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英文标题：
《GMWB Riders in a Binomial Framework - Pricing, Hedging, and
  Diversification of Mortality Risk》
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作者：
Cody B. Hyndman and Menachem Wenger
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We construct a binomial model for a guaranteed minimum withdrawal benefit (GMWB) rider to a variable annuity (VA) under optimal policyholder behaviour. The binomial model results in explicitly formulated perfect hedging strategies funded using only periodic fee income. We consider the separate perspectives of the insurer and policyholder and introduce a unifying relationship. Decompositions of the VA and GMWB contract into term-certain payments and options representing the guarantee and early surrender features are extended to the binomial framework. We incorporate an approximation algorithm for Asian options that significantly improves efficiency of the binomial model while retaining accuracy. Several numerical examples are provided which illustrate both the accuracy and the tractability of the binomial model. We extend the binomial model to include policy holder mortality and death benefits. Pricing, hedging, and the decompositions of the contract are extended to incorporate mortality risk. We prove limiting results for the hedging strategies and demonstrate mortality risk diversification. Numerical examples are provided which illustrate the effectiveness of hedging and the diversification of mortality risk under capacity constraints with finite pools.
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中文摘要：
在最优投保人行为下，我们构建了可变年金（VA）的最低保障提取福利（GMWB）附加项的二项模型。二项模型的结果是明确制定了完美的对冲策略，只使用定期费用收入。我们考虑保险人和投保人的不同观点，并引入一种统一的关系。将VA和GMWB合同分解为代表担保和提前退保特征的特定付款和期权，并扩展到二项式框架。我们为亚式期权引入了一种近似算法，该算法在保持精度的同时显著提高了二项式模型的效率。文中给出了几个数值例子，说明了二项式模型的精度和可处理性。我们扩展了二项式模型，将投保人死亡率和死亡抚恤金包括在内。定价、套期保值和合同的分解被扩展到包含死亡风险。我们证明了风险分散和限制风险的策略。文中给出了一些数值例子，说明了在容量有限的情况下，对冲的有效性和死亡率风险的多样化。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> GMWB_Riders_in_a_Binomial_Framework_-_Pricing,_Hedging,_and_Diversification_of_M.pdf (757.14 KB)

2022-5-7 02:25:45 上传

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关键词：套期保值 Quantitative relationship Perspectives Applications

二项框架下的GMWB乘客——定价、对冲和死亡风险分散*Cody HYNDMAN+和Menahem WENGER§¨2019年7月5日摘要我们构建了一个二项式模型，用于在最优保单持有人行为下，将保证最低提款收益（GMWB）转换为可变年金（VA）。二项式模型的结果是，仅使用定期费用收入，就不清楚地制定了完美的对冲策略。我们考虑了保险人和投保人的不同观点，并引入了一种统一的关系。将VA和GMWB合同分解为代表担保和提前退保特征的特定付款和期权，并扩展到二项式框架。我们为亚式期权引入了一种近似算法，该算法在保持准确性的同时，显著提高了二项式模型的效率。给出了几个数值例子，说明了二项式模型的准确性和可处理性。我们扩展了二项式模型，将投保人的死亡率和死亡福利包括在内。定价、对冲和合同的分解被扩展，以纳入死亡风险。我们证明了对冲策略的局限性结果，并证明了死亡风险的分散。

本文提供了一些数值例子，说明了对冲的有效性，以及在容量限制条件下，使用finepools实现死亡风险的分散。关键词：可变年金；GMWB；最优停车；套期保值；二项模型；人类数学学科分类（2010）：初级：91G20；91G60；中学：91B30；60G40JEL分类：G22、G12、G13、C61、C63*本文结合了前一版本《二项框架下的GMWB骑手定价和对冲》（arXiv:1410.7453v1）和工作文件《GMWB骑手定价和对冲中的死亡风险分散》+通讯作者：电子邮件：cody。hyndman@concordia.ca——加拿大魁北克蒙特勒伊尔市迈松纽韦大道1455号康科迪亚大学数学与统计系H3G 1M8。§美国纽约州纽约市Guardian人寿保险公司¨本文中表达的观点和意见是作者个人的观点和意见，不一定反映美国Guardian人寿保险公司的观点。C.Hyndman&M.Wenger GMWB附加条款二项式框架1991年7月5日介绍2002年推出了保证最低支取福利的可变年金（VA）附加条款。这些合同规定了一个累积期，即向保险人存入的初始保费投资于投保人选择的基金组合。账户价值（AV）受益于投资组合的收益，定期费用由保险公司扣除。保单持有人可以在一定的限额内定期从AV中取款，累积取款保证在合同期限内返还初始保费。该合同可能提前放弃，使投保人能够从强劲的投资组合业绩中受益，但需支付或有递延销售费用（CDSC）。

在期限结束时，如果合同尚未被放弃，合同可以在固定期限或投保人的剩余寿命内进行年金化。自从这些合同进入市场以来，出现了大量关于这些合同以及其他形式担保的建模和定价的文献。Hyndman和Wenger[15]简要概述了GMWB和类似产品的历史，以及各种建模和定价方法。在2008年金融危机前后，再保险公司停止为GMWB和相关的终身取款保障（GLWB）乘客提供保险，此时内部动态对冲计划的重要性迅速上升。考虑到这一点，我们在离散时间框架内考虑GMWB产品的定价和套期保值问题，该框架符合金融经济学的无套利原则。我们提出了一个假设最优投保人行为的MWBS二项资产定价模型，并构造了明确的套期保值策略。Kling等人[16]、Li和Szimayer[17]以及其中的参考文献对投保人行为的其他方法进行了概述。二项式模型有几个优点，我们认为这在理论和实践中都是合理的。与之前应用的许多方法相比，使用二项式模型获得数值结果要简单得多。在适当的参数化下，该二项模型收敛于Black and Scholes[3]模型，该模型已被许多作者用作这些合同建模的基础，并对在相应的连续时间定价模型中缺乏解析解的更复杂金融期权产生了良好的近似值。通过动态规划和反向归纳算法，二项式定价模型可以很容易地实现。

此外，二项式模型可以校准到波动率表面。与蒙特卡罗模拟方法相比，二项式方法非常适合具有早期锻炼能力的美式选项。更重要的是，可以制定并实施明确准确的对冲策略。虽然二项式方法可以被视为区分方法的特例，但这两种通用方法之间存在根本性差异，Geske和Shastri[12]对二项式和有限区分方法进行了全面比较。二项式模型非常适合于不依赖路径的产品。在这种情况下，除了能够建立一个简单的理论框架外，还可以通过计算获得可靠的数值结果。GMWB产品是路径依赖的，我们讨论了这一点的含义，并通过使用近似技术来解决它们。虽然在理论上，结果应该收敛于连续提取模型，其中投资基金是对数正态分布的；由于账户价值的非重组性质，建议的方法在数字上是昂贵的。通过采用基于Costabile等[7]的近似方法，我们在不牺牲结果显著准确性的情况下大幅提高了数值效率。Bacinello[1]之前曾考虑采用二项式估值方法，在存在提前退保的情况下，对定期保费的股权挂钩人寿保险进行定价。虽然基本方法类似，但我们处理了为可变年金的GMWB乘客建模的独特功能和挑战。除了投降和死亡（Bacinello[1]考虑的这两个因素），我们还有一个内生性决定的触发日期。费用和取款的性质进一步影响了我们的工作。

虽然Bacinello[1]专门研究定价，但我们同样关注二项模型中的对冲构造，这是由于考虑了保险人和被保险人的角度。通过关注单个产品，我们可以自由地考虑自上而下的方法，这种方法提供了比一般的反向归纳方案更深入的见解。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们在一个仅考虑外汇风险的受限模型中介绍了GMWBs乘客可变年金的二项式资产定价模型。我们扩展了第3节中的模型，以允许投降——也就是说，我们合并了。Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在二项式框架中的行为风险。在第4节中，我们讨论了二项式模型实现中的计算考虑，并提出了一种二项式近似算法，旨在提高计算效率。在第5节中，使用二项式模型得到了数值结果，并与文献中的结果进行了比较。在第6节中，我们扩展了二项式模型，将死亡风险和死亡收益包括在内，并证明了死亡率差异结果，并考虑了反映容量限制和有限保单持有人群体的数值经验。第7节总结，附录包含技术结果和证据。2 GMWB在二项资产定价模型中在本节中，我们定义并构建了带有GMWB附加条款的可变年金的二项资产定价模型。

我们首先介绍二项模型的Shreve[23]和Du fife[10]以及GMWB rider可变年金的Hyndman和Wenger[15]之后的产品规格和符号。2.1合同规格和模型框架t=0时，向x岁的投保人签发保单，并收到初始保费P，保单由基础可变年金（VA）合同和GMWBrider组成。我们假设在时间为零后不会支付后续保费。溢价被投资到一个跟踪风险资产S={St:t价格的基金中≥ 0}无基差风险。附加费费率α定期从账户价值W={Wt；t中扣除≥ 0}只要合同有效且accountvalue为正值。GMWB附加条款合同规定了保证的最大提取率g，因此，无论{Wt}的变化如何，每年都可以提取g:=gp，直到收回初始保费。如果账户价值降至零，投保人将继续以G利率提款，直到初始保费收回。投保人可以从账户价值中提取不超过剩余账户价值的任何金额。但是，如果年度取款超过G，而账户价值仍然为正值，则取款将收取退保费，并且重置功能可能会降低担保价值，即未涵盖初始保费的剩余部分。投保人还可以选择提前退保，并收取无价值的退保费。过失和自首的术语可以互换使用。任何担保价值均因放弃而被没收。假设一个静态提款策略，其中G每年提取一次，我们将到期日T设置为=1/G，因为T处所有提款的总和为P。

在时间T时，附加条款担保无效，如果为正，投保人将收到剩余账户价值的最终支付。这一假设转化为现实世界中的无年金化趋势，并且是合理的，因为高比例的增值税最终没有实现年金化。考虑一个金融市场，由一个风险资产S和一个无风险货币市场账户组成，以恒定的连续复合无风险利率r增长。n为每年的时间步数，n=T×n为建模的时间步总数，δT=1/n为每个时间步的长度。因为我∈ I+N:={1，…，N-1，N}，写出iδt时的资产价值Sif。我们假设保险人可以按利率r借贷。给定Si-1、资产价值为两种价值之一：Si-1u或Si-1d，其中u（d）表示资产价值的上升（下降）运动。为了排除套利机会和无随机性的小情况，u和d必须满足Shreve[23]中的0<d<erδt<u（1）。考虑一系列N次抛硬币。允许Ohm := {H，T}和F:=2Ohm. 表示一个样本点Ohm 通过ωN:=ω。ωN:=（ω，…，ωN）。考虑随机过程ξ=（ξi）1≤我≤N、 式中ξi：Ohm 7.→ {u，d}是ξi（\'ωN）=（u如果ωi=H，d如果ωi=T.C.Hyndman&M.Wenger GMWB Riders在二项式框架中，2019年7月5日），然后对于任何固定的ωN，ξi（\'ωN）将i映射到周期i中S的增长因子。自然过滤为fi=σ（ξj；j）≤ i） 。F-适应过程{Si}可以表示为Si=S×Qij=1ξj，其中Sis是风险资产的初始值。我们写ωi=ω。ωito是指直到时间i的特定路径演变≤ i、 如果ωj=H，我们写ξj（ωi）=（u；如果ωj=T，我们写d）。最后，我们在定义时分别用u和d替换H和TOhm, 因此，样本路径ωn直接指标的资产S的演化，其中每个ωj∈ {u，d}。

然后对于任何ωi，Si=SiYj=1ξj（ωi）=SiYj=1ωj=u在ωi中的Su{35; of d在ωi中的{35;。（2） 从S=P开始，{Si}的二项式树在时间上向前构造。因为我∈ I+N，setSi=ξiSi-1.独特的风险中性度量Q定义于(Ohm, FN）byQ（A）：=X′ωN∈u在ωN}qN中的Ap{#-对于任何集合A，{u#inωN}∈ fnp:=erδt- 杜- d、 （3）是在任何特定抛硬币时观察到H（在任何特定时间步观察到u）的风险中性概率，q:=1- p、 p>0。构造的概率空间是(Ohm, FN，F={Fi}0≤我≤N、 Q）。注意，p∈ （0，1）乘以（1），并且没有（Q，FN）-可忽略的集合，所以所有的结果都适用于所有ω∈ Ohm.我们遵循Cox、Ross和Rubinstein（CRR）参数化并设置u=exp（σ）√δt）和d=exp(-σ√δt），其中σ是S的连续复合收益率的方差。CRR参数化导致以下结果。提议1。假设stt遵循dst=rStdt+σStdBt（4）给出的动力学，其中bt是标准布朗运动。考虑在CRR参数化下，SNIN的二项式模型，每年有n个时间步。那么不管怎样∈ [0，T]，作为n→ ∞, snnt在分布上收敛于St，其中nt是一个整数。证据参见Cox等人[8]或Shreve[24，练习3.8]。请注意，现实世界的概率测度P的定义类似，但有P=+^^^σ√δt，其中^u和^σ分别是S的连续复合回报率的经验平均值和方差。在这种参数化下，二项模型下的平均值和方差收敛到极限的经验值（见Cox等人[8]）。我们详细说明了本节中使用的GMWB附加条款的可变年金的基本假设。C.Hyndman&M.Wenger GMWB骑手在一个二项式框架中，假设2。不允许提前自首。

在静态退出策略下，投保人在每个时间段收到G=gPδt。我们将T:=1/g。在每个周期结束时，首先扣除按比例收取的费用，然后减去定期提取费用。我们限制r>0，并表示‘r:=rδt和‘α：=αδt。我们假设T是一个整数。否则，可以调整结果以纳入最终的分数周期。设置N=bT·nc+1，最后一个周期的时间长度为T-N-1n年。所有参数都需要在终端时段进行缩放，以反映缩短的持续时间。接下来，我们为账户值W定义另一个二叉树，其中每个节点包含两个值。第一部分，表示为Wi-, 是在扣除费用或提款之前，根据市场变动进行调整后的账户价值。第二个组成部分表示为Wi，是调整费用和取款后的账户价值。我们有w=P，Wi-=西西-1Wi-1=ξiWi-1，Wi=maxE-αWi-- G、 0,因为我∈ I+N.虽然基础资产{Si}的树正在重组，但accountvalue{Wi}的树没有重组。对于任何i，SIB有i+1个节点，而WI在相应树上有2个节点。定期取款的减法对模型施加了路径依赖。2.2估值视角和分解使用GMWB rider对可变年金进行估值有两种不同的视角。第一个对应于投保人，将可变年金和GMWB附加条款一起处理，并对合同期限内收到的总付款进行估值。第二，对应于保险公司，分别考虑GMWB附加条款的嵌入期权性，以定价和对冲额外风险。Wenger[Hyndousman]和Hyndouspeng[15]在这个场景中使用了这种方法。