然领先衰变是由一个相当经典的大偏差行为提供的，但提供高阶项的代数展开在很大程度上取决于参数，不同的成熟度幂起作用。作为分析的副产品，我们在远期和即期情况下提供了新的隐含波动率渐近性，以及扩展的SVI型公式。这些证明基于大偏差理论的扩展和完善，尤其是在标准凸性参数失效的情况下。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Large-Maturity_Regimes_of_the_Heston_Forward_Smile.pdf (549.17 KB)

2022-5-7 02:15:11 上传

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关键词：成熟度 Differential Quantitative Applications Probability

赫斯顿前锋斯米莱安托妮·贾奎尔和帕特里克·罗姆埃布拉特的大成熟期制度。我们提供了Heston模型中大到期远期隐含波动率微笑的完整特征。虽然领先的衰变是由一个相当经典的大偏差行为提供的，但提供高阶项的代数展开在很大程度上取决于参数，并且成熟度的不同力量发挥作用。作为分析的副产品，我们在远期和即期情况下提供了新的隐含波动率渐近性，以及扩展的SVI型公式。这些证明基于shar p大偏差理论的扩展和局限性，尤其是在标准凸性方程失效的情况下。1.介绍考虑资产价格过程提取T≥0，X=0，不支付股息，定义在一个完整的过滤概率空间上(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P），并假设利率为零。在Black-Scholes-Merton（BSM）模型中，资产价格对数的动力学由DXT=-σdt+σdWt，其中σ>0表示瞬时波动率，W表示标准布朗运动。然后通过著名的BSM公式[14,58]：CBS（τ，k，σ）：=E给出了零时刻看涨期权的无套利价格eXτ- 埃克+= N（d+）-ekN（d）-), 带d±=-kσ√τ±σ√τ、 其中N是标准正态分布函数。对于给定的市场价格Cobs（τ，k）和到期日τ，隐含波动率στ（k）是方程Cobs（τ，k）=CBS（τ，k，στ（k））的唯一解。对于任何t，τ>0和k∈ R、 我们在[13,56]中定义了一个具有远期开始日期t、到期日τ的远期开始期权，并将其定义为一个具有支付能力的欧洲期权eX（t）τ- 埃克+其中X（t）τ：=Xt+τ- 这是明智的。根据平稳增量特性，其值在BSM模型中仅为CBS（τ，k，σ）。

对于行使ek、远期开始日期t和到期日τ时期权的给定市场价格Cobs（t，τ，k），则将远期隐含波动率σt，τ（k）定义为Cobs（t，τ，k）=CBS（τ，k，σt，τ（k））的唯一解（另见[13]）。正向微笑是现货隐含波动率微笑的基因表达，当t=0时，两者相等。关于隐含波动率渐近性的研究是广泛的，并借鉴了广泛的数学技术。利用热核展开结果，小成熟度渐近性得到了广泛关注[8]。最近，使用偏微分方程方法[12,42,61]、大偏差[23,26]、鞍点法[28]、Malliavin-ca-lculus[9,53]和微分几何[35,43]对其进行了研究。Roger Lee[55]是第一个研究极端走向渐近性的人，Benaim和Friz[6,7]和andin[39,40,41,31,23,19]对此进行了进一步的研究。只有[67,27,46,45,29]使用大偏差和鞍点方法研究了大成熟度渐近性。Fouque等人[30]也成功地引入了d扰动日期：2018年6月26日。2010年数学科目分类。60F10，91G99，91G60。关键词和短语。随机波动率，赫斯顿，远期隐含波动率，渐近展开，大偏差。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1的财政支持。作者还想感谢一位不诚实的裁判的有用评论。2 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK ROOMEtechniques旨在研究缓慢和快速均值回复随机波动率模型。

上述参考文献中研究的具有跳跃（包括L’evy过程）的大成熟度和极端冲击的模型在短时间内“爆炸”，在[1,2,66,60,59,24]中进行了精确的研究。另一方面，关于前向启动选项和前向微笑的症状的文献很少。Glasserman和Wu[37]使用不同的远期波动率概念来评估其在确定未来期权价格和未来隐含波动率时的预测值。Keller Res sel[52]研究了当正向开始日期t变大（τ固定）时的正向微笑渐近性。Bompis[15]对具有有限差分系数的局部波动率模型中的前向微笑进行了扩展。在[47]中，作者计算了一类模式ls（包括随机波动率和时变指数L’evy模型）中向前微笑的所有和大成熟度渐近性，其中正向特征函数满足某些性质（特别是重新缩放极限的基本一致性）。在[48]中，作者证明，对于固定的t>0，Hestonforward微笑随着τ趋于0而爆发。最后，Balland[5]、Bergomi[13]、B¨uhler[17]和Gatheral[34]的实践者们对向前微笑进行了实证研究。在某些参数条件下，如[47]所示，点极限limτ的光滑行为↑∞τ-1 log E（euX（t）τ）表示向前微笑的渐近行为为σt，τ（kτ）=v∞（k） +v∞（k，t）τ-1+O（τ）-2） ，其中v∞（·）和v∞（·，t）是R上的连续函数。尤其是对于t=0（spotsmiles），它们恢复了[27]中的结果（也受到一些参数限制）。有趣的是，有限的大成熟度∞不取决于提前开始日期。许多从业者（参见。

Balland[5]）自然而然地推测，大成熟的向前微笑应该与大成熟点微笑相同。上面的结果严格地告诉我们，当且仅当Heston相关性足够接近于零时，这一点才成立。很自然地会问，当参数限制被违反时会发生什么。我们根据相关性确定了一些规则，并推导了each区域的渐近性。主要结果（定理3.1和4.1）表明，a sτ趋于完整：EeX（t）τ- ekτ+= 我k、 τ，V′（0），V′（1），11{κ<ρξ}+φ（k，t）ταe-τ（V）*（k）-k） +ψ（k，t）τγ1+Oτ-β,σt，τ（kτ）=v∞（k，t）+v∞（k，t）τ-λ+R（τ，λ），对于任何k∈ R、 式中，I是与期权价格的内在价值相关的指标函数，以及α、γ、λ严格正常数，取决于相关程度。剩余的R随着τ趋于完整而衰减为z e ro。如果t=0（斑点微笑），我们恢复并扩展[27]中的结果。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了赫斯顿模式l的不同大期限制度，这将推动远期期权价格和远期隐含波动率的渐近行为。在第3节中，我们推导了每种方案中的大成熟期前向启动期权渐近性，在第4节中，我们将这些结果转化为前向微笑渐近性，包括扩展的SVI型公式（第4.1节）。第6节提供了支持本文发展的渐近性的数字，第7节收集了主要结果的证明。注：E应始终表示先验给定的风险中性度量P下的预期。我们将标准（相对于远期）隐含波动率称为即期微笑，并将其表示为στ。前向隐含波动率将表示为σt，τ为ab ove，我们让R*:= R\\{0}和R*+:= (0, ∞).

对于R中的集合序列（Dε）ε>0，为了方便起见，我们可以使用符号limε↓0Dε，我们的意思是（当两边相等时）：lim infε↓εS>0t≤εDs=Tε>0Ss≤εDs=：lim supε↓0Dε。最后，对于赫斯顿的一个巨大的成熟体制，我们给出了一套 R、 我们让AOA和A表示它的内部和闭包（在R中），R（z） 及I（z） 复数z的实部和虚部，如果x，则sgn（x）=1≥ 0和-1否则。2.大额到期制度在本节中，我们将介绍本文将使用的大额到期制度。每个区域都由Heston相关性确定，并产生极为不同的前向星t选项和相应的前向微笑的渐近行为。这是由于远期价格过程ss（X（t）τ）τ>0在每种情况下的瞬间爆炸行为不同。在赫斯顿模型中，（对数）股价过程是以下SDE的唯一强解：（2.1）dXt=-Vtdt+pVtdWt，X=0，dVt=κ（θ- Vt）dt+ξ√VtdZt，V=V>0，dhw，Zit=ρdt，其中κ>0，ξ>0，θ>0和|ρ<1和（Wt）t≥0和（Zt）t≥0是两个标准的布朗运动。我们还提出了符号u：=2κθ/ξ。方差过程的Feller SDE具有山田渡边条件下的唯一强解[50，命题2.13，第e 291页]）。X过程是Vand的随机积分，因此定义良好。Feller条件，2κθ≥ ξ（或u）≥ 1） ，确保无法获得原点。否则，起源是规则的（因此可以实现）和强烈的反映（见[51，第15章]）。然而，我们在分析中不需要Feller条件，因为我们使用X的前向矩母函数（mgf）。定义实数ρ-ρ+乘以（2.2）ρ±：=e-2κtξ（e2κt）- 1） ±（eκt+1）p16κe2κt+ξ（1）- eκt）8κ，注意-1.≤ ρ-< 当且仅当t=0时，0<ρ+且ρ±=±1。

我们现在定义了大期限制度：（2.3）R：良好相关性制度：ρ-≤ ρ ≤ min（ρ+，κ/ξ）；R：不对称负相关制度：-1 < ρ < ρ-t>0；R：不对称正相关区：ρ+<ρ<1，t>0；R3a：ρ≤ κ/ξ;R3b：ρ>κ/ξ；R：大相关区：κ/ξ<ρ≤ 最小值（ρ+，1）。在标准情况下，t=0时，Rcorres与κ成正比≥ ρξ和Ris是它的补充。我们现在定义以下数量：（2.4）u±：=ξ- 2κρ ±η2ξ(1 - ρ） 你呢*±：=ψ±ν2ξ（eκt）- 1） ，其中（2.5）η：=pξ（1- ρ) + (2κ - ρξ），ν：=pψ- 16κeκtandψ：=ξ（eκt- 1) - 4κρeκt，以及间隔D∞ R BYRR3AR3BRD∞[u]-, u+]u-, U*+) （u）*-, u+]（u*-, 1] （u）-, 1] 4 ANTOINE J ACQUIER和PATRICK ROOMENote对于t>0，u+>u*+> 1如果ρ≤ ρ-你呢-< U*-< 如果ρ为0≥ ρ+也就是（2.5）中定义的ν是所有ρ的一个完全定义的实数∈ [-1, ρ-] ∪ [ρ+, 1]. 而且我们一直都有你-< 0和u+≥ 当且仅当ρ=κ/ξ时，u+=1。我们从d中定义了实值d函数V和H∞对R乘以（2.6）V（u）：=u（κ）-ρξu- d（u）和H（u）：=V（u）ve-κtκθ- 2β电视（u）- ulogκθ - 2βtV（u）κθ（1）- γ（u））,（7.3）中定义了d、β和γ。很明显（另见[27]和[45]）函数V在op en区间（u）上是完全可微分、严格凸且基本光滑的-, V（0）=0。此外，V（1）=0if且仅当ρ≤ κ/ξ. 对于任何k∈ R（鞍点）方程V′（u*（k） ）=k有唯一的解决方案u*（k）∈（u）-, u+：u*（k） ：=ξ- 2κρ+（κθρ+kξ）ηkξ+2kκθρξ+κθ-1/22ξ (1 -ρ).（2.7）进一步让V*: R→ R+表示V:（2.8）V的芬切尔-勒让德变换*（k） ：=supu∈D∞{英国- V（u）}，为了所有的k∈ R.以下引理表示V*并且可以用正演演算来证明。正如我们将在第3.1节中看到的，函数V*可以解释为我们问题的一个大偏差率函数。引理2.1。定义函数W（k，u）≡ 英国- V（u）表示任何（k，u）∈ R×[u-, u+]。

然后oR:V*（k）≡ W（k，u）*（k） ）在R上；oR:V*（k）≡ W（k，u）*（k） ）开(-∞, V′（u）*+)] 和V*（k）≡ W（k，u）*+) 关于（V′（u）*+), +∞);o R3a:V*（k）≡ W（k，u）*-) 在(-∞, V′（u）*-)) 和V*（k）≡ W（k，u）*（k） 在[V′（u）上*-), +∞);o R3b:V*（k）≡W（k，u）*-), 在(-∞, V′（u）*-)),W（k，u）*（k） ，在[V′（u）上*-), V′（1）]，W（k，1），on（V′（1）+∞);o R:V*（k）≡ W（k，u）*（k） ）开(-∞, V′（1）]和V*（k）≡ （V′（1）上的W（k，1）+∞).3.我们需要引入一些向前的渐近常数。如定理3.1所述，每一个都定义在一个特定的政权和打击地区，并且都有明确的定义和实际价值。

在下面的公式中，γ、β皮重定义在（7.3）中，u*±英寸（2.4）和V英寸（2.6）。(3.1)a±（k）：=2 | k- V′（u）*±）|ζ±（k），a±（k）：=ue-κt16βtξvV′（u*±) -8βteκtV′（u*±)K- V′（u）*±)V′（u）*±)K- V′（u）*±),ea±=E-κtκθv4V′（u*±）V′（u）*±）βt1/3，ea±=-（κθe）-κt）2/312ξv1/3β4/3t16V′（u*±）V′（u）*±）βteκt+ξvV′（u*±）1/3|V′（u*±）2/3V′（u*±）5/3，其中（3.2）ζ±（k）：=4βtV′（u）*±（k）- V′（u）*±）κθve-κt1/2;（3.3）（e±（k）：=-2βta±（k）V′（u）*±），e±（k）：=-βtV′（u）*±）a±（k）+2V′（u）*±）a±（k）,ee±=-2βtea±V′（u*±），ee:=-βtV′（u）*±）（ea±）+2V′（u）*±）ea±,赫斯顿前沿微笑5（3.4）的大成熟期制度c±（k）：=-2a±（k）K- V′（u）*±), c±（k）：=κθ1.- γ（u）*±)e±（k）！u，c±（k）：=ve-κta±（k）V′（u）*±）e±（k）-κθe±（k）2e±（k）βt- a±（k）K- V′（u）*±)+a±（k）V′（u）*±),(3.5)ec±：=（ea±）V′（u）*±），ec±：=κθ1.- γ（u）*±)ee±！u，g:=ve-κtV（1）κθ- 2βtV（1），ec±：=ve-κtea±V′（u*±）ee±-κθee±2（ee±）βt+ ea±ea±V′（u*±）+（ea±）V′（u）*±，（3.6）φ（k）：=p2πV′（u）*（k） )exp（H（u）*（k） ）你*（k） （u）*（k）- 1） ，如果k∈ R\\{V′（0），V′（1）}，-1.- sgn（k）V′（u）*（k） 6V′（u）*（k） )- H′（u）*（k） ), 如果k∈ {V′（0），V′（1）}。(3.7)φ±（k）：=c±（k）ec±（k）ζ±（k）u*±（u）*±- 1)√2π，eφ±：＝c±ec±u*±（u）*±- 1） p6πV′（u*±），φ（k）：=-egΓ（1+u）2u(κ - ρξ）（k）- V′（1））κθ- 2β电视（1）u, φ:=-eg2Γ（1+u/2）u（κ-ρξ）p2V′（1）κθ- 2βtV（1）！自从你*-< 0和u*+> 我们总是有V′（u*+) > 0和V′（u）*-) < 0.更进一步，V′（u）*±）>0，可以表示γ（u*±) 6= 1; 因此，（3.1），（3.2），（3.3），（3.4）和（3.5）中的所有函数和常数都得到了很好的定义和实值。φ定义得很好，因为V′（u*（k） ）>0和φ以及常数φ都很好地定义为κθ- 2βtV（1）>0。

最后确定以下组合和函数I:R×R*+×R→ R：（3.8）H：α=，β=1，γ=0，φ≡ φ, ψ ≡ 0，eH±：α=u-, β =, γ =, φ ≡eφ±，ψ≡ ~c±，H±：α=u-, β =, γ =, φ ≡ φ±, ψ ≡ c±，H:α=-u, β =, γ = 0, φ ≡ φ, ψ ≡ 0，H：α=-u, β = 1, γ = 0, φ ≡ φ, ψ ≡ 0，（3.9）I（k，τ，a，b，c）：=1.- ekτ{k<a}+11{a<k<b}+c11{b≤k} +1-c{k=b}+1.-ekτ{k=a}。我们现在可以在本文的结果中陈述ma，即在实线上所有（对数）罢工的所有制度下，远期启动期权价格的渐近展开。该证明是由引理7.6与引理7.13、7.15、7.18和7.17中的渐近性结合得到的。定理3.1。以下扩展适用于所有k的远期启动看涨期权∈ R asτ趋于完整：EeX（t）τ- ekτ+= 我k、 τ，V′（0），V′（1），11{κ<ρξ}+φ（k，t）ταe-τ（V）*（k）-k） +ψ（k，t）τγ1+Oτ-β,其中，φ、ψ和常数α、β和γ由以下组合给出：oR:Hfor k∈ R、 oR:Hfor k∈ (-∞, V′（u）*+));k=V′（u）时的eH+*+); H+代表k∈ （V′（u）*+), +∞);o R3a:H-为了k∈ (-∞, V′（u）*-));嗯-对于k=V′（u*-); Hfor k∈ （V′（u）*-), +∞);当His有效时，如果V=θΥ（a），则排除情况k=V′（a），对于a，Υ定义在（7.33）中∈ {0,1}.6安托万·J·阿奎尔和帕特里克·罗姆oR3b:H-为了k∈ (-∞, V′（u）*-));嗯-对于k=V′（u*-); Hfor k∈ （V′（u）*-), V′（1））；Hat k=V′（1）；Hfor k∈ （V′（1）+∞);o R:Hfor k∈ (-∞, V′（1））；h对于k=V′（1）；Hfor k∈ （V′（1）+∞);为了强调渐近曲线中出现的对称性，我们有时会确定一个间隔，以及相应的有效时间和组合。