二项框架下的GMWB乘客——定价、套期保值和

在离散时间二项模型中，我们获得了与Hyndman和Wenger[15]在连续时间设置中类似的理论结果。然而，在离散时间二项模型中，我们也为定价和套期保值提供了一个明确的计算框架。2.2.1投保人估价视角用VN表示在n时从完整合同中收到的剩余款项对投保人的价值（VA加GMWB附加条款）。通过风险中性定价公式，我们得到了以下时间上的反向递归关系vn=WN，Vi=EQ“NXm=i+1Ge-\'-r（m）-i） +e-\'-r（N）-i） WN | Fi#=GaN-i+e-\'-r（N）-i） i的等式[WN | Fi]（5）∈ 在里面-1.带着-1:=[0,1，…，N-1] am=（1）-E-\'rm）/（e\'r-1). 当i=0时，这将减小到v=GaN+e-\'-rNEQ[WN]。（6） 请注意，等式（5）和（6）是离散时间的类似物，分别由Hyndman和Wenger[15]的等式（7）和（6）给出投保人的估值。当我们希望强调对保单持有人价值的合同参数的依赖性时，我们写V:=V（P，α，g）。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中，2019年7月5日，流程{Vi}代表扣除费用和取款后每个时间点的综合年金加GMWB骑手合同的价值。根据马尔可夫性质，我们得到vi=v（i，Wi），其中v:IN×R+7→ R+isv（i，x）=（xi=N，[G+pv（i+1，w（xu））+qv（i+1，w（xd））]e-\'ri<N，（7）和w:R+7→ R+由w（x）=max{xe给出-α- G、 0}。（8） 注意{e-\'riVi+Gai}0≤我≤所有α的nisa（Q，F）鞅。正如Hyndman和Wenger[15]所述，我们将公平费率定义如下。定义3。公平的费率是α费率吗？≥ 0使得v（P，α？，g）=P.（9）α？不存在闭式解？。然而，正如Hyndman和Wenger[15]所述，我们能够证明公平费率的存在性和唯一性，方法是证明公平费率的值作为α的函数是连续单调的。

然而，在有限概率空间Q（WN>0）=0表示有效的大α。因此，严格单调性只适用于有界区间。引理4。适用于所有固定（i，x）∈ 在里面-1×R++，合同价值函数v（i，x），由（7）定义，α的asa函数对于α是连续的≥ 并且在[0，bx，i]上严格递减，其中bx，i:=min{α≥ 0:Wx，iN=0 a.s.}∞.此外，如果（i，x）满足-iXj=1dj（10），然后bx，i>0，否则bx，i=0。对于α≥ bx，i，v（x，i）=GaN-i、 证据。参见附录A。特别是，等式（10）适用于（i，x）=（0，P），因为G=P/N，d<1。α的存在唯一性？在下一个定理中讨论。定理5。在假设2下，存在唯一的α？∈ [0，bP，0），使得V（P，α？，g）=P.证明见附录A.备注2.对于r=0，我们有V（P，α，g）=P表示所有α≥ 血压，0。因此，r>0是确保α？唯一性的必要条件？。根据引理4，我们可以使用对分法迭代求解公平费用，前提是我们有一种计算α函数Vas值的方法。我们将在考虑保险公司的估值视角、对冲以及将模型扩展到包括过失之后，讨论该过程的技术细节和计算挑战。C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在二项式框架中，20192年7月5日。2.2保险人估值视角保险人可将可变年金合同中嵌入的担保视为单独的产品。从这个角度来看，有必要考虑从担保中提取希思罗账户价值和向投保人支付的后续款项的时间。米列夫斯基和索尔兹伯里[19]考虑的连续模型触发时间的离散时间模拟定义如下。定义6。在二项式模型中，触发时间τ被定义为停止时间τ（ω…ωN）：=inf{i≥ 1.Wi（ω…ωi）=0}，其中inf() = ∞.

对于任意固定序列，对于任意k≤ 我们写τ（ωi）≤ k如果（ωiωi+1…ωN）∈{τ ≤ k} 对于所有可能的路径（ωiωi+1…ωN），其中ωj∈ {u，d}对于所有i+1≤ J≤ N.可以方便地定义停止时间{τi}i=0,1，。。。，Nand{τi}i=0,1，。。。，n带τi:=τ∨ i和τi:=τi∧ N代表我∈ 在里面为了0≤ J≤ 我≤ N和k∈{i，i+1，…，N}∪ {∞}, 根据{Wi}的马尔可夫性质，我们得到了q（τj=k | Fi）=H（i，j，k，Wi）-), （11） 其中（k）∧ N、 j，k，x）=（{x>0，w（x）=0}k≤ N、 {w（x）>0}k=∞,对我来说∨ 1.≤ l<k∧ NH（l，j，k，x）=（pH（l+1，j，k，w（x）u）+qH（l+1，j，k，w（x）d）x>0,0x0=0。对于i=0，我们有h（0，0，k，x）=pH（1，0，k，xu）+qH（1，0，k，xd）。如果τ=∞ 合同在Nδt=t时以正账户价值到期，期权未行使，即担保到期无效。由于每个时间点的价值过程都是费用和取款前的价值过程，因此- Wτ-E-α) ≥ 0是在触发时立即支付的附加费。对于任何时期i，iδt时的净附加费支出为（G- Wi-E-α)+- Wi-(1 - E-α). （12） 因此，根据风险中性定价公式，附加值过程中时间i的值为nxyui=EQ“NXj=i+1e-\'-r（j）-i） hG- Wj-E-α+- Wj-1.- E-αi | Fi#=EQhG- W′τ-ie-αE-\'r（\'τi-i） {i+1≤\'τi}+NXm=\'τi+1Ge-\'-r（m）-（一）-\'\'τiXm=i+1e-\'-r（m）-i） 西医-1.- E-α|Fii（13）为i∈ 在里面-1.终端值为UN=0。注意，方程式（13）是Hyndman和Wenger[15]中方程式（10）的离散时间二元模型类似物。C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在二项式框架中，2019年7月5日通过{Wi}的马尔可夫性质，我们得到Ui=u（i，Wi），其中u:in×R+7→ R由u（i，x）=（0 i=N，e）定义-\'r[pu-（i+1，许）+曲-（i+1，xd）]0≤ i<N，（14）在哪里-: I+N×R+7→ R由U定义-（i，x）=u（i，w（x））+（G- xe-α)+- x（1）- E-由（8）提供了α、15和w（x）。

函数u-（i，x）代表在时间点i加费和提现时的骑手价值，其中x是扣除费用和提现前的平均价值。由于投保人和保险人估值公式（5）和（13）分别是Hyndman和Wenger[15]公式（7）和（10）的离散时间版本，我们预计投保人和保险人估值角度之间的关系将从连续时间案例中延续。也就是说，我们期望在二项式模型中，完整合同的价值也可以被分解为账户价值和担保价值的总和。事实上，这可以直接从（5）和（13）中看出。我们提供了一个将反导应用于函数v（i，x）和u（i，x）的替代证明。定理7。在假设2下，对于所有α≥ 0我们有vi=Ui+wi对于所有i=0，1，N证据见附录A。离散时间二项式框架的一个优点是，它允许我们给出复制或有权益的显式混合策略。接下来我们将讨论对冲GMWB附加条款。2.3考虑无套期保值策略，其中费用收入以利率r投资于货币市场账户，如果τ<∞, 附加费由该账户支付。F’τ——可测量的随机变量C’τ测量了未使用套期保值时，保险人在合同期限内的附加费总成本，贴现为时间零点。表示Fi在时间步i收到的定期费用。那么，根据合同的定义，我们已经确定Fi:=Wi-(1 -E-\'（α）对我来说∈ I+Nand F=0。

我们有c′τ=e-“r”τG- （W′τ）-)E-α++ 甘-τ-\'τXi=1Fi×e\'r（\'τ）-i） #。请注意，U=EQ[C’τ]，但我们关心的是C’τ的路径结果与动态对冲策略产生的结果之间的关系。保险公司建立了一个套期保值投资组合，试图复制附加条款，以便任何附加条款都可以由该投资组合全额支付。管理附加条款风险的一方无权使用账户价值基金来缓解任何风险，而唯一的收入来源是附加条款费用。用{Xi}表示复制投资组合，目标是以一种路径的方式为所有i指定Xi=ui。定义适应的投资组合流程{i} 0≤我≤N-1.在每个时间间隔[iδt，（i+1）δt）直至成熟度，对于所有结果，复制投资组合保持在i（ω…ωi）单位为in。利用{Wi}的马尔可夫性质，我们定义i:=（i，Wi，Si），在哪里 : 在里面-1×R+×R+7→ 在二项模型中，u表示向上运动，也表示骑手价值函数。然而，从上下文来看，我们总是很清楚我们指的是常量值还是附加值函数。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手二项框架2019年7月5日（i，x，y）=u-（i+1，ux）- U-（i+1，dx）uy- （16）这表明i=0表示τ≤ 我≤ N-1.没有不确定性。根据骑手asan嵌入式看跌期权的性质， 将始终采用与S中的空头头寸相对应的非正值。任何正（负）投资组合现金余额均以利率r投资于（从）货币市场。从初始资本X=X开始∈ R、 复制投资组合{Xi}followsXi=（Xi-1.- 我-1Si-1） e\'r+我-1Si+Fi- （G）- Wi-E-\'-α）+（17）表示i∈ I+N。

在任何时期，投资组合价值的变化（Xi）- xi-1） 包括四个部分的总和：a）之前的投资组合余额和做空股票的收益在货币市场上获得的回报（Xi）-1.- 我-1Si-1） （exp（\'r）- 1); b） 做空股票的资本收益或损失（Si- 硅-1)我-1.c） 期末附加费；d）该时期附加条款索赔（如有）的负数，在该时期结束时支付，由（G）给出- Wi-经验(-α))+. 注意，如果静态对冲策略 ≡ 使用0，然后使用XNexp(-“-rN）=-C′τ。也就是说，我们没有得到套期保值的结果。与Shreve[23，定理2.4.8]类似，（16）给出的投资组合过程复制了附加值。这个证明被省略了，因为在我们将模型推广到includelapses之后，我们将证明一个更一般的结果。定理8。根据假设2，如果收取费用α，且初始资本为x=U（P，α，g），则按照（16）规定的投资组合流程维持复制投资组合Xiby的保险人将被完全对冲。也就是说，Xi=ui代表i∈ 在里面备注3。特别是，如果τ≤ N然后Xτ=G×aN-τ. 什么时候？我们的U=0，复制投资组合不需要初始资本。附加条款不同于标准金融期权，因为没有为对冲融资的前期成本，而是通过定期或有费用自行融资。如果收取的费用不是公平的费用（α6=α？），那么，如果α<α，保险人必须向套期保值组合进行初始存款？或者，如果α>α，则可能在时间零点从投资组合中消费？。

保险人可以通过将资金存入投资组合并亏本出售保单，或在时间零点向被保险人收取每单位保费的初始费用，来证明降低费用的合理性。3最佳停止和放弃我们接下来扩展二项式定价模型，通过修改假设2，将以下假设包括在内，以包括提前放弃的可能性。假设9。在静态退出策略下，投保人在每个时间段收到G=gPδt。我们将T:=1/g。在每个周期结束时，首先扣除按比例分摊的附加费，然后减去定期提款。我们限制r>0，并表示‘r:=rδt和‘α：=αδt。在扣除费用和取款后的任何时间段结束时，都会发生自首。出于估价目的，期末时间点被视为事后费用和提款，但事前退保。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中2019年7月5日Let ka:{0,1，…T}7→ [0，1]是描述移交费用计划的非递增函数，满足ka>0和kaT=0。退保费率适用于[i，i+1]时间段内的退保。我们用k表示在周期i结束时退保时的退保费率的相应函数：{0，1，…，N}→ [0，1]。那么ki=kabiδtc。与亨德曼和温格[15]的连续时间模型相似，我认为∈ INwe haveVi=最大η∈LiVηi=最大η∈Li，\'τiVηi，（18）式中vηi=EQhGaη-i+Wη（1）- kη）e-\'r（η）-i） |Fii，（19）lif是F的集合-采用{i，i+1，…，N}和Li中的值的自适应停止时间，\'\'τiS抵消-根据约束η<τiorη=N，采用{i，i+1，…，N}值的自适应停止时间。回想一下，假设没有失效，τi是触发时间。为了对最优退保策略进行分类，我们引入了一些符号。

任何时候≤ 我≤ N、 定义重新缩放的过滤Fi={Fij:=Fj+i；0≤ J≤ N- i} 。对于任何η∈ 指数η，i:=nYη，ij=e-r（（j+i）∧η） Vη（j+i）∧η+Ga（j+i）∧ηo0≤J≤N-i、 （20）然后Yη，iis a（Q，Fi）鞅。定义退保政策)ηi:=min{j≥ 我Vj=Wj（1- j）}≤ N.（21）遵循等式（21）给出的退保策略的投保人在第一时间失效。从投保人的角度来看，合同的估值等于账户价值减去退保费用。这类似于美国未定权益理论的经典结果，该理论给出了Vi=Vηii的最佳值（在我们的上下文中，证明这一点是基于Du ffee[10，p.35]的简单方法，但需要（20））。也就是说，考虑到当前的市场状态，且事先没有退保，从iδt开始，对于被保险人来说，η是一个最佳退保政策。构造了反向归纳（风险中性定价）算法来评估二叉树上的V。根据{Wi}的马尔可夫性质，我们得到了Vi=v（i，Wi），其中v:IN×R+7→ R+被粗略地表示为（v（N，x）=x（1- kN）=x，v（i，x）=max{（G+pv（i+1，w（ux））+qv（i+1，w（dx）））e-r，x（1）- 基尼。什么时候解α？我们可以写ev（0，P）=[G+pv（1，w（uP）+qv（1，w（dP））]e-相对误差k>0。通过扩展方程式（13）来考虑附加值U，以纳入退保期权，并在退保时获得付款kηWη。然后，在时间i时，骑手值由ui给出：=maxη∈Li，\'-τiUηi（22），其中uηi=EQ[ηXj=i+1e-\'-r（j）-i） [（G）- Wj-E-α)+- Wj-(1 - E-α)] - E-\'r（η）-i） kηWη| Fi]使用pij=i+1（·）=0的约定。注意，方程式（22）是Hyndman和Wenger[15]方程式（14）中给出的连续时间模型中骑手值的离散时间模拟。退保期权的价值L是允许失效时的附加价值与无失效时的附加价值之间的差异。

也就是说，定义Li:=Ui- UNLi≥ 0，其中unlider是无失效情况下的最大值（13）。然后在时间i时，失效期权的价值由C给出。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中2019年7月5日Li=最大η∈Li，\'τiLηi，（23），其中lηi=EQ[NXj=η+1e-\'-r（j）-i） [Wj-1.- E-α-G- Wj-E-α+] - E-\'r（η）-i） kηWη| Fi]。请注意，方程式（23）是Hyndman和Wenger[15]方程式（15）给出的连续时间模型中失效期权价值的离散时间模拟。写入Ui=u（i，Wi），其中u:IN×R+7→ R递归定义为（u（N，x）=-kNx=0，u（i，x）=max{e-\'r[pu-（i+1，ux）+qu-（i+1，dx）]，-kix}和u-: I+N×R+7→ 福洛苏-（i，x）=u（i，w（x））+（G- xe-α)+- x（1）- E-α). （24）用uNL（i，x）表示（14）中无失效模型中的骑手值函数，我们得到Li=l（i，Wi），其中l:in×R+7→ R+由（l（N，x）=-kNx=0，l（i，x）=max{e-\'r（pl（i+1，w（ux））+ql（i+1，w（dx）），-uNL（i，x）- kix}。注意uNL（i，0）≥ 这意味着边界条件l（i，0）=0。一旦骑手被触发，提前退保是不理想的，因为任何剩余的担保在退保时都会被没收。在失效的情况下，我们可以扩展定理7，将完整合同的价值分解为账户价值和担保价值之和。定理10。在假设9下，对于所有α≥ 尽管如此，我∈ 在中，我们有vi=Ui+Wi，（25）或等效的yvi=Li+UNLi+Wi。（26）证据。方程（25）可以用递归函数v和u的反向归纳法来证明，类似于定理7。

我们省略了细节。注意，定理10是Hyndman和Wenger[15，定理7]给出的连续时间分解的离散时间模拟。与无失效情况一样，离散时间二项式模型的一个优点是，我们很容易对担保进行套期保值。3.1失效套期保值我们接下来扩展美国衍生品的标准套期保值结果（见Shreve[23，Theorem4.4.4]），通过合并定期收入和附加险索赔的复杂性，我们表明，保险人可以通过维持适当的复制投资组合，完美地对冲附加险风险。适应投资组合过程(i） 0≤i<n从（16）开始保持不变，除了u-（i，x）由（24）给出。此外，在次优退保行为下，保险人可能有积极的消费。定义消费过程C={Ci}0≤i<Nby Ci:=c（i，Wi），其中c:IN-1×R+7→ R+由C给出。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中2019年7月5日c（i，x）：=v（i，x）- [pv（i+1，w（ux））+qv（i+1，w（dx））+G]e-\'r≥ 0.（27）消费过程{Ci}代表每次保单持有人通过不放弃而以次优方式持有时收到的额外现金流。通过定义停车时间序列，我们可以明确地对次优行为进行分类。对于等式（21）中定义的η，设η：＝η，对于1≤ J≤ m我们表示∧ηj=＠ηzj，其中z=0，zj=（＠ηj）-1+ 1) ∧N，m=min{i；＠ηi=na.s.}。然后，我们可以用{ηj}来精确地描述C严格为正的时间。对于所有的0，我们都有Cηj>0≤ j<M:=min{b；zb=N}≤ m、 其中m是一个随机变量。否则Ci=0。对于所有的j<M，Cηjan和Lηjj之间有一个明确的区别。考虑两种投降策略，即ηj+1和η=N。第一种策略对应于在ηjan之后的下一个最佳时间投降，后一种策略相当于从不提前投降。那么C)ηj=V)ηj- V)ηj+1)ηjbut L)ηj=V)ηj- VNLηj。